2021年全国高考数学猜题试卷(学生版+解析版)(理科)
2021年高考押题数学试题(全国II卷)(理)(终极押题卷)(解析版)
半径，从而可得球表面积． 【详解】
设圆锥母线为 l ，底面半径为 r ，
则
2
l
r
l
2
1 3
2 3
3
，解得
l r
3 1，
如图， ABC 是圆锥轴截面，外接圆 O 是球的大圆，设球半径为 R ，
cos ABC r 1 sin ABC 2 2
l 3，
3，
2R l 3 9 2
sin ABC 2 2 4 R 9 2
【答案】D
【解析】
根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果．
【详解】
y=cos|2x|是偶函数，A 错；
y=|sinx|是偶函数，B 错；
(
2x)
y=sin 2
=cos2x 是偶函数，C 错；
(3 2x)
y=cos 2
=-sin2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期 T=π，D 正确．
，
T9
1
1 210 1
1022 1023
．
故选：C．
x2
8．设双曲线
y2 4
1的左、右焦点分别为 F1, F2 ，若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则
PF1 PF2 的取值范围是（ ）
A． (4 2,6)
【答案】D
B． (6,8)
C． (4 2,8)
D． (6,10)
【解析】
0
，
所以 5a 12a 13a ，即13b 13a ，
所以 b a .
综上所述， a b 2 .
故选：A.
12．若数列
an
的前
n
项和为
Sn
bn
，
2021年全国统一高考数学试卷(新高考全国Ⅱ卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B ＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（）A．1B．2C．2D．44．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D．6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等7．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(学生版+解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M ＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |13≤x ≤5}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |0＜x ≤13}B ．{x |13≤x ＜4}C ．{x |4≤x ＜5}D ．{x |0＜x ≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．（5分）已知（1﹣i ）2z ＝3+2i ，则z ＝（ ） A ．﹣1−32iB ．﹣1+32iC ．−32+iD ．−32−i4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．（5分）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（ ）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√136．（5分）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A ﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A '，B '，C '满足∠A 'C 'B '＝45°，∠A 'B 'C '＝60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A 'B 'C '的高度差AA '﹣CC '约为（ ）（√3≈1.732）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（5分）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．4511．（5分）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考理科数学实战猜题卷 全国卷版【答案】
2021年高考理科数学实战猜题卷全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：B解析：由题意知集合{}2|1{1038}B x x n n A ==-∈=-，，，，，则{}03P A B ==，，所以P 的子集有224=(个)，故选B. 2.答案：D 解析：由222i (1i)z -=+，得22i 2i z -=⋅，得1i1i iz -==--，故选D. 3.答案：B解析：由题意，得30150015001000n=⨯+，解得50n =.故选B.4.答案：B解析：易得函数()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，2e e ()()x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，排除A ；1(1)e e 0f -=->，∴排除D ；()()24ee 2e )'e (xx x x x x f x x --+--=3(2)e (2)e x xx x x --++=，2x ∴>时，)'(0f x >，∴排除C.故选B. 5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，目标函数3z x y =+可化为133z y x =-+，作出直线13y x =-并平移，由图可知当直线经过点(2,0)时，在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值2，无最大值.故选C.解析：若乙是第一名，则乙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若丙是第一名，则乙说的是真话，因此乙是第一名，矛盾；若丁是第一名，则丙说的是真话，因此丙是第一名，矛盾；若甲是第一名，经验证符合题意，则第一名是甲.故选A. 7.答案：B解析：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥P ABC -，易求得11111222ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，11122APC S AC AP =⋅=⨯△，11122PBC S BC BP =⋅=⨯△，由AP BP ==，AB =1132222PABS AB ==△，所以该几何体的各个面中PAB △的面积最大，为32.8.答案：D解析：由题意得2艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇的组建方法有122532C C A 60⋅=种，2艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇的组建方法有222532C C A 60⋅=种，由分类加法计数原理可知共6060120+=种组建方法，故选D. 9.答案：A解析：因为偶函数()f x 在区间()1-∞-，上单调递增，所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递减.因为33log e log 20>>，所以3311log e log 2<，2ln 3log 3<，即12a b <<-<，又112211log log 254c =>=，所以1a b c <<-<，又()2()()log 3f b f b f =-=，所以()()()f a f b f c >>.故选A.解析：如图所示，设线段AB 的中点为()00P x y ，，分别过A P B ，，三点作准线l 的垂线，垂足分别为''A Q B ，，，由题意得''4AA BB AB +==，'22'AA BB PQ +==.又018PQ y =+，0128y ∴+=，0158y ∴=.11.答案：B解析：对于①，()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，故①正确；对于②，因为πππ1sin 12232f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2f ⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的最大值，故②错误；对于③，把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数π()sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选B. 12.答案：C解析：法一：如图，取点E ，F 分别满足13AE AB =，2AF AC =，连接EF ，则123AD AB AC AE AF αβαβ=+=+.因为1αβ+=，所以点D 在直线EF 上，当且仅当AD EF ⊥时，||AD 取得最小值，此时，设AC b =，因为sin 3sin C B =，所以由正弦定理得33AB AC b ==.又90A =︒，所以AF AE EF AD ⋅=⋅，即AE AF AD EF ⋅=，得FD ，所以1sin sin 21sin sin 2ABDACDAB AD BADS AB BAD S AC DAC AC AD DAC ⋅∠∠===∠⋅∠△△33sin 33cos 2AD AFD AD AF FD AFD FD AF ⋅∠====∠，故选C.法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.由sin 3sin C B =，得||3||AB AC =，所以可设1(0)C ，，(30)B ，，()D x y ，，又123AD AB AC αβ=+，所以()(30)2(01)(2)3x y αβαβ=+=，，，，，所以2x y αβ=⎧⎨=⎩，又1αβ+=，所以220x y +-=，所以点D 为直线220x y +-=上的点.过点A 作直线220x y +-=的垂线，当垂足为D 时，||AD 取得最小值，此时直线AD 的方程为12y x =，由12220y xx y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，得4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即4255D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，此时332ABD D ACD D S y S x ==△△. 二、填空题 13.答案：12解析：由题意得2(42)+=a b ，，因为(1)λ=c ，，(2)+c a b ，所以124λ⨯=，即12λ=. 14.答案：3解析：设AB 的中点为E ，连接1ED ，则易知11BE C D ，11BE C D =，∴四边形11EBC D 是平行四边形，11BC ED ∴，1AD E ∴∠为直线1AD 与1BC 所成的角.四边形ABCD 是正方形，BA AD ∴⊥，1DD ⊥底面ABCD ，1BA DD ∴⊥，又1AD DD D =，BA ∴⊥平面11AA D D ，1BA AD ∴⊥，1AED △是直角三角形.设11122DD AB A B a ===，则1AD，13ED a =，111cos AD AD E ED ∴∠==15.答案：1解析：不妨设点P 在双曲线右支上.由双曲线的定义可得12PF PF -=又12PF PF +=1PF =2PF =又124F F =， 所以2221212PF PF F F +=，即12PF F △为直角三角形，所以1212112PF F S PF PF ==△. 16.答案：(116)，解析：()af x x x=+，222'()1a x a f x x x -∴=-=.