2021年高社杯全国大学生数学建模竞赛C题

高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书咱们仔细阅读了中华人民共和国大学生数学建模竞赛竞赛规则.咱们完全明口，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（涉及电话、电子邮件、网上征询等）与队外任何人（涉及指引教师）研究、讨论与赛题关于问题。

咱们懂得，抄袭别人成果是违背竞赛规则，如果引用别人成果或其她公开资料（涉及网上查到资料），必要按照规定参照文献表述方式在正文引用处和参照文献中明确列出。

咱们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛公正、公平性。

如有违背竞赛规则行为，咱们将受到严肃解决。

咱们参赛选取题号是（从A/B/C/D中选取一项填写）： C _________ 咱们参赛报名号为（如果赛区设立报名号话）： __________________________ 所属学校（请填写完整全名）： ________________________________________ 参赛队员（打印并签名）：1. __________________________________2. ____________________3. ________________________________________指引教师或指引教师组负责人（打印并签名）： __________________________日期: 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）: 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）:全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）: 全国评阅编号（由全国组委会评阅迈进行编号）:古塔变形摘要：本文研究古塔变形问题，通过对问题背景及附件资料进行进一步地分析，采用数据拟合、求平均值等办法整顿出具备科学性分析数据。

通过对建筑物位移监测数据解决办法研究，釆用自回归模型对位移监测数据进行解决，依照建立模型对详细建筑物监测点位移变化量进行预报。

通过计算分析，依照位移量之间变化关系而建立自回归预测模型具备较高拟合及预测精度，运用三维坐标系和数学软件将古塔模型以空间模型形式体现出来，直观且科学，对于研究古塔变形具备较高科学性和说服性。

再通过三维坐标之间回归和三维坐标与时间回归而分析出古塔倾斜，弯曲，扭曲等变形状况，通过数学软件计算及列表列图办法将成果直观体现，通过大量计算与分析，运用儿何和代数办法将古塔变形量以数学方式阐明。

对于分析古塔变形趋势中，运用了位移差和位移残差平方公式等量及与时间关系来阐明其变形趋势。

对于问题一，通过对监测数据分析，得出此塔为八边形塔，并通过平均值法求出古塔各层中心坐标，详细见表（一）。

对于问题二，通过问题一对变形监测数据研究和解决，咱们组运用了自回归模型办法，运用Z和X,Y之间回归关系，咱们运用数学软件计算求出al和a2, 并通过代数及其儿何关系，求出每年监测出古塔倾斜角度。

详细见图（2）和表（2）。

对于问题中弯曲问题，咱们用古塔中点高度发生变化多少来表达弯曲限度，山于弯曲限度重要是随着时间变化而变化，因此咱们用时间和变形监测数据进行回归拟合得出AZ （表达古塔弯曲限度），通过数学软件大量计算，用列表方式将每次监测所得每层弯曲限度表达出来，详细见表（3）。

对于问题中扭曲问题，咱们用第一层作为基层，即不扭动层，其她层相对于一层扭动了多少度来阐明古塔扭曲限度。

为了这一阐明，咱们取每一层第一点和第五点作直线。

并将每一层直线与第一层直线做对比，求出两直线之间夹角，并用此夹角来阐明除第一层以外每一层相对于第一层扭动了多少度。

以此角度大小来体现古塔扭曲限度。

详细见表（4）对于问题三，是分析古塔变形趋势，依照监测变形数据和位移与时间及波动稳定性关系，列出了一种时期对上一时期位移差，看出古塔变形趋势是向哪个方向，详细见图（5）。

再通过位移平方差公式，对古塔整体变形趋势波动进行分析, 并结合时间等因素推算出古塔变形趋势在增长。

详细见表（5）。

核心词：变形数据拟合平均值自回归模型位移变化三维坐标系数学软件儿何代数办法位移差位移平方差一、问题重述1.1基本状况：某古塔在国内已有上千年历史，是国内重点保护文物。

但山于长时间受到自重、气温、风力、地震、飓风影响，古塔浮现了各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需要适时对古塔进行观测，理解各种变形量，以制定必要保护办法，因而管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、3月和3月对该古塔进行了4次观测。

1.2需解决问题：问题一：依照附件1提供4次观测数据，给出拟定古塔各层中心位置通用办法，并列表给出各次测量古塔各层中心坐标。

问题二：运用数学模型和所得数据分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形状况。

问题三：分析该塔变形趋势。

二、问题分析2.1问题一分析：对于问题一，通过观测所给数据，每一层8个观测点都位于古塔每层八个角落。

据此，将古塔每一层类似看做一种正八边形，可用求正八边形中点办法来拟定古塔每一层中点坐标。

通过所给每层观测数据，分别求X, Y, Z坐标平均值, 近似作为古塔各层中心坐标。

2. 2问题二分析：对于问题二，重要是研究古塔倾斜，弯曲，扭曲等变形量，据此分三点来分析问题二。

对于倾斜，重要是三维坐标中X, Y轴对于Z轴倾斜角度，即是对中心轴倾斜角度，而第一题已经对每年监测数据进行了总结，得出每次监测各层中心坐标，故运用X, Y与Z自回归模型，再通过代数和儿何关系，求出每年古塔X, Y 轴倾斜角度，并加以阐明，详细成果见表（2）。

对于弯曲，重要是要找出能表达弯曲限度量，通过查找变形量详细分析资料，懂得弯曲重要是中点高度（Z）发生了变化，列出时间和每层中心坐标回归拟合，并且通过数学软件计算，得出弯曲限度△乙并列出表直观阐明，易于比较。

