利用三角形三边关系求最值
「初中数学」三角形三边关系的六种应用
三角形的三边关系为:三角形，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系，我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时，就要想到利用这一性质，常见的应用如下:一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是，若两条短线段的和大于最长的线段，则此三线段可构成三角形)1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(____)A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.二.求三角形第三边的长或取值范围3.若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2一9|+(b一2)2=0，则第三边长a的取值范围是______.4.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(______).A.14.B.10.C.3.D.2.5.若三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(_____).A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<166.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(_____).A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.三.求等腰三角形的边长及周长7.已知实数x，y满足|x一4|+(y一8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.8.若等腰三角形的周长为10㎝，其中一边长为2㎝，则该等腰三角形的底边长为(_)A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状.解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的长为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12.(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形四.化简含绝对值的式子10.已知a，b，c为三角形的三边长，化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a 一b+c|.【分析】化简绝对值，关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零，去掉绝对值，代数式保持不变;是负数，去掉绝对值后，代数式变为原来的相反数，之后，能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.解:∵a，b，c为三角形的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c 一2a.五.证明线段不等关系10.如图，已知P是△ABC内一点，求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)【分析】AP，BP，CP把△ABC分为三个三角形，每个三角形两边和大于第三边，AP，BP，CP正好各用两次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得证.证明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.11.如图，P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点，连结PA交BC于点E，求证:AP>AC.【分析】证明线段不等关系，想到三角形三边关系，可AC，AP，PC是在一个三角形中，但又引进了PC，那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形，那么又怎样把AP分成两段呢？从图看∠ECP=90°，想到直角三角形斜边的中线，如图取PE的中点F，连结CF，则PF=CF，这样成功的把AP段分成AF，PF两段，CF等量代换PF，在△ACF中利用三边关系可证.证明:取PE的中点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.12.如图，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.【分析】要证DB+DC>AB+AC，可用三角形三边关系定理，但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中，可以从构造AB+AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分线的对称性，将AC，AB移在一条线上，同时能将CD边进行转换，如图，在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN则可构造出△DAN≌△DCA，则AC=AN，DC=DN，达到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.13.如图，P为△ABC内一点，求证:AB+AC>PB+PC.【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解决问题，为使PB和CP同时出现在大于号右侧，则应构造新的三角形，可延长BP交AC于点D，或过点P作一直线.证明:(一)如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.证明:(二)如图，过点P任作一直线交AB于E交AC于F在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.六.利用三角形三边关系求最值13.如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D 到点O的最大距离是多少？【分析】动点问题，总的方法是，以静制动，取AB的中点H，OH=AB/2不变，由勾股定理得AD2+AH2=DH2，∴DH=√2，也不变，在△DOH中，OH在变，有OH+DH≥DO，则点D、H、O 三点共线时取等号，所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1，如图.前八题答案如下:1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.from sign 20211029064136[*AT*]61FB2413904B4238909767BA999F6032。
