高考数学猜题

高考数学猜题

高考猜题

1.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制就是“逢二进一”。如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制数就是32101212021213?+?+?+?=,那么将二进制数232[11111]位

转换成十进制数是

A.3322-

B. 3222- C . 3221- D. 3121-

解析：在理解二进制和十进制互化的基础上，所求问题就是等比数列前n 项和的问题.

32

31

30

1

3223212[11111]121212122112

-=?+?+

+?+?==--位

.故选C 。

2.函数a ax x x f +-=22

)(在区间),(1-∞上有最小值，则函

数x x f x g )()(=在区间),(∞+1 上一定

( )

A ．有最小值

B ． 有最大值

C ． 是减函数

D ． 是增函数 解析: D 由函数a

ax x

x f +-=22

)(在区间),(1-∞上有最小

值可得:a 的范围应为a<1，∴()()2f x a g x x a x x ==+-则一阶导数g /(x)=1-2

x a ,易知在x ∈(1,+∞)上g /(x)>0，

所以g(x)为增函数，故选D.

评析:二次函数的单调性运用,由一阶导数的正负判断函数的单调性.

3．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的 （ ）

A ．第30项

B ．第32项

C ．第33项

D ．第34项 解析：用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数,可分为4类：

⑴一位数，有4个（0也是自然数）；

⑵两位数，有214

39A A -=个； ⑶三位数，有3

24

318A A -=个； ⑷四位数，比1230小的有1023，1032。

于是，1230是这个数列的第34项。 选D ．

4．已知向量求且],2

,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π

∈-==x x x x x

①||b a b a +?及;

②若3

()2||,2

f x a b a b λλ=?-+-的最小值是求的值.

解析：（1）x x

x x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos =?-?=? ………………2分

x

x x

x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos ||=+=-++=+

x x x cos 2||,0cos ],2

,0[=+∴>∴∈π

……………………………………

6分

（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即

.1cos 0],2

,0[≤≤∴∈x x π

①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，

)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；……8分

②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，

)(x f 取得最小值221λ--，由已知得

2

1

,23212=-=--λλ解得；…………………………………10分

③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，

)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3

142

λ-=-

解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，2

1

=λ为所求。………12分

5. （本小题满分12分）

（文）已知函数.3)(2

3

x ax x x f +-=

（Ⅰ）若x = 3是f (x )的极值点，求f (x )在]

,1[a x ∈上的最小值和最大值；

（Ⅱ）若f (x )在[)+∞∈,1x 上是增函数，求实数a

的取值范围.

解：（Ⅰ）

323)(2

+-=ax x x f --------1分

0)3(='f ，即27-6a +3＝0， ∴ a ＝5，3

2

()53f x x x x =-+. ---------2分

令2

()31030f x x x '=-+=得 3=x ，或 13

x =(舍去) ------------------3分

当13x <<时,()0f x '<; 当35x <<时,()0f x '> -----------------5分

即当3x =时,()f x 有极小值(3)9f =-．又(1)1,(5)15f f =-=

∴ f （x ）在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =. ----------7分

（Ⅱ）令2

()3230f x x ax '=-+>． ∵ x ≥1．∴ 31

()2a x x

<+， ------9分

min 31

()3

2a x x

∴<+= （当x =1时，取最小值）．

∴ a ＜3（a ＝3时也符合题意）． ∴ a

≤3 ------------------------------------12分 （理） 已知函数.)2ln()(2

c bx x x x f ++-+=

（Ⅰ）若函数 f (x )在点x=1处的切线与直线

0273=++y x 垂直，且f （－1）=0，求函数f (x )在区间[0，3]上的最小值；

（Ⅱ）若f (x )在区间[0，1]上为单调减函数，

求b 的取值范围.

解：（1）.22

1

)(b x x x f +-+=' （2分） 因为与直线0273=++y x 垂直的直线的斜率为

4,37

)1(,37=='b f 得令 又f （－1）=ln （2－1）－1－4+c =0，所以c =5

f （x ）=ln （x +2）－x 2+4x －5,4221

)(+-+='x x x f （4分） 由223,0)(=='x x f 得

当]223,0[∈x 时，f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增

当]3,223[∈x 时，f ′（x ）≤0，f （x ）单调递减（6分）

又f （0）=ln2+5，f （3）=ln5+8，所以f （x ）

在[0，3]最小值为ln2+5 （8分）

（Ⅱ）因为f （x ）是减函数

所以]1,0[2

1

20221)(∈+-≤≤+-+='x x x b b x x x f 对即恒成立（10分）

因为2

1

2+-x x 在[0，1]上单调递增, 所以（2x －21+x ）min

=－2

1

所以当b ≤－2

1时，f （x ）在区间[0，1]上单调递减（12分）

6. （本小题共14分）如图，已知椭圆C ：6x 2 +

10y 2 = 15m 2（m > 0），经过椭圆C 的右焦点

F 且斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A 、B

两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的

中心，射线OM 交椭圆于N 点. （Ⅰ）是否存在k ，使对任意m > 0，总有ON

OB OA =+成立？若存在，求出所有k 的值；

（Ⅱ）若)4(2

13

m m OB OA +-=?，求实数k 的取值范围.

（Ⅰ）椭圆C ：)0,(,,2325,12

32522222

222

m F m c m m m c m

y m x

∴==-==+

2分

直线AB ：y ＝k （x －m ）,

()

?

?

?>=+-=015106),(2

2

2

m m y x m x k y ，（10k 2

＋6）x 2－20k 2mx ＋10k 2m 2－15m 2＝0 3分

设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,则x 1＋x 2＝6

10202

2+k m

k ，x 1x 2＝

6

1015102222+-k m m k 4分

则x m ＝

.6

106)(,6101022

2221+-=-=+=+k km

m x k y k m k x x m m

5分

若存在k,使M ON OB OA ,=+为ON 的中点，

∴OM 2=+

∴()???

? ?

?+-+==+61012,610202,22

22

k km k m k y x m

m

，

即

N 点坐标

为

???

?

??+-+61012,61020222k km k m k ．

6分

由

N

点在椭圆上，则

,1561012106102062

2

22

22m k km k m k =???

??+-+???

? ??+ 7分

即5k 4－2k 2－3＝0．∴k 2＝1或k 2＝－5

3

（舍）．

故存在k ＝±1使.ON OB OA =+

8分

（Ⅱ）2

1

2

1y y x x OB OA +=?＝x 1x 2＋k 2（x 1－m ）（x 2－m ）

＝（1＋k 2）x 1x 2－k 2m （x 1＋x 2）＋k 2m 2 ＝（1＋k 2）·()6

1015610k m 20k ·61015102

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+-=++-+-k k m m k m k k m m k 10分 由()),4(21610153

22

2

m m k k m +-=+-得.

24216

101522

-≤??

?

??+-=+-m m k k 12分

即k 2－15≤－20k 2－12,k 2≤7

777,71≤≤-∴k 且k ≠0 14分