【精选】浙江版高考数学一轮复习专题2.1函数及其表示练

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(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题2.1函数其表示(讲)(含解析)

第01讲函数及其表示---讲1．认识函数、映照的看法，会求简单的函数的定义域和值域。

2．理解函数的三种表示法：分析法、图象法和列表法。

3．认识简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。

4. 高考展望：（1）分段函数的应用,要求不仅需理解分段函数的看法，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的看法，常常与函数的图象和性质结合观察. 5. 备考要点：（ 1）理解函数的看法、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（ 2）以分段函数为背景观察函数的相关性诘问题. 知识点1．函数与映照的看法函数映照两个会集设A ，B 是两个设A ，B 是两个 A ，B非空数集非空会集假如依据某种确立的对应关系 f ，假如按某一个确立的对应关系 f ，使对对应关系使关于会集A 中的任意一个数 x ，于会集A 中的任意一个元素x ，在会集Bf：→在会集 B 中都有独一确立的数f ( x )AB中都有独一确立的元素 y 与之对应和它对应称 f ：→ B 为从会集A 到会集B 的称 f ：→ 为从会集A 到会集B 的一个名称AA B一个函数映照记法函数y ＝f (x )，x ∈A映照：f ：A →B【典例1】【2018 届河南省南阳市第一中学 8月月考】x R ，则f x 与gx表示同一函数的是（）A.fx x 2，gxx 2B.fx1，C.，D.，【答案】C【分析】A中:gxx2xx2;B中:;C中：，，；D中：,所以选C.【易混辨析】判断两个函数能否为同样函数，注意掌握两点，一看定义域能否相等，二看对应法规能否同样．【变式1】在以下图形中，表示y是x的函数关系的是________．【答案】①②【分析】由函数定义可知，自变量x对应独一的y值，所以③④错误，①②正确．知识点2．函数的定义域、值域x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x 叫做自变量，叫做函数值，函数值的会集{f(x)| x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域同样，而且对应关系完整一致，则这两个函数为相等函数.【典例2】【2019 年高考江苏】函数的定义域是▲.【答案】[ 1,7]【分析】由题意获取关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得1x 7，故函数的定义域为[1,7].【要点总结】1.已知函数的详尽分析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数经过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确立内层函数的值域，从而确立对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确立内层函数的定义域，二者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式2】【2018届湖南省邵阳市高三上期末】设函数，则函数的定义域为（）A.B. C. D.【答案】B【分析】的定义域为,故,所以选B.知识点3．分段函数(1)若函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系不一样而分别用几个不一样的式子来表示，这类函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数.【典例3】【山东省2018 年一般高校招生（春天）】已知函数，则的值等于__________．【答案】【分析】由于，所以.【易错提示】由于分段函数在其定义域内的不一样子集上其对应法规不一样，而分别用不一样的式子来表示，所以在求函数值时，必定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的分析式求值．【变式3】【2018 届湖北省5月冲刺】设函数，若，则实数的值为（）A.B.C.或D.【答案】B【分析】由于，所以所以选B.考点1【典例为会集映照与函数的看法4【】2018届河南省南阳市第一中学高三第一次考试（8月）】已知会集到会集的一个函数，那么该函数的值域C的不一样状况有（），A.7种B.4 种C.8种D.12 种【答案】A【分析】值域C 可能为：只含有一个元素时， {a}，{b}，{c}3 种；有两个元素时，{a ，b}，{a ，c}，{b ， c}3种；有三个元素时，{a ，b ，c}1种；∴值域C 的不一样状况有 3+3+1=7种．应选：B ．【规律方法】1.判断一个对应能否为映照，要点看能否满足“会集 A 中元素的任意性，会集 B 中元素的独一性”．2.判断一个对应f ：→ 能否为函数，一看能否为映照；二看A ，B 能否为非空数集．若是函数，则A 是AB定义域，而值域是 B 的子集．3. 函数的三因素中，若定义域和对应关系同样，则值域必定同样．所以判断两个函数能否同样，只需判断定义域、对应关系能否分别同样．【变式4】【2018届江西省检测考试（二）】设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】由于定义域为内每一个x 有且只有一个，所以舍去 y 值，所以去掉C ；选A;由于值域为B.，所以舍去D;由于关于定义域考点2求函数的定义域【典例5】【山东省2018年一般高校招生（春天）】函数的定义域是（） A.B. C.D.【答案】D【分析】由于，所以所以定义域为，选D.【思路点拨】本题f (x )是由一些基本初等函数经过四则运算构成的，所以它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．即依据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域. 【变式 5】【2017 山东卷】设函数y4 x 2的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则AB=A ．（1,2）B ．（1,2]C ．（-2,1） D ．[-2,1)【答案】D【分析】由 4x2得 2x2，由 1x0得x1，故，选D.考点3求函数的分析式【典例 6】【2018 届安徽省安庆市第一中学热身】已知单调函数，对任意的都有，则( )A.2B.4C.6D.8 【答案】C 【分析】设，则，且，令，则，解得， ∴， ∴．应选C ．【规律方法】1. 已知函数种类，用待定系数法求分析式．2. 已知函数图象，用待定系数法求分析式，假如图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知f(x)求f[g(x)]，或已知f[g(x)]求f(x)，用代入法、换元法或配凑法．4. 若f(x)与f(1)或f(x)满足某个等式，可构造另一个等式，经过解方程组求解．x5.应用题求分析式可用待定系数法求解．【变式6】【2018届山西省太原市实验中学高三9月月考】已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝()A.x＋1B.2x－1C.－x＋1D. x＋1或－x－1【答案】A【分析】f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2，可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，2k=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．应选A．考点4分段函数及其应用【典例7】【2018 年新课标I卷文】设函数，则满足的x的取值范围是A.B. C. D.【答案】D【分析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，应选 D.【总结提高】1.“分段求解”是办理分段函数问题解的基根源则；2.数形结合常常是解答选择、填空题的“捷径”.【变式7】【2018 届河北省唐山市三模】设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】【分析】.由，，得或，得或，即得取值范围是故答案为.。

浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时32.1函数及其表示课件

§ 2.1函数及其表示教材研读1.函数的基本概念2.函数的表示法3.映射的概念4.映射与函数的关系5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略考点突破考点一函数的定义域考点二求函数的解析式考点三分段函数1.函数的基本概念(1)函数的定义设A 、B 是非空的①数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有②唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作③y =f (x ),x ∈A .教材研读(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然C④⊆B .(3)函数的三要素:⑤定义域、⑥值域和⑦对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的⑧定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判定两函数相等的依据.2.函数的表示法函数的表示方法:⑨解析法、⑩图象法、列表法.3.映射的概念设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.4.映射与函数的关系由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略(1)已知函数解析式求定义域:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.分式的分母不为零;偶次方根的被开方数非负;零次幂的底数不为零;对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;正切函数y =tan x 中,x ≠k π+,k ∈Z.(2)复合函数的定义域2已知y=f(x)的定义域为[a,b],求y=f(g(x))的定义域.由a≤g(x)≤b求出x的范围,就是y=f(g(x))的定义域.已知y=f(g(x))的定义域为[a,b],求y=f(x)的定义域.求出y=g(x),x∈[a,b]的值域,就是y=f(x)的定义域.(3)实际问题中的函数的定义域在实际问题中,既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题本身对自变量的限制.1.(教材习题改编)函数f (x )=+的定义域为( C )A.[0,2)B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)21x -12x -2.下列四组函数中同组两个函数相等的组数为(B )(1)f (x )=|x |,g (t )=;(2)f (x )=x 2,g (t )=()4;(3)f (x )=x +1,g (t )=;(4)f (x )=,g (t )=·.A.0B.1C.2D.32t t 211t t --21x -1t +1t -解析(2)中f(x)定义域为R,g(t)定义域为[0,+∞).(3)中f(x)定义域为R,g(t)定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).(4)中f(x)定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),g (t)定义域为[1,+∞).(1)中虽然使用的字母不同,但两个函数的对应关系和定义域均相同.所以同组两个函数相等的组数为1.3.若函数y =lg[(a 2-1)x 2+(a +1)x +1]的定义域为R,则实数a 的取值范围是(D )A.(-∞,-1]∪∪{1}B.(-∞,-1]∪C.(-∞,-1)∪D.(-∞,-1]∪5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析由题意,知(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0对x ∈R 恒成立.当a 2-1=0时,可得a =-1满足条件.当a 2-1≠0时,应满足解得a <-1,或a >.综上,可得a ≤-1,或a >.故选D.22210,(1)4(1)0,a Δa a ⎧->⎨=+--<⎩53534.若函数f (x )=则f (9)= 2 ;f =0 .3log ,0,(3),0,x x f x x >⎧⎨+≤⎩19f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解析f (9)=log 39=2, f =log 3=-2, f (-2)=f (1)=log 31=0.19⎛⎫ ⎪⎝⎭195.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A 绕边界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.解析当点P 在BC 上运动,即0≤x ≤4时,y =×4x =2x ;当点P 在CD 上运动(不包含C 点),即4<x ≤8时,y =×4×4=8;当点P 在DA 上运动(不包含D 点),即8<x ≤12时,1212y =×4×(12-x )=24-2x ,综上, f (x )=122,04,8,48,242,812.x x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-<≤⎩考点突破函数的定义域命题方向一求函数定义域典例1函数y=的定义域是[-3,1].2--32x x解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.◆探究本例中的函数为y =,若将此函数改为y =f (3-2x -x 2),并给定y =f (x )的定义域为[-5,0],求函数y =f (3-2x -x 2)的定义域.232x x --解析由题意得不等式-5≤3-2x -x 2≤0,解得-4≤x≤-3或1≤x≤2,所以y=f(3-2x-x2)的定义域为[-4,-3]∪[1,2].已知函数f (x )=[(1-a 2)x 2+(a -1)x +1的定义域为R,求实数a 的取值范围.32]-解析由题意得a =1或解得-<a ≤1.22210,(1)4(1)0,a a a ⎧->⎨---<⎩35规律方法(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域:①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x )<b即可求出y=f(g(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组)问题,然后求解.▶提醒(1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简;(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.1-1已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为(B )A.(-1,1) B.C.(-1,0) D.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭解析由已知得-1<2x +1<0,解得-1<x <-,所以函数f (2x +1)的定义域为,选B.1211,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1-2若函数f (x )=的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是[0,4].21mx mx ++解析由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立.当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4.20,40,m Δm m >⎧⎨=-≤⎩典例3(2019效实中学月考)(1)已知f =lg x ,求f (x );(2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x ).21x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求函数的解析式解析(1)令t =+1(x >0),则x =(t >1),∴f (t )=lg (t >1),∴f (x )=lg (x >1).(2)设f (x )=ax +b (a ≠0),则3f (x +1)-2f (x -1)=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b=ax +b +5a =2x +17,∴∴a =2,b =7,故f (x )=2x +7.2x21t -21t -21x -2,517,a b a =⎧⎨+=⎩方法技巧求函数解析式的常用方法1.凑配法:已知f(g(x))=F(x),可将F(x)凑配成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.3.换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.4.解方程组法:已知关于f (x )与f 或f (x )与f (-x )的表达式,可根据已知条件构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x ).1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭同类练已知f (x )是二次函数, f (0)=0,且f (x +1)+f (2x )=5x 2-4x -1,求f (x )的解析式.解析设f (x )=ax 2+bx (a ≠0),则f (x +1)+f (2x )=a (x +1)2+b (x +1)+a (2x )2+b (2x )=5ax 2+(2a +3b )x +a +b =5x 2-4x -1,所以解得所以f (x )=x 2-2x .55,234,1,a a b a b =⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩1,2,a b =⎧⎨=-⎩变式练已知函数f (x )满足:当x ≠0时,有f x -=x 3-,求f (x )的解析式.1x 31x解析∵x 3-==+3,∴f =,∴f (x )=x (x 2+3)=x 3+3x .又函数y =x -的值域为R,∴函数f (x )的定义域为R,故f (x )的解析式为f (x )=x 3+3x (x ∈R).31x 1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭213x x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1x深化练定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求函数f (x )的解析式.解析已知当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x +1),①用-x 替换x 得,2f (-x )-f (x )=lg(-x +1).②由①×2+②可消去f (-x ),可得f (x )=lg(x +1)+lg(1-x ),x ∈(-1,1).2313典例4(1)已知函数f (x )=则f (f (-2))=,函数f (x )的值域为(-∞,1] .(2)已知函数f (x )=则f (f (2))=,不等式f (x -3)<f (2)的解集为.1,0,2,0,x x x x ⎧-≥⎨<⎩1,1,1,1,2x x x x -≤⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩分段函数命题方向一分段函数求值12127|52x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或解析(1)易知f (-2)=,所以f (f (-2))=f =.当x ≥0时, f (x 1,当x <0时, f (x )=2x ∈(0,1),故函数f (x )的值域是(-∞,1].(2)易知f (2)=,所以f (f (2))=f =.当x -3≤1,即x ≤4时, f (x -3)=x -3,f (x -3)<f (2),即x -3<,解得x <;1414⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 1212⎛⎫ ⎪⎝⎭121272当x -3>1,即x >4时, f (x -3)=,f (x -3)<f (2),即<,解得x >5.综上, f (x -3)<f (2)的解集为.412x -⎛⎫ ⎪⎝⎭412x -⎛⎫ ⎪⎝⎭127|52x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或规律总结(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式求解,从最内层逐层向外计算.(2)分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集.命题方向二含参数的分段函数问题典例5已知函数f (x )=是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是.23,0,1,0x a x x ax x -+≥⎧⎨-+<⎩10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析因为f (x )在R 上是减函数,所以解得0≤a ≤.0,213,a a ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩13规律总结若分段函数是单调函数,则必须保证各段单调性一致,同时必须注意分界点上函数值的大小关系.同类练已知函数f (x )=则当t =0时, f (f (1))=-3 .若函数f (x )有最大值,则t 的取值范围是(-∞,1] .2,,2,,x x t x x t ⎧-≥⎨-<⎩解析当t=0时, f(f(1))=f(-1)=-3.作出函数f(x)的图象,移动直线x=t,由图象可知,要使得f(x)有最大值,需t ≤1.变式练设f (x )=若f (a )=f (a +1),则f =( C )A.2 B.4 C.6 D.8,01,2(1), 1.x x x x ⎧<<⎨-≥⎩1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析当0<a <1时,a +1>1,∴f (a f (a +1)=2(a +1-1)=2a .由f (a )=f (a +1)得a ,∴a =.a a 14此时f =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1>1,1a ∴f (a )=2(a -1), f (a +1)=2(a +1-1)=2a .由f (a )=f (a +1)得2(a -1)=2a ,无解.综上, f =6,故选C.1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

