东南大学固体物理基础 定态微扰理论
非简并定态微扰理论
支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学 发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不 断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的 重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步 发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征 态，特别是当系统受到微小扰动 时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描 述原子能级的分裂和跃迁，解释 原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以 计算出原子在不同能级间跃迁时 产生的辐射频率，从而推导出光 谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原 子的磁性，包括电子自旋磁矩和 轨道磁矩，以及原子磁矩的进动 等现象。
02 非简并定态微扰理论的基 本概念
定子在 不受外界作用力下的状态，其能量是 一定的。定态可以用波函数来描述， 波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改 变定态的能量和波函数。微扰可以分 为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰
大一东南大学物理知识点
大一东南大学物理知识点物理学是一门研究物质、能量以及它们之间相互作用的学科。
作为一门基础科学，物理学为我们解释了世界的运行规律，无论是宏观的天体运动，还是微观的原子结构，都离不开物理学的理论和实验。
在大一的学习中，我们需要掌握一些重要的物理知识点，下面就来介绍一些东南大学大一物理课程中的重要知识点。
1. 力和运动在物理学中，力是指物体之间相互作用的结果。
运动是物体位置随时间变化的过程。
力对于物体的运动起到了至关重要的作用。
在学习物理学的过程中，我们需要理解牛顿三定律，即物体的运动状态会受到外力的影响，力的大小等于物体质量乘以加速度，以及任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
此外，我们还需要学习运动的描述，包括位移、速度和加速度的概念，并学会运用简单的公式进行计算。
2. 动力学动力学研究的是物体在受到力的作用下的运动规律。
在大一物理课程中，我们需要学习牛顿第二定律，即力等于物体质量乘以加速度，以及牛顿第三定律，即任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
通过运用这些定律，我们可以解决各种关于物体运动的问题，例如求解物体的加速度、速度、位移等。
3. 动能和势能动能和势能是物体的两种重要的能量形式。
动能是由于物体的运动而产生的能量，它与物体的质量和速度有关。
势能是由于物体处于某个位置而具有的能量，它与物体的位置和相互作用力有关。
在学习过程中，我们需要理解动能和势能的概念以及它们之间的相互转化关系，例如重力势能和机械能的概念，并能够应用它们进行问题求解。
4. 热学热学是研究热能和热现象的科学。
在大一的物理课程中，我们需要了解温度、热量和热平衡的概念，以及热传导、热辐射等热传递方式。
此外，我们还需要学习热力学第一定律和第二定律，理解内能、功和热量的关系，以及热机和热效率等概念。
5. 光学光学是研究光的传播、反射、折射、干涉等现象的学科。
大一的物理课程中，我们需要学习光的直线传播、反射定律、折射定律以及光的波动性和粒子性等基本概念。
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
量子力学-固体物理基础
1905年Einstein假设一束单色光由辐射能量大小 为h的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时， 是以“微粒”形式出现，这种“微粒”就是“光量 子”，一个光量子带有能量h。
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：光电效应与Einstein的光量子
电子要飞离金属，必须克服
吸引而做功(克服脱出功)，所以
其中 0 2 。
第一章 微观粒子的状态
第一章
微观粒子的状态
§1.1 量子力学的起源 §1.2 波函数 §1.3 薛定谔方程 §1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子 §1.5 定态微扰理论
第一章 微观粒子的状态：§1.3 薛定谔方程
处于 2 态的几率为 c 2
2
2
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：态的叠加原理
态叠加原理： 如果 1， 2 ， „ n „是体
系的可能状态，则它们的线性叠加也是体系 的一个可能态。
c11 c2 2 cn n
cn n
n
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：波函数的归一化条件和标准条件
单缝
双缝
三缝
四缝
Hale Waihona Puke 中子在Na单晶晶体上的衍射：
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
h P n k
h p
h 2m E
例：一个50kg的人运动速度是1m/s，其波长是？
h 6.626 1034 J s 1.33 1035 m p 50kg 1m / s
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
实物粒子的波粒二象性
第五章微扰理论
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征
