用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
简并微扰论的二级近似公式
(0) n′ l′
) 〉 ]= ∆( n l, n ′ l′
( 17)
其次, 对于 Κ ≠0 情形, { n l} 的正交归一条件应当与 Κ具体取值无关 (0) (1) (0) (1) 2 (2) 2 (2) 利用: n l = Υn l + Κ = Υn ′ + Κ + Κ + … Υn l + Κ Υn l + … n ′ l′ l′ Υn ′ l′ Υn ′ l′ ) ( 〈 n l n′ 〉 = ′ ′ l′ ∆ n l, n l (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (1) (0) (2) 2 )+ Κ ) ( Υn(1) ( Υn(2) 〈 [ Υn l Υn ′ 〉 + Κ Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 〈 〈 l′ l l′ l′ l l′ l′ l′ (3) (0) 3 ) ( Υn l Υn ′ + Κ〈 〉 + …) + … ]= ∆( n l, n ′ l′ l′ (0) (0) ) , 因此要求: ( 由于上式右边第二项为 〈Υn l Υn ′ 〉 = l′ ∆ n l, n ′ l′ (1) (0) (0) (1) 〈Υn l Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 = 0 l′ l′ (2) (0) (1) (1) (0) (2) 〈Υn l Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 +〈Υn l Υn ′ 〉 = 0 l′ l′ l′
∑Ε Υ 〈Υ ∑ (E - E
n″ l″ (1) nl n″ l″ n″ l″ (0) n″ (1) nl n l′
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
I
2002 级物理学专业毕业论文
英文摘要
Abstract
In Quantum Mechanics, the energy-levels of Hydrogen atom are usually degeneration. The degeneration energy-levels of Hydrogen atom which is put into lower uniform electric field are split. Such these systems were dealt with the degeneration perturbation theory. Because of degeneration energy-levels of Hydrogen atom wasn’t completely removed in the first order Stark-effect. In the paper, we have calculated the second order Stark-effect with Mathematica.It was found that the degeneration energy-levels were fully removed, but not completely.
通过实验观察发现，处于均匀弱电场中的第一激发态氢原子所产生的谱线发生了分裂现象，由 于这种现象最初是由德国物理学家斯塔克（Johnnes Stark,1874-1957）观测到，所以被人们称为氢原 子的斯塔克效应[2]。利用简并微扰论计算氢原子的一级斯塔克效应[3~4]发现，原来简并的能级在外电 场作用下分裂为三个能级，一个在原来的上面，另一个在原来的下面，而且能量差是相等的。这样， 没有外电场时的一条谱线，在外电场中就分裂成三条；它们的频率一条比原来稍小，一条比原来稍 大，另一条与原来相等，且上下两条谱线关于中间那条谱线对称。由于第一激发态氢原子的简并度 为 4，根据目前的理论推断，能级最终应该分裂成四条，所以能级简并没有完全消除。
第五章-微扰理论-习题
第五章 微扰理论第一部分：基本概念与基本思想题目1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？2. 00//ˆˆˆˆˆ 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？HH H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。
4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射?5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用?6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同?7. 何为Stark 效应?8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题?9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么?第二部分: 基本技能训练题1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为2222020() 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级).2. 00102030000123100()()**()()()()()ˆ, : H , ||||,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。
H HE a E b a b E E E E a b E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦<<<<3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。
