常微分方程在高中物理中的应用

微分方程在高中物理中的应用

高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。

例如，质量为m的物体从高度H自由下落，所受阻力f与速度v成正比，g为重力加速度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V最终会趋近于某一数值v0。下面我进行一下定量分析。

根据题目所给信息，可列出动力学方程

mg-kv=ma①

a=dv/dt②

结合①式可得mg-kv=mdv/dt

这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③

两边同时积分便可的到

V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k

又∵自由下落，可得t=0时v=.0

∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k④

由④式知，当t趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，

此时v=mg/k⑤

若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。

而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题（2012·山东理综）如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g，下列选项正

确的是

A．P=2mg sinθ

B．P=3mg sinθ

C．当导体棒速度达到v/2时加速度为1

2

g sinθ

D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力

所做的功

我们根据题目也可以列出动力学方程

Mgsinθ-B*2L*2V/R=ma①

a=dv/dt②

同样可以解得v=(mgR sinθ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③

从③式可以看出当t趋近于正无穷时，v=mgR sinθ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sinθ转化而来。所以题目中所说当速度到达V时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运动。