第五章思考题

第五章思考题

1．简述定态微扰论的基本思想。

解答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧

∧∧'+=H H H )0( ||||)0(∧∧'>>H H ，其中 )0()

0()

0()0(n n n E H ψψ=∧，即∧)0(H 的本征值)0(n E 和本征函数

)0(n

ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧

'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开

⎩⎨⎧+++=+++= )2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ )

0(n E 与)0(n ψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H 的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。

2．非简并定态微扰论的适用条件是什么？

解答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n m n E E H -<<'，一是要求

微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m n E E -较大。

3．证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。

解答：能量的二级修正)0()0(2)

2(||m

n nm m n

E E H E -''=∑，若)0(n E 为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)2(n

E 永为负值。

4．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简

并能级情况可用非简并态微扰处理？

解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于f 度简

并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即

αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||，

此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。

5．量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程),(),(t x H t

t x i ψψ=∂∂ 具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。

6．非简并态微扰为什么不适用于所谓近简并情况？

答：在能级非常靠近（即所谓近简并）的情况下，除了上题所述不能适应定态微扰法的特例之外。一般而言，不能应用非简并态的定态微扰法，因为这时能级虽然是非简并的，但由于彼此靠的很近，在受到微扰之后，不一定是均匀平移，而可能是彼此相混，重新组合形成新的能级新的态，这时对于近简并应采用类似于简并态的子空间中将'H对角

的态函数。

7．能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？

答：能级简并一般说来总是与体系的某种对称性相联系，如微扰'

H与0H具有完全相同的对称性，微扰只能使原来能级发生移动而不能发生分裂，即不会导致简并的接触，此时无论求多少级修正，简并仍维持。如微扰'H比

H的对称性低，微扰使体系的对称

性受到部分甚至全部破坏。这时原来的能级简并可以部分解除甚至完全解除，从对称性的考虑可指明：简并能级最多能分裂为几条，因而，如一级修正没达到，就可做第二次……直到达简并解除的上限，但对能级分裂的大小等细节则提供不出任何信息。

8．如果微扰知'ˆH，那么，我们便可将'ˆH在0ˆH的表象中对角化，从而求得'ˆH的本征解。这样，近似计算还有什么意义呢？

答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有

什么直接的关联，我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性，只要保持这种对称性，那么即使是精确解，其能级也是简并的。如氢原子。如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么一般说来，简并应当消除或部分消除。

应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解，非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的。简并态微扰法中由于微扰的作用，不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解。从理论上说，只要能写出力学量在某一表象中的矩阵元，便可以应用对角化方法求出该力学量的本征解。但在实际上，这并不是一个普遍行之有效的方法。因为对于稍微复杂的实际问题，久期方程已是高阶行列式方程，而高阶行列式方程通常都是无法精确求解的（进台可用电子计算机求解，那实际上亦是近似计算）。因此，尽管存在矩阵对角化方法，一般情况下也只能做到近似对角化。

9．什么是等能跃迁？

答：量子跃迁中，始末量子态能量可以不等，也可以相等。对于后者，便称为等能跃迁。如粒子的弹性散射，边属于等能跃迁。粒子在散射前后处于不同的自由态，动量方向发生变化而能量保持不变。

10．辐射的谱线位置与谱线强度各取决于什么因素？

答：辐射（吸收）的频率取决于跃迁频率

W，即始末态能量差，

mk

如入射光是单色光，便等于入射光频率。

谱线强度取决于跃迁速率。

11．为什么原子辐射时，辐射的光子能量总是小于电子跃迁的能级差？

答：这是由于电子从高能级跃迁到低能级时，相差的能量一部分转变为核的动能（为保持体系动量守恒），不能完全转化为辐射光子的能量。

12．氢原子中能量量子化与角动量量子化是如何发生的？其物理实质是什么？量子力学中电子轨道还是量子化的吗？

答：能量量子化是由径向波函数的有限性所要求的。角动量2L 与角动量投影

Lˆ的量子化是由角分布函数Y（θ，ψ）的有限性与单值性

Z

所要求的。从物理上说，能量量子化是由于电子在库仑势作用下处于束缚态的结果。角动量化是由于空间方向的周期性（以2π为周期）所造成。在量子力学中，轨道的概念失去了意义，当然也就是无所谓轨道量子化。

13．如果有心力场不是库仑场（V（r）不与1/r成比例），角分布函数将取什么形式？

答：只要是有心力场，波函数中，r与θ、ψ变量即可分离，共角分