新课标高考领航试卷理科数学
辽宁省沈阳市2022届高考数学领航考试二 理
"辽宁省沈阳市第二十中学2022届高三高考领航考试 二 数学（理）试题 "（第I 卷 选择题）一．选择题（每题5分，只有一个正确答案，共60分，将你所选答案，涂在答题卡上）1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=2、若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．12Ｄ．23、若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72{}n a 1010a =1070S =d =23-13-1323=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54⎪⎭⎫-⎝⎛31,322⎪⎭⎫-⎝⎛31,322⎪⎭⎫⎝⎛-31,322111A B C ∆222A B C ∆111A C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆f x '（）2221y x b -=l l10510352x 222(1)10x x k ---+=k k k k131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭()2sin (0)f x x ωω=>,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-ω5)1(-ax 3x2312ξξ22143x y +=2()2(0)y m px p -=>x m p m p m p {}n a {}n b q 11221,a b a b a ==≠n S {}n b n (,k m b a m k =2)11(1)k S m a -=-3(i b a i =)q {}n b {}n a q {}n b q ()11axx f x e x-+=-0a >()y f x =()0,1x ∈()1f x >a ABC ∆AE BC E BAC ∠BC 2ED EC EB =⋅BC ABC∆2BC =CE AC 4cos ρθ=θϕ=R ϕ∈ϕ53πϕ=x 21tx tx t ---≤t 1t =x R ∀∈t []1,1-32α β A BA ′B ′ A BCDE Q P A D CBOBD AC =2222)2,0,22(--=AQ 1)PB =-1cos ,6233AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>===⋅31arccos22)0,22,22(--=AD (0,0,3)PQ =-),,(z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AD n AQ n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02y x z x )2,1,1(--=n 322PQ n d n⋅==＝0，直线AB 的方程为： =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23） 因为点A 在抛物线上所以p 249=，89=p 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上（II ）： 假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上，由（I ）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=…①设A 、B 的坐标分别为（1,1）, （2,2）,则1,2是方程①的两根，1＋2＝22438k k +由2()2(1)y m px y k x ⎧-=⎨=-⎩ 消去得2()2kx k m px --=因为C 2的焦点(,)2pF m '在直线)1(-=x k y 上，所以(1)2p m k =-，即2kp m k +=代入②有2()22kp kx px -=即22222(2)04k p k x p k x -++= …………………③ 由于1,2也是方程③的两根，所以1＋2＝22(2)p k k +从而22834k k +＝22(2)p k k + 解得2228(43)(2)k p k k =++ ……………………④ 又AB 过C 1、、＼、、C 2的焦点，所以12121211()()(2)(2)2222p p AB x x x x p x x =+++=++=-+-， 则2212223124124()4.24343k k p x x k k +=-+=-=++ …………………………………⑤ 由④、⑤式得222228412(43)(2)43k k k k k +=+++，即42560k k --=．解得2 6.k =于是4.3k p ==因为C 2的焦点),32(m F '在直线1)y x =-上，所以26(1)3m =-∴m =m = 由上知，满足条件的m 、p存在，且m =m =43p =． 20．解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-，所以222n m q q q -=+++，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等，从而结论成立。
新高考理科数学试卷及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2 - 1B. y = -x^2 + 1C. y = 2x - 1D. y = x^3 - 3x2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像关于点(2, -1)对称，则f(x)的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 43. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/44. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + y^2 ≥ 2xyB. x^2 - y^2 ≥ 0C. x^2 + y^2 ≤ 2xyD. x^2 - y^2 ≤ 05. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 3^n - 2^n，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 3^nB. an = 2^nC. an = 3^n - 2^nD. an = 3^n + 2^n6. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项之和是（）A. 72B. 84C. 96D. 1087. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系是（）A. a > 0，b = 0，c > 0B. a < 0，b = 0，c < 0C. a > 0，b ≠ 0，c > 0D. a < 0，b ≠ 0，c < 08. 下列复数中，是纯虚数的是（）A. 2 + 3iB. 1 - 2iC. 3 + 4iD. -1 + 2i9. 在直角坐标系中，点P(a, b)关于直线y = x的对称点为P'，则P'的坐标是（）A. (b, a)B. (-a, -b)C. (a, -b)D. (-b, a)10. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径是（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为-2，则第5项与第8项的乘积是（）A. 48B. -48C. 96D. -9612. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在定义域内单调递增B. 数列{an} = n^2 + 1是等差数列C. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a > 0D. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若an > 0，则Sn > 0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在x=1时取得最小值，则该函数的对称轴方程为______。
全国统一高考数学试卷理科新课标Ⅲ
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国至生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份﹣．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第2224题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修41：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修44：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修45：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．∴an≠0．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，即（λ﹣1）an=λan﹣1，∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{an}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴an=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国至生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份﹣．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，对应的t值为9，代入可预测我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）s inx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第2224题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修41：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修44：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y ﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修45：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学+答案+全解全析纯word版(2020.6.15)
2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
金考卷—百校联盟—领航高考冲刺卷(理数答案)
平”的原则.
