简并定态微扰论.
简并定态微扰论
En
E (0) n
En (1)
2En(2)
L
（5.2.5）
cnv
c(0) nv
c(1) nv
Hale Waihona Puke c2 (2 nv)L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
Em(0) (cm(0u)
cm(1u)
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级En(0)中，不同简并态 u, v 之间
的矩阵元 Hm u,nv 为 Hu,v ，则上式可写为：
fn
(Huv En(1)uv )av 0
v 1
（5.2.13）
上式是一个以系数 av为未知数的线性方程组，它有非
零解的条件为：
(0) nv
E
c (0) nv nv
（5.2.3）
nv
nv
nv
5.2 简并定态微扰论
以
( 0 )* mu
左乘上式，对全空间积分后，有
Em(0)cm cnv Hm u,nv Ecm
mu
其中
Hm u,nv
(0) mu
|
Hˆ
|
(0) nv
（5.2.4）
按照微扰论的精神，将Hˆ 的本征值和在Hˆ 0表象中的本
在非简并情况下由一级微扰确定一级波函数和能量修正二级微扰来确定二级波函数和能量修正但在简并微扰情况下由一级微扰确定零级近似波函数和一级能量修正二级微扰确定一级近似波函数和二级能量修正
第五章微扰理论
2b 2 2 nπx 2b nπx ( 0 )∗ (0) = ∫ψ n H 'ψ n dx = − sin dx + sin 2 dx ∫ ∫ a 0 a a a a 0
a a 2 nπ
a
2b ＝− nπ
＝−
2b sin ydy + ∫ nπ 0
2
2
nπ
n
∫ sin π
2
2
ydy ⎞ ⎟＝0 。 ⎠
−n
2 3
)
[1 − (− 1) ] sin mLπ x
m+ n
。
⎧− b,0 ≤ x ≤ a / 2, 例 4、粒子处于宽为 a 的一维无限深势阱中，若微扰为 H ' = ⎨ 试求粒子 ⎩ b, a / 2 ≤ x ≤ a, ，
能量和波函数的一级修正。 解： （1）能量的一级修正，按公式
E
(1) n
m+ n
−1
] [
，
所以波函数的一级修正为：
(1) (x ) = ψn
∑
m
'
2 μL2 4 Lamn (− 1)m+ n − 1 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 π h (n − m ) (m − n ) π
]
2 mπ sin x L L
4
8μL3 an ＝ 4 2 π h
2 L
∑
m
'
(m
m
2
2
。
E ( 0) + b a ⎞ ( 0) ˆ ( 0) 表象中的表示为 H = ⎛ ⎜ 1 ⎟ ，其中 E1 例 1、设体系的哈密顿在 H , E (20) 为 (0) ⎜ a ⎟ E2 + b⎠ ⎝
量子力学基础简答题(经典)
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22∙是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级
修正公式
1简单并和非简单并定态的微扰理论
微扰理论是物理上最重要的框架，用来研究量子多体系统的结构和性质。
简单和非简单并定态的微扰理论是用来描述不可能的多原子系统的极端的应用。
它们的重要性在于能够提供一条整合多种量子效应的清楚的理论框架。
2简单并和非简单并定态微扰统一理论
简单并和非简单并定态的微扰理论是一个统一理论，用来描述在量子多体系统中发生的各种效应。
它使用一般的有效势来说明系统的性质，并预测结果。
它也包含有第一性原理，基准状态，以及不同形式的高阶内部势。
简单并和非简单并定态的微扰理论通过集中许多低能量的可解象的状态而形成的，认为它能够获得较低的能量，而且也能够提供更精确的描述。
3能量二级修正公式
能量二级修正公式是根据简单并和非简单并定态微扰理论建立起来的公式。
它使用一系列数学符号来表示量子系统的位置和力应力，以及它们之间的关系。
它的核心是一种叫做单自由维度的方法，用来对多体系统的有效势进行无穷展开，从而发现能量级修正的效应。
经
过此种修正，结果可以优化到更高的能量水平，从而更好地描述多原子系统的性质。
4结论
简单并和非简单并定态的微扰理论和能量二级修正公式是用来描述量子多体系统的重要框架。
它们统一了许多量子效应，提供了较低的能量水平，以及更可靠的结果。
它们对于更好地描述和预测多体系统的性质至关重要。
多体系统中的微扰理论简介
多体系统中的微扰理论简介引言：多体系统是指由多个粒子组成的系统，其中每个粒子都与其他粒子相互作用。
研究多体系统的行为和性质是理论物理学的重要课题之一。
微扰理论是一种常用的方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
本文将简要介绍多体系统中的微扰理论。
一、微扰理论的基本思想微扰理论是一种近似方法，通过将系统的哈密顿量分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，来研究系统的性质。
基本思想是将扰动项视为小量，通过级数展开的方式求解。
微扰理论在量子力学、统计物理学等领域有广泛应用。
二、微扰理论的形式表达微扰理论的形式表达通常采用级数展开的形式，可以通过求解一系列的微扰项来逐步逼近真实的系统。
