平行线性质竞赛题

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人教版初三数学竞赛专题：平行线分线段成比例(包含答案)

人教版初三数学竞赛专题：平行线分线段成比例（含答案）【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ．求证：PQ •PT ＝P R •PS ．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．QARBCD SPABCDEGH MQA BCDEFP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P g g g 图3QA BCDEFGM NPA B CD E FP图2A BCD E F P图1能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． 2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿． 4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FGABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ．求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）求OE AD ＋OEBC的值；（3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（） A ．10B ．12C ．16D ．186．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB DEFM第6题ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题ABCDEF M NP点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- 7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．168．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（）A ．2B ．53C ．32D ．19．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：11AB CD+＝1EF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，（1）11AB CD+＝1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+＝AD；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）参考答案AQB CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ．求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）求OE AD ＋OEBC的值；（3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．（宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．（宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么，（1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。

初一数学：平行线(含解析)

平行线知识互联网板块一平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________．图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（）⑵ 下列说法中，不正确的是（）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°．证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°，所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】（成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥，又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°，经典例题板块二平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ，若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，，相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1．如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（）∴______∥______（）． ∴C CBE ∠= ∠（）又∵C A ∠=∠（）∴A ∠=________（） ∴______∥______（）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行．习题2．如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等）又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3．如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4．如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5．（十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等）又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）．由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补），又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）．习题6．如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7．如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1．（2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2．如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3．如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠________=∠________（）∴∠________=∠________（）∴AB CE ∥（）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．练习4．如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5．已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6．如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。

相交线与平行线竞赛辅导

（）条直线被第三条直线所截，成八个４两构常称为 “ ｊ线八角” ．２平行线：１．（）掌握两条直线的位置关系
互为邻补角．两点间的最短距离是连接这两点
的线段的长度，不能表述为过这两点的直线，故排除选项Ｃ因此只有选项Ｄ是正确答案．．
盘盼８解答本题时要弄清对顶角、邻补角
的概念及线段的性质和垂直的定义．果两个如
的性质．２掌握垂线、足的定义以及垂线（）垂
性质：过一点有且只有一条直线与已知直 ① 垂直．直线外一点与直线上各点连接的所 ②
盘啊８在两边上各取两点Ａ、，＜）．（Ｐ和Ａ
、
＜ｑ，见四边形Ａ４马中，有一）易一恰
和Ａ）而在０中取两，，
个“ 和睦线对 ” （
点的方法有５×４÷２０种）在Ｂ中取两＝１（，Ｏ
点的方法有４×３ ÷２＝６种）所以，中共有（，Ｄ和：０× ０个．故．
例２如图１所示，为直线Ａ上的一ＤＢ
点，Ｍ平分Ｏ
ＯＯ平分ＬＢＣ，则图中Ｃ，ＮＯ
Ｉ删
Ｉ
互余的角有（
Ａ．１对Ｃ．３对
）．
Ｂ．２对Ｄ．４对
１对余角、角和对顶角这几个概念的本．补
深刻理解相交线和平行线的概念、

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(题目)(教育相关)

DC EB
A
E
D
M
N
P
B
C
【例10】在 ABC 中，底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中线， AE 、 AF 分别交 BM 于 G 、 H 两点，求证： BG :GH : HM 5:3: 2
A
M GH
BE
【例11】如图， M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点，且满足 BM MN NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F . 求证： EF 3DE .
AB AC BC
A D
E E
D A
B
CB
C
3. 平行的判定定理：如上图，如果有 AD AE DE ，那么 DE ∥ BC 。 AB AC BC
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图， DE ∥BC ，且 DB AE ,若 AB 5，AC 10 ，求 AE 的长。
（1）如图（1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1 AB ，
4
连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC _______.
CD
（2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB 1: 3， BD: DC 2:1， AD 与 CE 相交于 F ，则 EF AF
A
F E
B
D
C
【例7】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证: AP 3AB 。
A
B P

第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。

若直线a平行于直线b，则记作，读作。

注意：一定要在同一平面内。

且一定要时直线。

2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。

②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。

③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。

④沿着三角尺该直角边画直线。

【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点，条直线与这条直线平行。

有且只有：存在且唯一。

2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即若c b b a ∥，∥，则a c 。

3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。

【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2023-2024学年安徽省阜阳市八年级(上)竞赛数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省阜阳市八年级（上）竞赛数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系中，点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是()A.，B.，C.，D.，4.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是()A.10B.14C.18D.225.记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路.后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为()A.4小时B.小时C.5小时D.6小时6.无论m为什么实数时，直线总经过点()A. B. C. D.7.已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为()A. B. C. D.8.一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是()A.3B.2C.1D.09.如图，，点A在DE上，，，则的大小为()A. B. C. D.10.三角形的3边长分别是xcm、、，它的周长不超过则x的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是______.12.如图，点A是一次函数图象上的动点，作轴与C，交一次函数的图象于设点A的横坐标为m，当______时，13.如图，则______.14.小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．小聪与小明出发______相遇；在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是______三、解答题：本题共9小题，共90分。