(浙江通用)2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示§2.1函数及其表示1．函数与映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法2nf x，n∈N*1与[f(x)]0f x【知识拓展】1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．2．函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ×)(3)映射是特殊的函数．( ×)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x答案 C解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．3．(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32答案 C解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 4．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中真命题的序号有________．答案 ①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一函数的概念例1 (1)有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x －x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4e x －2x ，log 5x ＋x ，则f [f (ln 2＋2)]等于( )A ．log 515B ．2C ．5D ．log 5(3e 2＋1)答案 (1)②③ (2)B解析 (1)对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.(2)由题可知，自变量ln 2＋2<3，故f (ln 2＋2)＝4e ln 2＝8，f (8)＝log 525＝log 552＝2，即有f [f (ln 2＋2)]＝2.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.题型二函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域例2 (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝x ＋x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x )的定义域为(0,1]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lgx 2＋x 2的定义域为( )A ．[－5,4]B ．[－5，－2)C ．[－5，－2]∪[1,4]D ．[－5，－2)或(1,4]答案 (1)B (2)D解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B. (2)∵函数f (x )的定义域为(0,1]，∴0<lg x 2＋x2≤1，即1<x 2＋x2≤10，则1<x ≤4或－5≤x <－2，故选D.命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )＝ ()f x =R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以222x ax a ＋－－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a＋－≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为_______________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x)＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝13x ⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，∴x <1.当x ≥1时，13x ≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混． 2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C解析在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同． 2．已知函数f (x )＝11－x2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥1} C ．∅ D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2.4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0， ∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2 答案 B解析根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案－78解析由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 解析由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝或x ＝ .故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3122-122解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0， 13log －x ，x <0，若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析当m >0时，由f (m )>f (－m )，得log 3m >13log [－(－m )]，得2log 3m >0，解得m >1；当m <0时，由f (m )>f (－m )，得13log (－m )>log 3(－m )，得2log 3(－m )<0，解得－1<m <0；综上，实数m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．故选C.12．已知函数f (x )＝4x －12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________. 答案 4 028解析 ∵f (x )＝4x －12x －1＝x －＋12x －1＝2＋12x －1， f (1－x )＝2＋1－x －1＝2－12x －1， ∴f (x )＋f (1－x )＝4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015 ＝4×1 007＝4 028.13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15.某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q (单位：吨)与销售价格x (单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q 关于销售价格x 的函数关系；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．解 (1)由题设知，当5≤x ≤8时，Q ＝－52x ＋25；当8<x ≤12时，Q ＝－x ＋13.所以Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－52x ＋25， 5≤x ≤8，－x ＋13， 8<x ≤12.(2)设月利润为f (x )，则f (x )＝Q ·(x －5)－10.由(1)可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫－52x ＋25x －－10， 5≤x ≤8，－x ＋x －－10， 8<x ≤12，＝⎩⎪⎨⎪⎧ －52⎝⎛⎭⎪⎫x －1522＋458， 5≤x ≤8，－x －2＋6， 8<x ≤12.所以当x ∈[5,8]时，x ＝152，f (x )最大＝458；当x ∈(8,12]时，x ＝9，f (x )最大＝6，所以当x ＝9时，f (x )取得最大值6.故该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．。