当0a 时，对任意的()14x ∈，，()0'f x >，此时，函数()y f x =在区间()14，上单调递增，函数()y f x =在区间()14，上没有最小值；当0a >时，令()22'0x af x x -==，可得x =当0x <<时，)'(0f x <，当x )'(0f x >，此时，在()0+∞，上函数()y f x =的最小值点为x由题意可得14<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是(116)，. 三、解答题17.解析：(1)因为()122n n n n a a a +-=，所以12(1)n n n a a n++=， 得121n n a an n+=⋅+.…………………………………………………2分 设nn a b n=，则12n n b b +=. 因为0n a ≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=.…………………………………………………4分 又1111a b ==，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故12n nn a b n-==，()1*2n n a n n -=⋅∈N .…………………………………………………6分 (2)由(1)可知135235n na n n n-+-=+-，…………………………………………………8分 故()()()01123152325235n n S n -=+⨯-++⨯-+++-()0112223(12)5n n n -=+++++++-237212nn n -=+-.…………………………………………………12分18.解析：(1)在三棱锥D ABC -中， 因为CD BC ⊥，CD AC ⊥，AC BC C =，所以CD ⊥平面ABC .又AE ⊂平面ABC ，所以AE CD ⊥，…………………………………………………2分 因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又BC CD C =，所以AE ⊥平面BCD .又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .………………………………………5分 (2)由(1)可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以π4DEC ∠=，故1CD CE ==. 如图，作EFCD 交BD 于点F ，由(1)知EA EB EF ，，两两垂直，以E 为原点，EA EB EF，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，则()000E ，，，()100A ，，，()010B ，，，()011D -，，， 易知平面BCD 的一个法向量1(100)=n ，，，………………………………………………7分 又(110)AB =-，，，(111)AD =--，，， 设平面ABD 的法向量为2()x y z =n ，，， 则220AB x y AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩n n ， 令1x =，得2(112)=n ，，，…………………………………………………9分所以121212cos ⋅==⋅n n n n n n ，由图可知该二面角为锐角， 所以二面角A BD C --…………………………………………………12分19.解析：(1)由题意得451000450n =，解得100n =.………………………………………2分 (2)补充完整的22⨯列联表为…………………………………………………4分22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关.………………………………………………6分 (3)从45名女生中按照分层抽样的方法随机抽取9名女生，所以这9名女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”.则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则4449C 1(0)C 126P X ===，135449C C 10(1)C 63P X ===，225449C C 10(2)C 21P X ===， 315449C C 20(3)C 63P X ===，4549C 5(4)C 126P X ===，…………………………………………9分所以X 的分布列为1101020520012341266321631269EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分 20.解析：(1)由已知得，2c =，2b =，则2228a b c =+=，所以椭圆E 的方程为22184x y +=，…………………………………………………2分离心率c e a =…………………………………………………3分 (2)x 轴上存在定点()20M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………4分 理由如下：将y kx m =+代入22184x y +=，得222()8x kx m ++=，化简得()222214280k x kmx m +++-=. 由()()222(4)421280km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+.…………………………………………………6分设()00P x y ，，则022821km kx k m-==-+，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==， 故84,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()14Q y -，，则14y k m =-+，所以(44)Q k m --+，.………………………………9分 设(0)M t ，，则()()200184(2)(2) 0kMP MQ x t y t y t t m⋅=-⋅--=+++=，，，得2t =-. 所以x 轴上存在定点(20)M -，，使MP MQ ⊥.………………………………………12分21.解析：(1)()f x 的定义域为(0)+∞，，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-. (i)若2a，则()0f x '，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0)+∞，单调递减.…………………………………………………2分(ii)若2a >，令()0f x '=得，x =或x =当20a a x ⎛⎛⎫+∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<； 当x ⎝⎭时，()0f x '>. 所以()f x 在20aa ⎛⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， 在⎝⎭单调递增.…………………………………………………5分 (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12x x ，满足210x ax -+=，所以121x x =， 不妨设12x x <，则21x >.…………………………………………………7分 由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.……………………………………9分 设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0)+∞，单调递减，又()10g =，从而当1()x ∈+∞，时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.……………………………………12分 22.解析：（1）直线l 的极坐标方程是π6θ=，化为直角坐标方程为y .…………………………………………………1分由2cos sin x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得曲线C的普通方程为22(2)(1x y -++=，即22460x y x +-++=，…………………………………………………3分 根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C的极坐标方程为24cos sin 60ρρθθ-++=.………………………………5分 （2）因为直线10:l θθ=与直线l 垂直， 所以直线1l 的一个极坐标方程为5π()3θρ=∈R .……………………………………………7分 将5π3θ=代入曲线C的极坐标方程，得214602ρρ⎛-⨯+⨯+= ⎝⎭， 即2560ρρ-+=，解得12ρ=，23ρ=，因为||||OM ON >，所以||3OM =.…………………………………………………10分 23.解析：（1）令210x +=，得12x =-，令30x a +=，得3ax =-.易知当132a -=-时，不合题意.当132a -<-，即32a >，…………………………………1分当12x >-时，()1f x x a =-+-；当132a x --时，()51f x x a =---； 当3ax <-时，()1f x x a =-+.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-=，解得9a =.…………………………………………………3分若132a ->-，即32a <，当12x <-时，()1f x x a =-+；当123ax --时，()51f x x a =++； 当3ax >-时，()1f x x a =-+-.故当3a x =-时，()f x 取得最大值，且max 2()153f x a =-+=，解得6a =-.综上，a 的值为9或6-.…………………………………………………6分 （2）因为0a >，所以9a =， ()|21||39|f x x x =+-+， 831()51032182x x f x x xx x ⎧⎪+<-⎪⎪=----⎨⎪⎪-->-⎪⎩，，，，…………………………………………………8分 由|()|5f x >得|8|53x x +>⎧⎨<-⎩或|510|513 2x x -->⎧⎪⎨--⎪⎩或|8|512x x -->⎧⎪⎨>-⎪⎩， 解得13x <-或112x -<-或12x >-. 故不等式|()|5f x >的解集为(13)(1)-∞--+∞，，.………………………………10分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科)解析版
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C. 考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n==，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C考点：程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．（9）若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237 cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(14) ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数1234≥5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.B（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．（21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数x x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作 DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos ,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为15或15-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。
