【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)
圆锥曲线 重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析
微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。
主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一 求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有： 椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可） 方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率 【解析】 在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。
江苏省无锡市2020年高考数学 圆锥曲线的离心率求法
2020年高考数学 圆锥曲线篇圆锥曲线离心率的求法经典回顾1、已知点为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则λ的值为【解析】试题分析：设△的内切圆的半径为r ，为△的内心，，所以∴=+|,|21||21||212121F F PF r PF r λ |,|||||2121F F PF PF λ=+因为为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义得a PF PF 2||||21=+，得2222,22ba ab a a -=∴-⨯=λλ.考点：三角形面积的计算及三角形内心的性质. 离心率求值 焦点三角形中2、在ABC △中，90A ∠=o，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．[解析]=+====BC AC ABe k BC k AC k AB ,5,3,4123、已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF ,则此椭圆的离心率为 _________.[解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1]4、在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BCP 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=22a b-12PF F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=P 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注5、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 【答案】4 【解析】试题分析：不妨设椭圆的标准方程为：2222111x y a b += ，双曲线的标准方程为：2222221x y a b -=公共焦点()()12,0,,0F c F c - ，则有：2222221122,a b c c a b =+=+在12PF F ∆中，因为321π=∠PF F ，由余弦定理得：222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=所以，222121212PF PF PF PF F F +-⋅= 所以，22121212()3PF PF F F PF PF +-=⋅22121212()PF PF F F PF PF --=-⋅即：2222112212443,44a c PF PF a c PF PF -=-=-所以，()2222221212223131a a a c a c c c ⎛⎫-=--⇒-=-- ⎪⎝⎭2222121211131314e e e e ⎛⎫⇒-=--⇒+= ⎪⎝⎭ 所以，答案应填：4.考点：1、椭圆的定义、标准方程与简单几何性质；2、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质.6、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 2 [解析] .用好定义 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，2224)()(c m a m a =-++21122221222=+∴=+∴e e c m a 位置关系 7、如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为[解析] B .=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a c b a b 221)(215- 8、在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．[解析]=⇒=e a c a 22229、椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【解析】 试题分析：设关于直线的对称点的坐标为，则，所以 ，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；2222:1(0)x y C a b a b+=>>F F 30x y +=A C C 1231-331-(,0)F c -30x y +=A(m,n)(3)13022nm c m c n ⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-⎪⋅+=⎪⎩2c m =3c n =22223441c ca b +=42840e e -+=31e =-D10、已知F 2，F 1是双曲线的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．【答案】A 【解析】试题分析：设点F 2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的方程为，把点M 的坐标代入上式得，又，所以，解得。
专题06 圆锥曲线离心率及范围问题(解析版)
专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。
方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。
【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。
由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。
我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版 课件：7.2 热点小专题三 圆锥曲线的离心率
舍,最终的e值即为所求.
-17-
热点一
热点二
对点训练 5(2019 天津北辰区模拟考试)已知双曲线 C:������������22 − ���渐���双的������22=近曲渐1线(线近a>垂的线0直渐垂,b>且近直0)在线且的方在y焦轴程y距轴上为为上的y2=的截c±,直������截距������ x,线距为直为-线l���������与2���-;l���以������双���2与,故双曲双直曲线曲线线线ClC的C的的一的方右一条程焦条斜为点斜率y为=率为������圆������为负x-心���负���值 ������2 ,,即值的半关闭 焦ax-距by为-c半2=径0.双的曲圆线Ω的与右直焦线点为l 交(c于,0)M,其,N到两l 的点距,若离|MdN=|=|������������2���2���3-+���5������2���c|2,=则c-双a,曲半线径
233���+��� -11.又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故 0<e≤ 3-1.故答案为 3-1.
