专题六第一讲排列与组合二项式定理
排列组合与二项式定理
排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。
它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。
一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。
1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。
排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。
组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。
排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。
二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。
二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。
三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。
1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。
通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。
2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。
排列组合二项式定理
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
6 第1讲 排列与组合、二项式定理 公开课一等奖课件
2．排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Am n ＝n(n－1)(n－2)…(n－ n！ m m＋1)或写成 An ＝ . (n－m)！ (2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素 组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 数公式是 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m Cn ＝ m！ n！ m 或写成 Cn ＝ . m！(n－m)！
答案 16
探究提高
解决此类题目的难点在于根据谁来分类， 分
类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分类讨论 的对象和分类讨论的标准．
变式训练 1 将 1,2,3 填入 3×3 的方格 中，要求每行、每列都没有重复数字， 右面是一种填法，则不同的填写方法 共有 A．6 种 C．24 种 ( B ) B．12 种 D．48 种
专题六 概率与统计
第 1 讲 排列与组合、二项式定理 感悟高考 明确考向
x y 6 (2010· 安 徽 )( － ) 的 展 开 式 中 ， x3 的 系 数 等 于 y x ________．
解析 设含 x3 项为第(r＋1)项， r 6 r － y x 6－ r r r 6－ r r 2 y 则 Tr＋1＝Cr · ( ) · ( ) ＝ C · x · · ( － y ) ·x 2 ＝ 6 6 y x Cr x 6·
第三类， 没有任教的老师来自于只能任教 《矩阵与变换》 的 3 位老师中的一位， 则需从三门课都能任教的 2 位老 师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法； 第四类，没有任教的老师来自于只能任教《开关电路与 布尔代数》的 3 位老师中的一位，则需从三门课都能任 教的 2 位老师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法，故 共有 2＋2＋3×2＋3×2＝16（种）选法．
专题六 概率统计专题复习
专题六、概率统计 1、计数原理、二项式定理热点一 两个原理、排列与组合例１、从A ，B ，C ，D ，E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )．A ．24B ．48C ．72D ．120变式训练：1、若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4843、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 热点二 求展开式中的指定项例２、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________．变式训练：1、8的展开式中常数项为( )．A ．3516B ．358C ．354D ．1052、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为_________．3、在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－40热点三 求展开式中的各项系数的和例３、若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )．A ．1B ．－1C ．0D ．2变式训练：1、若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.2、若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.课外训练： 一、选择题1 ．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-2 ．用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ）A ．243B ．252C ．261D ．279 3 ．设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84 ．）()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．1685 ．满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．106 ． 10(1)x +的二项展开式中的一项是 （ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x7 ．使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．78 ．从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ）A ．9B ．10C ．18D ．209 ． (x 2-32x )5展开式中的常数项为 （ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40二、填空题10．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 11．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).12．从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)13． 6x⎛⎝ 的二项展开式中的常数项为______.14．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 15．设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =16．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.17．若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7,则实数a =______.18．6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).2、概率、统计与统计案例 热点一 随机事件的概率例１、如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．则V ＝0时的概率为_______变式训练：1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．A ．49B ．13C ．29D ．192、某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是14和p (0＜p ＜1)．若选手甲在A 区射击，则选手甲至少得3分的概率为_________ 热点二 古典概型与几何概型例２、设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．A ．π4B ．π－22C ．π6 D ．4－π4变式训练：1、在长为18 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )．A ．56B ．12C ．13D ．162、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X ，Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )．A ．16B ．536C ．112D ．123、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．A ．14B ．15C ．16D ．17热点三 统计例3、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )．A ．x 甲＜x 乙，m 甲＞m 乙B ．x 甲＜x 乙，m 甲＜m 乙C ．x 甲＞x 乙，m 甲＞m 乙D ．x 甲＞x 乙，m 甲＜m 乙变式训练：1、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )．A ．7B ．9C ．10D ．152、某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取各职称的人数分别为( )．A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,16 3、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩不比乙的成绩稳定 热点四 独立性检验例４、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩(百分制)的茎叶图如图所示：按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩． (1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：(2)能否有95%附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c变式训练：为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：K 2的观测值k ＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).