八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)

××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=_________．2．（2003•宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可）3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________；(2）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF为菱形;（3）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF不存在．1题2题3题4题5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等;它们是_________．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为_________．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为_________度．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为_________．6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°10题11题12题13题11．如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=,PC=，则PD=(）A．2B．C．3D．13．如图,平行四边形ABCD中,BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,若∠AEF=54°，则∠B=（)A．54°B．60°C．66°D．72°14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d,其中a、c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD的面积为()A．98 B．196 C．280 D．284 15题16题16．（2003•吉林）如图,菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（)A．A D＞BC B．A D＜BCC．A D=BC D．A D与BC的大小关系不能确定18．已知四边形ABCD,从下列条件中：（1）AB∥CD;(2）BC∥AD;(3）AB=CD；（4）BC=AD;（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(）A．4种B．9种C．13种D．15种三、解答题（共11小题,满分0分）20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,试证:BC⊥BD，且BC=BD．21．如图,在等腰三角形ABC中,延长AB到点D,延长CA到点E，且AE=BD,连接DE．如果AD=BC=CE=DE,求∠BAC 的度数．22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．23．（2002•河南)如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M 为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．24．（2008•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1)求证：EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．25．如图，在Rt△ABC中,∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2,D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF，求DF的长．26．（2002•陕西）阅读下面短文:如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②)解答问题:（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_________S2（填“＞"“="或“＜"）．（2)如图③，△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画_________个,利用图③把它画出来．（3)如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出_________个，利用图④把它画出来．（4）在(3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．如图,在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．28．如图,在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形,并给予必要的说明．新课标八年级数学竞赛培训第15讲:平行四边形参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分,满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE⊥BD,PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质。

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【新方法】平行线的判断与性质 B-P138平行线的综合运用方法—— 1.由角定角已知角的关系两直线平行确定其他角的关系 2.由线定线已知两直线平行角的关系确定其他两直线平行【例1】（1）O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1 ，l 2，l 3 ,…l 2005, 则可形成以O 为顶点的对顶角。

（2）若平面上4条直线两两相交，且无三点共线，则一共有对同旁内角。

【例2】如图，已知AD ∥EG ∥BC ，AC ∥EF ，则图中与∠1相等的角有（）对。

【例3】如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ， DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF = ∠BDF. 【例4】探究：（1）如图a ，若AB ∥CD ，则∠B+∠D=∠E ，您能说明为什么呢？（2）反之，若∠B+∠D=∠E ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明。

(3) 若将点E 移至图b 所示位置，此时∠B 、∠D 、∠E 之间有什么关系？请证明。

(4) 若将E 点移至图c 所示位置，情况又如何？(5) 在图d 中，AB ∥CD ，∠E+∠G 与∠B+∠D+∠F 又有何关系？ (6) 在图e 中，若AB ∥CD ，又得到什么结论？【例5】平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能得到？平移变换【例6】平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36。

，请说明理由。

学力训练 B-P1411.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1+ ∠2 = 。

2.如图，直线a ∥b ，则∠A = 。

3.如图，已知AB ∥CD, ∠1 = 100。

，∠2 = 120。

，则 ∠a = 。

（第1题）（第2题）（第3题）4.如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80。

，∠CDE =140。

，则∠BCD = 。

5.如图，已知l ∥m ，∠1=115。

，∠2 = 95。

，则∠3 = （） A. 120。

B. 130。

C. 140。

D. 150。

6.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=115。

，∠A = 25。

，则∠3 = （）.A. 70。

B. 80。

C. 90。

D. 100。

7.如图，∠AOB 的两边OA,OB 均为平面反光镜， ∠AOB = 35。

，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（）A. 35。

B. 70。

C. 110。

D. 120。

8.如图，AB ∥CD ∥EF ∥GH, AE ∥DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与∠α相等的角的个数为m （不包括∠α本身），与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m+ n 的值是（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9.如图，已知∠1+∠2 = 180。

，∠3=∠B,是判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并对结论进行论证。

10．如图，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36。

，∠ACB = 60。

，AQ 平分∠FAC ，求∠HAQ 的度数。

判定性质判定性质11.在同一平面内有2002条直线α1，α2，…，α2002，如果α1⊥α2，α2∥α3，α3⊥α4， α4∥α5，….，那么α1与α2002的位置关系是。

12.已知∠A 的两条边和∠B 的两条边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少20。

，则∠B= 。

13.如图，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点M ，而MD 平分∠AMC ，若 ∠BAD= ，∠ABC= 。

