最新数列知识点大全及经典测试题
数列知识点总结加题
数列知识点总结加题1.1 数列的概念数列是按一定顺序排列的一系列数。
数列中的每个数称为数列的项，相邻两项之间的差称为公差，相邻两项之比称为公比。
数列常用于描述一些具有规律性的数学问题，如等差数列描述等差数列的增减情况，等比数列描述等比数列的增减情况等。
1.2 常见分类数列根据公差或公比的不同可以分为等差数列和等比数列两大类。
其中，等差数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列，常用公式表示为an=a1+(n-1)d。
而等比数列是指数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列，常用公式表示为an=a1*r^(n-1)。
二、等差数列的性质及求和公式2.1 等差数列的性质等差数列的性质主要包括：任意项与其前后项之间的关系、任意项的通项公式和求和公式等。
（1）任意项与其前后项之间的关系等差数列中，第n项与第n-1项之差为常数d，即an-an-1=d。
（2）任意项的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
（3）求和公式设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，则其和可表示为Sn=n(a1+an)/2。
2.2 等差数列的求和公式推导为了更好地理解等差数列的求和公式，可以通过以下推导过程进行说明。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，末项为an，则可得到以下结论：（1）首项a1，末项an之和为a1+an=a1+a1+(n-1)d=2a1+(n-1)d（2）首项a1，末项an之差为sn=an-a1+(n-1)d由此可得到等差数列的求和公式Sn=n(a1+an)/2。
三、等比数列的性质及求和公式3.1 等比数列的性质等比数列的性质主要包括：任意项与其前后项之间的关系、任意项的通项公式和求和公式等。
（1）任意项与其前后项之间的关系等比数列中，第n项与第n-1项之比为常数r，即an/an-1=r。
（2）任意项的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
数列练习题
数列练习题一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，求第10项的值。
2. 一个等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求该数列的公差。
3. 已知等差数列的公差为3，第5项为12，求第8项的值。
4. 等差数列的前7项和为49，第8项为11，求第4项的值。
5. 已知等差数列的公差为2，第3项为8，求前6项的和。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求第6项的值。
2. 一个等比数列的前4项和为21，前8项和为189，求该数列的公比。
3. 已知等比数列的公比为3，第4项为81，求第7项的值。
4. 等比数列的前5项和为31，第6项为48，求第3项的值。
5. 已知等比数列的公比为1/2，第2项为4，求前5项的和。
三、数列的通项公式1. 已知数列的前三项分别是1，3，5，推测数列的通项公式。
2. 已知数列的前四项分别是2，6，12，20，推测数列的通项公式。
3. 已知数列的前三项分别是1，4，9，推测数列的通项公式。
4. 已知数列的前四项分别是1，4，9，16，推测数列的通项公式。
5. 已知数列的前三项分别是1，2，3，推测数列的通项公式。
四、数列的求和1. 求等差数列1，3，5，7，9，…的前10项和。
2. 求等比数列3，6，12，24，…的前6项和。
3. 求等差数列2，5，8，11，…的前8项和。
4. 求等比数列2，4，8，16，…的前5项和。
5. 求数列1，3，6，10，15，…的前7项和。
五、综合运用1. 已知数列的前三项分别是2，4，8，求该数列的前10项和。
2. 已知等差数列的公差为2，前5项和为35，求该数列的前7项和。
3. 已知等比数列的公比为3，第3项为27，求该数列的前5项和。
4. 已知数列的通项公式为an = n^2 + n，求前8项的和。
5. 已知数列的通项公式为an = 2^n 1，求前6项的和。
六、数列的递推关系1. 已知数列满足递推关系an = an1 + 3，且a1 = 2，求a5的值。
数列简单练习题
数列简单练习题数列是数学中一个基础且重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握数列的概念及相关计算方法，本文将为大家提供一系列数列简单练习题。
通过这些练习题的训练，相信大家能够在数列方面得到更好的掌握。
练习题一：等差数列求和1. 求等差数列2, 5, 8, 11, 14, …的前10项之和。
解析：根据等差数列的求和公式，可知等差数列的前n项之和为Sn = n * (a1 + an) /2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据给定的数列可知，a1 = 2，an = 2 + (n-1) * 3 = 3n - 1。
代入公式，得到S10 = 10 * (2 + (10-1) * 3) / 2 = 10 * (2 + 27) / 2 = 10 * 29 / 2 = 145。
所以，等差数列2, 5, 8, 11, 14, …的前10项之和为145。
练习题二：等比数列求和2. 求等比数列1, 3, 9, 27, …的前5项之和。
解析：根据等比数列的求和公式，可知等比数列的前n项之和为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
根据给定的数列可知，a1 = 1，q = 3。
代入公式，得到S5 = 1 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 1 * (243 - 1) / 2 = 242 / 2 = 121。
所以，等比数列1, 3, 9, 27, …的前5项之和为121。
练习题三：斐波那契数列3. 斐波那契数列的定义是f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2)（n≥3）。
求斐波那契数列的前10项。
解析：根据斐波那契数列的定义可知，首先确定前两项f(1)和f(2)分别为1。
然后根据递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可以计算出后续的项。
利用递推公式，可以得到斐波那契数列的前10项依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。
(完整)职高数列知识点及例题(有答案),推荐文档
数列一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n注 求数列通项公式的一个重要方法： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn例1、已知数列{100-3n}，（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．例2 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：（1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n -1. 解：（1）①当n≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n -1)2+2(n -1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求. （2）①当n≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n -1)-[(n -1)2+2(n -1)-1]=2n -3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2； ③经检验，当n=1时，2n -3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求． 注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合例3 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．分析：前n 项之和最大转化为10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．等差数列1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2.通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=．3.求和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4.中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5.等差数列的判定方法(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 练习：已知数列{ a n }满足：a 1=2,a n = a 1+n +3,求通项a n ．例1 在等差数列{}n a 中,已知.,63,6,994n S a a n 求=-==解:设首项为1a ,公差为d ,则⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=-+=3188639111d a d a d a 得76:)1(231863==--==∴n n n n n S n或得 例2（1）设{a n }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a -d ，a ，a+d拓展：（1）若n+m=2p ，则a n +a m =2a p ．推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
数学数列多选题专项训练知识点-+典型题附解析
一、数列多选题1．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=答案：BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.2．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为12答案：ACD 【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列答案：ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.8．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >答案：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
数列知识点归纳总结例题
数列知识点归纳总结例题数列是数学中一个重要的概念，它由一组按照特定规律排列的数字所构成。
数列在数学的多个领域中都有应用，比如代数、几何、概率等。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，并通过一些例题来帮助读者更好地理解数列的概念和应用。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数字所构成的集合，这些数字按照特定的规律排列。