高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题2.1函数及其表示(练)答案解析

A基础稳固训练1. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）A ．f x1,g x x0B ．f x x , gx, x0 xx, xx242 C．f x x, g x x x 2, g x D．f xx2【答案】 B2.假如f (a b) f ( a) f (b) 且 f(1)2，则（）A ．1237D ． 8 5B．C．65【答案】 C【分析】依据条件令 a n ， b1，获得 f n1 f n f 1，即f n1 f 1 ，因此f n原式等于3 f 16，应选 C.3. 设会合A, B是两个会合，①A R, B y y0 , f : x y x ；②A x x 0 ,B y y R , f : x y x ；③A x1x 2 ,B y1 y 4 , f : x y3x2 .则上述对应法例f中，能组成A到B 的映照的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 C【分析】关于①， A R, B y y 0 ，由对应法例 f : x y x ，A中的元素 0 在B中没有对应的象．∴①不可以组成 A 到 B 的映照；关于②，A x x0 , B y y R ，由对应法例 f : x y x ； A 中的元素 1在 B 中由两个不一样的对应象1和 1．∴②不可以组成A 到B 的映照；关于③，A x1x 2 , B y1 y4，由对应法例f : x y3x 2 ， A 中的随意元素在 B 中都有独一确立的象．∴③能组成A到B的映射．∴能组成 A 到 B 的映照的个数为1．应选： C．2x 1, x114. 已知函数f x’则 f（）tan x , x21f3A ．3B ．33D．3 3C．3【答案】 C3log2x, x05【.2016 届黑龙江哈尔滨高三一模】已知函数 f ( x)2x1,x ，则不等式 f (x) 5x0的解集为（）A ．1,1B ．,20, 4C ．2,4D ．,20,4【答案】 C【分析】当 x0时，令 3log 2 x 5 ，解得 0x 4 ；当 x0 时，令x2x 15，解得 2x 3 ，及 2 x0 ，因此不等式的解集为 2 x 4 ，应选C．B 能力提高训练1,x01. 设x R ，定义符号函数 sgn x0, x0，则以下正确的选项是（）1,x0A ．sin x sgn x sin x B．sin x sgn x sin xC．sin x sgn x sin x D．sin x sgn x sin x【答案】 A【分析】 x0 时，sin x sgn( x) sin x ，x0 时，sin x sgn(x)sin x sin(x) ，所以 sin x sgn(x)sin x ，A正确．应选A．2. 已知函数f ( x)x21, x 1，若 f ( f (1))4a，则实数 a（）2x ax , x114C． 2D． 4A ．B ．23【答案】 C【分析】由题意，得 f (1) 2 ，f ( f (1)) f(2)222a4a ，解得 a 2 ；应选C．3. 【 2016 f (x)e x , x 0,0 ，则实数a的取届江西九江市一模】已知函数ln x, x，若 f (a) 0值范围是（）A．( 1,0) B ．(0,1)C．(0, e)D．(1,)【答案】 B【分析】当 a 0 时， f (a)e a(0,1]，不符题意；当 a0 时，f (a)ln a0 ，则0 a 1.f ( x)f ( x2), x14. 【 2016年第二次全国大联考【浙江卷】理】已知函数22 x21, x，则1f (3)；当 x 0 时，不等式 f (x)2的解集为.【答案】2； ( 1,0)5. 已知函数f ( x)x29, x1f ( x) ， f2 ( x) f ( f1 ( x)) ，lg x, x，记 f1 ( x)1f3 (x) f ( f 2 ( x)) ，，则f2014 (10)（）A ．lg109B． 2C． 1D． 10【答案】 D【分析】101， f110lg1011，f2 10f f 10f 1 129 10，f3 10 f f f10f10lg10 1 ， , f20141010 ，应选 D.C思想扩展训练1. 【 2016云南省一致测试】已知函数f x的定义域为实数集 R，x R, f xlg x, x010f10090，则 f的值为（）x, x0A ．-8B． -16C． 55D． 101【答案】 A【分析】令 t x 90 ，得 x t90，则f (t)lg(t90), t90(t90), t，因此90f (10)lg 100 2 ， f ( 100)(10090)10 ， f (10) f (100)8 ；应选A．2. （2015 秋 ?信阳月考）函数 f （x） =，若实数 a 知足 f（ f（ a））=1，则实数 a 的全部取值的和为（）A ． 1B．﹣C．﹣﹣D．﹣ 2【答案】 C解 a 2+4a+1=0 得： a=﹣ 2﹣， a=﹣ 2+ ；解 a 2+4a+1= ﹣ 4 得： a 无解．实数 a 的全部取值的和为： 4+1+ ﹣ 2﹣﹣ 2﹣=．应选： C ．3. 【 2016 届东北师大附中五模】已知动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 的表面上运动，且 PA r 0 r3 ，记点 P 的轨迹长度为 f r ，给出以下四个命题：①函数 fr 在 0,1 上是增函数；② f 1= 3；③ f 2 = 3 ；④ f23=5 3236此中为真命题的是．（写出全部真命题的序号）【答案】①②④3x , x [0,1]，当 t[0,1] 时，4. 【 2016·河南省洛阳市一模】已知函数f ( x)93x, x (1,3]2 2f ( f (t )) [0,1] ，则实数 t 的取值范围是 _____．【答案】7log 3 3 ,1【分析】由于 t[0,1] ，因此 f (t ) 3t[1.3] ，因此 f ( f (t ))f (3t )9 3 3t [0,1] ，即2 27 3t 3, log 3 7 t 1 . 335. 【浙江省杭州市五校结盟 2016 届高考数学一诊试卷（理科）】假如一个函数 f （ x ）知足：（ 1）定义域为 x 1，x 2∈ R ；（ 2）随意 x 1， x 2∈ R ，若 x 1+x 2=0，则 f （x 1） +f （ x 2）=0；（ 3）随意x ∈ R ，若t ＞ 0，总有f （ x+t ）＞ f （ x ）．则f （x ）能够是（）A ． y=﹣ xB ．y=x 3C ． y=3xD ． y=log 3x【答案】B。