一般而言，微扰理论可以分为非简并微扰理论和简并微扰理论两种情况。
1. 非简并微扰理论非简并微扰理论适用于系统的能级不发生简并的情况。
在这种情况下，通过将扰动项加入到系统的哈密顿量中，可以得到一系列的修正能级。
通过逐阶计算修正能级，可以得到系统的能级结构的近似解。
2. 简并微扰理论简并微扰理论适用于系统的能级发生简并的情况。
在这种情况下，需要通过对简并子空间进行对角化来求解系统的能级结构。
简并微扰理论中，还存在一阶微扰和高阶微扰的概念，通过求解一系列的微扰项，可以得到系统能级的修正。
三、微扰理论的应用微扰理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 量子力学中的微扰理论微扰理论在量子力学中有广泛应用，用于求解各种系统的能级结构。
例如，氢原子中电子的自旋-轨道耦合问题可以通过微扰理论求解。
2. 统计物理学中的微扰理论统计物理学中的微扰理论可以用于求解复杂系统的平均性质。
例如，通过微扰理论可以计算气体的压强、磁化率等宏观性质。
3. 固体物理学中的微扰理论微扰理论在固体物理学中也有重要应用。
例如，可以通过微扰理论来计算固体中电子的能带结构和输运性质。
结论：微扰理论是一种重要的近似方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
量子力学讲义V. 定态微扰论
V. 定态微扰论1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。
答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。
For personal use only in study and research; not for commercial use2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。
已知。
则正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？For personal use only in study and research; not for commercial use答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．4.一维谐振子，其能量算符为 (1)设此谐振子受到微扰作用(2)试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。
解：的本征函数、本征值记为。
如众所周知（3）在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：（5）（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：（7）（8）（9）本题显然可以精确求解，因为令可以写成（10）和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为（11）因为，将作二项式展开，即得：（12）和微扰论结果完全一致。
5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)解：加电场前，基态波函数为，（波尔半径）（1）满足能量方程（2）其中视外电场为微扰，微扰作势为（3）由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，(4)波函数的一级微扰修正满足方程（5）除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成(6)代入（5）式，并计及其中由式（5）可得满足的方程（7）为边界条件为处，。
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。
它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。
3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。
在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。
下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。
首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。
对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。
微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。
在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。
这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。
可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。