课外训练： 一、选择题1、某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．602、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 3、某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 4、如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是( ) A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π5、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120 6、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样7、以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8二、填空题8、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)9、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.(I)直方图中x 的值为___________; (II)在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为___________.10、利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率为________ 11、从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________. 12、在区间[]3,3-上随机取一个数x ,使得121x x +--≥成立的概率为______.13、现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为______.三、解答题14、某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.3、随机变量及其分布列热点一 相互独立事件、互斥事件、对立事件及其概率例１、现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分至少1分的概率； （3）求该射手的总得分至多3分的概率.热点二 二项分布及其应用例2、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求p(ξ=3)和p(ξ<2)．热点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例3、交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．早高峰时段，从昆明市交通指挥中心随机1 7 92 0 1 53 0选取了二环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（1）据此估计，早高峰二环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（2）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．课外训练：1、某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y,求3X 的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?2、一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(2) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.3、经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,150≤X)100≤表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量X∈,则落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)取105X=的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T的数X=,且105学期望.。
排列、组合与二项式定理(理)
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0<m≤n），不考虑顺序，称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数
第1讲 排列与组合、二项式定理
第三类，没有任教的老师来自于只能任教《矩阵与变换》 的 3 位老师中的一位，则需从三门课都能任教的 2 位老 师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法； 第四类，没有任教的老师来自于只能任教《开关电路与 布尔代数》的 3 位老师中的一位，则需从三门课都能任 教的 2 位老师中选 1 位来补充，共有 3×2 种选法，故 共有 2＋2＋3×2＋3×2＝16（种）选法．
主干知识梳理
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类 加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干 步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原 理将各步的方法种数相乘．
2．排列与组合 (1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－ m＋1)或写成 Amn ＝(n－n！m)！. (2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素 组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 数公式是
当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8.
所以 T8 的系数＝C71412727＝3 432. (2)因为 C0n＋C1n＋C2n＝79，所以 n＝12 或 n＝－13(舍去)． 设 Tk＋1 项的系数最大．
因为12＋2x12＝1212(1＋4x)12， 所以CCk1k12244kk≥≥CCk1k1－＋22 1144kk－＋11 ，所以 9.4≤k≤10.4.
D．48 种
解析 由于 3×3 方格中，每行、每列均没
有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．
修改专题六 第一讲 排列与组合、二项式定理
专题六 概率与统计 第1讲 排列与组合、二项式定理 1、思维导图2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步； 3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质①C n m =C n n-m ；②r n r n r n C C C 11+-=+；③C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；④C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；考点一：两个原理及其应用【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？答案：180＋80＝260 【例2】． 6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种 答案：C ． 【变式训练】1.某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)． 答案 7 200 考点二：排列与组合【例4】(1)(2012·海淀一模)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 A ．12 B ．24C ．36D ．48(2)(2012·深圳模拟)值域为{2,5,10}，其对应关系为y ＝x 2＋1的函数的个数为 A ．1 B ．27 C ．39D ．8[答案] (1)D (2)B 【变式训练】2．(2012·宁波模拟)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A ．14 B ．24 C ．28 D ．48 答案 A3．(2012·银川模拟)用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A ．36B ．32C ．24D ．20 答案 D考点三：二项式定理【例5】(2012·安徽)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案：D【例6】(1)(2012·西城二模)(x －2)6的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答)．(2)已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．[答案] (1)－160 (2)－256 【规律总结】五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：(1)特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法；(5)最值问题不等式法． 【变式训练】4．(2012·武汉模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 4展开式中常数为________．答案 －45．(2012·山师附中模拟)二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．答案 π6或5π6 【押题1】 学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有________种． 答案：54【押题2】设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 4的展开式的常数项是 A ．24 B ．－24 C ．48D ．－48答案 A。
高中数学高考数学学习资料：专题6 第1讲 排列、组合、二项式定理
意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
[联知识 1．排列数公式： Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)＝ 2．组合数公式：
串点成面]
n！ . n－m！
m nn－1„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝ m＝ ＝ . Am m！ m！n－m！
3．组合数的性质：
m n－m m－1 m ①Cn ＝Cn ；②Cm n ＋Cn ＝Cn＋1.
