专题04 三角函数与解三角形-汇集名校资源之三年(2016-2018)衡中高三数学(理)模拟试卷分项版(解析版)
图象的对称轴方程为 的最大值为
学,科,网...
的图象上存在点 ，使得在 点处的切线与直线 的两个不同的解分别为
[来源:]
平行 最小值为
，
，则
12.【2017 河北衡水中学高三上学期四调】已知函数 f x A cos x 0 的部分图象如图所示，下 面结论错误的是（ ）
，得
，可得其中一个对称中心为
14. 【2017 河北衡水中学高三二调】已知函数 f x 2sin x sin x 3 是奇函数，其中 0, 函数 g x cos 2 x 的图象（ ）
,则 2
A．关于点
, 0 对称 12
（ ，命题 ：将 ）
，
）的部分图
的图象向右平移 个单位，
A.
为真
B.
ห้องสมุดไป่ตู้
为假
C.
为真
D.
为真
【答案】D
【解析】由 因为 将 得 所以 故 选 D. 为假， ，所以
，可得
.解得
.
，故 为真命题；
图象所有点向右平移 个单位， .的图象，故 为假命题， 为真， 为假， 为真.
7. 【2018 河北衡水中学高三二调】已知函数 对称，则函数 的图像（ ）
5. 【2018 河北衡水中学高三分科综合测试】已知函数
交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为 是（ A. 【答案】B ） B. C. D.
和
，则该函数图像距离 轴最近的一条对称轴方程
6. 【2018 河北衡水中学高三 9 月联考】已知函数 像如图所示，其中 得到函数 .记命题 ： 的图象，则以下判断正确的是（
cos A sin B 0 ，所以是 cos A 0, A 直角三角形或者 B 0, B , 2 B A C . 2 3 3 3
考点：解三角形．
16. 【2018 河北衡水中学高三五调】如图，周长为 1 的圆的圆心 C 在 y 轴上，顶点 A(0,1) ，一动点 M 从
A．函数 f x 的最小正周期为
2 3
B．函数 f x 的图象可由 g x A cos x 的图象向右平移 C.函数 f x 的图象关于直线 x
12
个单位得到
12
对称
D．函数 f x 在区间 ， 上单调递增 2 4
2
3 cos A sin A cos B ，则（
）
3
B． 2b a c D． a b c 或 2 B A C
2 2
C． ABC 是直角三角形 【答案】D 【解析】
试题分析：由三角形内角和定理，得 sin A B
3 cos A sin A cos B ，化简得
，
【答案】D 【解析】 则 关于 对称， 取到最值， 则
当 当 故选
时，原式 时，原式
点睛：本题考查了三角函数的对称性，根据题目条件可得函数关于
对称，此时
与
分别取到最值和零，这里需要注意，在计算其结果时注意分类讨论两种情况的存在 3. 【2018 河北衡水中学高三二调】已知函数 线 （ A. 【答案】C ） B. C. D. 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 （ ， ） ，其图像与直
（ 为常数，
）的图像关于直 线
A. 关于直线 C. 关于点
【答案】A
对称 对称
B. 关于点 D. 关于直线
对称 对称
8.【2017 河北衡水中学高三押题卷二】 若 A. 【答案】A 【解析】由题意可得： 结合两角和差正余弦公式有： B. C. D.
，
，则
的值为（
）
，
. 本题选择 A 选项.
9. 【2017 河北衡水中学高三押题卷三】已知函数 的图象（ A. 可由函数 B. 可由函数 C. 可由函数 D. 可由函数 【答案】D 【解析】由已知得， 位而得，故选 D.学.科网 10.【2017 河北衡水中学高三二模】 已知奇函数 则 的图象可由函数 ） 的图象向左平移 个单位而得 的图象向右平移 个单位而得 的图象向左平移 个单位而得 的图象向右平移 个单位而得
【答案】D
考点：三角函数的图象和性质. 13. 【2017 河北衡水中学高三押题卷】已知函数 象如图所示，则函数 图象的一个对称中心可能为（ ） 的部分图
A.
【答案】C
B.
C.
D.
【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知
，又
，即
，所以
．则
，图象过点
，则
，即
，所以
，又 ，令
，则
．故
，令 ．故本题答案选 ．
的最小正周期为 ，则函数
的图象向右平移 个单
的导函数
的部分图象如图所示，
是最高点，且
是边长为 的正三角形，那么
（
）
A. 【答案】D
B.
C.
D.
11.【2017 河北衡水中学高三押题卷二】已知函数
的图象如
图所示，令
，则下列关于函数
的说法中不正确的是（
）
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 方程 【答案】C
AM x ，直线 AM 与 x 轴交于点 N (t , 0) ，则函数 t f ( x) A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
B．可由函数 f x 的图象向右平移 C．可由函数 f x 的图象向左平移 D．可由函数 f x 的图象向左平移 【答 案】C 【解析】
3
个单位得到 个单位得到 个单位得到
6 3
考 点：三角函数图象变换．
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
15. 【2017 河北衡水中学高三二调】 ABC 中，若 sin C A． B
恒成立，则 的取值范围是
点睛：本题难度较大，解题时根据题意得 对于任意的
，可将问题转化成“函数 在 上的取值范围是
恒成立” ，然后可根据
的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解。
4． 【2018 河北衡水中学高三分科综合测试】若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
.选 C. 的图像与坐标轴的所有
一、选择题
1. 【2018 河北衡水中学高三二调】已知 （ ） B. 的三角形 的三角形 D. 等腰直角三角形 中， ，则 为
A. 等腰三角形 C. 等腰三角形或 【答案】C
2.【2018 河北衡水中学高三市模拟联考】 设函数 若函数 A. B. C. 或 D. 或 ，则 的值是（ ）
对任意的
，都有
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
2
2
断题设三角函数在该象限的正负；（3）当 n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；
当 n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.
例如（1） sin
2
+
,因为
2
2
+
，所以
sin
2
+
>0
，
即
sin
2
+
=cos
，
（2） sin + ，因为 + 3 ，所以 sin + <0 ，即 sin + =-cos ，
k 1, 2,3, 4,, 可知只有选项 B 占有 4 条半轴，故选 B.
解法二;推演法.
终边在坐标轴上的角的集合为 ", 2 , 3 , , 1 , 0, 1 , , 3 , 2 ,", 可以
2
22 2
看作双向等差数列，公差为 ，取初始角 0 ，故 0 k (k Z ) ，
（2）奇偶性.
sin - =-sin，cos- =cos，tan - =-tan .
