2018青岛高三统一质量检测文科数学含答案

2018年青岛市高三统一质量检测数学（文科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|10}2101,{}A x x B =+<=--，，，，则 R ()A B = ð A ．{21}--，B ．{2}-C ．{101}-，，D ．{01}， 2．已知复数21z i=+（i 是虚数单位），则下列命题中错误的是 A ．2||=z B ．z 在复平面上对应点在第二象限 C ．1z i =+ D ．z 的虚部为1-3．已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为(0,2)F -，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为A ． 1322=-y xB ．1322=-y xC ．1322=-x yD ．1322=-x y4．为了得到函数3cos 2y x =-的图像，可以将函数26sin ()36y x π=-++的图像A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位5．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若643a a =，且94S a λ=，则λ的值为 A ．18 B ．20 C ．21 D ．25 6．A ．356 B ．5683π-C ．643D ．6483π-7．中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有 一道两鼠穿墙问题：“日相逢？”现用程序框图描述，如图所示， 则输出结果=nA ．2B ．3C ．4D ．5俯视图正视图侧视图8．函数1()ln ||1xf x x-=+的大致图像为9．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，12AA =，2AB AC BC ==，则三棱柱111C B A ABC -外接球的表面积为A ．π4B ．π6C ．π8D ．π12 10．已知1a b >>，则下列结论正确的为A ．aba b < B ．ln ln a b b a > C ．ln ln a a b b > D ．baa b < 11．函数)(x f 在),0[+∞上单调递减，且)2(-x f 的图像关于2=x 对称，若1)2(=-f ，则满足(2)1f x -≥的x 的取值范围是A ．]2,2[-B ．),2[]2,(+∞--∞C ．),4[]0,(+∞-∞D ．]4,0[12．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,P Q ，若APQ ∆的面积为4，则p 的值为 A ．2 B ．32C ．1D ．12A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量(4,2)a = ，向量(2,1)b k k =-- ，若||||a b a b +=-，则k 的值为 ； 14．已知实数x ,y 满足2210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ；15．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ7b =，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为___________万元；16．已知数列{}n a 满足：*12, 21(N )2, 2n n n n k a k n k-=-⎧=∈⎨=⎩，若数列{}n b 满足3n n b a =，数列{}n b 的前10项和为10S ，则3510632S -的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan cos cos )b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆的面积是a c +的值．18．（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，……，第八组[130,140]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图； （2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数； （3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2 名，求这2名学生的分数差的 绝对值大于10分的概率．19．（12分）如图，圆柱H 横放在底面边长为1的正六棱锥ABCDEF P -的顶点P 上，1O 和2O 分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥ABCDEF P -底面中心为O ，1PO =，N M 、分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点，G 是圆柱H 的底面2O 的最低点，P 为NG 中点，点1M O N 、、、A O 、、D G P 、、共面，点D P O 、、1共线，四边形ADGN 为矩形．（1）求圆柱H 的体积V ，并证明：//MG 平面PCD ； （2）作出点O 在平面PAB 上的正投影K ，并证明之．注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．B C20．（12分）已知椭圆1:222=+y ax C 和圆)1:222r a r y x D <<=+（，点B A 、在椭圆C上，点E 在圆D 上， ||AE 的最大值和最小值分别为5，1． （1）求椭圆C 及圆D 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，直线AB 的斜率等于2，若四边形OAEB 为平行四边形，求21k k +的值．21．（12分）已知函数()()x x f x ae a x e =--（0a ≥， 2.718e = ，e 为自然对数的底数），若0)(≥x f 对于R x ∈恒成立． （1）求实数a 的值；（2）证明：)(x f 存在唯一极大值点0x ，且010()4f x <<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）已知曲线12cos :sin 1x t C y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，24cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线3:(R)4C πθρ=∈．