【名师推荐资料】2020年高中数学第一章数列 1.3 等比数列 1.3.2 第1课时等比数列的前n项和达标练习北师

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(部编版)2020学年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1.1习题精选北师大版必修

第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.{a n+1}B.C.{4a n}D.{}答案:A2.在等比数列{a n}中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,∴q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:在等比数列中,∵,∴n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列{a n}满足a n+1=4a n+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()A.{a n+6}B.{a n+1}C.{a n+3}D.{a n+2}解析:由a n+1=4a n+6可得a n+1+2=4a n+8=4(a n+2),因为a1>0,所以a n>0,从而a n+2>0(n∈N+),因此=4,故{a n+2}是等比数列.答案:D5.在等比数列{a n}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,得q3==8.所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.答案:D6.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()A. B.4 C.2 D.解析:∵a1,a3,a7为等比数列{b n}中的连续三项,∴=a 1·a7.设{a n}的公差为d,则d≠0,∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.∴公比q==2,故选C.答案:C7.(2017全国3高考)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析:设{a n}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.答案:-88.设数列{a n}是等比数列,公比q=2,则的值是.解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,∴.答案:9.已知数列{a n}满足a9=1,a n+1=2a n(n∈N+),则a5=.解析:由a n+1=2a n(n∈N+)知,数列{a n}是公比q==2的等比数列.所以a5=a1q4=.答案:10.若数列{a n}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列一定是数列(填“等差”或“等比”). 解析:设{a n}的公差为d,则解得于是a n=2n-1,从而=2·,设b n=2·,则,故一定是等比数列.答案:等比11.导学号33194017在等比数列{a n}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q=. 解析:∵a1a9=q8,a4a6=a1q3·a1q5=q8,∴a1a9=a4a6.可得方程组解得∴q2=或q2==4.∴q=±或q=±2.答案:-2,2,-12.在等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式.解(1)设{a n}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴a n=a1·q n-1=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{b n}的公差为d,则有解得∴b n=-16+12(n-1)=12n-28.13.导学号33194018已知关于x的二次方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.(1)试用a n表示a n+1;(2)求证:数列为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解因为α,β是方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根,所以又因为6α-2αβ+6β=3,所以6a n+1-3a n-2=0.所以a n+1=a n+.(2)证明因为a n+1=a n+⇒a n+1-a n-为常数,且a1-,所以为等比数列.(3)解令b n=a n-,则{b n}为等比数列,公比为,首项b1=a1-,所以b n=.所以a n=b n+.所以数列{a n}的通项公式为a n=.14.导学号33194019容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-.设操作n次后溶液的浓度是a n,则操作n+1次后溶液的浓度是a n+1=a n.所以{a n}构成以a1=1-为首项,q=1-为公比的等比数列.所以a n=,即第n次操作后溶液的浓度是.当a=2时,由a n=,得n≥4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。

「精品」高中数学第一章数列1.3.1.2等比数列的性质课件北师大版必修5

3．已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数．
解析：方法一：设三个数依次为 a，aq，aq2，由题意知aa·2a＋q·aa2qq22＝＋2a72q4＝91 ， ∴aa2q1＋3＝q22＋7 q4＝91 ，即aa2q＝1＋3 q2＋q4＝91 ，解得1＋qq22＋q4＝991，得 9q4－82q2＋9＝0，即得 q2＝9 或 q2＝19， ∴q＝±3 或 q＝±13，
第二课时等比数列的性质
学课前预习学案
[问题 1] 如何理解等比数列与指数函数的关系？ [提示] 等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1＝aq1·qn，当 q>0 且 q≠1 时，y＝qx 是一个指数函数．设 c＝aq1，则 an＝c·qn，等比数列{an}可以看成是一个指数型函数 y＝c·qx(c≠0，x∈N＋)．因此，从图像上看，等比数列{an}各项所对应的点是函数 y＝c·qx 图像上的一群孤立的点．
(2)由(1)可知，当 q＝1 时，bn＝0；当 q≠1 时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1， ∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．
等比数列的性质
在83和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的三个数的乘积．
[思路点拨] 先求公比q，把三个数用a1，q表示或利用性质求解．
解析： (1)由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)， ∴a1＝－12. 又 S2＝13(a2－1)，即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
(2)证明：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
a＝3 ⇒a2q12＋1＋q2＝91 ，