详细成果见表（3）。

对于扭曲变量，通过matldb软件做出古塔空间图形，及查找了扭曲问题分析资料，咱们最后采用以第一层为基层，其她层相对于古塔扭曲度数，重要是通过每层两个点算出每层斜率，再通过斜率公式算出角度，以此阐明古塔每次扭曲限度变化及大小。

详细见表（4）2. 3问题三分析：对于该塔变形趋势，通过第一题和第二题，已将古塔变形位置中心和变形量进行了详细分析。

本题要分析变形趋势，详细是从古塔各中心点在各个时期位移变化量，通过列位移残差公式，得出该塔变形趋势。

见图（5）。

再通过整体位移残差平方公式，得到古塔每层在某个时期变形趋势波动，详细见表（5）。

三、问题假设1. 假设该塔为正八边形塔2 . 假设该塔底层不扭曲变形3 . 假设监测该塔时后两次变化了监测位置4 . 假设地质变动对古塔无影响四、建立模型及求解(-) 符号阐明：1ZA|为古塔与X轴构成角度2ZA2为古塔与Y轴构成角度3Z为中点高度4AZ来表达古塔弯曲限度5Bi为表达两直线夹角6AX为X轴位置偏移量7AY为Y轴位置偏移量8AZ1为Z轴位置偏移量9AS2为古塔整体位置偏移平方差10i为古塔层数11t为从1886年开始所通过时间（二）模型建立及求解3.1对问题1求解依照数据中给出各层各个点坐标值，可把古塔每一层类似当作一种正八边形。

依照数学逻辑和模型，正八边形中心坐标可用平均值法求出，故塔中心坐标为（X,Y,Z）。

附件一是每次测量出古塔各层各个点坐标，通过平均值法整顿数据，得出如下成果：表（一）其中得来,值同理。

通过mntlab做出古塔模型图片: 下图(1)60、图(1)3・2对问题二求解：对于古塔倾斜，弯曲、扭曲等变形状况分析，第一题通过科学分析和数学逻辑思维，用平均值法对建筑物位置监测数据进行总结，得岀各个时期各个层中心坐标值，通过这些数据，运用过对建筑物位移监测数据解决办法研究，采用自回归模型对位移监测数据进行解决，依照建立模型对详细建筑物监测点位移变化量进行预报。

通过计算分析，对古塔变形状况进行阐明。

3.2.1关于古塔倾斜问题，咱们建立了空间直角坐标(如上图1)对此进行了讨论，发现古塔与X轴构成角度为NA】，与Y轴构成角为ZA2 o因而建立了Z i八与X Y自回归模型如下式①，且ZA^arctan ai , ZA2 =arctan az oZ i. t=ao+ai* X i, t+a:* K i. t ①从问题一中所求得平均值可得出下图2：图因而，在所观测4年里古塔对于X轴和Y轴倾斜角度如下表（2）表（2）山分析和计算得出每次监测时对中心轴倾斜角度均有变大趋势，古塔变形不容小觑。

3.2.2弯曲关于古塔弯曲，咱们考虑到古塔弯曲后，中点高度会发生变化，即Z发生了变化，故咱们用AZ来表达古塔弯曲限度，即详细计算值如下表（3）表表中表达是古塔每次每层中心点变化及弯曲限度，对于1986和1996及和比较，前者（即1986和1996）弯曲限度明显加大，这不但由于时间长达十年关系，尚有各个方面影响，例如倾斜，风化，地壳运动等对变形位移数据影响，必定是古塔弯曲限度在很小很小范畴内变化，后者（与）虽没有前者那么明显，但是考虑届时间因素话，平均每年弯曲限度变化还是高于前者，因此古塔安全维护必要尽快贯彻做好。

3.2.3扭曲对于古塔扭曲，咱们取每一层第一点和第五点作直线。

并将每一层直线与第一层直线做对比，求出两直线之间夹角Bi（下图为第一层和第十三层事例），并用此夹角来阐明除第一层以外每一层相对于第一层扭动了多少度，计算公式如下：B 产arctan（丫2・X）/（X2・XJ详细数值如下所示:表（4）此问题通过最简朴斜率计算得出古塔每次每层相对于基层扭曲度数，用数字阐明了扭曲限度变化。

3.3对问题三求解：问题三是分析古塔变形趋势，咱们通过每个时期与上一时期古塔每层中心位置偏移，即偏移量AX, AY, AZ1；乂△X=X2-X1： AY, AZ1亦同理求出其值，详细见图（5）。

再通过算位移残差平方公式AS?二△X2+AY2+AZ12,可以求出古塔每层每两个时期变形波动，对于变形趋势稳定性和变化有重要作用。

详细见表(5)o2,图⑸通过AX, AY, AZ1值大小，能看岀古塔变形趋势向哪个轴方向偏移多一点，山两次比较得出古塔变形趋势向Z轴，即向中心线斜方向变形。

下面是位移平方差成果:和位移平方差表(5)通过数学软件对四次测量成果位移平方差对比，其变形波动率虽然小，但是其波动已经能通过数字体现出来了，阐明古塔变形随时间变化会越来越明显，而通过观测计算出来成果，虽然1996年和1986年位移平方差比和大，可是从年平均变形稳定角度，和还是比之前明显，山此可见古塔变形趋势波动在增大，望关于部门能注重。

五模型检查1、问题一咱们采用求平均值办法，求古塔每层中心点坐标，山数据中给出8个基点位置坐标去求，乂假设其为正八边形塔，因此用代数办法直接求出，给出其通用算法并将成果以列表形式表达出来，科学合理。