（3）
sin
2
-
=cos，cos
2
-
=sin，tan
2
-
=
1 tan
奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写
三角函数与三角形分类汇编(2016-2018)河北衡水中学高三数学(文)模拟试卷分项版Word版含解析
【汇集名校资源之三年（2016-2018）河北衡水中学高三数学模拟试卷分项版】专题三角函数与三角形一、选择题1.【2018河北衡水11月联考】已知函数，若，，且的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因为函数的最大值为2，又，，且的最小值为∴函数的最小正周期T=∴，即，∴故选：C2.【2018河北衡水中学高三上学期分科综合测试】已知函数的最小正周期为，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】，其中，由可得，即的图象关于直线对称，而直线与直线的距离为的个周期，故，故选B.3. 【2018衡水中学高三八模】已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意：函数f（x）与y轴的交点为（0，1），可得：1=2sinφ，sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，两对称轴之间的最小距离为可得周期T=π，解得：ω=2．所以：f（x）=2sin（2x+ ），由f（x+t）﹣f（﹣x+t）=0，可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值，∵f（x）=2sin（2x+ ）的对称轴方程为：2x+ =（k∈Z），可得：x=时最小，故答案为:A .4. 【2018衡水中学高三八模】在中，三个内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴，代入已知等式得：即，∵ab≠0，∴，∵，∴解得：cos C=−1(不合题意,舍去)，cos C=0，∴sin C=1，则.故选：C.5. 【2018河北衡水九月联考】将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（）A. 最小正周期为B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称D. 初相为【答案】C 【解析】易求得，其最小正周期为，初相位，即A ，D 正确，而.故函数的图象关于直线对称，即B 项正确，故C 错误.选C.6. 【2018河北衡水九月联考】已知的内角，，的对边分别是，，，且，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且，，据此可得：，即：，据此有：，当且仅当时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则，综上可得：的取值范围为.本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 可以转化为sin 2 A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin Bsin Ccos A ，利用这些变形可进行等式的化简与证明． 7．【2018河北衡水中学高三上学期五调】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 A ．45-B ．45C. 35-D ．35【答案】B8. 【2017河北衡水中学高三上学期一调】已知函数()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π，则函数()f x 的图象（ ）A ．最小正周期为2T π=B ．关于点-84⎛ ⎝⎭π，对称 C ．在区间0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭π上为减函数 D ．关于直线8x =π对称 【答案】D考点：三角函数图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到两角和的余弦函数、正弦与余弦的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质等知识点的综合考查，解答中熟练掌握三角函数恒等变换的公式，化简函数为()1sin(2)244f x x π=+-是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 9. 【2017河北衡水中学高三上学期二调】函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，則()17012f f π⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A．2．2．12- D．12+ 【答案】A【解析】试题分析：由图可知,2T πω==，()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 0,633f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()170212f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭考点：三角函数图象与性质．10. 【2017河北衡水中学上学期二调】设a 、b 、c 为ABC ∆的三边长, 若222c a b =+，且cos A A +=，则B ∠的大小为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．512π 【答案】D 【解析】考点：解三角形．11. 【2017河北衡水中学高三上学期五调】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x=的图象（ ）A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】B考点：三角函数图象的平移变换.12、【2017河北衡水中学高三下学期十调】若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在()0,2π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 （A ）24,33⎛⎤⎥⎝⎦ （B ）35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）44,53⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B解析:45433858245243≤<⇒<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<ωππππT T T13. 【2017河北衡水中学高三下学期十调】已知函数，若f （x 1）＜f （x 2），则一定有（ ） A ．x 1＜x 2 B ．x 1＞x 2 C． D．【答案】D【解答】解：f （x ）=sin 4x+cos 4x=（sin 2x+cos 2x ）2﹣2sin 2xcos 2x=．由f （x 1）＜f （x 2），得，∴sin 22x 1＞sin 22x 2，即|sin2x 1|＞|sin2x 2|， ∵x 1∈[﹣]，x 2∈[﹣]， ∴2x 1∈[﹣，]，2x 2∈[﹣]，由|sin2x 1|＞|sin2x 2|，得|2x 1|＞|2x 2|，即|x 1|＞|x 2|，∴．故选：D ．14. 【2017河北衡水中学高三猜题卷一】已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B【解析】由已知得函数的最小正周期，则，当时，，因为，即，所以，解得，又，所以，故选B.点睛：形如的性质可以利用的性质，将看作一个整体，通过换元，令，得到，只需研究关于t的函数的取值即可.15. 【2017河北衡水中学高三押题卷三】已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则16. 【2017河北衡水高三押题卷I】已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．17. 【2017河北衡水高三押题卷Ⅱ】若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得： ，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A 选项.18. 【2017河北衡水高三押题卷Ⅱ】已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得 ，函数的周期，当 时， ，令可得，函数的解析式.则：结合函数的解析式有，而 ，选项C 错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确. 本题选择C 选项.19. 【2017河北衡水中学九月联考摸底】若函数()sin()(0)f x A x A ωφ=+>的部分图象如图所示，则关于)(x f 描述中正确的是（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 C.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数【答案】C.考点：三角函数的图象和性质.20. 【2017河北衡水中学高三下学期三调】函数（）的部分图象如图所示，其中两点之间的距离为5，则的递增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】B21. 【2017河北衡水中学高三下学期二调】将函数，的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：解答本题的关键是弄清楚“”的含义，其实因，所以，即函数是偶函数。
2018年高三-文科数学专题复习--三角函数-、解三角形(超级详细)
2018 年高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A 组 三年高考真题（ 2016～2018 年）1.(20155，且 α为第四象限角，则 tan α的值等于 ()福·建， 6)若 sin α＝－ 1312 12 5 5 A. 5 B.－ 5 C.12 D.－ 122.(2014 大·纲全国， 2)已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ( )4 3 3 4A. 5B. 5C.－ 5D.－53.(2014 新·课标全国Ⅰ， 2)若 tan α＞ 0，则 () A.sin α＞0 B.cos α＞ 0 C.sin 2α＞ 0 D.cos 2α＞ 04.(2016 新·课标全国Ⅰ， 14)已知 θ是第四象限角，且 sin θ＋ π＝ 3，则 tan θ－ π＝ ________. 4 5 4 5.(2016 四·川， 11)sin 750 ＝° . 6.(2015 四·川， 13)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－ cos 2α的值是 ________．B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1 a )若点 (4， a)在 y x2 图象上，则 tan1.(2016 济·南一中高三期中6π的值为 ( )3 A.0 B. 3 C.1D. 3π πα＝ ()2.(2016 贵·州 4 月适应性考试 )若 sin ＋ α＝－ 3，且 α∈ ， π，则 sin π－ 225 2 ( )24 12 12 24A. 25B. 25C.－ 25D. －25sin α－ cos α性考试)已知角 α的终边经过点 P(2 ，－ 1)，则 ＝ ( ) sin α＋ cos α1 1A.3B.3C.－3D.－ 310π4.(2015 乐·山市调研 )若点 P 在－ 3 角的终边上，且 P 的坐标为 ( －1， y)，则 y 等于 ()3 3 A. － 3B. 3C.－ 3D. 3π5.(2015 石·家庄一模 )已知 cos α＝ k ， k ∈R ，α∈ 2， π，则 sin( π＋ α)＝ () A. － 1－ k 2B. 1－k 2C.－ kD. ± 1－ k 26.(2015 洛·阳市统考 )已知 △ABC 为锐角三角形 ,且 A 为最小角 ,则点 P(sin A-cos B,3cos A-1)位于 () A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限D. 第四象限π4，则 cos α＝ ________.7.(2016 山·东日照第一次模拟 )已知角α为第二象限角，cos－α＝2 58.(2015 湖·南长沙一模 )在平面直角坐标系xOy 中，将点 A( 3，1)绕原点 O 逆时针旋转90°到点 B，那么点 B 坐标1为________，若直线 OB 的倾斜角为α，则 tan 2α的值为 ________.专题二三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）π的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为() 1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 6)若将函数 y＝2sin 2x＋6 4ππππA. y＝ 2sin2x＋4B.y＝ 2sin2x＋3C.y＝2sin 2x－4D.y＝ 2sin 2x－32.(2016 新·课标全国卷Ⅱ，3)函数 y＝ Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()ππA. y＝ 2sin2x－6B. y＝ 2sin 2x－3C.y＝ 2sin x＋πD. y＝ 2sin x＋π6 33.(2016 四·川， 4)为了得到函数 y＝ sin x＋π的图象，只需把函数 y＝ sin x 的图象上所有的点 ( )3πB.向右平行移动πA. 向左平行移动3个单位长度3个单位长度πD.向下平行移动πC.向上平行移动个单位长度个单位长度3 34． (2015 新·课标全国Ⅰ，8)函数 f( x)＝ cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x) 的单调递减区间为 ( )A. kπ－1，kπ＋3，k∈ ZB. 2kπ－1， 2kπ＋3， k∈ ZC.k－1， k＋3， k∈ ZD. 2k－1， 2k＋3，k∈Z4 4 4 4 4 4 4 4π的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象 ()5.(2015 山·东， 4)要得到函数 y＝ sin 4x－3π个单位 B ．向右平移π个单位A ．向左平移1212π D ．向右平移π个单位个单位C．向左平移3 36.(2014 天·津， 8)已知函数 f(x)＝3sin ωx＋ cos ωx(ω＞ 0)， x∈R .在曲线 y＝ f(x) 与直线 y＝ 1 的交点中，若相邻交π点距离的最小值为3，则 f( x)的最小正周期为 ()π2πA. 2B. 3C. πD.2 ππ的最小正周期是 ( )7.