精品解析：2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则ðU( A ⋃B) =（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：A ⋃B ={-1, 0,1, 2}，则ðU(A B)={-2, 3}.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当=-时，cos 2= cos ⎛-⎫> 0，选项B错误；6 3 ⎪ ⎝⎭当=-时，cos 2= cos ⎛-2⎫< 0，选项A错误；3 3 ⎪⎝⎭由在第四象限可得：sin< 0, cos> 0，则sin 2= 2 sin cos< 0，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 + 1600 - 1200 = 900，故需要志愿者900= 18名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，设S n为{a n }的前n项和，由题意可得S3n -S2n =S2n -S n + 729，解方程即可得到n，进一步得到S3n. 【详解】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，a n = 9 + (n - 1) ⨯ 9 = 9n，设S n为{a n }的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n , S2n -S n , S3n -S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n -S2n =S2n -S n + 729，即3n(9 + 27n)-2n(9 +18n)=2n(9 +18n)-n(9 + 9n)+ 7292 2 2 2即9n2 = 729，解得n 9，所以S3n=S27=27(9 + 9 ⨯ 27)= 3402.2故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离为（）A.55B.2 55C.3 55D.4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a, a ), a > 0，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a, a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x -a)2+(y -a)2=a2.-2 5n n 2 ⋅ (1- 2 ) n 1 m +n m n k +1 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2， 可得 a 2 - 6a + 5 = 0，解得 a = 1或 a = 5， 所以圆心的坐标为(1,1)或(5, 5)， 圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离均为 d == 2 5； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离为 2 5. 5故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{a }中， a = 2， a = a a ，若a + a ++ a = 215 - 25，则 k =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】取 m = 1，可得出数列{a n }是等比数列，求得数列{a n }的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 k 的等式，由 k ∈ N *可求得 k 的值.【详解】在等式 a= a a 中，令 m = 1，可得a = a a = 2a ，∴ a n +1 = 2，m +n m n n +1 n 1 nn所以，数列{a }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，∴ a + a+ + a=a k +1 ⋅ (1- 210 ) k +110= = 2k +1 (210 -1) = 25 (210 -1)，k +1k +2k +101- 2 1- 2∴ 2k +1 = 25，则k +1 = 5，解得k = 4.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力， 属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）k +2 k +10 aA.E【答案】A【解析】B.FC.GD.H【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，D1D4上的点在正视图中都对应点M,直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3 D4,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点D4在侧视图中对应的点为E.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O为坐标原点，直线x =a与双曲线C :x2-y2= 1(a > 0, b > 0)的两条渐近线分别交于D, E两点，若a2 b22ab 16 A ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 - y 2=> >y = ± b xx = a因为C :a21(a b 20, b 0)，可得双曲线的渐近线方程是a，与直线联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED |，根据A ODE 的面积为8，可得 ab 值，根据2c = 2，结合均值不等式，即可求得答案. x 2 y 2【详解】C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴双曲线的渐近线方程是 y = ± bxa x = ax 2 - y 2 = > >直线与双曲线C : a2 1(a b20, b 0)的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a⎪ ⎧x = a联立⎨ y = b x，解得⎨ y = b ⎩⎪a⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a联立⎨ y = - b x，解得⎨ y = -b ⎪⎩a⎩故 E (a , -b )∴ | ED |= 2b∴ A ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82x 2 y 2双曲线C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴其焦距为 2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8故选：B.a 2 +b 2a 2 +b 2 21 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9.设函数 f (x ) =ln | 2x +1- |ln | 2x -1| ，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在( , +∞)单调递增 B. 是奇函数，且在 21 1 , )单调递减2 2C. 是偶函数，且在(-∞, - 1)单调递增D. 是奇函数，且在(-∞, - 1)单调递减2 2【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈ ⎛ - 1 , 1 ⎫2 2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用函数单调性的性质可判断出 f (x )单调递增，排除B ；当 x ∈ ⎛-∞, - ⎫2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用复合函数单调性可判断出 f (x )单调递减，从而得到结果.【详解】由 f (x )= ln 2x +1 - ln 2x -1得 f (x )定义域为⎧x x ≠ ± 1 ⎫，关于坐标原点对称，⎨2 ⎬ ⎩⎭又 f (-x )= ln 1- 2x - ln -2x -1 = ln 2x -1 - ln 2x +1 = - f (x )， ∴ f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当 x ∈ ⎛ - 1 ,1 ⎫时， f (x ) = ln (2x +1)- ln (1- 2x )， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭Q y = ln (2x +1)在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增， y = ln (1- 2x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递减，2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ f (x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增，排除B ；2 2 ⎪ ⎝ ⎭当 x ∈ ⎛ -∞, - 1 ⎫时， f (x ) = ln (-2x -1)- ln (1- 2x ) = ln 2x +1 = ln ⎛1+ 2 ⎫，2 ⎪2x -1 2x -1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= 1+ 2 在⎛ -∞, - 1 ⎫上单调递减， f () = ln 在定义域内单调递增， 2x -1 2 ⎪ ⎝ ⎭根据复合函数单调性可知： f (x )在⎛-∞, - 1 ⎫上单调递减，D 正确.(-2 ⎪ ⎝⎭3R 2 - r 23 9 3 a - 2 a 24 9 - 9 44 - 3 4故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f -(x ) 与 f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“ 同增异减”性得到结论. 10.已知△ABC 是面积为9 34 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）3 A. B.2C. 1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和A ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和A ABC 外接圆半径 r，由球的性质可知所求距离 d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4R 2 = 16，解得： R = 2. 设A ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ，A ABC 是面积为 9 3的等边三角形，1 22 2 ∴ a ⨯ =，解得：a = 3，∴ r = ⨯ = ⨯ 2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离 d = 3 3= = 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11.