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题意可知乙CEF＝90°’乙CFE＝45°,EF＝
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理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
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新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)
绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。
领航教育2016届高三下学期第五次联考(新课标卷)数学(理)试题(PDF版,无答案)
2016届高三联考试卷(五)数学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={a2,l o g2a},Q={2a,b},若PɘQ={0},则PɣQ=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}2.已知条件p:x>1或x<-3,条件qʒx>a,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围是()A.aȡ1B.aɤ1C.aȡ-3D.aɤ-33.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是() x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=l o g2xD.y=l o g12x4.某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为13,则该几何体的俯视图可以是()5.已知曲线y=4x在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为17,则直线l的方程为()A.4x-y+9=0或4x-y+25=0B.4x-y+9=0C.4x+y+9=0或4x+y-25=0D.以上都不对6.如图是函数y=c o s(2x-5π6)在一个周期内的图象,则阴影部分的面积是()A.32-34B.32C.34D.547.甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次不同视为不同情形)共有()A.10种B.15种C.20种D.30种8.已知췍a,췍b是两个互相垂直的单位向量,且췍c㊃췍a=췍c㊃췍b=1,|췍c|=2,则对任意的正实数t,췍c+t췍a+1t췍b的最小值()A.2B.22C.4D.429.设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足fᶄ(x)<-f(x),对于任意的正数a,立的是()A.f(a)<e a f(0)B.f(a)>e a f(0)C.f(a)<f(0)e aD.f(a)>f(0)e a10.设x,yɪR,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.1211.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长F E交抛物线y2=4c x于点P,O为坐标原点,若ңO E=12(ңO F+ңO P),则双曲线的离心率为()A.1+52B.52C.1+32D.512.已知函数f(x)=12x2+2a x,g(x)=3a2l n x+b设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,则aɪ(0,+ɕ)时,实数b的最大值是() A.136e6B.16e6C.72e23 D.32e23第Ⅰ卷(选择题)答题表题号123456789101112答案第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在әA B C中,A=π3,A C=2,B C=3,则A B= .14.展开(a+b+c)6,合并同类项后,含a b2c3项的系数是.15.已知正项等比数列{a n}的公比q=2,若存在两项a m,a n,使得a m a n=4a1,则1m+4n的最小值为.16.已知f(x)为定义在(0,+ɕ)上的可导函数,且f(x)>x fᶄ(x),则不等式x2f(1x)-f(x)<0的解集为三㊁解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3a c o s2ωx2+12a s i nωx-32a的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与әA B C是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0ɪ(-103,23),求f(x0+1)的值.18.(本小题满分12分)商场销售的某种饮品每件成本为20元,售价36元.现厂家为了提高收益,对该饮品进行促销,具体规则如下:顾客每购买一件饮品,当即从放有编号分别为1㊁2㊁3㊁4㊁5㊁6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次,若三次取出的小球编号相同,则获一等奖;若三次取出小球的编号是连号(不考虑顺序),则获二等奖;其它情况无奖.(1)求某顾客购买1件该饮品,获得奖励的概率;(2)若奖励为返还现金,顾客获一次一等奖,奖金数是x元,若获一次二等奖,奖金是一等奖奖金的一半,统计表明:每天的销量y(件)与一等奖的奖金额x(元)的关系式y=x4+24.问:x 设定为多少最佳?并说明理由.19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P A B C中,әP A C和әP B C均是边长为2的等边三角形,A B=2,O,M,T分别是A B,P A,A C的中点.(1)若N是әP A C内部或边界上的动点,且满足O Nʊ平面P B C,在线段上;(2)求二面角P B C A的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=22,F是右焦点,A是右顶点,B是椭圆上一点,B Fʅx轴,|B F|=22.