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝ cos 2x＋4πA. 2B. πC.2 πD.4 π28.(2014 四·川， 3)为了得到函数 y ＝ sin(x ＋1)的图象，只需把函数 y ＝ sin x 的图象上所有的点 ()A ．向左平行移动 1 个单位长度B ．向右平行移动 1 个单位长度C ．向左平行移动 π个单位长度D ．向右平行移动 π个单位长度9.(2014 浙·江， 4)为了得到函数 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x 的图象，可以将函数 y ＝ 2cos 3x 的图象 () π B. 向右平移 π C.向左平移 π D.向左平移 πA. 向右平移 12个单位 4个单位 12个单位 4个单位10.(2014 安·徽， 7)若将函数 f(x)＝ sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移 φ个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ的最小 正值是 ( )ππ 3π 3π A. 8B.4C. 8D. 411.(2014 新·课标全国Ⅰ， 7)在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝|cos x|，③ y ＝ cos 2x ＋ π， 6④ y ＝ tan 2x － π中，最小正周期为 π的所有函数为 ()4 A.①②③ B. ①③④ C.②④D. ①③ π)12.(2014 个单位，得到函数 y ＝ f(x)的图象，则下列说法正确的是 (福·建， 7)将函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2 A. y ＝ f(x)是奇函数 B.y ＝ f(x)的周期为 ππ πC.y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ 2对称D.y ＝ f(x)的图象关于点－ 2， 0 对称 13.(2016 新·课标全国Ⅲ， 14)函数 y ＝ sin x － 3cos x 的图象可由函数 y ＝ 2sin x 的图象至少向右平移 ________个单 位长度得到 .14.(2015 天·津， 11)已知函数 f( x)＝ sin ωx＋ cos ωx (ω＞ 0)，x ∈ R.若函数 f(x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝ f(x)的图象关于直线 x ＝ ω对称，则 ω的值为 ________．15.(2015 陕·西， 14)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数πy ＝ 3sin 6x ＋ φ ＋ k ，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 ________．16.(2015 湖·南， 15)已知 ω>0 ，在函数 y ＝2sin ωx 与 y ＝ 2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝ ________.ππ17.(2014 重·庆， 13)将函数 f(x)＝ sin( ωx＋ φ)(ω＞ 0，－ 2≤φ＜2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 π π不变，再向右平移 6个单位长度得到 y ＝ sin x 的图象，则 f 6 ＝ ________.318.(2015 湖·北， 18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)ω>0， |φ|<π在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0 π3ππ2π2 2xπ5π3 6 Asin( ωx＋φ)0 5 － 50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将 y＝ f(x)图象上所有点向左平移πy＝g( x)的图象，个单位长度，得到6求 y＝ g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014 湖·北， 18)某实验室一天的温度(单位：℃ )随时间 t(单位： h)的变化近似满足函数关系：ππf(t)＝10－3cos12t－ sin 12t， t∈ [0,24) ．(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．π20.(2014 四·川， 17)已知函数 f(x)＝ sin 3x＋4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；α＝4 π(2)若α是第二象限角， f 35cos α＋4 cos 2α，求 cos α－ sin α的值．421.(2014 福·建， 18)已知函数f(x)＝ 2cos x(sin x＋ cos x)．5π(1) 求 f 4的值；(2)求函数 f( x)的最小正周期及单调递增区间．π22.(2014 北·京， 16)函数 f(x)＝ 3sin 2x＋6的部分图象如图所示．(1)写出 f(x)的最小正周期及图中x， y0的值；(2)求 f(x)在区间ππ－，－上的最大值和最小值．2 12B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 四·川成都第二次诊断)将函数 f(x)＝ cos x＋π的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得6 2 到函数 g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ( )A. g(x)＝ cosππx＋πx＋π2x＋3 B.g(x)＝ cos 2x＋6 C.g(x)＝ cos 2 3 D. g(x)＝ cos 2 62.(2016 山·西四校联考 )已知函数 f(x)＝ cos ωx＋φ－πω>0， |φ|<π的部分图象如图所示，2 2π则 y＝ f x＋6取得最小值时x 的集合为 ( )A. x|x＝ kπ－ππππ， k∈ Z B. x|x＝ kπ－， k∈Z C. x|x＝ 2kπ－，k∈Z D. x|x＝ 2kπ－， k∈ Z6 3 6 3πy 轴对称，则φ的3.(2015 石·家庄模拟 )将函数 f(x)＝sin(2 x＋φ)的图象向左平移8个单位，所得到的函数图象关于一个可能取值为 ( )3πππA. 4 B.4 C.0 D.－45π3π4.(2015 黄·冈模拟 ) 当 x＝4时，函数 f(x) ＝ Asin(x＋φ)(A＞ 0)取得最小值，则函数y＝ f4－ x 是()A. 奇函数且图象关于点π对称 B.偶函数且图象关于点( π， 0)对称，2ππC.奇函数且图象关于直线x＝2对称 D. 偶函数且图象关于点2， 0 对称5.(2015 河·南焦作市统考 )函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ) ω＞0， |φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移π个单位后2 12 得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象 ( )πB. 关于直线x＝5πC.关于点5πD.关于直线 x＝π， 0 对称对称， 0 对称对称A. 关于点212 12 12π6.(2015 怀·化市监测 )函数 y＝－ 2x 的单调增区间为 ________. 2sin 33 37.(2015 辽·宁五校联考 )已知函数 f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx(ω＞0) 的周期为 4.(1) 求 f(x)的解析式；2个单位得到函数g(x)的图象，P，Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图 )，(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移3求∠ OQP 的大小 .专题三三角恒等变换A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅲ，6)若 tan θ＝－1，则 cos 2θ＝ ( )34 1 1 4A. －5B.－5C.5D. 5π2.(2016 新·课标全国Ⅱ，11)函数 f(x)＝ cos 2x＋ 6cos－x 的最大值为 () 2A.4B.5C.6D.73.(2015 重·庆， 6)若 tan α＝1， tan(α＋β)＝1，则 tan β＝ ()3 21 1 5 5A. 7B. 6C.7D.64.(2016 浙·江， 11)已知 2cos2x＋ sin 2x＝Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，则 A＝ ________， b＝ ________.65.(2016 山·东， 17)设 f(x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变 )，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3函数 y＝ g(x)的图象，求 g π的值 .66.(2016 北·京， 16)已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求ω的值； (2)求 f(x) 的单调递增区间 .7.(2015 广·东， 16)已知 tan α＝ 2.(1) 求 tan α＋π的值；(2) 求sin 2 α的值．4 sin2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 12x8.(2015 北·京， 15)已知函数 f(x)＝ sin x－2 3sin .2π(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在区间0，3上的最小值．79.(2015 福·建， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin x2cos 2x＋ 10cos2x2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；πa( a＞ 0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2)将函数 f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移6且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0 )＞0.π， x∈ R，且 f 5π3210.(2014 广·东， 16)已知函数 f(x)＝ Asin x＋312 ＝2.(1) 求 A 的值；(2) 若 f(θ)－ f(－θ)＝3，θ∈0，π，求 fπ2 6－θ.11.(2014 浙·江 ,18)在△ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 4sin2A－B＋ 4sin Asin＝ 2＋ 2.2(1)求角 C 的大小； (2) 已知 b＝ 4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值．B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 江·西九校联考 )已知α∈3π， cos α＝－4，则 tanππ，－α等于 () 2 5 41 1A.7B. 7C.－7D. － 72.(2016 洛·阳统考 ) 若α∈[0， 2π)，则满足1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α的α的取值范围是 ()πB.[ 3π3π7πA. 0，0，πC.0，D.0，∪， 2π2]4 4 41 3 2tan 14 °1－ cos 50 °)3.(2016 河·南六市联考 )设 a＝2cos 2 －°2sin 2 ，°b＝，c＝2，则有 ( 1－ tan214°A. a<c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2015 大·庆市质检二 )已知 sin α＝5，则 sin2α－cos2α的值为 ( )41 3 1 3A. －8B.－8C.8D.885.(2015 烟·台模拟 ) 已知 cos α＝ 3， cos(α＋ β)＝－ 5， α，β都是锐角，则 cos β等于 ()513 63 33 3363A. － 65B. －65C.65D.656.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝ 1＋cos 2α，则 tan 2α＝ ()A. 4B.－4 C. 4或 0 D.－ 4或 0 3 3 3 3sin αcos α 1 1，则 tan β＝________. 7.(2015 巴·蜀中学一模 )已知 ＝ ， tan(α－β)＝ 1－ cos 2α 2 24 138.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos β， sin β)， |a － b|＝ 13 .(1) 求 cos(α－ β)的值； (2)若 0＜ α＜ π π，－ ＜ β＜0 且 sin β＝－ 4，求 sin α的值 .2 2 5专题四 解三角形A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c.已知 a ＝ 5， c ＝ 2， cos A ＝ 2，3则 b ＝ ()A. 2B. 3C.2D.32.(2016 山·东， 8)△ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知 b ＝ c ， a 2 ＝ 2b 2 (1－ sin A)，则 A ＝ ()3π π π π A. 4B. 3C.4D. 633.(2015 广·东 ,5)设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a ＝ 2,c ＝2 3,cos A ＝ 2 ,且 b<c,则 b ＝ ( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 34.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m ，9则河流的宽度 BC 等于 ( )A ． 240( 3－ 1)mB ． 180( 2－ 1)mC ． 120( 3－ 1)mD ． 30( 3＋ 1)m5.(2016 新·课标全国Ⅱ， 15)△ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ， 若 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ， a ＝ 1，则 b ＝ ________.5 132πb6.(2016 北·京， 13)在△ABC 中，∠ A ＝ 3 ， a ＝ 3c ，则 c ＝ ________.2π7.(2015 北·京， 11)在 △ABC 中， a ＝ 3， b＝ 6，∠ A ＝ 3 ，则∠ B ＝ ________.8.