(部编版)2020学年高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2习题精选北师大版必修

3.2等比数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设{a n}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{a n}前7项的和为()A.63B.64C.127D.128解析:设公比为q(q>0),则1·q4=16,解得q=2(q=-2舍去).于是S7==127.答案:C2.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知,两式相减,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,则q==4.答案:B3.若数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a∈R,且a≠0),则此数列是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析:当n=1时,a1=S1=a-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-1)-(a n-1-1)=a n-a n-1=a n-1(a-1).当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a≠1时,该数列为等比数列.答案:C4.公比q≠-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.=S3·S9C.S3+S6-S9=D.=S3(S6+S9)解析:由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得=S3(S6+S9).答案:D5.已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析:设{a n}的公比为q.由9S3=S6知q≠1,于是,整理得q6-9q3+8=0,所以q3=8或q3=1(舍去),于是q=2.从而是首项为=1,公比为的等比数列.其前5项的和S=.答案:C6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S6=4S3,则a4=.解析:设等比数列{a n}的公比为q,很明显q≠1,则=4·,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.答案:37.已知lg x+lg x2+…+lg x10=110,则lg x+lg2x+…+lg10x=.答案:2 0468.已知在等比数列{a n}中,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=.解析:设数列{a n}的公比为q,由a2=2,a5=a2q3=,得q=,∴a1==4.∵=q2=为常数(n≥2),∴数列{a n a n+1}是以a1a2=4×2=8为首项,以为公比的等比数列,∴a1a2+a2a3+…+a n a n+1=(1-4-n).答案:(1-4-n)9.(2017北京高考)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n-1.(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.10.导学号33194023已知等差数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b n}的前三项.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设T n=+…+(n∈N+),求T n.解(1)设d,q分别为等差数列{a n}的公差、等比数列{b n}的公比,由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3得2,2+d,4+2d,∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2.∵a n+1>a n,∴d>0,∴d=2.∴a n=2n-1(n∈N+).由此可得b1=2,b2=4,b3=8,∴q=2.∴b n=2n(n∈N+).(2)∵T n=+…+=+…+,①∴T n=+…+,②由①-②得T n=+…+,∴T n=1+=3-=3-.B组1.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则下列一定成立的是()A.若a3>0,则a2 017<0B.若a4>0,则a2 016<0C.若a3>0,则S2 017>0D.若a4>0,则S2 016>0解析:若a3>0,则a3=a1q2>0,因此a1>0,当公比q>0时,任意n∈N+,a n>0,故有S2 017>0,当公比q<0时,q2 017<0,则S2 017=>0,故答案为C.答案:C2.已知数列前n项的和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项的和是()A.(2n+1-1)B.(2n+1-2)C.(22n-1)D.(22n-2)解析:由S n=2n-1知当n=1时,a1=21-1=1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,当n=1时也适合,∴a n=2n-1.∴奇数项的前n项和为S n=(4n-1)=(22n-1).答案:C3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列{a n}的公比为.解析:由S1,2S2,3S3成等差数列知4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),整理得3a3-a2=0,∴,则数列{a n}的公比为.答案:4.设数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则x101+x102+…+x200=.解析:由lg x n+1=1+lg x n,得lg x n+1=lg(10x n),即=10.故x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100×100=10102.答案:101025.已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:∵x2-5x+4=0的两根为1和4,又{a n}为递增数列,∴a1=1,a3=4,q=2.∴S6==63.答案:636.导学号33194024数列{a n}的前n项和记为S n,a1=t,点(S n,a n+1)在直线y=3x+1上,n∈N+.(1)当实数t为何值时,数列{a n}是等比数列;(2)在(1)的结论下,设b n=log4a n+1,c n=a n+b n,T n是数列{c n}的前n项和,求T n.解(1)∵点(S n,a n+1)在直线y=3x+1上,∴a n+1=3S n+1,a n=3S n-1+1(n>1,且n∈N+),a n+1-a n=3(S n-S n-1)=3a n,∴a n+1=4a n,n>1,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,∴当t=1时,a2=4a1,数列{a n}是等比数列.(2)在(1)的结论下,a n+1=4a n,a n+1=4n,b n=log4a n+1=n,c n=a n+b n=4n-1+n,T n=c1+c2+…+c n=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=.7.导学号33194025设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n,数列{a n}为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.解(1)由b n=2-2S n,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=.当n≥2时,由b n=2-2S n及b n-1=2-2S n-1,可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即.所以{b n}是以为首项,为公比的等比数列,于是b n=.(2)由数列{a n}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,可得a n=3n-1.从而c n=a n·b n=2(3n-1)·,所以T n=2,①T n=2. ②①-②得,T n=2=2=,T n=.。