若2x - 2y < 3- x - 3- y ，则（ ）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D. ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】R 2- r 25 i =1 将不等式变为2x - 3- x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3- x - 3- y 得： 2x - 3- x < 2y - 3- y ， 令f (t ) = 2t - 3-t ，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3- x 为 R 上的减函数，∴ f (t )为 R 上的增函数，∴ x < y ，Q y - x > 0，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0，则A 正确，B 错误；Q x - y 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2 a n 满足 a i ∈{0,1}(i = 1, 2,)，且存在正整数 m，使得 a i +m = a i (i = 1, 2,)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 a i +m = a i (i = 1, 2,)的最小正整数 m m C (k ) = 1 ma a(k = 1, 2, , m - 1)为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列a 1a 2 a n ， ∑ i =1i i + k是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C (k ) ≤ 1(k = 1, 2, 3, 4)的序列是（ ）5A. 11010 【答案】CB. 11011C. 10001D. 11001【解析】【详解】由a i +m = a i 知，序列 a i 的周期为m ，由已知， m = 5，1 5C (k ) =∑a i a i +k , k = 1, 2, 3, 4i =1对于选项A ，1 51 1 1 1C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 0) = ≤i =1 5 51 51 1 2C (2) = 5 ∑a i a i +2 = 5 (a 1a 3 + a 2a 4 + a 3a 5 + a 4a 6 + a 5a 7 ) = 5 (0 + 1 + 0 + 1 + 0) = 5，不满足；对于选项B ，m2 2 2i =1 i =1 1 51 1 3C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 1 + 1) = 5，不满足；对于选项D ，1 51 1 2C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 1) = 5，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.→ →【详解】由题意可得： a ⋅ b = 1⨯1⨯ cos 45 =，2⎛ → → ⎫ →由向量垂直的充分必要条件可得： k a - b ⎪ ⋅ a = 0，⎝ ⎭→2即： k ⨯ a → →- a ⋅ b = k -= 0，解得： k =. 22故答案为：2．2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【答案】36 【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.3 3 8 +4 3343 ⎨⎪2 (sin + sin ) = 1 【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有： C 2=6现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： A 3= 6 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 ⨯ 6 = 36种故答案为： 36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数 z 1， z 2满足|z 1|=|z 2 |=2， z 1 + z 2 =+ i ，则| z 1 - z 2 |=.【答案】 2【解析】【分析】令 z 1 = 2 cos + 2 sin ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，根据复数的相等可求得coscos + sin sin= - 1，代入复数模长的公式中即可得到结果. 2【详解】z 1 = z 2 = 2，可设 z 1 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，∴ z 1 + z 2 = 2 (cos + cos )+ 2 (sin + sin )⋅ i =+ i ，∴ ⎧⎪2 (cos + cos ) =⎩3，两式平方作和得： 4 (2 + 2 coscos + 2 sin sin) = 4，化简得： coscos + sin sin= - 12∴ z 1 - z 2= = 2 (cos - cos )+ 2 (sin- sin)⋅ i== = 2.故答案为： 2.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题. 16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.34 (cos - cos)2+ 4 (sin - sin )28 - 8(cos cos + sin sin)p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是.① p1 ∧p4② p1 ∧p2③⌝p2 ∨p3④⌝p3 ∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点A在平面内，同理，l3与l2的交点B也在平面内，所以，AB ⊂，即l3 ⊂，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m ⊥平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l ⊂平面，∴直线m ⊥直线l，3cos A == - ∈ ( )⎪ ⎪ 命题 p 4为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4为真命题， p 1 ∧ p 2为假命题，⌝p 2 ∨ p 3为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力， 属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. A ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求A ABC 周长的最大值.2【答案】（1） 3；（2） 3 + 2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得 A ；（2）利用余弦定理可得到( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9，利用基本不等式可求得 AC + AB的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得： BC 2 - AC 2 - AB 2 = AC ⋅ AB ，AC 2 + AB 2 - BC 21 ，2 A C ⋅ AB22A 0,，∴ A =. 3（2）由余弦定理得： BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB 2 + AC ⋅ AB = 9， 即( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9.⎛ AC + AB ⎫2AC ⋅ AB ≤ （当且仅当 AC = AB 时取等号），2 ⎝ ⎭22⎛ AC + AB ⎫23 2 ∴9 = ( A C + AB ) - AC ⋅ AB ≥ ( A C + AB ) - = ( A C + AB )，24 ⎝ ⎭∴33 2 ∑ i = 12020( x - x ) ( y - y )2 i∑ 2ii =1∑ ∑ ∑ - x ) = 80， ∑（y ∑ ∑ 解得： AC + AB ≤ 2（当且仅当 AC = AB 时取等号），∴A ABC 周长 L = AC + AB + BC ≤ 3 + 2 ，∴AABC 周长的最大值为3 + 2.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野 20生动物的数量，并计算得xii =120 = 60， y i i =120 = 1200， （x i i =1202i i =1- y )2= 9000，20（（x i- x ) i =1y i- y ) = 800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；附：相关系数r =∑（ i =1i - x ) y i - y )=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 r =20( x i - x )( yi- y )i =1 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.n 3 ∑（ i =1ni - x ) 2∑ i ny - y ) 2i =12020 i i =1∑( y i- y )i =180 ⨯ 90002 2 i =1∑+= x y 1 201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i= 20⨯1200 = 60， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i )的相关系数为20(x i- x )( y i- y ) r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力， 是一道容易题. 19.已知椭圆C 1： xa 2y 2 b21(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B4两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |= 3|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1） 1；（2） C2 2 : + =， C : y 2 = 12x .2136 2712【解析】【分析】（1）求出 AB 、 CD ，利用 CD = 4 3AB 可得出关于 a 、c 的齐次等式，可解得椭圆C 1的离心率的值；Cx 2 y 2 CC（2）由（1）可得出 1的方程为4c2+ 3c2= 1，联立曲线 1与2的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 MF = 5可求得c 的值，进而可得出C 1与C 2的标准方程.2⎪ ⎪ ⎩⎩⎩【详解】（1）F (c , 0)， AB ⊥ x 轴且与椭圆C 1相交于 A 、 B 两点，则直线 AB 的方程为 x = c ，⎧x = c⎪ x 2 y 2 x =c 2联立⎪ + = 1，解得⎪ b 2， 则AB = 2b ，⎨ a 2b 2 ⎨ y = ±a⎪⎩a 2 = b 2 + c2 ⎩a抛物线C 2 2⎧x = c 的方程为 y = 4cx ，联立⎨ y 2 = 4cx ，⎧x = c 解得⎨ y = ±2c ，∴ CD = 4c ，CD = 4 3 AB ，即4c = 8b 2 3a， 2b 2 = 3ac ，即2c 2 + 3ac - 2a 2 = 0，即2e 2 + 3e - 2 = 0，Q 0 < e < 1，解得e = 1，因此，椭圆C 的离心率为 1；212 Cx 2y 2（2）由（1）知 a = 2c ， b = 3c ，椭圆 1的方程为+ = 1，4c 23c 2⎧ y 2 = 4cx 联立⎪ x 2y 2，消去 y 并整理得3x 2 +16cx -12c 2 = 0，⎨ + = 1 ⎪ 4c 23c 2解得 x = 2c 或 x = -6c （舍去），3由抛物线的定义可得 MF = 2 c + c = 5c = 5，解得c = 3. 