(2015 重·庆， 13)设△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 a ＝ 2， cos C ＝－ 1， 3sin A ＝ 2sin B ，则 c ＝ ________.49.(2015 安·徽， 12)在△ABC 中， AB ＝ 6，∠ A ＝ 75°，∠ B ＝ 45°，则 AC ＝________.10.(2015 湖·北， 15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ ________m.11.(2014 新·课标全国Ⅰ， 16)如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠ MAN ＝60°，C 点的仰角∠ CAB ＝ 45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝ 60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m. π12.(2014 湖·北， 13)在 △ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 ， a ＝ 1， a ， b ， c.已知 A ＝ 6b ＝ 3，则 B ＝________.13.(2014 福·建， 14)在 △ABC 中， A ＝60°， AC ＝ 2， BC ＝ 3，则 AB 等于 ________． 14.(2014 1，则 c ＝ ________； sin A ＝ ________. 北·京， 12)在 △ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 415.(2016 浙·江， 16)在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c.已知 b ＋ c ＝ 2acos B.(1)证明： A ＝ 2B ；(2)若 cos B ＝ 2，求 cos C 的值 . 3cos A＋ cos B＝sin C 16.(2016 四·川， 18)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c，且ab c .(1) 证明： sin Asin B＝ sin C；2 2 2 6(2)若 b ＋ c － a ＝ bc，求 tan B.51017.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2， AC＝ 3， A＝ 60°.(1) 求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．18.(2015 新·课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC， BD＝2DC .(1) 求sin∠B；(2) 若∠ BAC＝ 60°，求∠ B.sin∠ C19.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知△ABC 的面积为 31 15， b－ c＝2， cos A＝－ .4(1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A＋π的值．620.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为3，a， b， c.已知 cos B＝36sin (A＋ B)＝9， ac＝ 2 3，求 sin A 和 c 的值．21.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c， a＝ btan A.(1) 证明： sin B＝ cos A；(2) 若 sin C－ sin Acos B＝3，且 B 为钝角，求 A， B，C. 4π22.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c.已知 tan 4＋A ＝ 2.sin 2A的值；π(1) 求 2 (2)若 B＝， a＝ 3，求△ABC 的面积．sin 2A ＋cos A 423.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边 ,sin2B＝ 2sin Asin C.(1) 若 a＝b,求 cos B；(2) 设 B＝ 90°,且 a＝2,求△ABC 的面积．24.(2014 重·庆， 18)在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b， c，且 a＋ b＋ c＝8.(1)若 a＝2， b＝5，求 cos C 的值；211(2) 若 sin Acos2B＋ sin Bcos2A＝ 2sin C，且△ABC 的面积 S＝9sin C，求 a 和 b 的值．2 2 225.(2014 山·东， 17)△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 a＝3， cos A＝π6，B＝ A＋.3 2(1) 求 b 的值；(2) 求△ABC 的面积．26.(2014 陕·西， 16)△ABC 的内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c.(1)若 a，b， c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝ 2sin(A＋ C)；(2)若 a，b， c 成等比数列，且 c＝ 2a，求 cos B 的值．27.(2014 湖·南， 19)如图，在平面四边形 ABCD 中， DA ⊥ AB，DE ＝1， EC ＝7， EA＝2，∠ ADC ＝2ππ(1)求 sin∠ CED 的值； (2) 求 BE 的长．，∠ BEC＝.3 3B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.(2016 湖·南四校联考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 (a2＋ b2－ c2)tan C＝ ab,则角 C 为 ()π 5ππ 2πC.πD.2πA. 或6 B. 或3 6 36 32.(2016 河·南三市调研 )△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为πa， b， c，若 c2＝ (a－ b)2＋ 6， C＝，则△ABC的3面积为 ( )A.3B. 923C.323D.3 33.(2016 济·南一中检测 )在△ABC 中，内角 A，B， C 对边的边长分别为a， b， c， A 为锐角，lg b＋ lg 1＝ lg sin A＝－ lg 2，则△ABC 为 ( ) cA. 等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015 山·东省实验中学三诊2 2 2 2) )在△ABC 中，若 (a ＋ b ) ·sin(A－B)＝ (a－ b )sin C，则△ABC 是 (A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.(2015 江·西赣州摸底 )为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图 )，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得 BC＝ 50 m，∠ ABC＝105°，∠ BCA＝45°，就可以计算出A，B 两点的距离为 ( )12A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 m 25 2D. 2 m6.(2015 湖·南十二校联考 )在 △ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 2 2 a － b＝ 3，则 c ＝ () 若 tan A ＝ 7tan B ， c A.4 B.3 C.7 D.61 7.(2016 湖·南株洲 3 月模拟 )在△ABC 中， a ＝ 1，b ＝ 2， cos C ＝ 4，则 sin A ＝ ________. 8.(2015 太·原模拟 ) 在△ABC 中，已知 (sin A ＋ sin B ＋ sin C) ·(sin B ＋ sin C － sin A)＝ 3sin Bsin C.(1) 求角 A 的值； (2) 求 3sin － cos C 的最大值B13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）5 ，且 α为第四象限角， ∴ cos α＝ 12，∴ tan α＝ sin α5 ，故选 D. 答案 D13 ＝－ 121.解析 ∵ sin α＝－ 13 cos α2.解析 记 P(－ 4， 3)，则 x ＝－ 4， y ＝3， r ＝ |OP|＝ （－4） 2＋ 32＝5， － 4 4，故选 D.故 cos α＝x ＝ ＝－ r55 3.解析 由 tan α＞ 0，可得 α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞ 0，故选 C. 答案 C4.解析 由题意，得 cos π4 ，∴ tan π3 ππ π1 ＝－ 4 . 答案 － 4θ＋ ＝ θ＋ ＝ .∴ tan θ－ ＝ tan θ＋ － ＝－ π 33 4 5 4 4 4 4 2 tan θ＋ 45.解析 ∵ sin θ＝ sin(k ·360 °＋ θ)，( k ∈ Z)， ∴ sin 750 ＝°sin(2 360× °＋ 30°)＝ sin 30 1 答案1＝° . 2 26.解析 ∵ sin α＋ 2cos α＝ 0， ∴ sin α＝－ 2cos α，∴ tan α＝－ 2，又∵ 2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin α·cos α－ cos 2 α 2tan α－ 12×（－ 2）－ 1 sin 2α＋ cos 2α＝ tan 2α＋1 ， ∴原式＝（－ 2）2＋ 1＝－ 1. 答案 －1B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1a1.解析 ∵a ＝ 42＝ 2， ∴ tan 6π＝ 3.答案 Dπ33 π42.解析由 sin 2＋ α＝－ 5得 cos α＝－ 5，又 α∈ 2， π， 则 sin α＝ 5，所以 sin( π－2α)＝ sin 2α＝ 2sin αcos α＝－ 24 答案 D25.3.解析 因为角 α终边经过点 P(2 ，－ 1)，所以 tan α＝－ 1， sin α－ cos α tan α－ 1＝ ＝ 2 sin α＋ cos α tan α＋ 1－ 12－ 1 ＝－ 3，故选 D.－1＋ 1210π 2π 10π 2π 2π答案 D 4.解析 ＝－ 4π＋ ，所以－ 与 的终边相同，所以 tan ＝－ 3＝－ y ，则 y ＝ 3. － 33 3 3 3 πα>0，则 sin( π＋α 2 2 5.解析 因为 α∈ ， π ，所以 sin1－ cos α＝－ 1－ k ，故选 A. 答案 A 2)＝－ sin α＝－ π π π π6.解析 由题意得， A ＋ B＞即 A ＞ － B ，且 A ∈ 0， 3 ， － B ＞ 0， 2 2 2 π1 1 在第一象限 . 答案 A故 sin A＞ sin － B ＝ cos B，即 sin A－ cos B＞ 0， 3cos A－ 1＞ 3× － 1＝，故点 P2 2 27.解析sin α＝ cos π4，又α为第二象限角，所以 cos α＝－2 3－3－α＝51－sin α＝－ . 答案5 2 58.解析设点 A( 3， 1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，1413π则 A(2cos θ， 2sin θ)， 由三角函数的定义可知： sin θ＝ ，cos θ＝，则 θ＝ 2k π＋6 (k ∈Z )，22设 B(x ， y)，由已知得 x ＝ 2cos θ＋ π＝2cos 2k π＋ 2π＝－ 1， y ＝2sinθ＋ π＝ 2sin2k π＋2π＝ 3，2 323 所以 B(－ 1， 3) ，且 tan α＝－ 3，所以 tan 2α＝ 2tan α2 ＝ 3. 答案 (－ 1， 3)31－ tan α专题二三角函数的图象与性质A 组 三年高考真题（ 2016 ～2014 年） 答案精析1.解析 函数 y ＝ 2sin 2x ＋ π2x ＋ π1个周期即 π6 的周期为 π，将函数 y ＝ 2sin 的图象向右平移 个单位， 所得函数为6 4 4 π π πy ＝ 2sin 2 x － 4 ＋ 6 ＝ 2sin 2x － 3 ，故选 D. 答案D2.解析 由题图可知， T ＝ 2 ππ ＝π，所以 ω＝2，由五点作图法可知 π π π － － 6 2× ＋φ＝ ，所以 φ＝－ ，3 3 2 6 π所以函数的解析式为 y ＝ 2sin 2x － 6 ，故选 A. 答案 A3.解析由 y ＝ sin x 得到 y ＝sin(x ±a)的图象，只需记住 “左加右减 ”的规则即可 . 答案 A4.解析 由图象知 T＝ 5－ 1＝ 1， ∴ T ＝ 2.由选项知 D 正确． 答案 D2 4 45.解析 ∵ y ＝ sin 4x － π＝ sin 4x － π ，312∴要得到函数 y ＝ sin π 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移 π答案 B 4x － 3 12个单位．6.解析 由题意得函数 f(x)＝ 2sin π (ω＞ 0)， 又曲线 y ＝ f(x)与直线 y ＝1 相邻交点距离的最小值是 πωx＋ 3 ， 6由正弦函数的图象知， π π π 5π π 即2π π ωx＋ ＝ 和 ωx＋ ＝ 对应的 x 的值相差 ， ＝ ，解得 ω＝ 2， 6 6 6 6 3 3ω 3 2π 所以 f(x)的最小正周期是 T ＝ ω＝ π. 答案 C 2π7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得＝ π. 答案 BT ＝ 2 8.解析 由图象平移的规律 “左加右减 ”，可知选 A. 答案 A9.解析 因为 y ＝ sin 3x ＋ cos 3x ＝ 2cos 3x －π，所以将 y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移 π个单位后可得到412y ＝ 2cos 3x － π的图象．答案 A 10.解析 方法一 f(x)＝ 2sin 2x ＋ π，4 4将函数 f(x)的图象向右平移 φ个单位后所得图象对应的函数解析式为 y ＝ 2sin π2x ＋ － 2φ，由该函数为偶函数 4ππkπ3π所以φ的最小正值为3π可知 2φ－＝ kπ＋，k∈ Z ，即φ＝2 ＋， k∈Z ，8 .4 2 8π方法二f(x)＝ 2cos 2x－4，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为ππ3πy＝ 2cos 2x－4－ 2φ，且该函数为偶函数，故 2φ＋4＝ kπ， k∈ Z ，所以φ的最小正值为8 . 答案 C1511.解析① y＝ cos|2x|，最小正周期为π；② y＝ |cos x|，最小正周期为π；③ y＝ cos2x＋π，最小正周期为π；6④ y＝ tanπ，最小正周期为ππ的所有函数为①②③，故选 A. 答案 A 2x－4，所以最小正周期为2ππ12.