高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1第1课时等比数列的概念和通项公式高一数学

解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中 x 可能为 0，故③不一定是等比数列．
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【例 2】已知数列的首项 a1＝5，前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1 ＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)，证明{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
解：设所求的三个数分别为 a－d，a，a＋d，则由题设，得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9. 解此方程组，得ad＝＝52，，或ad＝＝5－，10.
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∵所求的三个数均为正数， ∴ad＝＝－ 5，10 不合题意，舍去． ∴所求的三个数分别为 3,5,7.
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解法二：设四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(a≠0)，
由已知得2aqqa＋－aa＝＋1a2q＝16
，
解得aq＝＝82
a＝3 或q＝13
，
∴所求的四个数为：0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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解法三：设四个数分别为 x，y,12－y,16－x，由条件知xy＝＝04 或xy＝＝195 ，故所求四数为：0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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类型二等比数列的通项公式及应用
【例 3】在等比数列{an}中， (1)若 a4＝27，q＝－3，求 a7； (2)若 a2＝18，a4＝8，求 a1 和 q； (3)若 a5－a1＝15，a4－a2＝6，求 a3. 【思路探究】
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高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.2等比数列的前n项和课件北师大版必修5

��
综上可知,S8=255 或 S8=
255 . 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二等比数列前n项和的性质的应用【例2】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 分析:用求和公式直接求解或用性质求解.
解法一:∵S2n ≠2Sn,∴q ≠1.
��1 (1-�� ) = 48,① 1-�� 由题意得 �� (1-��2�� ) 1 = 60.② 1-�� ② 5 1 , 得1+qn= , 即qn= . ③ 4 4 ① ��1 把 ③代入①,得 = 64, 1-�� 1 (1-��3�� ) 1 ∴S3n= 1-�� = 64 × 1- 3 4
=
63 , 4
∴q= 2. ∵an=a1q ,即 8×
n-1
=
�� = 6.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由 S6≠2S3,知 q≠1,由题意,得
��1 (1-��3 ) 7 = , ① 1-�� 2 ��1 (1-��6 ) 63 = , ② 1-�� 2
当 a4=-8 时,a6-a4=24,∴a6=16, �� ∴q2= 6=-2,无解.故 q=±2.
4 当 q=2 时,a1= 3 =1,
��4 ��4
��1 (1-��8 ) ∴S8= =255; 1-�� 4 当 q=-2 时,a1= 3 =-1, �� 1 (1-��8 ) 255 ∴S8= = . 3 1-��

高中数学第一章数列1.3.2等比数列前N项和教案北师大版必修5

信息技术应用分析学习目标情感、态度与价值观知识与技能过程与方法知识与技能过程与方法知识与技能情感、态度与价值观知识与技能过程与方法媒体内容与形式视频电子白板（时钟计时器）电子白板（特效交互功能）电子白板（移动、智能笔、特效交互功能）电子白板（特效交互功能、钢笔）使用方式教师播放教师演示教师演示教师演示学生操作学生操作演示设计意图温故知新，形成对知识的整体感知。媒体来源下载教师制作教师制作
教材分析
学情分析
三维目标
知识与能力理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程，掌握公式的特点，
1
并在此基础上能简单的应用公式. 过程与方法在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化学生思维品质．情感态度与价值观通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美及学好数学的必要性. 教学重难点教学重点等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用．教学难点由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式教法与学法知识点课程导入创设情境揭示课题讲练结合，演示法，讨论学习
归纳公式
教师制作
课堂练习
教师制作批注
师生活动（一）温故知新问题 1：在前面的学习中我们了解了一般数列的研究方法，并对一个特殊的数列等差数列进行了深入研究；请同学们回顾研究等差数列的过程，思考我们研究了等差数列的哪些问题？接下来我们研究等比数列也要从这四个方面进行研究，我们已经学习了等比数列的定义、通项公式、性质，今天我们继续研究等比数列的前 n 项和。（二）问题引入想一想，你需要知道关于这个数列的哪些信息，就可以告诉我它的前 n 项