关闭
解-析9-
答案
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双曲线的离心率(多维探究)
1.求双曲线的离心率
方法一 直接法求离心率
例 3(2019 湖北武汉 5 月模拟)已知双曲线 C:������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)
()
A. 2,1
B. 0, 2
由椭已圆C知C.可上122得,存1 ,在当点点 PPD(在x.0,椭y00,)12圆2(x0的≥0上)使(下得)∠顶P点F处1F时2=,6∠0°P,则F1F920最°>大(∠,要满足
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质
圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
(完整版)圆锥曲线离心率范围四种题型
圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的要点，其主假如列出 a, b,c 的不等式， 从而求出离心率的范围。
此中列不等式是这类题目的要点，下边我们说以下不等式的几种方法。
一、依据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式例 1：已知椭圆x 2y 2 1( ab 0) 的左右焦点分别是F 1 ( ,0), F 2 ( ,0)a 2b 2c c ，若椭圆上存在点 P （异于长轴的端点） ，使得 csin PF 1 F 2 a sin PF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率的范围是 _________.c sin PF 2 F 1 PF 1 sin PF 2 F 1解： 由已知得 esin PF 1F 2 ， 由正弦定理得sinPF 1F 2aPF 2 PF 12a PF 2PF 22a 2因此 ePF 2，从而 a。
PF 2c又由于 a cPF 2 a c 且 0 e 1 ，解得离心率范围是 ( 21,1) 。
变式训练 1：设椭圆x 2y 2 1(ab 0) 的两焦点为 F 1 , F 2 ，若在其右准线上存在一a 2b 2点 P ，使得线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 ，求椭圆离心率的范围。
变式训练 2：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1 , F 2 ，若 P 为其上一点， a 2b 2且 PF 1 2 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。
变式训练 3：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1, F 2 ，若 P 为右支上一点，a 2b 2且PF 1 4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。
二、相关存在性问题求离心率例 2：设 P 是椭圆 x2y 2 1( a b 0) 上的一点， F 1, F 2 是椭圆的左右焦点，已知a 2b 2F 1 PF 2 60o ，求椭圆离心率的范围。
剖析：要想使得存在椭圆上的一点P ，知足F 1 PF 2 60o ，也就是要求当点 P 在椭圆上运动时， ( F 1PF 2 ) min 60o ,( F 1PF 2 )max 60o 即可。
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圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。
2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。
一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。
如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】1. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（ ）ABCD ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2a x c =-，∴ 方程为224a y x c=；由双曲线可知2(,)b P c a ，∴ 2224()b a c a c =⨯，∴ 222222b b a a =⇒=，∴ 212e -=，3e =． 2．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324+ 解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，由平面几何知识可得2112||:||:||32PF PF F F =，所以由椭圆的定义及cea=得： 1212||2312||||31F F c e a PF PF ====-++，故选B ． 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e =+．3. （09浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 10【解析】对于(),0A a ，则直线方程为x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因此222,4,5ABBC a b e =∴=∴= C4. （09江西理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．12D ．13【解析】因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =从而可得c e a == B 5.（08陕西理）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）AB CD 6.（08浙江理）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57.（08全国一理）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．388.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴= 220c a ac --=，解得c e a ==9.（10全国卷1理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：★答案★：33如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca33.【解析133如图，22||BF b c a =+=, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得 1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232,c a a a =-33e ⇒=【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221x y a b+=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，222230223330;122212222c c c c y b x b y b bx x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++，代入222291144c b a b +=，33e ⇒=10. （07全国2理）设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ B ） ABCD解122222122210()()(2)10AF AF AF a aeAF AF c 11. 椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45o的直线与椭圆交于A 、B 两点且F 分向量BA 的比为2/3，椭圆的离心率e 为: 。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。
思路简单，运算繁琐。
下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点A(),A A x y ，B (),B B x y ，由焦半径公式可得32A B a ex a ex +=+，则2()3()A B a ex a ex +=+，变形2()A B B a ex a ex a ex +--=+，所以2()A B B e x x a ex -=+因为直线倾斜角为45o，所以有225e AB ，所以e =提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。
焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。
解法（二）：1125BE BF AB e e ==•1135AD AF AB e e ==•AC ==AD BE AC-==131255AB AB e e •-•=e =12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率23c e a ==. ……6分 13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________. 解析：设椭圆方程为2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆：x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222a b a -x 2－ax +b 2=0.即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2e a －a ＜a 22⇒＜e ＜1. ★答案★：22＜e ＜1 14. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，椭圆的离心率的取值范围是;解析: 由椭圆的定义，可得212MF MF a +=又2212MF MF b ⋅=，所以21,MF MF 是方程22220x ax b -+=的两根，由22(2)420a b ∆=--⨯≥， 可得222a b ≥，即2222()a c a ≥-所以c e a =≥ 15. （08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)解析 由题意可知2233()()22a a a e a c c ->+即331122e e->+解得2e >故选B.16.（07北京）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．1(0]2，Ｂ．(0Ｃ．1[1)2，Ｄ．1)解析 由题意得2222a c c ≤⨯∴e ≥故选D.17.（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0B ．(0C ．1)D.1)分析 通过题设条件可得22PF c =，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF 的中垂线过点2F ， ∴22PF c =，又点P 在右准线上，∴22a PF c c ≥-即22a c c c ≥-∴c a ≥1e ≤<，故选D. 点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08福建理）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断0x a解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.解2 如图2所示，设2PF m=，12(0)F PF θθπ∠=<≤，222(2)4cos 254cos 2m m m ce a θθ+-===-当点P 在右顶点处有θπ=.∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈.选B.小结 本题通过设角和利用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.19.（08江西理）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．2D ．2[ 解 据题意可知，∠1F M2F 是直角，则垂足M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<.又(0,1)e ∈，所以)22,0(∈e .选C.小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知条件，直接列出关于 a ，b ，c 间的不等量关系，然后利用a ，b ，c 间的平方关系化为关于a ，c 的齐次不等式，除以2a 即为关于离心率e 的一元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.20. （04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A43 B 53 C 2 D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.21. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A (1,2] B (1,3] C [2,3]D [3,)+∞解析222122222(2)4448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.22. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，椭圆的离心率e 的取值范围是; 。