4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用,微扰矩阵元为12211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正.5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即0t -0 t 0e t 0 ( 0 )τεετ<⎧⎪=⎨⎪≥>⎩当当的参数求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。
6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为/a 0x 2()a x a 2b H x b ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩求粒子能量的一级修正。
用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。
这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。
5.2 简并情况下的微扰理论 5.3氢原子的以及斯塔克效应
ˆ ˆ ˆ ˆ H 当加入外电场后， H H ( 0) H' H ( 0) er cos ，ˆ 不再与
ˆ L2 对易，L2 不再是守恒量，但L z 仍是守恒量，即外电场破坏了
z 库仑场的球对称性，但未破坏绕
轴旋转的对称性，能级简并部
分解除。
二、n 2 时体系的近似解
ˆ 1.体系的哈密顿及H ( 0 ) 的本征解 处于沿 z 方向的外电场 中的氢原子体系的哈密顿为
0
R 20 * Y00 * er cos R 21 Y11 r 2 drd
e R 20 R 21 r 3 dr Y00 * cosY11d
利用球谐函数公式
( 1) 2 m 2 2 m2 cosYm Y 1,m Y 1,m (2 1)(2 3) (2 1)(2 1) a m Y 1,m b m Y 1,m
这样，势场原来的球对称性被破坏，变为轴对称, 能级发生分裂, 简并度部分消除,具体解释如下：
无外场时，体系是球对称的，即:
ˆ H ( 0)
2 ˆ es 2 2 L2 (r ) 2 2 2r r r 2r r
ˆ ˆ ˆ H (0) 与L2 和L z 都对易，也就是L2 , L z 都是守恒量；
则有 H'13 e R 20 R 21r 3 dr Y00 * (a m Y21 b m Y01 )d 0
0
同理可得其它矩阵元也为零（, i 1,2) 。 可见矩阵元不为零的定则是: 1, m 0 。
下面计算H'12 和 H'21 ：
ˆ H '12 1 * H ' 2 d R 20 * Y00 * er cos R 21 Y10 r 2 drd
文献综述用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，利用薛定谔方程严格求解的情况屈指可数，对于实际遇到的绝大多数问题来说，往往采用近似方法求得近似解。微扰论就是重要的近似方法之一。由于氢原子只有一个电子，属于最简单的量子体系，在受到外加弱相互作用后，其微扰算符相对简单，所以学者们经常将它做为在这一领域中的研究对象。本课题所要计算的氢原子处于均匀弱电场中的斯塔克效应就是一很经典的实例。在氢原子的斯塔克效应的研究中，现目前在简并微扰理论基础上只能计算到能量的一级修正，没有计算出波函数的一级近似和能量的二级修正。而在能量一级修正下发现能级分裂为三条，与理论上应分裂为四条不符，这说明能级简并没有消除，也为我们进一步研究氢原子的量子结构产生了阻碍，所以计算出氢原子能量的二级修正是必要的。然而由于要根据一般的简并微扰论进行所需的计算是相当复杂的，所以本课题采用数学软件Mathematica来计算氢原子的二级斯塔克效应，以节约计算的时间和提高计算结果的精确度，并对氢原子的二级斯塔克效应和Mathematica应用在本课题中的一些问题展开讨论。
CQWU/JL/JWB/ZY012-13
重庆文理学院本科生文献综述情况表
毕业论文
（设计）题目
用Mathematica计算氢原子二级斯塔克效应
学生姓名
向科
学号
2002466027
系（院）、专业
物理与信息工程系物理学专业
年级
2002级
研究方向
物理学
指导教师
程正富
参考文献情况
国内14篇，国外1篇，共计15篇
2.3氢原子斯塔克效应
氢原子斯塔克效应物理意义
大部分教科书[1~2]都对氢原子斯塔克效应做过介绍。其基本概念为：简并情况下的请原子受到均匀弱电场的作用时，其产生的谱线发生了分裂现象，由于这种现象首先是由德国物理学家斯塔克（Johnnes Stark,1874-1957）首先观测到，所以人们就称之为斯塔克效应。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
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学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。
这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。
那怎么样让这些能量分裂开来，消除简并或者消除部分简并。
是我们一个需要解决的问题。
体系的能量本征值问题，除了少数体系（例如谐振子，氢原子等）外，往往不能严格求解。
因此，在处理各种实际问题时，除了采用适当的模型以简化问题外，往往还需要采用合适的近似解法。
例如微扰论，变分法，绝热近似，准经典近似等。
各种近似方法都有其优缺点和适用范围，其中应用最广泛的近似方法就是微扰论。
氢原子是一种最简单的结构，对于它的研究有助于我们对其他原子的了解，在氢原子中加一外电场构成微扰量。
简并情况下的微扰理论可以用来解释氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象，这现象称为氢原子的斯塔克效应。
l.2 选题的意义氢原子是比类氢离子、氦原子这种单粒子体系要简单的粒子，研究氢原子这种简单的单粒子体系，对于研究复杂的单粒子或更复杂多粒子体系具有重要的意义。
微扰法是解决氢原子斯塔克效应的强有力工具，课本中用微扰法解决了氢原子一级斯塔克效应使能级发生了分裂，用微扰法计算氢原子的二级斯塔克效应看能级是否会继续分裂还是不发生分裂会发生移动，从而很好的解释某个现象。
通过这个计算也为后面计算更复杂的原子体系提供基础。
l.3 本文的主要研究内容本文主要用微扰法在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并也没有消除只是能级发生了移动，这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