解析函数 y＝ sin x 的图象向左平移2个单位后，得到函数 f(x)＝sin x＋2＝ cos x 的图象， f(x)＝ cos x 为偶函数，πππ排除 A ； f(x)＝ cos x 的周期为 2π，排除 B；因为 f ＝ cos ＝ 0，所以 f(x)＝ cos x 不关于直线x＝对称，排除 C；2 2 2故选 D. 答案 D13.解析 y＝ sin x－ 3cos x＝2sin x－ππ答案π，由 y＝ 2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到 .3 3 314.解析f(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝2sinπππ πωx＋，由－＋ 2kπ≤ωx＋≤＋ 2kπ，k∈Z，4 2 4 23ππ由题意 f( x)在区间 (－ω，ω)内单调递增，可知π得－＋ 2kπ≤ωx≤＋2kπ，k＝ 0，ω≥，4 4 2又函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ω对称，2 π 2 π ππ答案π所以 sin( ω＋)＝1，ω ＋＝，所以ω＝2.24 4 215.解析由题干图易得y min＝ k－ 3＝ 2，则 k＝ 5，∴ y max＝k＋ 3＝ 8.答案 816.解析y＝ 2sin ωx，ωx－π＝ 0，由知 sin ωx＝cos ωx，即 sin ωx－ cos ωx＝ 0，∴ 2siny＝ 2cos ωx，4π 1 π 1 π∴ ωx＝4＋ kπ， x＝ω4＋ kπ (k∈ Z)，∴两函数交点坐标为ω4＋ kπ， 2 (k＝0， 2， 4，⋯)，1 π2或( k＝⋯，－ 3，－ 1， 1，3，⋯) ∴最短距离为（ 2 2）2＋π2＋ kπ，－ 23，ω4 ω＝ 22ππ∴π答案2＝ 4，∴ ω＝ .2ω 2πy＝ sin x＋π17.解析把函数 y＝ sin x 的图象向左平移个单位长度得到的图象，6 6y＝ sin π2 倍，纵坐标不变，再把函数x＋6图象上每一点的横坐标伸长为原来的得到函数1 π所以 fπ 1 π ππ22 f(x)＝ sin x＋的图象，＝ sin × ＋＝sin ＝22 6 6 2 6 64 2. 答案π18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝ 5，ω＝ 2，φ＝－6.数据补全如下表：ωx＋φ0 ππ3π2π2 2x ππ7π5π13π12 3 12612Asin(ωx＋φ) 0 5 0 － 5 0f(x) ＝5sin π且函数表达式为2x－6 .ππππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝5sin 2x－6，因此 g(x)＝ 5sin 2 x＋6－6＝ 5sin 2x＋6 .16π 因为 y ＝ sin x 的对称中心为 ( k π，0) ，k ∈ Z.令 2x ＋ ＝ k π，解得6x ＝ k π π － ，k ∈ Z .2 12即 y ＝ g(x)图象的对称中心为 k π π ， k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 π2 － ， 0 － ，0 . 12 12π π 2π 2π －1 3 12×8－ sin 12×819.解 (1)f(8) ＝ 10－ 3cos ＝ 10－ 3cos 3 － sin 3 ＝ 10－ 3×2 － 2 ＝ 10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃ .3π1ππ ππ π π 7π (2) 因为 f(t)＝10－ 2 2cos12t ＋ 2sin12t ＝ 10－ 2sin 12 t＋ 3 ，又 0≤t ＜ 24， 所以 ≤ ＜ ，3 12t ＋ 3 3－ 1≤sin π π当 t ＝ 2 时， sin π π＝ 1；当 t ＝14 时， sin π π＝－ 1.12t ＋ 3 ≤ 1.12t ＋312t ＋ 3 于是 f(t)在 [0， 24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃ .π π ππ 2k π π 2k π 20.解 (1)由－ ＋2k π≤3x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ， 得－ ＋ 3 ≤x ≤ ＋ ， k ∈ Z .24 2 4 12 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为 π 2k π π 2k π－ ＋ ， ＋ 3 ， k ∈ Z.4 3 12 π 4 π 2 2(2) 由已知，有 sin α＋ 4 ＝ 5cos α＋4 (cos α－ sin α)，π π 4 π π 2 2 所以 sin αcos 4＋ cos αsin 4＝ 5 cos αcos－ sin αsin4 (cos α－ sin α)，4 4 2 (sinα＋cos α)．即 sin α＋ cos α＝ (cos α－ sin α) 5 3π当 sin α＋ cos α＝ 0 时，由 α是第二象限角，知 α＝ 4＋2k π， k ∈ Z ，此时 cos α－ sin α＝－2.2 5当 sin α＋ cos α≠0时，有 (cos α－ sin α) ＝ . 4由 α是第二象限角，知 cos α－sin α＜ 0，此时 cos α－ sin α＝－52 . 综上所述， cos α－ sin α＝－ 2或 cos α－sin α＝－52 . 2 π21.解 f( x)＝ 2sin xcos x ＋2cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x ＋ 1＝ 2sin 2x ＋ ＋ 1. 45π ＝ 2sin 11π 1＝ π(1) f 4 ＋ 2sin ＋ 1＝ 2. 4 4(2) T ＝ 2π π π π 3π π＝ π. 由 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ ， k ∈ Z ， 得 k π－ 8 ≤x ≤k π＋ ， k ∈ Z .2 2 4 2 83π π所以 f(x)的单调递增区间为 ， k π＋8 ， k ∈ Z . k π－ 87π22.解 (1) f(x)的最小正周期为 π， x0＝ ，y0 ＝ 3.6ππ π 5π π π0；(2) 因为 x ∈ － ，－12 ，所以 2x ＋ ∈ － ， 0 . 于是当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－ 时， f( x)取得最大值26 6 6 1217π π π当 2x ＋ ＝－ ，即 x ＝－ 时， f(x)取得最小值－ 3.6 2 3B 组 两年模拟精选 (2016～2015 年)1g(x)＝ cosπ1.解析 横坐标缩短为原来的 2倍，纵坐标不变，则有2x ＋6 . 答案 B2π 7π π π π2.解析 依题意得 T ＝ ω＝ 4 － 3 ＝ cos φ＋6 ＝ 1，12 3 ＝ π，ω＝2， fπ π 2π .又 |φ|< ，因此 φ＝－ ，所以 f(x)＝ cos 2x － 32 6当 f x ＋ π π 取得最小值时， π π ＝ cos 2x － 2x － ＝ 2k π－π， k ∈ Z ，即 x ＝k π－ ， k ∈ Z ， 答案 B6 3 3 3 π 得 g(x)＝ sin π ＋ φ＝ sin π3.解析 函数 f(x)＝ sin(2x ＋ φ)的图象向左平移 个单位， 2 x ＋ 8 ＋ φ的图象， 82x ＋ 4又 g(x)的函数图象关于 y 轴对称，所以 g(x)为偶函数，ππ π所以 ＋φ＝ k π＋ 2 (k ∈ Z )，即 φ＝ k π＋ (k ∈Z )，4 4 π答案 B 当 k ＝ 0 时， φ＝ ，故选 B.4 ππ π 3π4.解析 当 x ＝ 4时，函数 f( x)＝Asin(x ＋ φ)( A ＞ 0)取得最小值， 即4＋ φ＝－ 2＋ 2k π，k ∈ Z ，即 φ＝－ 4＋ 2k π，k ∈ Z ，所以 f(x)＝ Asin x － 3π (A ＞ 0)， 所以 y ＝ f( 3π 3π 3π4 － x)＝ Asin －x ＋ ＝－ Acos x ，4 4 4所以函数为偶函数且图象关于点 π 对称，选 D. 答案 D ， 02 π π π5.解析f(x)＝ 2sin 3－ 2x ＝ 2cos 2x ＋ 6 ， π＋ 2k π≤2x ＋ 6≤ 2＋π2k π， k ∈ Z ，5π 11π 答案 5π 11π即 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z. 12 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ) 12 12 126.解析 由于函数 f(x) ＝sin( ωx＋ φ) ω＞ 0， |φ|＜ π的最小正周期为 π， 故 2π 2 ＝ π， ω＝ 2.ω把其图象向右平移 π个单位后得到函数的解析式为 y ＝ sin 2 x － π π＋ φ ＝ sin 2x － ＋ φ ，为奇函数，12 12 6π π ππ ∴－ ＋ φ＝ k π，∴ φ＝ k π＋ ， k ∈Z ， ∴ φ＝ ，∴函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 6 .6 6 6π k π π k π π 令 2x ＋ 6＝k π， k ∈ Z ，可得 x ＝ 2 － 12， k ∈ Z ， 故函数的对称中心为 2 － 12， 0 (k ∈Z ).5π故点12， 0是函数的一个对称中心 .答案 C3 3 1 3 πππ7.解 (1) f(x)＝2 sin ωx＋2cos ωx＝ 3 2sin ωx＋2 cos ωx＝ 3 sin ωx cos3＋ cos ωx sin3＝ 3sin ωx＋3 .∵ T＝ 4，ω＞0，∴ω＝2π π∴ f(x)＝ 3sinππ.＝.2x＋3 4 2(2) 将 f(x)的图象沿 x 轴向右平移2个单位得到函数g(x)＝π3sin x.3 2∵ P， Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴ P(1，3)， Q(3，－ 3).18∴ OP＝ 2， PQ＝ 4， OQ＝ 12，∴cos∠OQP＝ OQ2＋ PQ2－ OP2＝32OQ ·QP 2 .∵∠ OQP 是△OPQ 的一个内角，π∴∠ OQP＝ .6专题三三角恒等变换答案精析A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）1，则 cos 2θ＝ cos2θ－ sin2θ＝cos2θ－ sin2θ 1－ tan2θ22 ＝ 2 ＝41.解析 tan θ＝－3cos θ＋ sinθ1＋ tanθ5. 答案 Dπ22.解析因为 f(x)＝ cos 2x＋6cos x＋6sin x＝－ 2 sin x－3＋11，－ x ＝1－ 2sin22 2 2所以当 sin x＝ 1 时函数的最大值为5，故选 B. 答案tan（α＋β）－ tan α3.解析tan β＝ tan[(α＋β)－α]＝＝B1－ 123＝1. 答案 A1 1 71＋×2 32 2 24.解析∵ 2cos x＋ sin 2x＝ cos 2x＋ 1＋ sin 2x＝ 2 2 cos 2x＋2 sin 2x ＋ 1π＝2sin 2x＋4＋ 1＝ Asin( ωx＋φ)＋ b(A＞ 0)，∴ A＝ 2， b＝1. 答案 2 15.解 (1) 由 f( x)＝ 2 3sin( －πx)sin x－ (sin x－ cos x)2＝ 2 3sin2x－ (1－ 2sin xcos x)＝ 3(1－ cos 2x)＋ sin 2x－ 1＝ sin 2x－ 3cos 2x＋3－ 1＝ 2sin 2x－π＋ 3－ 1.3由 2kπ－ππππ5π2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈ Z )，得 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈ Z ).所以 f(x)的单调递增区间是kπ－π， kπ＋5π(k∈Z)或 kπ－π， kπ＋5π（k∈ Z ） .12 12 12 12(2) 由 (1)知 f(x) ＝2sin 2x－π＋ 3－ 1，3把 y＝ f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，π得到 y＝ 2sin x－3＋ 3－ 1 的图象 .再把得到的图象向左平移πy＝ 2sin x＋ 3－ 1 的图象，个单位，得到3ππ即 g(x)＝ 2sin x＋ 3－1. 所以 g 6＝ 2sin 6＋ 3－ 1＝ 3.6.解 (1) f(x)＝ 2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ 2 2 2＝2sin 2ωx＋π4 2sin 2ωx＋2 cos 2ωx由ω＞ 0， f(x)最小正周期为2π解得ω＝1. π得2ω＝π，19(2) 由 (1)得 f(x) ＝ 2sin 2x ＋ π π π π， 解得－ 3π π4 ，令－ ＋2k π≤2x ＋ ≤ ＋ 2k π，k ∈Z 8 ＋ k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈Z ， 2 4 2 8 即 f(x)的单调递增区间为 － 3π π8 ＋k π， ＋ k π(k ∈ Z ). 8(1)tan α＋ π＝ tan α＋ tanπ7.解 4 ＝ tan α＋ 1＝ 2＋ 1＝－ 3.4 π 1－ tan α 1－ 21－ tan αtan 4sin 2α2sin αcos α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1＝ sin 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－ 1）－ 1 2sin αcos α 2tan α 2×2＝sin 2α＋ sin αcos α－2cos 2 α＝tan 2α＋ tan α－2＝ 22＋ 2－2＝ 1.8.解 (1) 因为 f(x)＝ sin x ＋ 3cos x －π－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π.3.＝2sin x ＋32π π π π 2π时，所以 3≤x ＋ 3≤π ＝ π，即 x ＝ 3 时， f(x)取得最小值．(2) 因为 0≤x ≤3 .当 x ＋3 所以 f(x)在区间0， 2π上的最小值为 f2π＝－ 3.3 39.(1) 解 因为 f(x)＝ 103sin x cos x ＋ 10cos 2 x＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5＝ 10sin x ＋ π＋ 5，2 2 2 6 所以函数 f(x)的最小正周期T ＝2π.πy ＝10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a个单位长度后得到 (2) 证明 ①将 f(x)的图象向右平移 6(a ＞0) 个单位长度后得到g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x) 的最大值为 2，所以 10＋ 5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝ 10sin x － 8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使 得 10sin x －8＞ 0，即 sin x ＞ 4 4＜ 3知，存在π0＜ α＜ ，使得 sin α＝4 0 0 5. 