（1）求曲线12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若2C 上的点P 对应的参数2πα=，Q 为1C 上的点，求PQ 的中点M 到直线3C 距离d 的最小值．23．选修45-：不等式选讲（10分）设函数()|1||21|f x x x =-+-． （1）解不等式()34f x x >-；（2）若2()|1|65f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立，求m 的取值范围．2018年青岛市高三统一质量检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D A D C B C C D A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．3 15．85 16．9418三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分． 17. （本题满分12分）解：（1）tan cos cos )b B a C c A +∴由正弦定理得，sin tan cos sin cos )B B A C C A =+…………………………2分sin tan )B B A C B ∴+=…………………………………………………4分0,sin 0B B π<<∴≠tan B ∴=，3B π=………………………………………………………………………6分（2）11sin sin 223ABC S ac B ac π∆=== 12ac ∴=……………………………8分 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，2222()3b a c ac a c ac ∴=+-=+-……………………………………………………10分 22()3123648a c b ac ∴+=+=+=，a c ∴+=12分18．（本题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图知第七组的频率71(0.0040.0120.0160.030.020.0060.004)100.08f =-++++++⨯= …………2分直方图如图． ………………………………………………………………………………4分（2）成绩落在第一组的频率为0.004100.04⨯=； 成绩落在第二组的频率为0.012100.12⨯=； 成绩落在第三组的频率为0.016100.16⨯=；成绩落在第四组的频率为0.03100.3⨯=； 由于0.040.120.160.320.5++=<；0.040.120.160.30.620.5+++=>设该校的500名学生这次考试成绩的中位数为x ，则90100x <<……………………………………………………………………6分 ∴0.040.120.160.03(90)0.5x +++⨯-=96x =…………………………………………………………………………………………8分（3）第六组有学生：500.006103⨯⨯=人，分别记作123A A A ，，； 第一组有学生：500.004102⨯⨯=人，分别记作12B B ，．从中任取2人的所有基本事件为111221223132(,)(,)(,)(,)(,)(,)A B A B A B A B A B A B ，，，，，， 12132312(,)(,)(,)(,)A A A A A A B B ，，，，共10个．……………………………………………10分这2名学生的分数差的绝对值大于10分，表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：111221223132(,)(,)(,)(,)(,)(,)A B A B A B A B A B A B ，，，，，，所以从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，这2名学生的分数差的绝对值大于10分的概率为：63105P ==…………………………………………………12分 19．（本题满分12分） 解：（1） O 正六棱锥ABCDEF P -底面中心，PO ∴⊥底面ABCDEF ， P 为NG 中点, 四边形ADGN 为矩形，O 为AD 的中点，1PO =， //NA PO ∴，1NA PO ==，从而NA ⊥底面ABCDEF ，N M 、分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点，∴1O N ⊥底面ABCDEF ，从而1,,,M O N A 共线………………………………………………………………………1分 正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1，2AD ∴=， 四边形ADGN 为矩形，//NG AD ，且2NG AD ==P 为NG 中点，//NP AD ，且112NP AD ==∴在AD O 1∆中，NP 为AD O 1∆的中位线，从而N 为A O 1中点，所以11O N AN == …………………………………………………………………………3分 所以圆柱H 的体积2122V Sh ππ==⨯⨯=………………………………………………4分下面证明：//MG 平面PCD证明：因为P 为NG 中点，1O 为MN 中点，所以MG PO //1；又因为D P O 、、1共线，所以MG PD //；………………………………………………6分PD ⊂面PCD ，MG ⊄面PCD ，所以//MG 平面PCD ………………………………8分（2）取AB 中点Q ，连接PQ OQ 、；在POQ ∆中作PQ OK ⊥于K ，则K 为点O 在平面PAB 上的正投影 ……………9分 下面证明之：六棱锥ABCDEF P -为正棱锥，PA PB ∴=，从而AB PQ ⊥， 正六棱锥ABCDEF P -底面中心为O ，PO ∴⊥底面ABCDEFAB ⊂ 底面ABCDEF ，AB PO ∴⊥PO PQ Q = ，∴⊥AB 平面POQ ，OK ⊂ 平面POQ ，∴OK AB ⊥………………………………………………………11分PQ AB Q = ，⊥OK 平面PAB ，所以点O 在平面PAB 上的正投影为K …………………………………………………12分 20．