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线lʒx=t y+λ是椭圆C的一条切线,点M(-2,y1),点N(2,y2)是切线l上两个点,证明:当t㊁y变化时,以MN为直径的圆过x轴上的定点,21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+b l n(x+1),其中bʂ0.(1)当b=1时,求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当nɪN*,且nȡ2时证明不等式:l n[(12+1)(13+1) (1n+1)]+123+133+ +1n3>12-1n+1请考生在第22㊁23㊁24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分㊂作答时请写清题号㊂22.(本小题满分10分)如图,圆O的半径O B垂直于直径A C,M为A O上一点,B M的延长线交圆O于N,过N点的切线交C A的延长线于P.(1)求证:P M2=P A㊃P C;(2)若圆O的半径为23,O A=3O M,求MN的长.{a(t为参数),圆C的极坐标为ρ=42 23.(本小题满分10分)已知直线l的参数方程是x=2ty=4t+c o s(θ+π4).(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为2,求实数a的值.24.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|.(1)试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集,求实数a的取值范围.。
全国统一高考数学试卷理科新课标Ⅰ003
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．mD．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修41：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修44：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修45：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．mD．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20 ．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z ＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h （x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修41：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修44：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修45：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
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新课标高考领航试卷理科数学高三理科数学 第 2 页 共 29 页2012年新课标高考领航试卷数 学（供理科考生使用）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）题~第（24）题为选考题，其它题为必考题．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把锥体体积公式13V Sh=其中S 为底面积，h 为高 球的表面积公式、体积公式24R S π=、334R V π=球 其中R 为球的半径高三理科数学 第 3 页 共 29 页答题卡上对应题目的答案标号涂黑． （1）设非空集合P 、Q 满足P ⊆Q ，则（A ）∀x ∈Q ，有x ∈P （B ）∀x ∈P ，有x ∈Q（C ）∃x 0∉Q ，使得x 0∈P（D ）∃x 0∈P ，使得x 0∉Q（2）在等比数列}{na 中，若公比1>q ，且673=aa ，564=+a a ，则=75a a（A ）65 （B ）56（C ）23 （D ）32 （3）在空间中，下列命题正确的是（A ）若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面（B ）若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m（C ）若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β（D ）若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥高三理科数学 第 4 页 共 29 页（4）直线03=+y x 被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）32 （5）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（A ）x x y +=3（B ）x y 2log -= （C ）xy 3= （D ）xy 1-= （6） 在等差数列}{na 中，305=a，158=a，则65)1()1(-+-x x 的展开式中含4x 项的系数是该数列的（A ）第13项 （B ）第9项（C ）第7项 （D ）第6项 （7） 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y 2cos =的图象，则只要将)(x f 的图象（A ）向左平移6π个单位长度（B ）向右平移6π个单位长度高三理科数学 第 5 页 共 29 页（C ）向左平移12π个单位长度 （D ）向右平移12π个单位长度（8） 双曲线14222=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P是双曲线上一点，1PF 的中点在y 轴上，线段2PF 的长为34，则双曲线的实轴长为 （A ）223 （B ）23 （C ）3 （D ）6 （9） 抛物线xy=2与直线2-=x y 