最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。
但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。
定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。
对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。
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比较 的系数，给出
(0) (0) 0 : ( En (0) Em )cmu 0 (0) (1) (0) (0) ,nv 0 （5.2.8） 1 : ( En(0) Em )cmu En(1)cmu cnv H mu nv
LL
5.2 简并定态微扰论
如果讨论的能级是第 n 个能级，则
5.2 简并定态微扰论
2. 经过重新组合后的零级波函数 n(0) 彼此正交，满足
|
(1) n
(1) n
（5.2.17）
3. 简并微扰法的重要精神在于：重新组合简并态的零 级波函数，使得 H 在简并态所构成的子空间中对 角化。在这样处理后，能级修正公式
ˆ | (0) E(1) n(0) | H n n mu 左乘上式，对全空间积分后，有
(0)*
(0) ,nv Ecm Em cm cnv H mu mu
（5.2.4）
(0) ˆ (0) 其中 Hmu ,nv mu | H | nv
ˆ 表象中的本 ˆ 的本征值和在H 按照微扰论的精神，将H 0 征函数 cnv 按 的幂级数做微扰展开：
当m n 时，得能级的一级修正为
,nv 0 En(1) au av Hmu
v
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级En(0) 中，不同简并态 u , v 之间 ,nv 为 Hu 的矩阵元 Hmu ,v ，则上式可写为：
(1) ( H E uv n uv )av 0 v 1 fn
5.2 简并定态微扰论
除一维束缚态外，一般情况下能级均有简并。简并微 扰比非简并微扰更具普遍性。
(0) ˆ f E 假定 H0 的第 n 个能级 En 有 n 度简并，即对应于 n (0) nv (v 1,2,3L ) 。现在的问题是， 有 f n 个本征函数
我们不知道在这 f n个本征函数中应该取哪一个作为微 扰的本征函数。因此，简并微扰的首要问题是：如何 选择适当的零级波函数进行微扰计算。
ˆ 的本征方程是 设H 0
(0) (0) (0) ˆ H0 nv En nv
（5.2.1）
5.2 简并定态微扰论
归一化条件为
(0) (0) (0)* (0) mu | nv mu ( x ) nv ( x )dx mn uv
(0) 由于 是完备系，将 按 nv 张开后，得
(0) nv
ˆ 的本征方程是 H ˆ ( H ˆ H ˆ ) E H 0
(0) cnv nv nv
（5.2.2）
则 H的本征方程是
(0) (0) ˆ c E cnv H nv Ecnv nv （5.2.3） (0) nv n (0) nv nv nv nv
5.2 简并定态微扰论
(0) (0) n a v nv v (0) (1) En En En
（5.2.15） （5.2.16）
由此可见，新的零级波函数实际上是原来第 n 个能级上 的各简并本征函数的线性叠加。 下面我们对上述结果作一些说明： 1. 前面讨论过，简并来自对守恒量的不完全测量。 (0) 由上式可见，无微扰的能级 En 经微扰后裂为 f n (0 ) 条。它们的波函数由各自相应的 n 表示。这时 简并完全消失。
(0) (0) ( En(0) Em )cmu 0
（5.2.9）
即 （5.2.10） au是一个待定的常数。在由一级近似的薛定谔方程得
(0) (1) ,nv 0 （5.2.11） ( En(0) Em )cmu En(1) au mn a Hmu
(0) cmu au mn
（5.2.13）
上式是一个以系数 av 为未知数的线性方程组，它有非 零解的条件为：
En (1) uv 0 det H uv
（5.2.14）
这是个 f n 次的久期方程。由这个久期方程可以解出E (1) (1) 的 fn 个根 En ，将这 f n 个根代入线性方程组，可得出相 应的 f n 组解 a v ，从而给出零级波函数和能量本征值 的一级修正，他们分别为：
与非简并微扰公式完全相同。
（5.2.18）
5.2 简并定态微扰论
4. 在非简并情况下，由一级微扰确定一级波函数和 能量修正，二级微扰来确定二级波函数和能量修 正，但在简并微扰情况下，由一级微扰确定零级 近似波函数和一级能量修正，二级微扰确定一级 近似波函数和二级能量修正。
En En (0) En (1) 2 En (2) L
（5.2.5）
(0) (1) (2) cnv cnv cnv 2cnv L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
(0) (0) (1) (2) (0) (1) (2) ,nv Em ( cmu cmu 2 cmu L ) ( cnv cnv 2 cnv L )H mu nv (0) (1) (2) ( En (0) En (1) 2 En (2) L )( cmu cmu 2 cmu L （ ) 5.2.7）