14.如图，直线AB ∥CD ，∠EFA= 30。

，∠FGH= 90。

，∠HMN= 30。

，∠CNP= 50。

，则 ∠GHM 的大小是。

15.如图，平行直线AB,CD 与相交直线EF,GH 相交，则图中的同旁内角共有（） A. 4对 B. 8对 C. 12对 D. 16对 16.如图，若AB ∥CD ，则∠1+∠3-∠2的度数等于（） A. 90。

B. 120。

C. 150。

D. 180。

17.如图，两直线AB,CD 平行，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = （）。

A. 630。

B. 720。

C. 800。

D. 900。

18.把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x+y （）A. 有一个确定的值B. 有两个不同的值C. 有三个不同的值D. 有三个以上不同的值19.如图，已知CD ∥EF, ∠1 + ∠2 = ∠ABC ，求证： AB ∥GF.20.如图①，已知∠DAB + ∠ABC + ∠BCE = 360。

(1) 求证：AD ∥CE(2) 在（1）的条件下，如图②，作∠BCF = ∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若 ∠F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH 的度数。

21.如图，已知AB ∥CD ，∠EAF = 14 ∠EAB ，∠ECF=14 ∠ECD ，求证：∠AFC=34∠AEC 。

22.（1）已知平面内有4条直线a ，b ，c 和d ，直线a ，b 和c 相交于一点，直线b 、c 和d 也相交于一点。

试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由。

（2）做第5条直线e 与（1）中的直线d 平行，说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？简单的面积问题 B-P145计算图形面积的常用方法:12运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解。

3 积。

4 【例1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90。

，AC=8cm ， BC=6cm ，分别以AC,BC 为边作正方形AEDC ，BCFG ，则△BEF 的面积是 cm 2。

【例2】如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是（）m 2。

A. 144B. 140C. 160D. 无法确定【例3】如图，设E,F 分别是△ABC 的边AC,AB 上的点，线段BE,CF 交于点D.已知△BDF,△BCD, △ CDE 的面积分别为3，7，7，求四边形AEDF 的面积。

【例4】如图，△ABC 的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点。

求：（1）四边形PECF 的面积（2）四边形PFGN 的面积【例5】如图①，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积。

（用两种方法求解）解法一：解法二：面积与等分点练习【例6】如图已知四边形ABCD 中，E 、F 是DC 边的三等分点，G ，H 是AB 边的三等分点。

求证：S 四边形GHFE = 13 S 四边形ABCD如图，已知四边形ABCD 中E,F,G,H, M,N,R,S 分别是四边三等分点。

求证：S 阴影 = 19 S 四边形ABCD1. 如图，正方形ABCD 的边长为4，MN ∥BC 分别交AB 、CD 于点M 、N ，在MN 上任取两点P 、Q ，那么图中阴影部分的面积是。

2.（1）如图a ，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果S 1 = 75cm 2，S 2 = 15cm 2，那么大正方形的面积 S = cm 2。

（2）如图b ，大长方形中有5个小长方形面积的数值已标出，那么，左上角小长方形的面积是。

3.如图，一个面积为50cm 2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC 的面积是cm2。

4.如图若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是。

5.如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于O 点，若△AOD 的面积是2，△COD 的面积是1，△COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（） A. 16 B. 15 C. 14 D. 136.如图，在长方形ABCD 中，AE = BG = BF = 12 AD = 13 AB = 2，E,H,G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（）A. 8B. 12C. 16D. 207.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A,B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A,B,C 为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 58.如图长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ，△CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积为（）A. a+b bB. a-bC. a+bD. 无法确定9.如图，正方形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 边上的点，AE,DE,BF,AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1 、S 2 、…S 8 ，试比较S 3 与S 2 +S 7 +S 8 的大小，并说明理由。

10.如图，△ABC 的边AB=30cm ，AC=25cm ，点D,F 在AC 上，点E,G 在AB 上， S △ADE ：S △DEF ：S △EFG ：S △FGC ：S △GBC = 1：2：3：4：5，求AD 和GE 的长。

11.如图，长方形ABCD 的长为8，宽为5，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△DEF 的面积为16，则点D 到直线EF 的距离为。

12.如图，已知P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB =5，S △PAD =2，那么△PAC 的面积为。

13.如图，P 为长方形ABCD 外一点，并且PC=PD ，已知长方形ABCD 的面积为2007cm 2，那么，△APD 的面积是 cm 2。

14.如图，三角形ABC 的面积为1，BD:DC=2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于P ，那么四边形PDCE 的面积为。

15.如图，点E,F 分别是长方形ABCD 的边AB,BC 的中点，连AF,CE ，设AF,CE 交于点G ，则 S 四边形AGCD S 长方形ABCD= （）。

A. 56B. 45C. 34D. 2316.如图，已知正方形ABCD ，AB=1，BD 与AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分面积之差是（）A. π2-1 B. 1-π4C.π8-1 D. 1-π617.如图，ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形，O是BF与EG的交点，如果正方形ABCD的面积是9 cm2，CG=2cm，则三角形DEO的面积是（）cm2。