值 E n (0) ，本征矢 |ψn(0)> 满足如下本征方程：
Hˆ (0)
第五章 近似方法
基本要求
1 掌握定态微扰理论. 2 了解原子在外电场中的能级分裂--斯 塔克效应(定态微扰理论的应用举例) 3 掌握含时微扰理论. 4 掌握原子的光发射和光吸收过程以及 原子跃迁的选择定则. 5 掌握变分法
教学内容
§1 非简并定态微扰理论
§1
§2 简并微扰理论
§2
§3 斯塔克效应
§3
|
(2) n
Hˆ (1)
|
(1) n
]
2
E (0) n
|
(0 n
)
[
E (0) n
|
(1) n
E
(1) n
|
(0 n
)
]
[
E
(0) n
|
(2 n
)
E
(1) n
|
(1) n
E (2) n
|
(0) n
]
3
[] 3
[]
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
如下一系列方程式:
0 :
Hˆ (0) |
E | (0)
(0)
n
n
( 0 )
n
1 :
Hˆ (0)
| (1) n
Hˆ (1)
| (0) n
E (0) n
东南大学“固体物理基础”试卷
“固体物理基础”试卷姓名 班级学号一． 填空（40分） 1． 德布罗意关系式把粒子和波联系起来了，粒子的能量E 与波的频率ν、粒子的动量p ϖ 和波矢k ϖ之间的关系分别是 和 。
2． 常数为我们提供了何时必须用量子力学的方法来处理问题的判据。
3．无限空间中自由电子能量是 ；而孤立原子中的电子能量表现为形式；晶体的中的电子能量呈现 形式。
4． 一维运动的粒子处在{),3,2,1()(2sin0)(Λ=+=n a x a n A x πψ ax a x <≥的状态，归一化波函数为;粒子在空间（|x|<a ）某一点x 处出现的概率为 。
5． 玻色-爱因斯坦分布与麦克斯韦-玻耳兹曼分布的区别在于前者的粒子是 （提示：可否区分），后者的粒子是 ；玻色-爱因斯坦分布与费米狄拉克分布的区别在于前者粒子 泡利不相容原理，后者的粒子 泡利不相容原理。
6．“无限深势阱”、“谐振子”和“氢原子”模型均属束缚态问题，它们的定态薛定谔方程的解其能量特性具有这样一些共性： 。
7．布喇菲点阵中的点代表 。
8．晶体中原子排列的最大特点是 。
9．体心立方晶体中每个固体物理学原胞含 个原子；每个结晶学原胞含 个原子。
面心立方晶体中每个固体物理学原胞含 个原子；每个结晶学原胞含 个原子。
10．晶格常数相同的简立方、体心立方和面心立方其结晶学原胞之比为 ；固体物理学原胞之比为 ；第一布里渊区的体积之比为 ；第二布里渊区的体积之比又为 。
11．由N 个原子构成的、长度为L 的一维单原子晶格，若晶格常数为a ，那么其倒格子空间的基矢大小为 ，第一布里渊区的范围为 ，考虑边界条件的限制使得k 取分立的值，在第一布里渊区里电子允许的状态（即k 的取值）有 个，每个k 状态所占据的线度为 。
12．晶格振动产生格波，格波的波矢数目等于 ；格波的频率数目等于 。
若由N 个原胞构成的金属钠晶体（三维），允许有 个声学波在当中传播、 个光学波在当中传播。
第五章 微扰理论
第五章微扰理论经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。
微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
固体物理 第4章 能带理论2
k V k 0
Vn
2 2
最后得：
(1)
( 2) Ek
2 2 n k k 2 2m a
k （3）
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) k n
Vn 2 2 n k k 2 2m a
2
e
a
能量的抛物线形状。能量较高的能带较宽，较低的能带较窄； 跃变处的能量间隔随着n的增加而增加。
由于周期性边界条件使得k只能取k
l (2 ) Na
l 为整数。每一个 l 对应
一个量子态，当N足够大时，k的取值非常密集，相应地能级也十分 密集成为准连续的。这些准连续的能级以间断点划分成一系列带， 如上图。
其中利用到： k V k k V k 0, k V k k V k Vn
该关于A，B的齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零 即； 0
E Ek Vn Vn 0 0 E Ek
得到：
1 0 E0 E0 0 E Ek Ek k k 2
k V k
能量非简并： (1) （1）E k
（2）E k
( 2)
(1) Ek k V k k V ( x) k k V k 0
k V k k V ( x) k k V k k V ( x) k
1 N 1 = i ( k k ) x e V ( x)dx Na n 0 na 令 x na ，则 V ( na) V ( ) ，于是有
2Tn 2 1 V Tn Vn Tn V n E 2Tn V T V 2T 1 n n n V n
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零级波函数
1个思想 3个非简并公式 2个简并公式
问题1：定态微扰基本思想
定态薛定谔方程 H E （1）
Hˆ Hˆ 0 Hˆ
定态薛定谔方程 H E （1）
设 Hˆ Hˆ 0 Hˆ
（2）
E E (0) E (1) E (2)
（3）
(0) (1) (2)
（4）
将（2）、（3）、（4）代入（1）式，比较两 端同级的量
Hˆ Hˆ 0 Hˆ 已知：来自Hˆ00
n
En0
0
n
Hˆn Enn
定态微扰理论
背景
• 在遇到的许多问题中，由于体系的哈密顿 算符比较复杂，往往难以求得精确解，而 只能求近似解。
• 该类近似方法（微扰法是其中之一）：通 常从简单的问题的精确解出发，求较复杂 问题的近似解。
• 视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态 和非定态两大类。
内容概要
• 问题1：定态微扰基本思想 • 问题2：非简并定态微扰能量的一级、二级