高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题2.1 函数及其表示(练)答案解析

A 基础巩固训练1. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()01,f x g x x == B ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．()()242,2x f x x g x x -=+=- D ．()()2,f x x g x ==【答案】B2. 如果()()()f a b f a f b +=且(1)2f =，则（） A ．125 B ．375C ．6D ．8 【答案】C【解析】根据条件令n a =，1=b ，得到()()()11f n f n f =+，即()()()11f n f n f =+，所以原式等于()613=f ，故选C.3. 设集合B A ,是两个集合，①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,；②{}{}x y x f R y y B x x A ±=→∈=>=:,,0；③{}{}23:,41,21-=→≤≤=≤≤=x y x f y y B x x A .则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】对于①，{}0,>==y y B R A ，由对应法则x y x f =→:，A 中的元素0在B 中没有对应的象．∴①不能构成A 到B 的映射；对于②，{}{}R y y B x x A ∈=>=,0，由对应法则x y x f ±=→:；A 中的元素1在B 中由两个不同的对应象1-和1．∴②不能构成A 到B 的映射；对于③，{}{}41,21≤≤=≤≤=y y B x x A ，由对应法则23:-=→x y x f ，A 中的任意元素在B 中都有唯一确定的象．∴③能构成A 到B 的映射．∴能构成A 到B 的映射的个数为1．故选：C ．4. 已知函数()12,1tan ,13x x f x x x π-⎧>⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩’则()12f f ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭（） A． B． CD【答案】C5.【2016届黑龙江哈尔滨高三一模】已知函数223log ,0()1,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，则不等式()5f x ≤的解集为（）A ．[]1,1-B ．(](),20,4-∞-C ．[]2,4-D ．(][],20,4-∞-【答案】C【解析】当0x >时，令23log 5x +≤，解得04x <≤；当0x ≤时，令215x x --≤，解得23x -≤≤，及20x -≤≤，所以不等式的解集为24x -≤≤，故选C ． B 能力提升训练1. 设x R ∈，定义符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则下列正确的是（）A ．()sin sgn sin x x x ⋅=B ．()sin sgn sin x x x ⋅=C ．()sin sgn sin x x x ⋅=D ．()sin sgn sin x x x ⋅= 【答案】A【解析】0x >时，sin sgn()sin x x x ⋅=，0x <时，sin sgn()sin sin()x x x x ⋅=-=-，所以sin sgn()x x ⋅=sin x ，A 正确．故选A ．2. 已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若((1))4f f a =，则实数a =（）A ．12 B ．43C ．2D ．4 【答案】C【解析】由题意，得2)1(=f ，a a f f f 422)2())1((2=+==，解得2=a ；故选C ．3. 【2016届江西九江市一模】已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln ,0,)(x x x e x f x ，若0)(<a f ，则实数a 的取值范围是（）A ． )0,1(-B ．)1,0(C ．),0(eD ．),1(+∞ 【答案】B【解析】当0≤a 时，]1,0()(∈=ae af ，不符题意；当0>a 时，0ln )(<=a a f ，则10<<a .4. 【2016年第二次全国大联考【浙江卷】理】已知函数221(2),1()2,1x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则(3)f = ；当0x <时，不等式()2f x <的解集为 .【答案】2；(1,0)-5. 已知函数29,1()lg ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，32()(())f x f f x =，……，则2014(10)f =（）A ．lg109B ．2C ．1D ．10 【答案】D【解析】101> ，()110lg1011f ∴==≤，()()()()22101011910f ff f ∴===+=，()()()()()3101010lg101f f f f f ====，()2014,1010f ⋅⋅⋅=，故选D.C 思维扩展训练1.【2016云南省统一测试】已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为（） A ．-8 B ．-16 C ．55 D ．101 【答案】A【解析】令90-=x t ，得90+=t x ，则⎩⎨⎧-≤+-->+=90),90(90),90lg()(t t t t t f ，所以2100lg )10(==f ，10)90100()100(=+--=-f ，8)100()10(-=--f f ；故选A ．2. （2015秋•信阳月考）函数f （x ）=，若实数a 满足f （f （a ））=1，则实数a 的所有取值的和为（） A ．1 B ．﹣C ．﹣﹣D ．﹣2【答案】C解a 2+4a+1=0得：a=﹣2﹣，a=﹣2+；解a 2+4a+1=﹣4得：a 无解．实数a 的所有取值的和为：4+1+﹣2﹣﹣2﹣=．故选：C ．3. 【2016届东北师大附中五模】已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且(0PA r r =<<，记点P 的轨迹长度为()f r ，给出以下四个命题：①函数()f r 在()0,1上是增函数；②()31=2f π；③f ；④f其中为真命题的是．（写出所有真命题的序号）【答案】①②④4. 【2016·河南省洛阳市一模】已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_____．【答案】37log ,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为[0,1]t ∈，所以()3[1.3]t f t =∈，所以93(())(3)3[0,1]22t tf f t f ==-⋅∈，即37733,log 133t t ≤≤∴≤≤. 5. 【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）】如果一个函数f （x ）满足：（1）定义域为x 1，x 2∈R ；（2）任意x 1，x 2∈R ，若x 1+x 2=0，则f （x 1）+f （x 2）=0；（3）任意x ∈R ，若t ＞0，总有f （x+t ）＞f （x ）．则f （x ）可以是（） A ．y=﹣x B ．y=x 3C ．y=3xD ．y=log 3x【答案】B。

2014届高考数学(浙江专用)一轮复习学案第二章函数2.1函数及其表示Word版含解析

第二章函数 2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )． A ．1 B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )．A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x 等于( )．A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、函数的概念【例1－1】已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．±1【例1－2】设函数f (x )(x ∈N )表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N )表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )； ③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1.其中正确的式子编号是__________．(写出所有符合要求的式子编号)．【例1－3】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2： y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，－x ，x ＜0.(3)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2，f 2：(4)f 1：y ＝2x ；f 2方法提炼1．要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．请做演练巩固提升2二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围．方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升1三、分段函数及其应用【例3】(2012江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为__________．方法提炼解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取值范围属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决．请做演练巩固提升3忽略分段函数中自变量的取值范围而致误【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去．当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2，所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －22．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________. 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．数集集合任意数x 都有唯一确定数f (x ) 任意元素x 都有唯一确定元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域值域对应关系 3．解析法列表法图象法 4．对应法则并集并集基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1＞0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＞－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：a ＝1，b ＝0， ∴a ＋b ＝1.【例1－2】 ③④ 解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．【例1－3】解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R . (2)不同函数．f 1(x )的定义域为R ，f 2(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (3)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (4)同一函数．理由同(3)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0， ∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2. 故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解， ∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.【例3】－10 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，函数f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得到3a ＋2b ＝－2，又f (1)＝f (－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0，结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.演练巩固提升1．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.2．2 解析：因为f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，所以lg ab ＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16， ∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]． ∵函数g (x )是以1为周期的函数，∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]．当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]．综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]．5．1 解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。

