定态微扰理论回顾

第六章微扰理论

ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1

ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n

( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。

非简并定态微扰理论

支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征态，特别是当系统受到微小扰动时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描述原子能级的分裂和跃迁，解释原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以计算出原子在不同能级间跃迁时产生的辐射频率，从而推导出光谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原子的磁性，包括电子自旋磁矩和轨道磁矩，以及原子磁矩的进动等现象。
02 非简并定态微扰理论的基本概念
定子在不受外界作用力下的状态，其能量是一定的。定态可以用波函数来描述，波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改变定态的能量和波函数。微扰可以分为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰

5.1非简并定态微扰理论

所以右边,
ψn
( 0)
ˆ (1) − E (1) ) |ψ (0) >= 0 (H n n
能量的一级修正
E
(1) n
= ψn
n( Βιβλιοθήκη )(1)ˆ (1) | ψ (0) > H n
能量一级修正λ E
λE = ψ n
(1) n
( 0)
ˆ (1) |ψ (0) >= ψ ( 0) H ′ |ψ (0) > ˆ λH n n n
(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ H (0) | ψ n > + H (1) | ψ n >= En | ψ n > + En | ψ n > + En | ψ n >
左乘
( ψn0)
E
(2) n
= ψ
∞ l =1
(0) n
H
(1)
(1) |ψ n >
(1) |ψn >= ∑al(1) |ψl(0) >( l ≠ n)
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: 得到如下一系列方程式:
λ :
0
ˆ (0)ψ (0) = E (0)ψ (0) H n n n ˆ (0) ψ (0) = E (0) ψ (0) H
n n n
(5.1-8)
ˆ (0) − E (0) )ψ (1) = −( H (1) − E (1) )ψ (0) ˆ λ : (H n n n n ˆ (0) − E (0) ) ψ (1) = −( H (1) − E (1) ) ψ (0) ˆ (H

§51 非简并定态微扰理论

§5.1 非简并定态微扰理论重点：微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b ）可写成（5.1-5）由于、E n 都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为的幂级数。

（5.1-6）（5.1-7）式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。

将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得（5.1-8）空虚等式两边同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：（5.1-9）（5.1-10）（5.1-11）将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，理解为能量和波函数的一级修正。

（二）一级微扰（1）能量的一级修正为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边（5.1-13）于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。

（2）波函数的一级修正已知，由（5.1-10）式可求得。

为此我们将按的本征函数系展开（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。

为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：得到（5.1-16）令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得（5.1-18）代入（5.1-15）式，得（5.1-19）上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。

定态微扰

定态微扰在实际问题中，薛定谔方程大多数是不能够精确求解的，因此要借助一些技巧来近似求解，如果我们能够把哈密顿量分解成两部分H? H?o H，并且H?o能够精确求解，且知其能量本征态方程为H o Ej EjEj，能量本征态并不简并，也就是说，不同的本征态对应着不同的能量，没有两个不同的能量本征态对应着相同的能量值，我们可以把H?'看作是对H?o能量本征值和本征态的一种微扰。

设H? E） E n E），E）是H?能量本征态，而E.为相应的本征值。

由于有H?0|EJ E n|Ej，因此H?o的所有的本征态｛EJ｝构成一组正交完备的基，体系的任何量子态均可以用这一组基来展开。

) n E n), n (.En )。

n由H? E) E n E”），H ?『可知(E n H?o) E n)旳E")（1）F面介绍微扰的思想，我们将的能量本征态E）和能量本征值En进行逐级展开设En)巳)1 |2(2)其中E n；，1,2；,…分别为零级，1级、2级，…E n E n a1 a2・・・・(3)其中E n.a i.a2,...，分别为零级，1级、2级，…将(2) (3)式分别代入(1)式得到(E n H?0 a i a2 ....)(E n) |1)2 ...)H?'(EJ 1 |2)...)(4)并令(4)式的同级相等，注意E n ?是零级，H?'是一级。

规则是两项相乘等于其级相加，例如(E n H?o) En；』E n.分别为零级和1级，而(E n H o) 14 1分别为1级和2级。

简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式

简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级
修正公式
1简单并和非简单并定态的微扰理论
微扰理论是物理上最重要的框架，用来研究量子多体系统的结构和性质。

简单和非简单并定态的微扰理论是用来描述不可能的多原子系统的极端的应用。

它们的重要性在于能够提供一条整合多种量子效应的清楚的理论框架。

2简单并和非简单并定态微扰统一理论
简单并和非简单并定态的微扰理论是一个统一理论，用来描述在量子多体系统中发生的各种效应。

它使用一般的有效势来说明系统的性质，并预测结果。

它也包含有第一性原理，基准状态，以及不同形式的高阶内部势。

简单并和非简单并定态的微扰理论通过集中许多低能量的可解象的状态而形成的，认为它能够获得较低的能量，而且也能够提供更精确的描述。

3能量二级修正公式
能量二级修正公式是根据简单并和非简单并定态微扰理论建立起来的公式。

它使用一系列数学符号来表示量子系统的位置和力应力，以及它们之间的关系。

它的核心是一种叫做单自由维度的方法，用来对多体系统的有效势进行无穷展开，从而发现能量级修正的效应。

经
过此种修正，结果可以优化到更高的能量水平，从而更好地描述多原子系统的性质。

4结论
简单并和非简单并定态的微扰理论和能量二级修正公式是用来描述量子多体系统的重要框架。

它们统一了许多量子效应，提供了较低的能量水平，以及更可靠的结果。

它们对于更好地描述和预测多体系统的性质至关重要。

5微扰理论

，若 En(1) 的k个根都不相等，则一级微扰
可以将k度简并完全消除；若 En(1) 有几个重根，说明简并只是部分被消除，必须进一步考虑能量的二级修正，才有可能使能级完全分裂开来。
5.3 氢原子的一级Stark效应
将原子置于外电场中时，其谱线发生分裂的现象称Stark 效应。
本节我们以简并态微扰论来讨论H原子Laman线系第一条谱线的分裂。
H12 H 22
H1k H 2k
H k1
( H k 2 H kk En1)
0
(5)
这个行列式方程称为久期方程，解这个方程可以得到
(1) 能量一级修正 En(1) 的k个根 Enj
( j 1,2,3k )
( 0) (1) 因为 En En En
(6)
( ( ( ˆ ( ˆ ( ( En0) H ) n En ck k0) k n k n
(6)
用
(0)* n
左乘（6）式并积分就得到
( En0) H nn ck H nk En k n

上式左边为零，得
(1) ( H mi En mi )ci(0) 0, l 1,2k i 1 k
(3)
式中
H mi H ni d
* nm

(4)
ci( 0 ) 为未知量的一次齐次方程组，它（3）式是以系数
有不全为零的解的条件是：
( H11 En1) H 21
0 0 0
( E20 )
3ea0 0 0
0
0
即
( ( ( E20) ) 2 [(E21) ) 2 (3ea0 ) 2 ] 0 (1 E21) 3ea0 (1 (1 E23) E24) 0 (0 E22 ) 3ea0

§5.1 非简并定态微扰理论

§5.1 非简并定态微扰理论重点：微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成（5.1-5）、E n都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为由于的幂级数。