高中数学圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：专题研究 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
专题研究(二) 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
专题概述：1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；2.解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到；3.无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标；4.探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
[专题讲解]
题型一 定点问题
【典例1】 (2019·甘肃兰州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过圆E：x2＋y2＝2上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[审题程序]
第一步：待定系数法求C的方程；
第二步：依据特殊情形确定定点；
第三步：应用根与系数的关系，转化证明方向；
第四步：计算推证．
[规范解答] (1)因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c，S＝12·2c·b＝12a2＝3，
所以a＝6，b＝3.
故椭圆C的方程为x26＋y23＝1.
(2)圆E的方程为x2＋y2＝2，设O为坐标原点，
当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x＝2，
则A(2，2)，B(2，－2)，所以∠AOB＝π2，
所以以AB为直径的圆过坐标原点．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为直线与相关圆相切，
所以d＝|m|1＋k2＝m21＋k2＝2，所以m2＝2＋2k2.
浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题
高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.
真 题 感 悟
(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值.
解 (1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
由y2＝4x，y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).
从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.
直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1).
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.
由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→得λ＝1－yM，μ＝1－yN. 所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN
＝x1－1（k－1）x1＋x2－1（k－1）x2
＝1k－1·2x1x2－（x1＋x2）x1x2
＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.
所以1λ＋1μ为定值.
考 点 整 合
1.定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
1 圆锥曲线中的定点、定值问题
一、题型选讲
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：
（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点
（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：2
2
21x
y
a+=
（a>1）的左、右顶点，G为E的上
顶点，
8AGGB
=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：2
2ypx=
（0p
）的焦点，过点
F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°
时，16MN=
.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
2 例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2
=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分
别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
题型二、圆锥曲线中定值问题
圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根
据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去
变量，从而得到定值
例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：22
221(0)xy
ab
ab+=的离心率为2
2，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()22
2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题含解析
2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）专题04椭圆中的定点、
定值、定直线问题
一、单选题
1．已知
F为椭圆22
:1
32xy
C的右焦点，点
A是直线3x上的动点，过点
A作椭圆C
的切线
AM，AN
，
切点分别为
M，N，则||||||MFNFMN
的值为（）
A．3B．2C．1D．0
2．已知过原点的动直线l与椭圆22
1
32xy
交于A，B两点，D为椭圆C的上顶点，若直线AD，BD的斜
率存在且分别为
1k
，
2k
，则
12kk
（）
A．2
3
B．2
3C．3
2D．3
2
3．已知椭圆2
21
4x
y的上顶点为,ABC、
为椭圆上异于A的两点，且ABAC
，则直线BC过定点（）
A．(1,0)
B．
(3,0)C．1
0,
2
D．3
0,
5
4．已知椭圆22
1
124yx
，圆22:4Oxy，过椭圆上任一与顶点不重合的点G引圆的两条切线，切点分别
为,PQ
，直线PQ
与x
轴，y
轴分别交于点,MN，则
2231
OMON
（）
A．5
4B．4
5C．4
3D．3
4
5．已知椭圆22
:1
42xy
C的左右顶点分别为,AB
，过x
轴上点(4,0)M
作一直线PQ
与椭圆交于,PQ
两点
（异于,AB
），若直线
AP和BQ
的交点为N，记直线MN
和
AP的斜率分别为
12,kk
，则
12:kk
（）
A．1
3B．3C．1
2D．2
6．已知椭圆2
2:1
3x
Cy，过x轴上一定点N作直线l，交椭圆C于A，
B两点，当直线l绕点N任意旋转时，有
2211
||||t
ANBN
（其中t为定值），则（）
A．9t
B．4t
C．3t
D．2t
7．如图，
1A
，
2A为椭圆22
1
95xy
的长轴的左、右端点，O
为坐标原点，
S，Q
，T为椭圆上不同于
1A
，
2A
的三点，直线
1QA
，
2QA
，OS
，
OT围成一个平行四边形OPQR
，则22
OSOT
（）
A．5B．
35
C．9
D．14
8．已知M是椭圆22
1
2516xy
上一点，
1F
，
2F
是椭圆的左，右焦点，点I是
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
1
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C:𝑥24+𝑦23=1的右焦点为F,过点M(4,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,连接AF,BF并延长分别与椭圆交于异于A,B的两点P,Q.
(1)求直线l的斜率的取值范围;
(2)若𝑃𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =μ𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.
2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C:y2=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,问是否存在实数m,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,一条渐近线方程为y=bx(b∈N*),且双曲线C经过点D(√2,1).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设点P在直线x=m(y≠±m,0
4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H(-2,1). 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(-3,0)的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线HA,HB分别交x轴于M,N两点,点G(-2,0),若𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1𝜆+1𝜇为定值.