由 5 2 0 3 0 5. 由正弦函数的性质可知，当x ∈ (α， π－ α4因为 y ＝ sin x 的周期为 2π，0)时，均有 sin x ＞5.所以当 x ∈ (2k π＋α， 2k π＋ π－ α4 0 0 )(k ∈ Z )时，均有sin x ＞ 5. 因为对任意的整数 πk ， (2k π＋ π－ α0)－(2k π＋ α0)＝ π－2α0＞ ＞1， 3所以对任意的正整数 k ，都存在正整数x ∈ (2k π＋ α，2k π＋ π－ α＞40 00)，使得 sin xk 5. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g(x0)＞ 0.10.解 (1)∵ f(x)＝ Asin x ＋ π5π ＝ 3 2 ， ∴ Asin 5π π＝ 3 2 Asin 3π 3 23，且 f2＋?4＝? A＝3.12 12 3 2 2πππ(2) 由 (1)知 f(x) ＝3sin x＋3，∵ f(θ)－ f(－θ)＝ 3，∴ 3sin(θ＋3)－ 3sin－θ＋3 ＝3，展开得 3 13 3 13，化简得 sin θ＝32sin θ＋2 cos θ－ 32 cos θ－2sin θ＝ 3 .20π 6 ππππ∵ θ∈ 0，2，∴ cos θ＝3 .－θ－θ＋3＝ 3sin－θ＝ 3cos θ＝ 6. ∴ f 6＝ 3sin 6 211.解 (1) 由已知得 2[1 －cos(A－ B)] ＋ 4sin Asin B＝2＋2，化简得－ 2cos Acos B＋2sin Asin B＝ 2，故 cos(A＋ B)＝－2 所以 A＋ B＝3ππ2. ，从而 C＝ .4 4(2) 因为 S△ABC＝1absin C，π2，由 S△ABC＝ 6， b＝ 4， C＝，得 a＝32 4由余弦定理c2＝a2＋ b2－ 2abcos C，得 c＝10.B 组两年模拟精选 (2016～2015 年)1.解析∵ α∈ π，3π， cos α＝－4，∴ sin α＝－3，2 5 5∴ tan α＝sin α 3＝，cos α 4∴ tanπ1－ tan α1.答案 B－α＝＝4 1＋ tan α72.解析由 1＋ sin 2α＝ sin α＋cos α得 sin α＋ cos α＝ 2sinπα＋4≥0，3π7π又因为α∈ [0， 2π)，所以α的取值范围为0，4∪， 2π，故选 D. 答案 D 41 33.解析利用三角公式化简得a＝2cos 2－°2 sin 2 ＝°cos(60＋°2°)＝cos 62＝°sin 28 ，°b＝ tan 28 ，°c＝sin2 25 °＝ sin 25 . °因为 sin 25 <sin°28 °<tan 28 °，所以 c<a<b，故选 D. 答案 D2 2 2 34.解析 sin α－cos α＝－ cos 2α＝ 2sin α－ 1＝－8. 答案 B5＜ 0， cos α＝3，5.解析∵ α，β是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，又 cos(α＋β)＝－13 5π∴ sin(α＋β)＝12， sinα＝4.∴ ＜α＋β＜π，2 13 5又 cos β＝ cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋ sin(α＋β)sin α＝－5 312 433.答案 C ×＋13×＝6513 556.解析因为 2sin 2α＝ 1＋ cos 2α，所以 2sin 2α＝ 2cos2α，所以 2cos α·(2sin α－ cos α)＝ 0，解得 cos α＝ 0 或 tan α＝1.2π若 cos α＝ 0，则α＝ kπ＋2， k∈ Z ，2α＝ 2kπ＋π， k∈Z ，所以 tan 2α＝0；若 tan α＝1，则 tan 2α＝2tanα2 ＝4. 综上所述，故选 C. 答案 C2 1－ tan α 3sin αcos α sin αcos α cos α 1＝2sin 2α＝＝，∴ tan α＝ 1.7.解析∵1－ cos 2α2sin α 2∵t an(α－β)＝tanα－tanβ＝1，∴ tan β＝1. 答案11＋ tan αtan β 2338.解 (1) ∵ a－ b＝(cos α－ cos β， sin α－ sin β)，∴ |a－ b|2＝ (cos α－cos β)2＋(sin α－ sin β)2＝2－ 2cos(α－β)，21∴ 1613＝ 2－ 2cos(α－ β)，∴ cos(α－ β)＝135.π π且 sin β＝－ 4，∴ cos β＝ 3且 0＜α－ β＜ π.，－ ＜β＜ 0(2) ∵ 0＜α＜ 22 5 5 5 12又∵ cos(α－ β)＝13，∴ sin(α－ β)＝ 13.∴ sin α＝ sin[( α－ β)＋β]＝ sin( α－ β)·cos β＋ cos(α－ β) ·sin β＝ 12 3 5 ×－ 4 ＝ 16 13 × ＋ 13 5.565专题四解三角形答案精析A 组 三年高考真题（ 2016～2014 年）1.解析 由余弦定理，得 2 22 b ＝－ 1，故选 D.答案 D5＝ b ＋ 2 －2×b ×2× ，解得 b＝ 3 舍去 3 3 2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccos A ，∵ b ＝ c ，∴ a 2＝ 2b 2(1－ cos A)，又∵ a 2＝ 2b 2(1－ sin A)，π∴ cos A ＝ sin A ，∴ tan A ＝ 1，∵ A ∈ (0， π)，∴ A ＝ ，故选 C.答案 C43.解析 由余弦定理 a 2＝b 2＋ c 2－ 2bccos A ，得 4＝ b 2＋12－ 2×b ×2 3× 23，即 b 2－ 6b ＋ 8＝0，∴ b ＝ 4 或 b ＝ 2，又 b<c ，∴ b ＝2. 答案 C tan 60 －°tan 45 ° 3，4.解析 ∵ tan 15 ＝°tan(60 －°45°)＝ 1＋ tan 60 tan ° 45＝ 2－°∴ BC ＝ 60tan 60 °－ 60tan 15 °＝ 120( 3－ 1)(m) ，故选 C. 答案 C5.解析 在△ABC 中由 cos A ＝ 4， cos C ＝ 5 ，可得 sin A ＝ 3， sin C ＝ 12，5 135 13sin B ＝sin(A ＋ C)＝ sin Acos C ＋ cos Asin C ＝ 63，由正弦定理得 b ＝ asin B ＝212165 sin A 13.答案13 6.解析 由 a ＝ c 得 sin C ＝ csin A 1 3 ＝ 1 ， π π πsin A a ＝ × 2 2 又 0＜ C ＜ ，所以 C ＝ ，B ＝ π－ (A ＋ C)＝ .sin C 3 3 6 6 π所以 b ＝ sin B ＝sin6＝ 1. 答案 1 c sin C πsin 62π 7.解析 由正弦定理得 sin ∠ B ＝ bsin ∠A6sin 3 ＝ 2，因为∠ A 为钝角，所以∠ π π a ＝3 B ＝ . 答案4 3 3 2 48.解析 由 3sin A ＝ 2sin B ，得 3a ＝ 2b ，∴ b ＝ 2a ＝ 2×2＝ 3，2 2 2 2 2 1 在 △ABC 中，由余弦定理得， c ＝a ＋ b － 2abcos C ＝ 2 ＋ 3 － 2×2×3× － 4 ＝ 16， 解得 c ＝ 4. 答案 42 AC ＝ AB ，∴ AC ＝ 6sin 45 ° 6×2 ＝ 2. 答案 29.解析 已知∠ C ＝60°，由正弦定理得 sin ∠ C ＝3。
专题04 三角函数与解三角形(原卷版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题04 三角函数与解三角形一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】已知定义在R 上的偶函数()()()()()cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B C ．12D ．22. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】 已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】 如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A ．－1 B ．1C ．23D ．223-6．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试】已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0B ．1C ．2D ．37．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试】 已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试】 已知0>ω，2πϕ≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(,)64x ππ∈-时，函数()f x 的图象恒在x轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A ．(,)63ππB ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,)32ππD ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．411. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】 已知ABC ∆中， sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是( ) A 3 B 23 C 3 D 4312.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．[]1,2- B ．[]0,1 C ．[]0,2 D ．[]1,0-13.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数()()sin (0.0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,06⎛⎫- ⎪⎝⎭14.【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）A ．函数图象的对称轴方程为B ．函数的最大值为C ．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D ．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】若定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()21f x '>，则当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()232cos 2sin 22xf x >-的解集为（ ） A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】 在中，分别是角的对边，若，则的值为( )A ．B ．1C ．0D ．201417. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】 设，，在，，，中，正数的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin (23cos )b A a B =-，则B =__________．若D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_________．2. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知，则__________．4.【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为__________．5. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan tan 2tan a b c b B b A c B +=-，且8a =，ABC ∆的面积为43则b c +的值为__________．6. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=， 2b =， 3a =，则满足条件的三角形共有两个；③若a ， b ， c 成等差数列， sin A ， sin B ， sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =， 2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 7.【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】 在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.8. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】 已知cos （）=，则sin （）=_____.三、解答题1. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin sin sin A B A C +=. （1）求证：sin sin 2cos CA A=；（2）若B 为钝角，且ABC ∆的面积S 满足2(sin )S b A =，求角A 的大小. 2．【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+. （1）若4a =，ABC ∆15b ，c 的值；（2）若sin sin (0)B k C k =>，且ABC ∆为钝角三角形，求实数k 的取值范围. 3.【河北省衡水市2019届高三四月大联考】ABC ∆中，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 在边BC 上，且3DC BD =.（1）求AD 的长；（2）若DH AC ⊥于H ，求cos ADH ∠.4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .5. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调】 将函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()3f x m 恒成立，求实数m 的取值范围.6. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小； （2）若的面积，且，求.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为.(1)求c 的值；(2)以AB 为一边向外(与点C 不在AB 同侧)作一新的△ABP ，使得，求面积的最大值．8. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】 如图，在中，是边上的一点，，，，（1）求的长；（2）若，求的值.9.【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状.10.【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？。