基本不等式解决解三角形面积最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题1.引言解决三角形面积最值问题是数学中的经典问题之一，而基本不等式是解决这类问题的重要工具。
本文将介绍基本不等式的概念和基本性质，并通过实例演示如何利用基本不等式解决解三角形面积最值问题。
2.基本不等式定义三角形的基本不等式基本不等式是指数学中一类带有不等号的基本关系式，其中最常见的就是，即三边关系式的不等式形式。
3.三角形的基本不等式对于任意三角形A BC，其三边长度分别为a、b、c，我们有以下基本不等式成立：三角不等式-：$a+b>c$，$b+c>a$，$c+a>b$角边不等式-：对于锐角三角形，有$a>b>c$，$si nA>s in B>s in C$，$c os A<co sB<c os C$，$tg A>tg B>tg C$；对于钝角三角形，有$a<b<c$，$s in A<si nB<s in C$，$co sA>c os B>co sC$，$tg A<tg B<tg C$4.利用三角形的基本不等式求解面积最值问题下面通过具体实例，演示如何利用三角形的基本不等式求解解三角形面积最值问题。
问题：求解一个等边三角形的最大面积。
解答：对于等边三角形A BC，三边长度均相等，记为$a$。
根据基本不等式，我们有$a+a>a$，即$2a>a$，所以$a>0$。
进一步，我们利用三角形的面积公式$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do th$，其中$h$为等边三角形的高，可以根据勾股定理求解，得$h=\sq rt{a^2-(\fr ac{a}{2})^2}=\fr ac{a\s qr t{3}}{2}$。
将$h$代入面积公式得$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do t\fr ac{a\s qr t{3}}{2}=\fra c{a^2\s qr t{3}}{4}$。
三角形三边关系求最值
三角形三边关系求最值
三角形三边关系求最值
三角形是最基本的几何图形，一般情况下由三条边（线段）组成。
它们三边的关系是呈现出两条比例定律：大比例定律和小比例定律。
而求出三边关系中的最值得到的概念也叫做三角形极限。
首先说明的是大比例定律。
这条定律告诉我们，在一个三角形的内角都不等的情况下，一条边的长度要严格小于其另外的两条边的和。
这样的话，最长边的长度就是求最值的最大值。
而小比例定律就完全相反，它规定一条边要小于另外两条边的差。
因此，最短边的长度就是求最值的最小值。
以上两条定律所对应的三角形极限，就形成了一种“两极分化”的关系，其中极大值就是符合大比例定律的最长边的长度，而极小值则为符合小比例定律的最短边的长度。
当然，除了求得三角形极限以外，它也可以帮我们更精准地解决其他相关的几何问题。
从说明了以上内容之后，我们也可以总结出三个求最值的公式：
最长边极限=a+b-c；最短边极限=abs(a-b+c)；最高夹角极限=90°
其中，a、b、c代表三角形三边的长度；经过这些步骤以后，我们就可以轻松粗鲁地求出三角形的极限值，而不用钻进其中的数学圈套。
因此，这证明三角形的极限计算是一个十分重要的计算方法，对我们探究几何学中的问题起着举足轻重的作用。
三角形三边关系例题20道
三角形三边关系例题20道已知三角形的两边长分别为5和8，则第三边的取值范围是？答案：第三边大于3且小于13。
若三角形的两边长分别为2和6，则第三边的最大整数值是？答案：8（因为第三边小于两边之和8+2=10，且大于两边之差6-2=4，所以最大整数值为8）。
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为偶数，则第三边的长为？答案：8或6（因为第三边小于10且大于4，且为偶数，所以只能是8或6）。
已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围在数轴上表示出来为？答案：在数轴上，第三边的取值范围是从5到13（不包括端点）。
若三角形的两边长分别为m和n，且m < n，m + n = 12，则m的取值范围是？答案：0 < m < 6（因为m + n = 12，所以n = 12 - m，又因为m < n，所以m < 12 - m，解得m < 6；又因为m > 0，所以0 < m < 6）。
一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则此三角形的周长不可能是？答案：20cm（因为第三边小于13cm且大于3cm，所以周长不可能为20cm）。
已知三角形的两边长分别为a和b，且a2 = 25，ab = 12，则此三角形的第三边的最大值是？答案：根据余弦定理，cosC = (a2 - c2 + b2) / 24。
由于-1 ≤ cosC ≤ 1，所以可以得到c的取值范围，进而求出第三边的最大值。
但此处更直接的方法是利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合a2 = 25和ab = 12求出a和b的具体值（或范围），然后求出第三边的最大值。
由于计算较复杂，此处不给出具体答案，但方法是这样的。
实际上，由于a和b的具体值可以通过解二次方程得到（注意a 和b都是正数），然后可以求出第三边的最大值。
8-20题（由于篇幅限制，只给出简要描述和答案）：已知两边长，求第三边可能的最小整数值。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围
利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围四川省江油市雁门初级中学（621718） 钟文华邮箱地址：zwhua131@三角形的三边关系为：两边之和大于第三边（或两边之差小于第三边）。
简单记为：两边之差（取绝对值）<第三边<两边之和。
除了可以运用它求第三边的取值范围，还可以有如下运用：一 已知两边，求第三边上的中线取值范围例 已知在三角形ABC 中，AB=10，BC=8，求第三边AC 边上的中线BD 的取值范围。
分析 通过旋转，可以将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ， 于是ED=BD ，AE=CB 。
从而在ΔBAE 中利用 三角形三边的关系就可以解决了；或者利用全等三角形判断。
解 将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ，则ED=BD ，AE=CB ，在ΔBAE 中，∣AB -AE ∣<BE< AB + AE ，即： 2<BE<18，∴ 1< BD < 9。
一般地：三角形的两边分别为a 、b （a>b ），则第三边上的中线p 的取值范围是：21（a -b ）< p < 21（a+b ）。
二 已知一边和另一边上的中线，求第三边的取值范围例 在三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，AD=6，AB=7，求AC 的取值范围。
B A CE D BA CD E分析 将AB 、AC 、AD 三条线段（或部分或几倍）放在同一个三角形中，利用三角形的三边关系就可以求出AC 的取值范围。