(浙江专用)2020届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教师用书(PDF,含解析)

考点一函数的概念及其表示
高频考点
１．函数的概念如果Ａ、Ｂ都是非空的数集，那么Ａ到Ｂ的映射ｆ：Ａ→Ｂ就叫
做Ａ到Ｂ的函数，记作ｙ＝ｆ（ｘ），其中ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ．原象的集合Ａ叫做函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域，象的集合Ｃ⊆Ｂ叫做函数ｙ＝ｆ（ｘ）的值域．
高频考点
１．如果函数在其定义域的不同子集上，对应关系不同或分别用几个不同的式子来表示，那么这种表示形式的函数叫做分段函数．
２．分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数，它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的连续与间断完全由对应关系来确定．
对应学生用书起始页码Ｐ１３
一、求函数定义域的解题策略
第二章
函数
真题多维细目表
考题
涉分
２０１９浙江，６
４
２０１９浙江，９
４
２０１９浙江，１６
４
２０１８浙江，５
４
２０１８浙江，１１
６
２０１８浙江，１５
６
２０１７浙江，５
４
２０１７浙江，７
４
２０１６浙江，１２
６
２０１６浙江，１８
１５
２０１５浙江，７
５
题型选择题
选择题
填空题选择题填空题填空题选择题选择题填空题解答题选择题
是重点考查．２．考查方式既有单独考查，又有与其他内容结
合考查，形式多样，但难度以中等为主．３．以函数性质为主，常以指数函数、对数函
数、分段函数为载体，考查函数的综合应用．
８５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）
§ ２．１函数及其表示

浙江省杭州求是高级中学高考数学一轮复习 2.1函数及其表示学案(无答案)

§2.1 函数及其表示学考考查重点 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．本节复习目标 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作_________(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______.显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：___________、____________和___________．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有__________、___________、__________．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个_________．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有__________、___________、___________、____________．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母_________． (2)偶次根式函数被开方式______________.(3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x(a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x a的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．1．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.2． (课本改编题)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确命题的序号有________．3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．4．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为 ( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为 () A ．1 B ．0 C ．－1 D ．π题型一函数的概念例1 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0 －1 x <0 表示同一函数； (2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；(3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．变式训练1：下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1题型二求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．变式训练2：给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．题型三函数的定义域【例3】 (1)函数y ＝ln x ＋1 －x 2－3x ＋4的定义域为______________． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是 ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1)变式训练3： (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 __________．(2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．题型四分段函数【例4】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2 1－x ， x ≤0，f x －1 －f x －2 ， x >0，则f (2014)的值为________．变式训练4：设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 ( )A ．2B ．3C ．2或3D ．－2。