衡水市高考数学总复习：三角函数及解三角形
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，acosB＝（2c﹣b）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的范围．
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA＝2ccosC．
23．在△ABC中，内角A，B，C满足 ．
（1）求内角A的大小；
（2）若AB＝5，BC＝7，求BC边上的高．
24．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c， ．
（1）求A；
（2）若b＝4，c＝6，求sinB的值．
25．在△ABC中， ．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c＝5____，求a．
从①b＝7，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求sinB的值；
（2）求 的值．
4．设函数f（x） a的最小值是﹣1．
（1）求a的值及f（x）的对称中心；
（2）将函数f（x）图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到g（x）的图象．若 ，求x的取值范围．
5．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且 ．
（1）求sinB的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
29．已知f（x） sinωx﹣2sin2 （ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[ ]时，求函数f（x）的最小值．
30．设函数 ，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝2．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a（2 cos2 ）＝b•cosC+c•cosB．
高考数学章节总复习：《三角函数、解三角形》(含解析)
第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则tan α＝________. 答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”) 答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角， α＝3是第________象限角，72°＝________rad. 答案：一 二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cm D ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ， 得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm. 3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________． 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角． 答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3 D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限， 所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， tan α＝－2aa ＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12， 故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x . (1)求x 的值； (2)求sin α＋1tan α的值． 解：(1)因为角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝36x ， 所以有x x 2＋2＝36x . 因为x ≠0，所以x 2＋2＝12，解得x ＝±10.(2)若x ＝10，则P (10，－2)， 所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若x ＝－10，则P (－10，－2)， 所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sinθcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )53C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( )33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( )A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cosα)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3. 3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52. 答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一 三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________． 解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 考点二 三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6 B ．－6 C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2. 答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训
的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A 版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版的全部内容。
数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版1．［2016·新课标全国卷Ⅲ］若tan α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝( ）A.6425B.错误!C．1 D.错误!答案：A解析：解法一：由tan α＝错误!＝错误!，cos2α＋sin2α＝1，得错误!或错误!则sin 2α＝2sin αcos α＝24 25 ,则cos2α＋2sin 2α＝错误!＋错误!＝错误!.解法二：cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．[2014·大纲全国卷]设a＝sin 33°,b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ）A．a〉b〉c B．b〉c>aC．c>b>a D．c〉a〉b答案：C解析:∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝错误!，又0〈cos 35°〈1，∴c〉b〉a.3．［2015·四川卷］已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－1.课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用［典例］(1）已知A＝错误!＋错误!(k∈Z),则A的值构成的集合是( )A．｛1，－1，2,－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．｛1,－1,0，2，－2｝(2)在△ABC中，若sin（2π－A）＝－错误!sin（π－B），错误!cos A＝－错误!cos(π－B）,则C＝________.[思路分析] （1）角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；（2）利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．［解析] (1)当k为偶数时，A＝错误!＋错误!＝2；当k为奇数时，A＝错误!－错误!＝－2。
高考专题04 三角函数与解三角形-(2016-2018)河北衡水中学高三数学---精校解析Word版
一、选择题1. 【2018河北衡水中学高三二调】已知中，，则为（）A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形【答案】C2.【2018河北衡水中学高三市模拟联考】设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】则关于对称，取到最值，则当时，原式当时，原式故选点睛：本题考查了三角函数的对称性，根据题目条件可得函数关于对称，此时与分别取到最值和零，这里需要注意，在计算其结果时注意分类讨论两种情况的存在3. 【2018河北衡水中学高三二调】已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C点睛：本题难度较大，解题时根据题意得，可将问题转化成“函数对于任意的恒成立”，然后可根据在上的取值范围是的子集去处理，由此通过不等式可得的范围，结合选项得解。
4．【2018河北衡水中学高三分科综合测试】若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.选C.5. 【2018河北衡水中学高三分科综合测试】已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B6. 【2018河北衡水中学高三9月联考】已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，得.的图象，故为假命题，所以为假，为真，为假，为真.故选D.7. 【2018河北衡水中学高三二调】已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（）A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】A8.【2017河北衡水中学高三押题卷二】若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.9. 【2017河北衡水中学高三押题卷三】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.10.【2017河北衡水中学高三二模】已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D11.【2017河北衡水中学高三押题卷二】已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）A. 函数图象的对称轴方程为...B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C12.【2017河北衡水中学高三上学期四调】已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 【答案】D考点：三角函数的图象和性质.13. 【2017河北衡水中学高三押题卷】已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．14. 【2017河北衡水中学高三二调】已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换．15. 【2017河北衡水中学高三二调】ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+【答案】D 【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得())sin sin cos A B A A B +=+，化简得cos sin 03A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以是cos 0,2A A π==直角三角形或者0,,233B B B AC ππ-===+.考点：解三角形．16. 【2018河北衡水中学高三五调】如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.17.【2018河北衡水中学高三五调】 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积S =，则ab 的最小值为（ ） A ．12 B ．13 C. 16D ．3【答案】B考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题18. 【2016河北衡水中学高三上学期七调】已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，] B．[﹣，] C．[﹣，1] D．[﹣，]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）+，由周期公式可得ω=1，可得f（x）=sin（2x﹣）+，由x的范围，可得所求．19. 【2016河北衡水中学高三上学期一调】函数y=sin（2x﹣）的图象与函数y=cos（x﹣）的图象（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．20.【2016河北衡水中学高三上学期七调】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（）A．1 B．C．D．2【考点】正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果．【解答】解：由cosA+sinA﹣=0，整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2，∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1，∴A﹣B=0，A+B=，即A=B=，C=，利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则====．故选B21.【2016河北衡水中学高三上学期一调】已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈ZC．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．22.【2016河北衡水中学高三上学期一调】设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f （x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得 m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题23.【2018河北衡水中学高三二调】已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．【答案】.∵，∴，∴，∴。