所围成的图形（图中阴影部分）的面积是 （A ）29 （B ）23 （C ）67 （D ）310解：用反面221(2)y y dy -+-=⎰29（10）已知P 、Q 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上关于原点对称的两点，M 是该椭圆上任意一点，且直线MP 、MQ 的斜率分别为1k 、2k ，若31||21=k k ，则椭圆的离心率为高三理科数学 第 6 页 共 29 页（A ）23 （B ） 21 （C ）36（D ）33（11）在右侧程序框图中，输入40=N ，按程序运行后输出的结果是 （A ）100 （B ）210 （C ）265 （D ）320 （12）若03.0log<a，则函数1|)12|1(---=xax y 的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：121,0()0,(0)0,()0,(1)0x x f x f f f ><→<><>高三理科数学 第 7 页 共 29 页第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上． （13）复数i x x z )1()1(2-+-=是纯虚数，则实数=x ；（14）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一a个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字=a；（15）下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是；（16）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，那么所有不同的放法的种数为_______．解：超自然分配掉3个白与3个黑。
其余的有组合∅∅∅∅∅∅∅∅ 3o 6o 6o o 3共18种。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说正侧俯高三理科数学第 8 页共 29 页高三理科数学 第 9 页 共 29 页明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=a ，7=b ，60=B ．（I ）求c 及△ABC 的面积S ； （II ）求)2sin(C A +． （18）（本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角 三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点．（I ）求证：DE ∥平面ABC ； （II ）求证：F B 1⊥平面AEF ；（III ）求二面角F AE B --1的余弦值． （19）（本小题满分12分）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．高三理科数学第 10 页共 29 页（I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；（II）求这名同学被该大学录取的概率．（20）（本小题满分12分）抛物线)0xC上一点)4,(m P到其焦点的距py2=p(:2>离为5．（I）求p与m的值；（II）若直线1l与抛物线C相交于A、B两:-y=kx点，l、2l分别是该抛物线在A、B两点处的切线，1M、N分别是1l、2l与该抛物线的准线交点，求证：+BNAM．|>42|（21）（本小题满分12分）已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(21)(2． （I ）若23=a ，求函数)(x f 的极值； （II ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2．（I ）求AC 的长；（II ）求证：BE ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知1|2|1<-x，1|2|2<-x． （I ）求证：6221<+<x x ，2||21<-xx ；（II ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．2012年新课标高考领航试卷高三数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）B （2）D （3）D （4）B（5）A （6）B（7）C （8）D （9）A （10）C （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）1- （14）1 （15）π8 （16）18三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分12分）解：（I ）方法1：由余弦定理2122472⨯⨯⨯-+=c c ， …………（2分） 0322=--c c ，3=c ，或1-=c ，取3=c ， …………（4分） △ABC 的面积S 233sin 21==B ac ； …………（6分）（II ）60,7,2===B b a ，2.60sin A =sin A ∴=∵ba <，∴角A 是锐角，∴772cos =A ， …………（8分） ∵AA C A C A +=++=+ 120)(2…………（10分）.1421sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=+=+∴A A A C A …………（12分）方法2：（I ）根据正弦定理CcA sin 60sin 7sin 2==，得721sin =A …………（2分）∵ba <，∴角A 是锐角，∴772cos =A ， …………（4分）∴14213sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C ，）∴360sin sin 7==Cc…………（6分） △ABC 的面积S 233sin 21==B ac ； …………（8分） （II ）∵A A C A C A +=++=+120)(2 …………（10分）.1421sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=+=+∴A A A C A…………（12分） 方法3：（I ）设AB 边上的高是AD ，在Rt △BCD 中，3,1==CD