解 将ΔADC 绕点D 旋转180°后，得到ΔEDB ，则ED=AD ，AC=BE ，在ΔBAE 中，∣AE -AB ∣<BE< AE + AB ，即：12-7<BE<12+7∴ 5< BE < 19∴AC 的取值范围是：5< AC < 19。
三 已知两边上的高线，求第三边上的高线取值范围例 已知三角形的两边上的高分别为4和6，求第三边上的高线的取值范围。
直角三角形的三边计算公式
直角三角形的三边计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是90度。
直角三角形的三边计算公式是数学中常见的重要知识之一，它可以帮助我们求解直角三角形中各边的长度。
下面我们就来详细介绍一下直角三角形的三边计算公式及其应用。
在直角三角形中，我们通常用a、b、c来表示三条边的长度，其中c为斜边，a和b为两条直角边。
直角三角形的三边计算公式主要有以下几种：1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的三边计算公式，它表达了直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
若直角三角形中两个直角边的长度分别为3和4，要求斜边的长度c，则可以使用勾股定理计算：3^2 + 4^2 = c^2，得到c=5。
这就是著名的3-4-5三角形。
2. 余弦定理：余弦定理是一种用于求解三角形边长的公式，其中角的余弦值与三角形的三边长度之间存在关系。
对于直角三角形，余弦定理可以简化为c = √(a^2 + b^2)。
以上是直角三角形的三边计算公式的简要介绍，下面我们来看一些实际应用示例。
1. 已知直角三角形的两个直角边分别为4和6，求斜边的长度。
根据勾股定理：4^2 + 6^2 = c^2，解得c = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.21。
通过以上两个例子，我们可以看到直角三角形的三边计算公式在实际问题中的应用。
熟练掌握直角三角形的三边计算公式是数学学习中的重要内容。
希望通过本文的介绍，您对直角三角形的三边计算公式有更深入的理解。
第二篇示例：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，它具有独特的特点和性质。
在直角三角形中，三条边中的两条边分别称为直角边，另一条边称为斜边。
直角三角形的三边之间存在着一些特殊的关系，其中最重要的就是三边计算公式。
在直角三角形中，三个角分别为90度、α和β。
根据三角形内角之和是180度的性质，可以得出α+β=90度。
(文章)三角形三边关系运用举例
三角形三边关系运用举例三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目．现举例说明．一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m 和7m ，问第三条绳子的长有什么限制．解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a 、b ，则第三边c 满足|a －b |＜c ＜a ＋b ．设第三条绳子的长为x m ，则7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10．故第三条绳子的长应大于4m 且小于10m ．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm解析 根据三角形的三边关系，只需判断较小的两边之和是否大于最大边即可．因为6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B ．例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a －3，a ，3(其中a ＞3)；（2）a ，a ＋4，a ＋6(其中a ＞0)；（3）a ＋1，a ＋1，2a (其中a ＞0)．解析 （1）因为(a －3)＋3=a ，所以以线段a －3，a ，3为边的三条线段不能组成三角形．（2）因为(a ＋6)－a =6，而6与a ＋4的大小关系不能确定，所以以线段a ，a ＋4，a ＋6为边的三条线段不一定能组成三角形．（3）因为(a ＋1)＋(a ＋1)=2a ＋2＞2，(a ＋1)＋2a =3a ＋1＞(a ＋1)，所以以线段a ＋1，a ＋1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形．三、确定组成三角形的个数问题例4、现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形．即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C ． 例5 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？解析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c ．因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c )．又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c ．所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c )．所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c )．31×24＜a ＜21×24．所以8＜a ＜12．即a 应为9，10，11．由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个．四、确定三角形的边长例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x 厘米，因为9-2<x <9+2，即7<x <11，而x 是奇数，所以x =9．故应填上9厘米．例10 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长．解析 如图1，设腰AB =x cm ，底BC =y cm ，D 为AC 边的中点．根据题意，得x +12x ＝12，且y +12x ＝21；或x +12x ＝21，且y +12x ＝12．解得x ＝8，y ＝17；或x ＝14，y ＝5．显然当x =8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm ．注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．五、化简代数式问题例7、 已知三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值．解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号． 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0．所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10．故b =5． 图1 D C B A。