2021年浙江高考数学复习练习讲义：2.1 函数及其表示

专题二函数概念与基本初等函数【真题探秘】2.1函数及其表示探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的概念及表示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.3.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值.2015浙江,7,5分函数的概念及表示★★★分段函数及其了解简单的分段函数,并能简单应用. 2018浙江,15,6分分段函数及其应用函数的零点,不等式的解法★★★应用2015浙江文,12,6分分段函数及其应用函数的最值分析解读 1.考查重点仍为函数的表示,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例: 2015浙江文,12);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关的数学知识(例: 2015浙江,7).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数的值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合.4.函数的零点也是常考的知识点,常常与不等式结合在一起考查(例:2018浙江,15).5.预计2021年高考试题中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应重视.破考点练考向【考点集训】考点一函数的概念及表示1.(2019山东菏泽模拟,5)已知函数f(x)=log2x的值域是[1,2],则函数φ(x)=f(2x)+f(x2)的定义域为()A.[√2,2]B.[2,4]C.[4,8]D.[1,2]答案A2.(2020届浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f(x)=√a·4x+a·2x+3a-6的定义域是R,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.[2411,+∞) C.(0,2411] D.(-∞,2411]答案A3.(2019云南昆明第一中学模拟,12)下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=x 2-9x-3与y=x+3B.y=√x2-1与y=x-1C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z答案C4.(2018福建永定模拟,13)函数y=√1-x2+log2(tan x-1)的定义域为.答案(π4,1]5.已知f(1-cos x)=sin2x,则f(x2)的解析式为.答案f(x2)=-x4+2x2,x∈[-√2,√2]考点二分段函数及其应用1.(2019浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知函数f(x)={2x +1,x ≤0,log 12x,x >0,且f (m -12)=0,则不等式f(x)>m 的解集为( )A.(0,√22) B.(0,√24)C.(-1,√24) D.(-1,+∞)答案 C2.(2020届浙江师大附中11月模拟,7)已知函数f(x)={(x -a)2,x ≤0,x +1x+a,x >0,若f(0)是f(x)的最小值,则a 的取值范围为( ) A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2] 答案 D3.(2019浙江温州适应性检测,15)已知函数f(x)={x 2+λx +3,x ≤2,2-log 2x,x >2.当λ=5时,不等式f(x)<-1的解集是 ;若函数f(x)的值域是R,则实数λ的取值范围是 . 答案 (-4,-1)∪(8,+∞);(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)炼技法提能力【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.(2019安徽宣城八校联考期末,3)函数y=√-x 2+2x+3lg(x+1)的定义域为( )A.(-1,3]B.(-1,0)∪(0,3]C.[-1,3]D.[-1,0)∪(0,3] 答案 B2.(2019浙江高考数学仿真卷,11)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(2x-1)的定义域为 ,若y=f(x)的值域为[-2,0],则函数y=f(sin √x )的值域是 . 答案 [0,1];[-2,0]方法2 求函数解析式的方法1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),8)设函数y=f(x)是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R 都有f(x+8)=f(x)+f(8),则满足条件的f(x)可以是( )A.f(x)=3cos πx 4B.f(x)=3sin πx 4C.f(x)=3sin 2πx8D.f(x)=3sin2πx16答案 C2.(2019湖南衡阳第一中学月考,13)已知f(2x+1)=x 2-2x,则f(3)= . 答案 -13.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=e x,则函数f(x)的解析式为 . 答案 f(x)=23e -x-13e x方法3 求函数值域的方法1.(2018浙江杭州重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x 2-2x+3)(x 2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为 . 答案 (-∞,16]2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R),对任意的x ∈R 恒有f(x)≤g(x)成立. (1)求证:g(x)>0恒成立; (2)设b=0时,记h(x)=g(x)f(x)(x ∈[2,+∞)),求函数h(x)的值域;(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)≤M(c 2-b 2)恒成立,求M 的最小值. 解析 (1)证明: f(x)≤g(x)恒成立,即x 2+(b-2)x+c-b ≥0,∴Δ=(b -2)2-4(c-b)≤0,∴b 2-4c+4≤0,∴b 2-4c ≤-4<0,∴g(x)>0恒成立. (2)∵b=0,∴h(x)=12(x +c x),f(x)=2x,g(x)=x 2+c,∵对任意的x ∈R 恒有f(x)≤g(x)成立,∴2x≤x 2+c 恒成立,∴c≥2x-x 2=-(x-1)2+1,∴c≥1. 当1≤c ≤4时,h(x)在[2,+∞)上为增函数, ∴h(x)的值域为[1+c 4,+∞);当c>4时,h(x)在[2,√c ]上为减函数,在[√c ,+∞)上为增函数, ∴h(x)的值域为[√c ,+∞).综上,当1≤c ≤4时,h(x)的值域为[1+c 4,+∞),当c>4时,h(x)的值域为[√c ,+∞). (3)由(1)推得b 2-4c+4≤0,∴4c -4b ≥b 2-4b+4=(b-2)2≥0,∴c -b ≥0, 同理,c+b ≥0,又g(c)-g(b)≤M(c 2-b 2)⇔(c+2b)(c-b)≤M(c 2-b 2),当c 2=b 2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b 2,∴M∈R;当c-b>0且c+b>0时,M ≥c+2b c+b =1+bc+b恒成立, ∴只需求当c>b>0时,b c+b 的最大值即可,而b c+b =1c b+1, ∵cb >1,∴b c+b <12, ∴M≥32,即M 的最小值为32.方法4 分段函数的相关处理方法1.(2019浙江绍兴数学调测,16)函数f(x)={-2x -3,x <0,x 2,x ≥0,若a>0>b,且f(a)=f(b),则f(a+b)的取值范围是 .答案 [-1,+∞)2.(2019浙江台州期末,12)已知f(x)={x +3,x <0,x 2+x -1,x ≥0,则f(2)= ;不等式f(x)>f(1)的解集为 .答案 5;(-2,0)∪(1,+∞)【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一函数的概念及表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有()A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案D考点二分段函数及其应用1.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)2.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)={x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f(f(-2))=, f(x)的最小值是.答案-12;2√6-6B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的概念及表示1.(2015湖北,6,5分)函数f(x)=√4-|x|+lg x 2-5x+6x-3的定义域为()A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=√log2x-1的定义域为. 答案[2,+∞)3.(2016江苏,5,5分)函数y=√3-2x-x2的定义域是. 答案[-3,1]考点二分段函数及其应用1.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0) 答案 D2.(2017山东文,9,5分)设f(x)={√x,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f(a)=f(a+1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8 答案 C3.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x={1,x >0,0,x =0,-1,x <0.f(x)是R 上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 答案 B4.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 答案 (-14,+∞)C 组教师专用题组1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 答案 C2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)={3x -1,x <1,2x,x ≥1.则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( ) A.[23,1] B.[0,1] C.[23,+∞) D.[1,+∞) 答案 C3.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)={x 2+1,x >0,cosx,x ≤0,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞) 答案 D4.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0.若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .答案 (-∞,√2]5.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则f (32)= . 答案 1【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2020届浙江嘉兴、丽水基础检测,3)如图,函数f(x)(x ∈(-1,2])的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集为( )A.{x|-1<x ≤0}B.{x|0<x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2} 答案 C2.(2019浙江金丽衢联考,7)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x ∈D,存在y ∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H 函数”,下列为“H 函数”的是( ) A.y=sin xcos x+cos 2x B.y=ln x+e xC.y=2xD.y=x 2-2x答案 B3.(2020届浙江Z20联盟开学联考,6)已知函数f(x)={|x +2|-1,x ≤0,log 2x,x >0,若f(a)≤1,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-4]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-4,0)∪(0,2]D.[-4,2] 答案 D4.(2020届浙江杭州二中开学考试,9)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x ∈(0,2]时, f(x)=x+1x -94,若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-23,则m 的取值范围是( )A.(-∞,215] B.(-∞,163) C.(-∞,184] D.(-∞,194]答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共26分)5.(2019浙江台州一中、天台一中期中,11)已知f(x)=ax 3-a √x 3+2,则f(1)= ;若f(ln(log 32))=1,则f(ln(log 23))= . 答案 2;36.(2020届浙江丽水四校联考,13)将函数y=|12x -1|+|12x -2|+1的图象绕原点顺时针旋转角θ(0≤θ≤π2)后得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图象,则θ的取值范围是 . 答案 [0,π4)7.(2019浙江高考数学仿真卷(二),13)已知函数f(x)={log a (x +ax ),x >0,(a -1)x,x ≤0(a>0,a ≠1),若f(a)=-1,则a= ,若f(x)的值域为R,则a 的取值范围是 . 答案√5-12;(0,14]8.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)已知函数f(x)=√x +1√x -1,若存在x 1,x 2,…,x n ∈[116,1],使得f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n-1)=f(x n ),则正整数n 的最大值为 .答案 49.(2019浙江嵊州期末,17)已知函数f(x)={2|x|-a,x ≤1,-(x -a)2+a,x >1,当a=1时,不等式f(x)>x 的解集是 ;若关于x 的方程f(x)=0恰有三个实根,则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-13);(3-√52,2]∪(3+√52,+∞) 三、解答题(共15分)10.(2020届浙江杭州二中开学考试,22)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0时, f(x)=x-log 2[(12)x+1]+1. (1)求f(x)在R 上的解析式; (2)若x ∈[0,1],函数g(x)=2f(x)+1+m ·2x-2m,是否存在实数m 使得g(x)的最小值为14?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.解析本题考查函数的概念及性质;考查学生数学运算的能力和逻辑推理的能力;考查了数学运算的核心素养. (1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0. 不妨设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x-log 2[(12)-x +1]+1,所以f(x)=-f(-x)=x+log 2[(12)-x +1]-1=x+log 2(2x+1)-1.所以f(x)={x -log 2(2-x +1)+1,x ≤0,x +log 2(2x +1)-1,x >0.(2)分段函数化简得f(x)={2x -log 2(2x +1)+1,x ≤0,x +log 2(2x +1)-1,x >0,当x=0时, f(0)=0+log 2(20+1)-1=0满足,所以当x ∈[0,1]时, f(x)=x+log 2(2x+1)-1,所以g(x)=2x+log 2(2x +1)-1+1+m ·2x-2m=2x+log 2(2x +1)+m ·2x -2m=2x·(2x+1)+m ·2x-2m=(2x )2+(m+1)2x-2m,令t=2x∈[1,2],所以h(t)=t 2+(m+1)t-2m,所以函数g(x)在x ∈[0,1]上的最小值14即为函数h(t)在[1,2]上的最小值,函数h(t)的对称轴为t=-m+12. 当-m+12<1,即m>-3时,函数h(t)在区间[1,2]上是增函数,所以h(t)min =h(1)=2-m=14,解得m=74.当1≤-m+12≤2,即-5≤m ≤-3时,h(t)min =-8m -(m+1)24=14. 化简得m 2+10m+2=0,解得m=-5+√23或m=-5-√23. 因为-5+√23>-3,-5-√23<-5,所以此时m ∈⌀, 当-m+12>2,即m<-5时,函数h(t)在区间[1,2]上是减函数,所以h(t)min =h(2)=6≠14,故m ∈⌀,综上所述,存在实数m 为74,使得g(x)的最小值为14.。