BD ，…（2分）在Rt △ACD 中，2=AD ，∴3=+==DB AD AB c ， …………（4分）△ABC 的面积S 23321=⋅=CD AB ；…………（6分） （II ）在Rt△ACD中，721sin =A ，772cos =A …………（8分）∵AA C A C A +=++=+ 120)(2…………（10分）.1421sin 21cos 23)120sin()2sin(=-=+=+∴A A A C A …………（12分）（18）（本小题满分12分）解：方法1：如图建立空间直角坐标系O —xyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0），B 1（4，0，4），D （2，0，2）， …………（2分）（I ）=→DE （2-，4，0），面ABC 的法向量为=→1OA （0，0，4），∵→DE 01=→⋅OA ，⊄DE 平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC ． …………（4分）（II ）)222()422(1--=→--=→，，，，，EF F B0)2()4()2(22)2(1=--+-+-=→→×××·EF F B 00)4(222)2(1=-++-=→→×××·AF F B …………（6分） ∴AF F B AF F B ⊥∴，⊥11→→ ∵AEF F B F FE AF 平面⊥∴，1= …………（8分） （III ） 平面AEF 的法向量为)422(1--=→，，F B ，设平面 B 1AE 的法向量为n x y z n AE n B A →=→→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪()，，，∴··01 即⎩⎨⎧=+=+02z x z y …………（10分）令x ＝2，则212(12-=→=-=，，∴，，n y z∴662496||||cos 111==→→→→=>→→<×··，F B n F B n F B n∴二面角B 1—AE —F 的余弦值为6 …………（12分） 方法2：（I ）方法i ：设G 是AB 的中点，连结DG ，则DG 平行且等于EC ， …………（2分）所以四边形DECG 是平行四边形，所以DE //GC ，从而DE ∥平面ABC ． …………（4分）方法ii ：连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP ．由E 为C 1C 的中点，A 1C 1∥CP ， 可证A 1E ＝EP ， …………（2分）∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC …………（4分）（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，…………（6分）设AB＝12AA=，则116,3,3B F EF B E===∴B1F⊥EF，∴F B1⊥平面AEF；…………（8分）（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，∵B 1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角，C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，在Rt△AEF中，可求10FM=，…………（10分）在Rt△B1FM中，∠B1FM＝90°，∴16cos B MF∠=∴二面角B1—AE—F的余弦值为6…………（12分）（19）（本小题满分12分） 解：（I）4,2=ξ， …………（2分）55.05.09.0)9.01()2(=⨯+-==ξP …………（3分）45.0)5.01(9.0)4(=-⨯==ξP…………（4分）（或45.055.01)4(=-==ξP ）9.245.0455.02=⨯+⨯=ξE …………（6分）（II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是1P 、2P ，则48.05.09.03.01.01=⨯+⨯=P …………（8分）243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02=⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯=P ………（10分）该同学被该校录取的概率=+21P P 0.723 …………（12分） （20）（本小题满分12分）解：（I ）根据抛物线定义，524=+p，解得2=p …………（2分） y x 42=，将)4,(m P 代入y x 42=，解得4±=m …………（4分） （II ）1:-=kx y l 带入y x 42=得0442=+-kx x ，016162>-=∆k ，12>k ，),1()1,(+∞--∞∈ k ， …………（5分） 设),(11`y x A ，),(22`y x B ，则k x x 421`=+，124x x =由2211442x y y x y x '=⇒=⇒=，所以抛物线在A 处的切线1l 的方程为211111()42y x x x x -=-，即2111124y x x x =-． 令1y =-，得21142M x x x -=．…………（6分）同理，得22242Nx x x -=．1x 、2x 是方程①的两个实根，故124x x =，即214xx =，从而有2221212114444822N Mx x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭====- …………（8分）)1,(11y x x AM m ---=，)1,(22y x xBN m----=，方法1：∵k x x 421`=+，242)(221`21`-=-+=+k x x k yy∴)(32)2()(||24221221k k y y x x +=++++=+，…………（10分）∵12>k ，∴24)(3224>+k k ，即244)444(||22221>-++=+xx BN AM ．