3 3⎧yx2 2因此，曲线C1的标准方程为+=1，36 27曲线C2的标准方程为y2 = 12x.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.10【解析】【分析】（1）由M , N分别为BC，B1C1的中点，MN //CC1，根据条件可得AA1 / / BB1，可证MN //AA1，要证平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN，只需证明EF ⊥平面A1 AMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在B1C1截取B1Q =EP ，由（1）BC ⊥平面A1AMN，可得∠QPN为B1E与平面A1AMN所成角，即可求得答案.【详解】（1）M , N分别为BC，B1C1的中点，∴MN //BB1又AA1 / / BB1∴MN //AA1在A ABC中，M为BC中点，则BC ⊥AM又侧面BB1C1C为矩形，∴BC ⊥BB1MN //BB1MN ⊥BC由MN ⋂AM =M，MN , AM ⊂平面A1 AMN∴BC ⊥平面A1AMN又B1C1 //BC，且B1C1 ⊄平面ABC，BC ⊂平面ABC，∴B1C1//平面ABC又B1C1 ⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F ⋂平面ABC =EF∴B1C1/ / EF∴EF //BC又BC ⊥平面A1AMN∴EF ⊥平面A1AMNEF ⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN （2）连接NP3 3 3AO //平面 EB 1C 1F ，平面 AONP ⋂平面 EB 1C 1F = NP ∴ AO //NP根据三棱柱上下底面平行，其面 A 1 NMA ⋂平面 ABC = AM ，面 A 1 NMA ⋂平面 A 1B 1C1 = A 1 N∴ ON //AP故：四边形ONPA 是平行四边形设A ABC 边长是6m ( m > 0)可得： ON = AP ， NP = AO = AB = 6mO 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1边长为6m∴ ON = 1⨯ 6 ⨯ sin 60︒ = 3m3故： ON = AP = 3mEF //BC∴ AP = EP AM BM∴= EP 3解得： EP = m在 B 1C 1截取 B 1Q = EP = m ，故QN = 2mB 1Q = EP 且 B 1Q //EPQN 2+ PN 22 10m10 3 3821 1∴四边形 B 1QPE 是平行四边形，∴ B 1E //PQ由（1）B 1C 1 ⊥平面 A 1 AMN 故∠QPN 为 B 1E 与平面 A 1 AMN 所成角在 Rt △QPN ，根据勾股定理可得： PQ = == 2 10m∴sin ∠QPN =QN= PQ 2m = 1010∴直线 B E 与平面 A AMN 所成角的正弦值： . 10【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明： f (x ) ≤；3n （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤. 4n【答案】（1）当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增，当 x ∈ ⎛2⎫时， f '(x )< 0, f (x )⎪, ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 3 ⎭单调递减，当 x ∈⎛ 2 ⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.3 , ⎪⎝ ⎭【解析】【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即 可 ； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得f (x ) = ⎡⎣sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 22x sin 4x )(sin2 2n -1x sin 2n x )sin 2 2n x ⎤⎦ 3(2m )2+ (6m )23 3 3 3 33 3 8⎣ ⎦ ⨯ ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： f (x )= 2 s in 3x cos x ，则： f '(x ) = 2 (3sin 2 x cos 2 x - sin 4 x ) = 2 s in 2 x (3cos 2 x - sin 2 x ) = 2 sin 2 x (4 cos 2 x -1) = 2 sin 2 x (2 cos x +1)(2 cos x -1)， f '(x ) = 0在 x ∈ (0,)上的根为： x 13, x 2= 2， 3 当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增，3 ⎪⎝ ⎭x ∈ ⎛2⎫当, ⎪时， f '(x ) < 0, f (x )单调递减， ⎝ 3 3 ⎭当 x ∈ ⎛ 2 ⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增.3 , ⎪ ⎝ ⎭(2)注意到 f (x +) = sin 2 (x +)sin ⎣⎡2 (x +)⎤⎦ = sin 2x sin 2x =故函数 f (x )是周期为的函数，f (x )，结合(1)的结论，计算可得： f (0) = f () = 0，⎛⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 2⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 3 ⎫ f 3 ⎪ = 2 ⎪ 2 = 8， f 3 ⎪ = 2 ⎪ ⨯ - 2 ⎪ = - 8， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭据此可得： ⎡⎣ f (x )⎤⎦max= ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭， ⎡ f (x )⎤ = - 3 3， min8即 f (x ) ≤.(3)结合(2)的结论有：sin 2 x sin 2 2x sin 2 4x sin 2 2n x2= ⎡⎣sin 3 x sin 3 2x sin 34xsin 3 2nx ⎤⎦ 32= ⎣⎡sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 2 2x sin 4x )(sin 2 2n -1 x sin 2n x )sin 2 2nx ⎤⎦3 2 ≤ ⎡sin x ⨯ 3 3 ⨯ 3 3 ⨯ ⨯ 3 3 ⨯ sin 2 2nx ⎤ 3⎢ 8 8 8 ⎥⎣ ⎦3 3 8 =⎪ ⎩ 2 2 2 ⎡⎛ 3 3 ⎫n⎤ 3⎛ 3 ⎫n≤ ⎢⎪ ⎥ = 4⎪ ⎢⎣⎝ 8 ⎭ ⎥⎦⎝ ⎭【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 c os 2 ⎪ t22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1： ⎨ y = 4 s in 2 （θ为参数），C 2： ⎨ 1（t 为参数）. ⎩ ⎪ y = t -⎩ t（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）C 1 : x + y = 4； C 2 : x 2 - y 2= 4；（2） = 17 cos . 5【解析】【分析】（1）分别消去参数和t 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 + sin 2 = 1得C 1的普通方程为： x + y = 4；⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2C 2 2由⎨ 1得： ⎨ ，两式作差可得 1 2的普通方程为： x - y = 4. ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎩⎪ t ⎪⎩ t 2⎧x = 5⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ ⎪ y =3 ⎝ ⎭ ⎩ 2⎪2 2 22设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0，⎛ 5 ⎫2⎛ 3 ⎫217∴17则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a =， 所求圆的半径r =， 1010⎝⎭ ⎝⎭∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫22217所求圆的直角坐标方程为： x -10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ⎝⎭ ⎝ ⎭∴所求圆的极坐标方程为= 17cos .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数 f (x ) = x - a 2+ | x - 2a +1|.（1）当 a = 2时，求不等式 f (x )… 4 的解集；（2）若 f (x )… 4，求a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3或 x ≥11⎫；（2） (-∞, -1] [3, +∞).⎨⎬ ⎩⎭【解析】【分析】（1）分别在 x ≤ 3、3 < x < 4和 x ≥ 4三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 f (x ) ≥ (a -1)2，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当 a = 2时， f (x )= x - 4 + x - 3. 当 x ≤ 3时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4，解得： x ≤ 3；2当3 < x < 4时， f (x )= 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4，无解； 当 x ≥ 4时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4，解得： x11；2综上所述： f (x )≥ 4的解集为⎧x x ≤ 3或 x ≥ 11⎫.⎨⎬ ⎩⎭（2）f (x ) =x - a 2+ x - 2a +1 ≥ (x - a 2 )- (x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且仅当222a -1 ≤x ≤a2时取等号），∴(a-1)2≥4，解得：a≤-1或a≥3，∴a的取值范围为(-∞, -1][3, +∞).【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A（全国新课标1卷） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ） （A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2021年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版 参考答案