一般来说，数列可以用公式 an 表示，其中 n 表示数列中的第几个数字，an 表示第 n 个数字的值。
二、等差数列等差数列是指数列中的两个相邻数字之间的差保持恒定。
对于等差数列，我们可以通过以下公式来表示第 n 个数字的值：an = a1 + (n-1)d其中，a1 为数列的首项，d 为公差，n 表示第几个数字。
例题一：已知一个数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项的值。
解：根据等差数列的公式，可以得到：a10 = 3 + (10-1)*2= 3 + 9*2= 3 + 18= 21因此，该数列的第10项的值为21。
三、等比数列等比数列是指数列中的两个相邻数字之间的比保持恒定。
对于等比数列，我们可以通过以下公式来表示第 n 个数字的值：an = a1 * r^(n-1)其中，a1 为数列的首项，r 为公比，n 表示第几个数字。
例题二：已知一个数列的首项为2，公比为3，求该数列的第4项的值。
解：根据等比数列的公式，可以得到：a4 = 2 * 3^(4-1)= 2 * 3^3= 2 * 27= 54因此，该数列的第4项的值为54。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两个数字是1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
斐波那契数列可以通过以下递推公式来表示：an = an-1 + an-2其中，a1 = 1，a2 = 1。
例题三：求斐波那契数列的前10项的和。
解：首先列出斐波那契数列的前10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55然后将这些数字相加：1 + 1 +2 +3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143因此，斐波那契数列的前10项的和为143。
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数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。
若给出数列{ a n }的通项公式，则这个数列是已知的。
若数列{ a n }的前n 项和记为S n ，则S n 与a n 的关系是：a n =⎩⎨⎧≥-=-2.1,11n S S n S n n 。
第二部分：等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a n －a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n －a n (n ∈N +)．⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n ∈N +，a n －a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n －a n 都成立．一般采用的形式为：① 当n ≥2时，有a n －a 1-n = d (d 为常数)． ②当n +∈N 时，有a 1+n －a n = d (d 为常数)． ③当n ≥2时，有a 1+n －a n = a n －a 1-n 成立．若判断数列{ a n }不是等差数列，只需有a 3－a 2≠a 2－a 1即可． 2．等差中项若a 、A 、b 成等差数列，即A=2b a +，则A 是a 与b 的等差中项；若A=2ba +，则a 、A 、b 成等差数列，故A=2ba +是a 、A 、b 成等差数列，的充要条件。
由于a n =211-++n n a a ，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质⑴公差为d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d ． ⑵公差为d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd ． ⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列，则{ a n ±b n }与{ka n ＋b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列． ⑷对任何m 、n +∈N ，在等差数列{ a n }中有：a n = a m + (n －m)d ，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项． ⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1nl a a ． 4．等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +与S n = na 1＋d n n 2)1(-的比较5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，偶奇S S =1+n na a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，偶奇S S =1-n n． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2． ⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)． ⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2d x + (a 1－2d)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．第三部分：等比数列 1．正确理解等比数列的含义⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =nn a a 1+ (n +∈N )或q =1-n na a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，nn a a 1+= q ；或1-n na a = q (n ≥2)都成立． 2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =Gb，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=2ba +，其中，a 与b 没有同号．．的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{na 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q1}． ⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0．⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0时，等比数列为递增数列；当a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n项和公式Sn的基本性质⑴如果数列{an }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是Sn=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=.1,1)1(,1,11时当时当qqqaqnan也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．⑵当已知a1，q，n时，用公式Sn=qqa n--1)1(1；当已知a1，q，a n时，用公式S n=qqaan--11．⑶若Sn 是以q为公比的等比数列，则有Smn+= S m＋qS n．⑵⑷若数列{ an }为等比数列，则Sn，Sn2－Sn，Sn3－Sn2，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列．二、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ an }与an是不同的，前者表示数列a1，a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，…，an，…，与集合{ a1，a2，…，an，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq2-，aq1-，a，aq，aq2，…；⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq3-，aq1-，aq，aq3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当an= 0时，虽有a2n= a1-n· a1+n成立，但{an}不是等比数列，即“b2= a · c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{an}，“2b = a + c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．数列基础知识定时练习题（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23 2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++Λ的值为（ ） （A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）553．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） （A ）1997 （B ）1999 （C ）2001 （D ）20034．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 5．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22ba ba ++的值是（ ） （A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31 （D ）1或31- 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是（ ）（A ）38>d （B ）3<d （C ）38≤3<d （D ）d <38≤3 7．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9(B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-98．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.459．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 210．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－411．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （ ） A. 81 B. 27527 C.3 D. 24312． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。