…………（12分） 方法2：222212221222122121212221221221)44()44(412)()(442)2()(||xx x x x x y y y y x x x x y y x x AM ++++++=+++++++=++++=+，4)444(22221-++=xx…………（10分）∵||||21x x ≠，421=x x ，∴22||2||244212221=>+x x x x∴244)444(||22221>-++=+xx ． …………（12分）（21）（本小题满分12分） 解：（I ）()xx x x x x f 22522512+-=-+='， …………（2分）()0='x f ，得11=x，或22=x ，列表：函数)(x f 在21=x 处取得极大值2ln 87)21(-=f ， …………（4分）函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………（6分）（II ）方法1：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)310,2(1∈+x x ， （i ）当21≤+a ，即1≤a 时，()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………（8分）（ii ）当3101≥+a ，即37≥a 时， ()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数()3,1∈∀x ，()()01=<f x f 恒成立，不合题意 …………（10分）（iii ）当31012<+<a ，即371<<a 时， ()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，再递增，而()01=f ，∴()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 不能恒成立；综上，a 的取值范围是1≤a . …………（12分）方法2：∵2121=⋅≥+x x x x ，∴()a a xx x f -≥--+='111（i ）当1≤a 时，()01≥-≥'a x f ，而()a x x x f --+='11不恒为0，∴函数)(x f 是单调递增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立；…………（8分） （ii ）当1>a 时，令()x x a x x f 1)1(2++-='，设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <， ∵2121>+=+a x x ，121=x x ，∴2110x x <<< 当∈x ),(21x x 时，()0<'x f ，()x f 是减函数，∴)()1()(21x f f x f <<，而()01=f ，∴)(0)(21x f x f << …………（10分）若32≤x ，∵()3,1∈∀x ，()0>x f ，∴0)1()(2=>f x f ，不可能，若32>x ，函数)(x f 在()3,1是减函数，()0)1(3=<f f ，也不可能，综上，a 的取值范围是1≤a . …………（12分）方法3：()()41,1)1(22-+=∆++-='a x x a x x f（i ）当0≤∆，即13≤≤-a 时，函数()x f y =在()3,1上为增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； （ii ）当0>∆，即3-<a ，或1>a 时， ①若3-<a ，∵()3,1∈x ，∴()01)1(2>++-='x x a x x f()x f 在()3,1增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立；…………（8分）②若1>a ，由()0='x f ，得()()024112>-+±+=a a x 设()()()()411,4112221-+++=-+-+=a a x a a x，列表：∵任意的()3,1∈x ，()0>x f 恒成立，而()01=f ，∴⎩⎨⎧≥>0)3(11f x ，或12<x ，…………（10分）()()()11411241122<⇒-<-+⇒>-+-+a a a a a 与1>a 矛盾，()()124112<-+++a a ，也与1>a 矛盾，以上两式都与1>a 矛盾，对任意的()3,1∈x ，()0>x f 不能恒成立，综上，a 的取值范围是1≤a . …………（12分） （22）（本小题满分10分）解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………（2分）又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBAPAC ∆∆∴∽，ABACAC PC =∴， …………（4分）22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………（5分）（II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………（8分）2212=⋅=∴EF ，BEEF =∴． …………（10分） （23）（本小题满分10分） 解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分）02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分）（II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分）∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分） 方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………（8分） 圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分） （24）（本小题满分10分）证明：（I ）∵1|2|1<-x ，∴1211<-<-x ，即311<<x ， …………（2分）同理312<<x ，∴6221<+<x x ， …………（4分）∵|2||2||)2()2(|||212121-+-≤---=-x x x x x x ，∴2||21<-x x ；…………（5分）（II ）|1||||||)()(|212121222121-+-=+--=-x x x x x x x x x f x f ，…………（8分）∵6221<+<x x ，∴51121<-+<x x ， ∴||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<- …………（10分）。