2021年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版答案以及解析一、选择题 1.答案：A解析：因为{}2|56032{|}A x x x x x x =−+>=><或，{}{}|10|1B x x x x =−<=<，所以{}|1A B x x =<I .故选A. 2.答案：C解析：由题意得32i z =−−，其在复平面内对应的点为(32)−−，，位于第三象限.故选C. 3.答案：B解析：设正方形ABCD 的边长为2，则其内切圆半径1212r =⨯=，外接圆半径12R ==22π1π2r P R ==.故选B. 4.答案：B解析：211log 1344f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭3=时，36x =.又()f x 在(02)，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数，所以使1()4f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围是1364⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选B. 5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则22mmS S =，与题中条件矛盾，故1q ≠.()()2121111911m mm m m a q S q q S a q q−−==+=−−Q ，8m q ∴=.2121115181m m m m m a a q m q a a q m −−+====−Q ，3m ∴=，38q ∴=，2q ∴=.故选B. 6.答案：C解析：法一：如图，连接111A C BC ，，则F 是11A C 的中点，因为E 为1A B 的中点，所以1EFBC .连接1DC ，则Q 是1DC 的中点，又P 为1A D 的中点，所以11PQAC ，于是11A C B ∠或其补角是异面直线EF 与PQ 所成的角.易知11A C B 是正三角形，所以11π3A C B ∠=，所以异面直线EF 与PQ 所成角的大小是π3，故选C.法二：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(101)P ，，，(011)Q ，，，(211)E ，，，(112)F ，，，则(110)PQ =−，，，(101)EF =−，，.设异面直线EF 与PQ 所成的角为π02θθ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，，则||11cos 2||||22EF PQ EF PQ θ⋅===⨯，所以π3θ=，故选C.7.答案：D解析：将函数2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，可得函数2πsin 223y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再根据得到的图象关于y 轴对称，可得2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，即ππ212k ϕ=−，k ∈Z ，令1k =，可得正数ϕ的最小值是5π12，故选D. 8.答案：B解析：模拟执行程序框图，01S i ==，，此时条件不成立，得到212S =⨯=，2i =；此时条件不成立，得到2226S =+⨯=，3i =；此时条件不成立，得到62312S =+⨯=，4i =；此时条件不成立，得到122420S =+⨯=，5i =；此时条件不成立，得到202530S =+⨯=，6i =；此时条件成立，输出30S =.结合选项可知判断框中可填“6i ？…”，故选B. 9.答案：D解析：法一：由题知14DP DC =uu u r uuu r，则()AP AB AB AD DP AB AD AB DP ⋅=⋅+=⋅+⋅=uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r2111||||cos60||431610424AB AD AB +=⨯⨯+⨯=︒uu u r uuu r uu u r .故选D.法二：如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(00)A ，，(40)B ，，32D ⎛ ⎝⎭，3CP PD =uu r uu u r Q ，1DP ∴=，522P ⎛∴ ⎝⎭，，522AP ⎛∴= ⎝⎭uu u r ，，(40)AB =uu u r ，，540102AP AB ∴⋅=⨯=uu u r uu u r .故选D.10.答案：C解析：24y x =Q ，∴焦点(10)F ，，准线:1l x =−，过焦点F1:1)l y x =−，将其与24y x =联立消去y ，解得3x =或13x =(舍去)，故(3A ，||4AK ∴=，142AKF S ∴=⨯⨯=V 故选C.11.答案：A解析：由已知可得13AB AB AB =⨯⨯，则6AB =，设球心为O ，O 到平面ABCD的距离为x ，球O 的半径为R ，则由OP OA =，得22222333)x x ++=+−，解得x =R ==34π3V R ==球.故选A. 12.答案：B解析：2()3'2f x x ax =+，令)'(0f x =，得0x =或23a x =−，003ax ∴=−>，0a ∴<. ∴当0x <或23a x >−时，)'(0f x >，当203ax <<−时，)'(0f x <. ∴()f x 在(0)−∞，上单调递增，在203a ⎛⎫− ⎪⎝⎭，上单调递减，在23a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增. ()f x ∴的极大值为(0)1f =，极小值为3241327a af ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭.()f x Q 有三个零点，341027a ∴+<，解得2a <−.故选B. 二、填空题 13.答案：3y x =解析：()()223(21)e 3e 331'e x x x y x x x x x =+++=++，所以曲线在点()00，处的切线的斜率为3，所以切线方程为3y x =. 14.答案：11解析：15(21)x +的展开式的通项公式为15115C (2)(01215)r r rT x r −+==L ，，，，，令155r −=，得10r =，所以含5x 的项是展开式的第11项. 15.答案：1231n n a −=⨯−解析：因为132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+.又112a +=，所以{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a −+=⨯，故1231n n a −=⨯−.16.答案：y = 解析：设()11A x y ，，()22B x y ，.由22x py =得02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线的准线方程为2p y =−.由抛物线定义得12||||AF BF y y p +=++. ||2pOF =Q ，结合||||4||2AF BF OF p +==，得12y y p +=.将22x py =代入22221x y a b −=得22221py y a b −=，即222210y pyb a −+=，则221222221pb p a y y p a b +===，2221b a ∴=，222a b ∴=，∴双曲线22221x y a b −=的渐近线方程为2y x =. 三、解答题17.解析：(1)ABC QV 中，cos 2c b a C −=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C −=，…………………………2分 πA B C ++=Q ，sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+，…………………………4分 1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C ∴+−=，1cos sin sin 2A C C ∴=，1cos 2A ∴=，π3A ∴=.…………………………7分 (2)由(1)及3AB AC ⋅=uu u r uuu r得6bc =，222222cos 6266a b c bc A b c bc ∴=+−=+−−=…，…………………………10分当且仅当b c ==时取等号，故a…………………………12分 18.解析：(1)由已知得223AM AD ==. 取BP 的中点T ，连接AT TN ，. 由N 为PC 的中点知TN BC P ，122TN BC ==.…………………………2分 又AD BC P ，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT P . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN P 平面PAB .…………………………5分 (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB AC =得AE BC ⊥， 从而AE AD ⊥，且AE ===.以A 为坐标原点，AE uu u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −.由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M，C，N ⎫⎪⎪⎝⎭， (0,2,4)PM =−uuu r，2PN ⎫=−⎪⎪⎝⎭uuu r，AN ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu r .…………………………8分设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则0PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu ruuu r，即240202y z x y z −=⎧+−=⎩，可取(0,2,1)=n .…………………………10分于是|||cos ,|25||||AN AN AN ⋅〈〉==n n n uuu ruuu r uuu r ， 则直线AN 与平面PMN.…………………………12分 19.解析：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为()550.1650.2750.4850.2950.175min ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………………2分 而调查总时长为()150min ，故7511502p ==.…………………………4分 (2)①根据题意，1~100002X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故1()1000050002E X np ==⨯=，11()(1)10000250022D X np p =−=⨯⨯=.…………………………7分②110050Z X ==−.当49505100X 剟时，12Z −剟，~1)(0Z N ，，…………………………9分0.9540.683(12)(2)0.9540.81852P ZP Zμσμσ−−=−+≈−=剟剟.故()()49505100120.8185P X P Z =−≈剟剟.…………………………10分()1500.8185123min ∴⨯≈，即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min .