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C.答案 C2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )． A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 解析 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2， 解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B6．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．100解析 由sin π7＝－sin 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S 13＝S 14＝0. 同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0，共14个，所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C 二、填空题7．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案 1258．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sinα＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2. (1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 法二 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。
高考数学专项知识点：三角函数及解三角形(含真题)精选全文完整版
专题六三角函数及解三角形知识必备一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝180 rad ；1rad ＝180°弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈2,0(，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin cos＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z)π＋α－απ－α2－α2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三、三角函数的图象及性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2( ，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2( ，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R {x |x R x ≠k π＋2}值域[－1，1][－1，1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数四、正弦定理余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解5．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．真题再现1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsin sin =3 （）1，则πsin =6（）A ．12B C ．23D 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin cos 122，则：3sin cos 122 ，1sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos 096，又4,09是函数 f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32 .所以函数 f x 的最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =AB ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 4299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x 对称D ．f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin(3f x x ．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π(2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x 的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x，所以周期22T，故①正确；51()sin(sin 122362f ，故②不正确；将函数sin y x 的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin(3y x 的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day ）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是A.30303sin tan n n nB.30306sin tan n n nC.60603sin tan n n nD.60606sin tan n n n【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ，其周长为3012tan n n，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n，则30303sin tan n n n.故选：A.【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x ）B ．πsin(2)3x C ．πcos(26x D ．5πcos(2)6x 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T ，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y 5322122k k Z ，解得： 223k k Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x.而5cos 2cos(2)66x x故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x.故答案为19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin ()4 =23，则sin 2 的值是▲．【答案】13【解析】221sin ()cos )sin 2)4222Q 121(1sin 2)sin 2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．【答案】2（2,2k k Z均可）【解析】因为 cos sin sin 1cos f x x x x，2 ，解得sin 1 ，故可取2.故答案为：2（2,2k k Z均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan 2 ，则cos 2 _______，πtan(4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125，tan 1211tan(41tan 123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2(]3sin(2)6412y x x72()()122242k x k k Z x k Z 当1k 时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542【解析】设 OB OA r ，由题意7AM AN ，12EF ，所以5NF ，因为5AP ,所以45AGP ，因为//BH DG ，所以45AHO ，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ r，72DQ r ，因为3tan 5OQ ODC DQ ，所以212522r r ，解得r等腰直角OAH △的面积为1142S；扇形AOB 的面积 2213324S，所以阴影部分的面积为1215422S S.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC △的面积；（2）若sin A C =2，求C .【解析】（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c ，解得2c （舍去），2c ，从而a .ABC △的面积为12sin1502．（2）在ABC △中，18030A B C C ，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C ，故sin(30)2C.而030C ，所以3045C ，故15C .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若3b c a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解析】（1）由已知得25sin cos 4A A ，即21cos cos 04A A ．所以21(cos 02A ，1cos 2A ．由于0A ，故3A ．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A．由（1）知23B C ，所以2sin sin()33B B ．即11sin 222B B ，1sin()32B ．由于03B ，故2B ．从而ABC △是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ，由余弦定理2222cos b a c ac B ，得29223455b ，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C ，得=sin 45sin C，所以sin C（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ,所以ADC 为钝角，而180ADC C CAD ,所以C 为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C .因为4cos 5ADC，所以3sin 5ADC ，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC .从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(24A 的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c222cos 22a b c C ab ．又因为(0,π)C ，所以π4C ．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c sin 213sin 13a C A c ．（Ⅲ）由a c 及213sin 13A，可得313cos 13A ，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A ．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A；条件②：19cos ,cos 816A B ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ∵，11a b 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a ∵8a（Ⅱ）1cos(0,)sin77A A A∵，由正弦定理得：7sinsin sin sin2437a c CA C C11sin(118)8222S ba C选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816A B A B∵sin816A B由正弦定理得：6sin sin816a b aA B（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A11sin(116)62244S ba C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin0b A ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sinB A A，故sin2B ，由题意得π3B .（Ⅱ）由πA B C得2π3C A，由ABC△是锐角三角形得ππ(,62A .由2π1cos cos()sin322C A A A得11π113cos cos cos sin()(,]2226222A B C A A A.故cos cos cosA B C的取值范围是13(,]22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac ，②sin 3c A ，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．222b c ．由①ac ，解得1a b c ．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c ．方案二：选条件②．由6C 和余弦定理得2222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．22232 ，由此可得b c ，6B C ，23A ．由②sin 3c A ，所以6c b a ．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c 方案三：选条件③．由6C 和余弦定理得22222a b c ab ．由sin A B 及正弦定理得a ．2222 ，由此可得b c ．由③c ，与b c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。