高中数学第一章数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时数列求和习题课达标练习5

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————1.3.2 第2课时数列求和习题[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14 B ．512 C.34D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－112＝12－112＝512，故选B.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n－n C ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________．解析：a n ＝2n－12n ＝1－12n ，所以S n ＝n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164，所以n ＝6. 答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2x ＋ln 3x ＋…＋ln 10x ＝________．解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2. 从而ln x ＋ln 2x ＋…＋ln 10x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋；(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2，所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n－1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n－n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________．解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋ [4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)．答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数.设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2.n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0. 因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝（2n －1）×2n＋12.。

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件第1章数列 1.3.3 第1课时等比数列的前n项和

1
1
+…+ -1
8
2
−
2-1
2 +1
1
2
= +
1
2
1-
1 -1
2
1
12
所以 Sn=3-
1
2 -2
−
−
2-1
2 +1
=
1
1 -1
+1- 2
2
2-1
2+3
=3.

2
2
−
2-1
2 +1
3
2
= −
1
2 -1
−
2-1
.
2 +1
规律方法错位相减法求和的解题策略
(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组
2
2
等比数列的各项相乘得到的数列,可以采用错位相减法求和.
解设
1
Sn=2
1
1
则2Sn=4
3
4
+ +
3
8
+ +
1
1
①-②,得 Sn=
2
2
5
2-1
+…+
,

8
2
5
2-3
+…+ 2
16
+
2
4
2
+
8
+
+
①
2-1
,
2 +1
2
2
+…+
16
2
②
−
2-1

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1.3.2 第1课时等比数列的前n 项和[A 基础达标]1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…的前n 项和为( )A ．1＋a （1－a n －1）1－11aB ．1－a n1－aC.a n ＋1－1a －1D ．以上皆错解析：选D.当a ＝1时，S n ＝n ，故选D.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选C.设{a n }的公比为q ，因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，所以q ＝2，又a 1＝1，所以S 4＝1－241－2＝15，故选C.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3解析：选A.因为S 3＋3S 2＝0，所以a 1（1－q 3）1－q ＋3a 1（1－q 2）1－q＝0，即(1－q )(q 2＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：选A.法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝（S 6－S 3）2S 3＝18.故选A.法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝18.故选A. 5．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40D ．30解析：选C.因为S 30≠3S 10，所以q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q＝10，a 1（1－q30）1－q＝130，所以q 20＋q 10－12＝0.所以q 10＝3，所以S 20＝a 1（1－q 20）1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．解析：因为在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，所以a 1（1－43）1－4＝21，所以a 1＝1.所以a n ＝4n －1.答案：4n －17．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋ (2)－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －28．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2. 又a 1＋a 2＋a 3＝a 11－q(1－q 3)＝1，所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q [1－(q 3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11.答案：119．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．10．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6，所以(1＋d )2＝1×(1＋5d )，所以d 2＝3d ，因为d ≠0，所以d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1＝4，故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k1－4＝4k－13.令4k－13＝85，即4k＝256，解得k ＝4.故正整数k 的值为4.[B 能力提升]11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1qn －2，a 1qn －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2，又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.12．已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和S 奇为8514，所有偶数项之和S 偶为17012，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S 偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[1－（q 2）5]1－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2. 所以S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：58513．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以c (c >0)为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2＋a 4＋…＋a 2n . 解：由条件知S 1＝a 1＝1.(1)①当c ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2⇒a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，0，n ≥2.②当c ≠1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，（c －1）c n －2，n ≥2. (2)①当c ＝1时，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝0；②当c ≠1时，数列是以a 2为首项，c 2为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝（c －1）（1－c 2n）1－c 2＝c 2n－11＋c. 14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6；因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7. (2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n，因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又 A 8＝780－210×（34）8－68＝824764>80，A 9＝780－210×（34）9－69＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新．。