[做考题
查漏补缺]
(2010· 四川高考)由1、2、3、4、5、6组成没有重复 数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A．72 C．108 B．96 D．144 ( )
[解析] 从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C1 3种方法，将 其余两个偶数全排列，有 A2 2种排法，当 1,3 不相邻且不与 5 相邻
2 2 时有 A3 种方法， 当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A A3种方法， 故满 3 2· 2 2 2 足题意的偶数个数有 C1 A2 (A3 A3)＝108 个． 3· 3＋A2·
[答案]
C
4．(2011· 临沂模拟)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人， 另一组1人，分赴2011年深圳世界大学生运动会的三个 不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字
解析：依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩 余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有 4 种；第二类，
2 剩余的是一本集邮册， 此时满足题意的赠送方法共有 C4 ＝6(种)． 因
此，满足题意的赠送方法共有 4＋6＝10(种)．
答案：B
[悟方法
触类旁通]
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一 步当中又可能用到分类计数原理． 2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示
数学中的排列组合与二项式定理
数学中的排列组合与二项式定理在数学中，排列组合和二项式定理是重要的概念和原理。
它们在解决问题、计算概率等方面起着重要的作用。
一、排列组合排列组合是数学中用来描述和计算对象排列和选择方式的概念。
排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列，而组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合。
1.1 排列排列是从一组对象中选取若干个进行有序排列的方式。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行排列，则排列的方式数用P(n,r)表示。
计算排列的方式数的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在数学竞赛中，求解一道题目需要按照一定的规则对给定的元素进行排列。
1.2 组合组合是从一组对象中选取若干个进行无序组合的方式。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
假设我们有n个不同的对象，要从中选取r个进行组合，则组合的方式数用C(n,r)表示。
计算组合的方式数的公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)组合通常用于解决计算概率、统计样本等问题。
比如在概率问题中，我们需要计算从一组给定的元素中选取若干个元素的所有可能组合的概率。
二、二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式表示如下：(a + b)^n其中，a和b是实数或者变量，n是非负整数。
二项式定理给出了展开(a + b)^n所得的多项式的各项系数。
二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
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专题六 概率与统计第1讲 排列与组合、二项式定理 自主学习导引真题感悟1．(2012·安徽)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析 第一个因式取x 2，第二个因式取1x 2得：1×C 15(－1)4＝5，第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2展开式的常数项是5＋(－2)＝3. 2．(2012·大纲全国卷)6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种解析 解法一 甲先安排在除开始与结尾的位置有C 14个选择，剩余的元素与位置进行全排列有A 55种，故不同的演讲次序共有C 14A 55＝480种．解法二 若不考虑元素甲的特殊性，共有A 66中演讲次序，其中甲在第一个演讲的有A 55种，甲在最后一个演讲的也有A 55种，故不同的演讲次序共有A 66－A 55－A 55＝480(种)．考题分析考查排列与组合的题目高考中多以小题的形式出现，与两个计数原理综合应用；二项式定理的问题常涉及展开式中项的系数，特定项的求法，也可与其他知识交汇命题，如定积分计算，数列知识，方程根的个数等．网络构建高频考点突破考点一：两个原理及其应用【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？[审题导引]颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法．[规范解答]如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知，有5×4×4＝80(种)不同涂法．由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．【规律总结】涂色问题的解决方法(1)涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理”计算．(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类，如果使用2种颜色，则只能是第1,4涂一种、第2,3涂一种，方法数是C25A22＝20；若是使用3种颜色，若第1,2,3方格不同色，第4个方格只能和第1个方格相同，方法数是C35A33＝60，如果第1,2,3方格只用两种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法数是C35×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法数是C45A44＝120.根据加法原理总的涂法种数是260.[易错提示]在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用“两个基本原理”分析解决问题．【变式训练】1．