（本题满分12分） 解：（1）由题知：r a AE r a -≤≤+，…………………………………………………2分15r a r a -=⎧∴⎨+=⎩，∴23==a r ， 所以，椭圆C 的标准方程：1422=+y x ；圆D 的标准方程：922=+y x ……………5分 （2）设直线AB的方程：2y x m =+由22142x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⇒223440x m ++-=………………………………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ，AB 的中点Q 坐标为00(,)x y ，由0∆>得23m <2121244,33m x x x x -∴+=-=12122)2,23my y x x m ∴+=++=00,,33m x y ∴=-=从而(,)33mQ -…………………………………………8分四边形OAEB 为平行四边形∴322OE OQ ==229()()334m -∴+=492=∴m ，满足0>∆……………………………………………………………………10分所以：121212121222x m x my y k k x x x x +++=+=+1212()m x x x x +=== …………………………………………12分21．（本题满分12分）解：（1）由()()0xxf x e ae a x =--≥可得：0)(≥--=x a ae xg x……………1分因为0)0(=g ，所以)0()(g x g ≥, 从而0x =是()g x 的一个极小值点，青岛市高三统一质量检测 数学（文科）试题 第11页（共12页）由于1)(-='x ae x g ,所以(0)10g a '=-=⇒1=a ……………………………………4分 当1=a 时,，x e x g x --=1)(1)(-='x e x g ,(,0),()0,()x g x g x '∈-∞<在(,0)-∞上单调递减；(0),()0,()x g x g x '∈+∞>，在(0)+∞，上单调递增；∴0)0()(=≥g x g ，故1=a ………………………………………………………………5分（2）当1=a 时，()(1)x x f x e x e =--，)22()(--='x e e x f x x .令()22x h x e x =--，则()21x h x e '=-(,ln 2),()0x h x '∈-∞-< ，()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数；(ln 2,),()0x h x '∈-+∞>，()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数由于0)2(,0)1(>-<-h h ,所以在)1,2--（上存在0x x =满足0)(0=x h ()h x 在(,ln 2)-∞-上为减函数，∴0,)x x ∈-∞（时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在0,)x -∞（上为增函数；0,ln 2)x x ∈-（时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 在0,ln 2)x -（上为减函数 因此)(x f 在(,ln 2)-∞-上只有一个极大值点0x ，.………………………………………7分 由于(0)0h =，且()h x 在(ln 2,)-+∞上为增函数∴ln 2,0)x ∈-（时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 在0,)x -∞（上为减函数； 0,)x ∈+∞（时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 在0,)+∞（上为增函数因此)(x f 在(ln 2,)-+∞上只有一个极小值点0，.综上可知：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0(2,1)x ∈--…………………………9分 0()0h x =，00220x e x ∴--= 所以00220000000222()(1)()()(1)224x x x x x x f x e x e x +++=--=-+=-，()1,20--∈x ， ()2,1x ∈--时，221044x x +<-<， ∴010()4f x <<……………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）由题曲线1C 的普通方程为22(2)(1)1x y -++= ∴1C 是以(2,1)-为圆心，半径为1的圆 ………………………………………………2分曲线2C 的普通方程为22116x y += ∴2C 是以原点为中心，焦点在x 轴上长轴为8短轴为2的椭圆………………………4分青岛市高三统一质量检测 数学（文科）试题 第12页（共12页） （2）当2πα=时，P 点坐标为(0,1)………………………………………………………5分 设(2cos ,sin 1)Q t t +-，所以PQ 中点M 的坐标为2cos sin (,)22t t + 又直线3C 的直角坐标方程为y x =………………………………………………………6分2cos sin |||2)|t t t d π+---∴=== ∴当sin()14t π-=时，d10分23．（本题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）由()34f x x >-可得：|1||21|34x x x -+->- ①当12x ≤时，原不等式可化为(1)(21)34x x x ---->-， 解得：1x >，∴不等式无解；………………………………………………………1分 ②当112x <≤时，原不等式可化为(1)2134x x x --+->- 解得：35x >，∴不等式解为315x <≤……………………………………………3分 ③当1x >时，原不等式可化为(1)2134x x x -+->- 解得：57x >，∴不等式解为1x >…………………………………………………4分 综上，原不等式解集为3{|}5x x > ……………………………………………………5分 （2）令()()|1|g x f x x =+- 为使2()|1|65f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立必须有2min ()65g x m m ≥- ……………………………………………………………6分 ()()|1|2|1||21|g x f x x x x =+-=-+- |22||12|x x =-+-|2212|1x x ≥-+-= …………………………………………………8分 2651m m ∴-≤ 解得：116m -≤≤………………………………………………………………………10分。