5.(2021·广东汕头三模)已知圆C:x2+(y-2)2=1与定直线l:y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线l相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程;
(2)已知点P是直线l1:y=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A,B.
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。
二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1） 引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。
（2） 探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。
三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1） 引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。
（2） 探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。
高考真题 例题精选 参考答案
▍ ▍ ▍
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2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题
题型二：动弦过定点的问题
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
题型四：向量问题
题型五：面积问题
题型六：弦或弦长为定值、最值问题
题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳
题型八：对称问题
题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直
角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)
题型一:弦的垂直平分线问题
1过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x
0,0)，使得ΔABE
是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。2024年高考数学专项复习圆锥
曲线九大题型归纳（解析版）
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中
点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关
问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后
才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平
分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于题型二:动弦过定点的问题
1已知椭圆C：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的离心率为3
2，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A
2(2,0)。
(I)求椭圆的方程；
(II)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA
1,PA
2分别与椭圆
交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A、B、C是椭圆E：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线
BC过椭圆的中心O，且AC
高考热点复习：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)练习题
第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)
热点一 定点问题
解决圆锥曲线中的定点问题应注意
(1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；
(2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；
(3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.
例1 已知P(0,2)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C的离心率e＝33.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为－4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
).
跟踪演练1 (2019·攀枝花模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(4，t)(t>0)到焦点F的距离等于5.
(1)求抛物线C的方程和实数t的值；
(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.
热点二 定值问题
求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
例2 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－34，证明：M，N两点的横坐标之和为常数.
跟踪演练2 (2019·四川百校冲刺卷)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(m，n)在椭圆C上.
(1)设点P到直线l：x＝4的距离为d，证明：d|PF2|为定值；
(2)若0＜m＜2，A，B是椭圆C上的两个动点(都不与点P重合)，且直线PA，PB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率(结果用n表示).
2021年高考理科数学一轮复习阶段测试六十三圆锥曲线中的定值与定点问题
- 1 - 核心素养测评六十三 圆锥曲线中的定值与定点问题
1. (2020·北京模拟)已知椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x=3的垂线,垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.
【解析】(1)由题意可得, 解得a=,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1 .
(2)直线BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下:
①当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,
不妨设A,B,D.
此时,直线BD的方程为:y=(x-2),所以直线BD过定点(2,0).
②当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),D(3,y1). 由,得:(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.
所以x1+x2=,x1x2=.……(*)
直线BD的方程为:y-y1=(x-3),只需证明直线BD过点(2,0)即可. - 2 - 令y=0,得x-3=-,
所以x== = 即证=2,即证2-x1x2=3.
将(*)代入可得2-x1x2=-==3.
所以直线BD过点(2,0),
综上所述,直线BD恒过x轴上的定点(2,0).
2.(2020·上饶模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,点G(,1)在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设点P是椭圆C上一点,左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.
【解析】(1)依题意得=,设c=t,则a=2t,b=t,
由点G(,1)在椭圆上,有+=1,解得t=1,则a=2,b=, - 3 - 椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),M(0,m),N(n,0), A(-2,0),B(0,),
由A,P,M三点共线,则有kPA=kMA, 即=,解得m=,
2023年高考备考圆锥曲线中的定值定点问题(含答案)
高考材料
高考材料专题14 圆锥曲线中的定值定点问题
1．〔2023·全国·高考试题〔文〕〕已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
3
0,2,,1
2AB
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证
1,2P
MTTH
明：直线HN过定点．
（答案）
(1)
22
1
43yx
(2) (0,2)
（解析）
（分析）
〔1〕将给定点代入设出的方程求解即可；
〔2〕设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况商量斜率是否存在，即可得解.
(1)解：设椭圆E的方程为，过， 22
1mxny
3
0,2,,1
2AB
则，解得
，
， 41
9
1
4n
mn
1
3m1
4n
所以椭圆E的方程为：. 22
1
43yx
(2)，所以， 3
(0,2),(,1)
2AB2
:2
3AByx
①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， (1,2)P1x22
1
34xy
可得
，，代入AB方程，可得
26
(1,)
3M26
(1,)
3N2
2
3yx
，由得到.求得HN方程：
26
(
63,)
3T
MTTH26
(265,)
3H
，过点. 26
(2)2
3yx(0,2)
②假设过点的直线斜率存在，设. (1,2)P
1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy
联立得， 22(2)0
,
1
34kxyk
xy
22
(34)6(2)3(4)0kxkkxkk
可得，， 12
2
12
26(2)
34
3(4)
34kk
xx
k
kk
xx
k
12
2
2
22
28(2)
34
4(442)
34k
yyk
kk
yy
k
且
1221
224
(*)
34k
xyxy
k
联立可得 1
,
2
2
3yy
yx