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.答案7 200考点二：排列与组合【例2】(1)(2012·海淀一模)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A．12 B．24 C．36D．48(2)(2012·深圳模拟)值域为{2,5,10}，其对应关系为y＝x2＋1的函数的个数为A．1 B．27 C．39 D．8[审题导引](1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论；(2)根据函数的值域，求出函数定义域中可能包含的元素，分类讨论确定其定义域．[规范解答](1)若选甲，则有A12A24种排法；若不选甲，则有A34种排法，则共有A12A24＋A34＝48(种)．(2)分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±3，由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：①取三个元素：有C12·C12·C12＝8(种)；②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12＝12(种)；③取五个元素：C56＝6(种)；④取六个元素：1种．由分类计数原理，共有8＋12＋6＋1＝27(种)．[答案](1)D(2)B【规律总结】排列、组合问题的解法解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论．哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．【变式训练】2．(2012·宁波模拟)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A．14 B．24 C．28 D．48解析选1名女生的方案有：C12C34种；选2名女生的方案有：C22C24种；故至少选1名女生共有：C12C34＋C22C24＝14种方案．答案A3．(2012·银川模拟)用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A．36 B．32 C．24 D．20解析0,1,2,3,4五个数字，偶数字相邻，奇数字也相邻的排法共有A33A22A22种排法，其中0在首位的排法有A22A22种，所以共有A33A22A22－A22A22＝20个五位数．答案D考点三：二项式定理【例3】(1)(2012·西城二模)(x－2)6的展开式中，x3的系数是________(用数字作答)．(2)已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．[审题导引](1)利用二项展开式的通项公式求解； (2)采用赋值法，分别求出a 0＋a 2＋a 4和a 1＋a 3＋a 5.[规范解答] (1)(x －2)6的展开式中通项公式为T r ＋1＝C r 6x6－r(－2)r ， 令r ＝3，得T 4＝C 36x 3·(－2)3＝－160x 3， 所以x 3的系数是－160. (2)分别令x ＝1、x ＝－1得 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0. a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝32，由此解得a 0＋a 2＋a 4＝16，a 1＋a 3＋a 5＝－16， (a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256. [答案](1)－160(2)－256 【规律总结】五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：(1)特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法；(5)最值问题不等式法． [易错提示] 在二项式定理问题中，常见的误区有： (1)二项展开式的通项T k ＋1中，项数与k 的关系搞不清； (2)二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式(a －b )n 或求特定项时，忽略中间的“－”号． 【变式训练】4．(2012·武汉模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 4展开式中常数为________．解析⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 4展开式中的通项为T r ＋1＝C r 4(－1)r x12－4r ， 令12－4r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝C 34(－1)3＝－4.答案 －4 5．(2012·山师附中模拟)二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．解析 (1＋sin x )n 的展开式中末尾两项的系数和为C n －1n ＋C n n ＝n ＋1＝7，∴n ＝6，则(1＋sin x )6的展开式中系数最大的一项为T 4＝C 36(sin x )3，∴C 36(sin x )3＝52，∴sin x ＝12. 又x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或5π6.答案π6或5π6名师押题高考【押题1】 学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有________种．解析 从4个班中选2个班游览甲景区，有C 24种选法，剩余的2个班各有3种选法，有32种选法，根据乘法原理知，C 24·32＝54. [押题依据] 两个计数原理、排列与组合是解决计数问题的工具，在高考试题中可能单独命题，以选择题或填空题的形式出现，也可能与概率统计相结合命题，难度中等或偏下【押题2】设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 4的展开式的常数项是 A ．24 B ．－24 C ．48 D ．－48解析a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cosx |π0＝2，∴4⎛⎫ ⎪⎝⎭＝411222x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的通项为 T r ＋1＝(－1)r C r 4x2－r ·24－r，令2－r ＝0，得r ＝2， ∴T 3＝(－1)2C 24·22＝6×4＝24. 答案A[押题依据] 二项展开式的通项公式的运用是高考考查的重点内容，一般用以求展开式中的特定项，以选择题或填空题的形式出现，本题与定积分交汇命题，立意新颖、考查全面，故押此题．。