极坐标系 课件

OX到OM 的角度， 叫做M的极
径， 叫做点M的极角，有序数对 O
（，）就叫做M的极坐标。
x
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，既以OX（极轴）为始边，OM 为终 边的角。
例1：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
G 5
3
特别规定：当M在极点时，它的极坐标
特别强调：以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在极少数情况用。
练习：写出下列各点的负极径的极坐标。
（3，/4） （3，-/4）
答：（-3， + /4）（-3， - /4）
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
探索点M（3，4 ）的所有极坐标
1.极径是正的时候：
3，2k
4
P M
O
X
1.建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个。
3.一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
在极坐标系中画出点 M（-3，/4）的位置.
解：1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的反向延长线上取一点M， 使OM= 3.
O
M
P = /4
X
四、负极径
3.关于负极径的思考
“负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所
说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定 过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
四、负极径
4.正、负极径时，点的确定过程比较
画出点（3，/4）和（-3，/4）.
①点（3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的上取一点M，使OM= 3.
M O
P X
②点（-3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的反向延长线上取一点M， 使OM= 3.
P
O
X
M
四、负极径
= 0， 可以取任意值。 极点（0，）（ R）
即极点有无数个极坐标。
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他表达式。
1.这些极坐标之间有何异同？
3.一点的极坐标有否统一的表达式？
有。
，2k
4
四、负极径
1. 负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下， 极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
1.作射线OP，使XOP= ;
P
2.在OP的反向延长线上取
一点M，使OM=
O
X
M
四、负极径
2.负极径的实例
5.负极径的实质
P
从比较来看，负极径比正极径多了一个 M
操作，将射线OP“反向延长”。
O
X
而反向延长也可以说成旋转 ，因此，
P
所谓“负极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，用“负”
表示“反向 ”。
O
X
M
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 . 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”.
2.极径用“-3”：
（ 3，2k )
4
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
1.首先，给定极坐标M（，）在平面
上可以确定唯一的一点。
OM
X
2.反过来，给定平面上一点，却有
无数个极坐标。
O
X
原因：极径有正有负；极角有无数 P
个。但是，有统一表达式两个。
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
极坐标系
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 （通常取逆时针方向）。
O x
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标系的四要素？
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表
M
示线段OM的长度，用 表示从
极径相同，不同的是极角。
O
2.这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
M x
例2：在极坐标系里描出下列各点.
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
A(3, 0), B(6, 2 ),C(3, ), D(5, 4 ), E(3, 5 ), F(4, ),G(6, 5 )
2 3
6
3
2
4
5
6Fra Baidu bibliotek
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
1.极坐标系的建立需确定几条？ 极点；极径；长度单位和角度正方向。
2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角引起的。