n=3时能级也发生了移动。
第二章 氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍简并情况下的微扰理论可以用来解释氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象，这现象称为氢原子的斯塔克效应，我们知道，由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
加入外电场后，势场的对称性受到破坏，能级会发生分裂，是简并部分地被消除。
氢原子在外电场中，它的哈密顿算符包括两部分：'0H H H ∧∧∧=+,0H ∧是未加外电场是氢原子体系的哈密顿算符：2202s e H m r∧=-∇-，'H ∧是电子在外电场中的势能，s e 的定义见[4]，设外电场ε是均匀的，方向沿z 轴，则'cos H e r e z e r εεεθ∧=⋅==通常的外电场强度比起原子内部的电场强度来说是很小的。
0H ∧的本征值和本征函数已在[4]中求出，当n=2时，本征值是442(0)2222288s s s me me e E n a =-=-=- 式中202sa me=是第一波尔轨道半径。
属于这个能级有四个简并态，它们的波函数是32212000011242ra r e a a φψπ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32222100011cos 42ra r ea a φψθπ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32232110011sin 8ra i r e e a a ϕφψθπ-⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32242110011sin 8ra i r ee a a ϕφψθπ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求一级能量修正值，须解久期方程'(1)det 0lj n lj H E δ-= （1）因此，先求出'H ∧在（1）式各态间的矩阵元，由球谐函数的奇偶性，可以看出，除矩阵元'12H 不等于零外，其他矩阵元都是零，所以只要计算'12H 和'21H ：''*'122112H H H d φφτ∧==⎰2202100100()()cos e R r R r r dr Y Y d εθ∞=Ω⎰⎰由于001013,cos 44Y Y θππ==，有00101cos 3Y Y θ=，上述角度积分为13。
''3122120210()()3e H H R r R r r dr ε∞==⎰04040012324ra e rr e dr e a a a εε-∞⎛⎫=-=-⎪⎝⎭⎰将这结果代入久期方程（1），得()()22(1)(1)2220(3)0E E e a ε⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦这方程的四个根是：(1)210(1)220(1)(1)2324330E e a E e a E E εε==-==（1）当(1)(1)22103E E e a ε==时，对应于能级(0)203E e a ε+的零级近似波函数是 ()()(0)21122002101122ψφφψψ=-=- （2）当(1)(1)22203E E e a ε==-时，对应于能级(0)203E e a ε-的零级近似波函数是 ()()(0)21122002101122ψφφψψ=+=+ （3）当(1)(1)(1)223240E E E ===时，对应于能级为(0)2E 的零级近似波函数是对于(1)(1)223E E =，(0)(0)2321124,0ψψψ== 对于(1)(1)224E E =，(0)(0)23242110,ψψψ-==由此可见，在外电场的作用下，原来是四度简并的能级，在一级修正中将分裂为三个能级，简并部分地被消除。
必须进一步考虑能量的二级修正，看是否能将能级完全分裂开来。
第三章 氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算在一次效应的基础上，本文仍然以n =2能级为例， 计算了氢原子的二级斯塔克效应。
一、一次效应许多量子力学方面的著作、学报中，对氢原子的一次斯塔克效应都有很好的讲述。
以n=2为例，能量的一级修正值为(1)203,0,0E e a ε=±与修正能量对应的零级近似波函数为：(0)2013(200210)2E e a ε+→- (0)2211,211E →-(0)2013(200210)2E e a ε-→+ 二、二次效应为计算二级修正，我们需将已消除简并的200与210的线性组合态与仍处于简并的211，211-态分开讨论。
为计算简并态211和211-的二级修正。
我们需要求解久期方程（2）。
'''(2)(0)(0)det0j kj kH kk H E E E βαβαδ∧∧-=-∑（2）其求和式：'''(0)(0)kjkH kk H EEβα∧∧-∑就是：''''''''''''''(0)(0)cos cos kn n nlm r n l m n l m r nl m E E εθεθ-∑考虑到：222222(1)cos 1,1,4(1)141l m l m lm l m l m l l θ+--=++-+-- （3） 可以得到：'''''cos nlm r n l m θ=''''''2222'',221,1(1)(,1,1)4(1)141l mm l l l l m l m nl r n l nl r n l l l δδδ-++--++-+-- (4) 经过仔细计算， 可以得到下述求和式为：''2222'22''22,1(1)(2)(,1,1,+24(1)14(2)1mm l l nl m l m e nl r n l n l r n l l l εδδ-+-+-⎡++⎣+-+-∑+''222222''22(1),1,14(1)141llll l m l m nl r n l nl r n l l l δδ+--++-+-- ''2222''(0)(0)22,2(1),1,1,2)/()414(1)1n l l n l m l m nl r n l n l r n l E E l l δ+---+------- 因此在α和β分别为211和211-的情况下。