(浙江专版)高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示限时集训理

(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x x －1－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )4．(2013·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg －x ，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－145．(2013·武汉模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1x ≥0，1xx <0，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－26．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋37．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]8．(2013·余姚模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________________．10．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________．11．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.12．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 013f 2 012＝________. 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．14．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．16．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．17．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．答案[限时集训(三)]1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B9．解析：要使函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．答案：(－∞，－1)∪(－1,1] 10．解析：∵x －4有意义， ∴x －4≥0，即x ≥4.又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)11．解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：1112．解析：令b ＝1，∵f a ＋1f a＝f (1)＝1，∴f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 013f 2 012＝2 012. 答案：2 012 13．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)．答案：(－1，2－1) 14．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]15．解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 16．解：(1)令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2.又因为f (1)＝0，故f (0)＝－2. (2)令y ＝0，则f (x )－f (0)＝x (x ＋1)，由(1)知，f (x )＝x (x ＋1)＋f (0) ＝x (x ＋1)－2 ＝x 2＋x －2.17．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0 ⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3| ＝－a 2－3a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。

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第01节函数及其表示
A基础巩固训练
1. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
故选B．
2. 如果且，则（）
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【解析】根据条件令，，得到，即，所以原式
等于，故选C.
3.【2017衡水中学月考】设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
映射g的对应法则
则f[g(1)]的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解析】由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，
由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.
4.【2017长春模拟】设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 【答案】3
2
【解析】由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1
＋12×log 22＝3
2
. 5.【2017唐山一中测试】已知函数f (x )＝ax 5
－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________.
【答案】0
B 能力提升训练
1. 设，定义符号函数，则下列正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
时，
，
时，，所以
，A 正确．故选A ．
2. 已知函数，若，则实数（）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】由题意，得
，
，解得
；故选C ．
3. 【2017三湘名校联盟三次大联考】已知且，函数满足
，，则（）
A. -3
B. -2
C. 3
D. 2
【答案】B
4.下列各个对应中,构成映射的是（）
【答案】B
【解析】按照映射的定义，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．在选项A中，前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应，故不符合映射的定义；在选项C 中，前一个集合中的元素2在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义；在选项D 中，前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义；只有选项B 满足映射的定义.
5.设集合是两个集合，①；②
；③
.则上述对应法则中，能构成到的映射的个数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
，由对应法则，中的任意元素在中
都有唯一确定的象．∴③能构成到的映射．∴能构成到的映射的个数为．故选：C．
C 思维拓展训练
1.已知函数的定义域为实数集，，则
的值为（）
A．-8 B．-16 C．55 D．101
【答案】A
【解析】令，得，则，所以，
，；故选A．
2.【2017安徽马鞍山二模】已知函数的图象关于点对称，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以函数得定义域为
，值域为，所以函数图象两渐近线方程为，，对称中心为
，所以，，故选B.
3.【2017江西4月质检】已知函数，若，则
等于（）
A. -3
B. -1
C. 0
D. 3
【答案】C
【解析】,所以，故选C.
4.已知函数，当时，，则实数的取值范围是_____．
【答案】
5.【2017北京丰台5月综合测试】血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确
．．．的个数是
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】A
点睛:本题考查根据图象识别信息的能力,属于中档题目.观察图象提供的信息,准确的获取信息是解题关键.由图象可得函数先增后减,在t=1时取到极大值,在血液浓度所对应的值超过最低中毒浓度时,会发生药物中毒,因此两次服药的间隔不能太小,需要看是否有两次药效之和超过最低值.。