…………………………12分 20.解析：(1)a =.因为右焦点F 的坐标为()1,0，所以1c =.…………………………2分 结合222a b c =+，得a =，1b =.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.…………………………4分(2)设()11,A x y ，()22,B x y .由221,2(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222218820k x k x k +++−=. 则2122821k x x k −+=+，21228221k x x k −=+.…………………………6分因为线段AB 中点的横坐标为23−，所以2122422213x x k k +−==−+. 解得214k =，即12k =±，代入一元二次方程得0∆>，符合题意，所以直线 l 的方程为1(2)2y x =±+.…………………………9分因为||AB =. 点F 到直线l的距离d ==所以FAB V的面积112FAB S ==V .…………………………12分 21.解析：(1)当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+−>，所以223'2(2)(1)()3x x x x f x x x x x−+−−=+−==.…………………………2分令)'(0f x …，得01x <…或2x …，令)'(0f x <，得12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1]和[2,)+∞，单调递减区间为(1,2).……………………4分 (2)因为函数323414()()2ln 2929g x f x ax x x a x x x =++=+−+， 所以22'4()23a g x x x x =+−+.…………………………6分 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 则(0,)x ∈+∞时，224()03'2a g x x x x =+−+…， 即3243660x x x a +−+…，(0,)x ∈+∞，即324366x x xa +−−…，(0,)x ∈+∞.令32436()6x x xh x +−=，(0,)x ∈+∞，则2)21(2(1')(1)h x x x x x =+−=−+，…………………………8分 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)'(0h x <，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，)'(0h x >，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点. …………………………10分 又17224h ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以324366x x x y +−=−在(0,)+∞上的最大值为724.所以a 的取值范围为7,24⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………12分22.解析（1）由2cos ,sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数θ，得曲线C 的普通方程为22(2)(1x y −+=，即22460x y x +−++=，…………………………2分 根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的极坐标方程，为24cos sin 60ρρθθ−++=.…………………………4分 因为直线l 的极坐标方程是π()6θρ=∈R ，所以直线l 的直角坐标方程为y x =.…………………………5分（2）因为直线10:()l θθρ=∈R 与直线l 垂直， 所以直线1l 的一个极坐标方程为5π()3θρ=∈R ，…………………………7分 将其代入曲线C的极坐标方程，得214602ρρ⎛−⨯+⨯+= ⎝⎭， 即2560ρρ−+=，解得122,3ρρ==，因为||||OM ON >，所以||3OM =.…………………………10分 23.解析（1）当1a =时，()|1||21|2f x x x =−−+−.因为()1f x −…，所以|1||21|1x x −−+….…………………………1分 当12x <−时，1211x x −++…，得1x −…；当时，1(21)1x x −−+…，得113x −剟； 当1x >时，1(21)1x x −−+…，得1x >.综上，不等式()1f x −…的解集为1(,1],3⎡⎫−∞−⋃−+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………4分（2）因为函数()f x 的图象上至少存在一点落在x 轴上方， 所以关于x 的不等式()0f x >有解，即关于x 的不等式|1||21||1|x x a −−+>+有解，即max (|1||21|)|1|x x a −−+>+.…………………………6分 设()|1||21|g x x x =−−+， 则12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+<−⎪⎪⎪=−−⎨⎪−−>⎪⎪⎩剟 所以max 13()22g x g ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，…………………………8分所以3|1|2a +<，所以33122a −<+<，解得，故实数a 的取值范围是51,22⎛⎫− ⎪⎝⎭.…………………………10分112x −剟5122a −<<。
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2021年全国高考数学猜题试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|(1)(2)2}A x x x =--<，{|10}B x x a =++>，且(2,3)A B =，则实数a 的值为( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．32．（5分）若复数z 满足421iz i+=+，则(z = ) A ．3i +B ．13i -C ．13i +D ．3i -3．（5分）命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x + B ．(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +C ．0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +D ．0(,0)x ∃∈-∞，002sin 0x x +>4．（5分）为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从在校的大学生中随机抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法错误的是( )A ．大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多B ．男生中运动时间超过1小时的超过70%C ．男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度D ．运动时间在0.5~1小时内的男生人数与运动时间在1~2小时内的女生人数相同5．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若60MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为( ) A ．23B ．322C ．3D ．26．（5分）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有( ) A ．156种B ．168种C ．180种D ．240种7．（5分）在平行四边形ABCD 中，若DE EC =，AE 交BD 于F 点，则(AF = ) A ．2133AB AD + B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -D ．1233AB AD +8．（5分）若1x =是函数3221()(1)(3)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为( )A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或29．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点)M 在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为( )A 10B 10C 5D 510．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A 3B ．23C 3D 311．（5分）已知0x >，0y >，1a ，若3281()log log 28y x a x y -⋅+=+，则( )A ．|13|0ln x y +-<B ．|13|0ln x y +-C ．(13)0ln y x +->D ．(13)0ln y x +- 12．（5分）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(1,0)M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率(k = )A ．2B ．2 C ．3 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）设函数22,(0)()(3),(0)x x x f x f x x ⎧-=⎨->⎩，则f （5）的值为 ．14．（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 ．15．（5分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为 ．16．（5分）已知函数()sin()(03)4f x x πωω=+<的图象的一条对称轴为直线8x π=，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是 ． ①直线8x π=是()g x 图象的一条对称轴；②()g x 的最小正周期为π；③点(8π，0)是()g x 图象的一个对称中心；④()g x 5三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b的前n 项和为n T ，求证：13n T <． 18．（12分）高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：模拟考试第x 次 1 2 3 4 5 考试成绩y 分90100105105100（Ⅰ）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（Ⅱ）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望．参考公式：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynx yxx y y bxnx xx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．（12分）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，122AA AB ==，2BD BC ==，M 为棱1CC 的中点． （1）求证：BM ⊥平面1A BD ； （2）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点(0,1)P 在椭圆上，且122PF PF ⋅=-． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,1)Q -且不过点P 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值．21．（12分）已知函数()()x f x e ax a a R =++∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）若存在[1x ∈，2]，使得不等式2()(21)2xx f x alnx e a x -+-++成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x ty kt =⎧⎨=⎩（其中t 为参数，)k R ∈．以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=． （1）试写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 与x 轴正半轴交于点M ，若PQM ∆的面积是1，求||PM ．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知()|23|||f x x x a =-++． （1）当5a =-时，解不等式()15f x ；（2）若3[2x ∈，)a -时，()3f x 恒成立，求实数a 的取值范围．2021年全国高考数学猜题试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|(1)(2)2}A x x x =--<，{|10}B x x a =++>，且(2,3)A B =，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．1C ．3-D ．3【解答】解：2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|1}B x x a =>--，(2,3)AB =， 12a ∴--=，解得3a =-．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足421iz i+=+，则(z = ) A ．3i + B ．13i -C ．13i +D ．3i -【解答】解：42(42)(1)6231(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴3z i =+，故选：A ．3．（5分）命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是( ) A ．(,0)x ∀∈-∞，2sin 0x x + B ．(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +C ．0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +D ．0(,0)x ∃∈-∞，002sin 0x x +>【解答】解：命题“0(0,)x ∃∈+∞，002sin 0x x +<”的否定是“(0,)x ∀∈+∞，2sin 0x x +”． 故选：B ．4．（5分）为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从在校的大学生中随机抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如下统计图：对比两图中信息并进行分析，下列说法错误的是()A．大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多B．男生中运动时间超过1小时的超过70%C．男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度D．运动时间在0.5~1小时内的男生人数与运动时间在1~2小时内的女生人数相同【解答】解：对于A，大量出汗并感到很疲乏的男生超过110人，而女生约50人，因此大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多，故A正确；对于B，男生中运动时间在0~1小时内的超过70人，占所有男生的比例超过70100%35%200⨯=，因此男生中运动时间超过1小时的占比没达到70%，故B不正确；对于C，由图易知男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度，故C正确；对于D，运动时间在0.5~1小时内的男生人数有50人，运动时间在1~2小时内的女生人数也有50人，故D正确．故选：B．5．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若60MAN∠=︒，则双曲线C的离心率为()A 23B322C3D．2【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点为(,0)A a，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为：3cos30b b ︒=， 可得：223b a b =+，即3a c =，可得离心率为：23e =． 故选：A ．6．（5分）从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有( ) A ．156种B ．168种C ．180种D ．240种【解答】解：根据题意，从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有11265443651802C C C ⨯=⨯⨯=种选法， 服务队中没有女生的选法有11243243112C C C =⨯⨯=种， 则服务队中至少有1名女生的选法共有18012168-=种； 故选：B ．7．（5分）在平行四边形ABCD 中，若DE EC =，AE 交BD 于F 点，则(AF = ) A ．2133AB AD + B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -D ．1233AB AD +【解答】解：如图，DE EC =，E ∴为CD 的中点，设11()()222AF AE AB BC CD AB AD AB AB AD λλλλλ==++=+-=+，且B ，F ，D 三点共线， ∴12λλ+=，解得23λ=， ∴1233AF AB AD =+． 故选：D ．8．（5分）若1x =是函数3221()(1)(3)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为( )A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或2【解答】解：根据题意，322221()(1)(3)()2(1)(3)3f x x a x a a x f x x a x a a '=++-+-⇒=++-+-，由题意可知f '（1）0=，f ⇒'（1）21(1)(3)03a a a a =++-+-=⇒=或2a =- 当3a =时，222()2(1)(3)89(9)(1)f x x a x a a x x x x '=++-+-=+-=+-，当1x >，9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，2222()2(1)(3)21(1)0f x x a x a a x x x '=++-+-=-+=-，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故选：B ．9．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点)M 在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为( )A 10B 10C 5D 5【解答】解：法一：易知BD AC ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BD ⊥，所以BD ⊥平面AFO ，又OF ⊂平面AFO ，所以BD OF ⊥，在棱DC 上取一点N ，且2DN NC =，连接NM ，则//NM BD ，所以NM OF ⊥，所以动点T 的轨迹为线段MN （不包括)M ． 取棱1CC 的中点H ，连接DH ，易知1//DH FB ， 则HDB ∠即异面直线1B F 与TM 所成的角．连接BH ，因为226335DH +62BD =35BH =， 所以22210cos 2DH BD BH HDB DH BD +-∠==⨯，故选：B ．法二：以A 为坐标原点，直线AD ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知1(0B ，6，6)，(0F ，0，3)，(4M ，6，0)，(3O ，3，0)，设(T x ，y ，0)，则(4,6,0)TM x y =--，1(0,6,3)B F =--，(3,3,3)OF =--． 由题意知3(4)3(6)0TM OF x y ⋅=----=，得10y x =-， 所以(4,4,0)TM x x =--， 则122|cos ,|||369(4)(4)B F TM x x 〈〉=+⨯-+-，又T 不与点M 重合，所以40x -≠，所以110|cos ,|B F TM 〈〉=， 所以直线1B F 与TM 所成角的余弦值为10， 故选：B ．10．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A 3B ．23C 3D 3【解答】解：120B =︒，21sin C =，2c =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得sin 7sin c Bb C==，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得217422()2a a =+-⨯⨯⨯-，可得2230a a +-=，解得1a =，或3-（舍去）， 11213sin 1722ABC S ab C ∆∴==⨯=．故选：A ．11．（5分）已知0x >，0y >，1a ，若3281()log log 28y x a x y -⋅+=+，则( )A ．|13|0ln x y +-<B ．|13|0ln x y +-C ．(13)0ln y x +->D ．(13)0ln y x +- 【解答】解：由题意可知，32211()log log ()22y x a x y ⋅+=+，∴33322221111()()(3)()(3)()2222x y y y log x log y a log y a log y -=-⋅<-⋅-，令21()()2x f x log x =-，则()(3)f x f y <，易知()f x 在(0,)+∞上为增函数， 由()(3)f x f y <得：3x y <， 30y x ∴->，131y x ∴+->， (13)10ln y x ln ∴+->=，故选：C ．12．（5分）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点(1,0)M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率(k = )A B C D 【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，直线AB 的方程0y k -=(1)x +，0k >． 代入抛物线24y x =化简可得2222(24)0k x k x k +-+=，2122(24)k x x k--∴+=，121x x ⋅=． 212122(24)(1)(1)24k ky y k x k x k k k --∴+=+++=⨯+=， 2121212(1)4y y k x x x x ⋅=++⋅+=．又10(1AF BF x ⋅==-，12)(1y x ⋅-，212121224)()18y x x x x y y k =⋅-+++⋅=-，k ∴=故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。