《直线与方程》单元测试卷

《直线与方程》单元测试题

1．若直线x ＝2015的倾斜角为α，则α( )

A ．等于0°

B ．等于180°

C ．等于90°

D ．不存在

2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )

A ．x －2y －1＝0

B ．x －2y ＋1＝0

C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0 3．已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (4，3)，若M 是BC 边的中点，则中线AM 的长为( ) A ．4 2 C ．2 5 D ．213

4．若光线从点P (－3，3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( )A ．10 B ．5＋17 C ．4 5 D ．217

5．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A ．3x －4y －11＝0 B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0 C ．3x －4y ＋9＝0 D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0

6．直线5x －4y －20＝0在x 轴上的截距，在y 轴上的截距和斜率分别是( ) A ．4，5，54 B ．5，4，54 C ．4，－5，54 D ．4，－5，4

5

7．若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( )

A ．(3，5)

B ．(－3，5)

C ．(－3，－5)

D ．(3，－5)

8．如图D3-1所示，直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像应该是( )

图D3-1

9．若直线3x ＋y －3＝0与直线6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 13 13 10

10．点P (7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(5，6) B ．(2，3) C ．(－5，6) D ．(－2，3)

11．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

12．已知△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( ) B ．1＋

22 C ．1＋33

13．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为1

2的直线的方程为________．

14．已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点________． 15．过点(－2，－3)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________． 16．已知点A(1，－1)，点B(3，5)，点P 是直线y ＝x 上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标是________．

17．已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°.

(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．

18．求过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程．

(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．

19．已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3，3)．如果点Q(2，2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．

20．已知△ABC中，A点坐标为(0，1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．

21．若光线从点Q(2，0)发出，射到直线l ：x ＋y ＝4上的点E ，经l 反射到y 轴上的点F ，再经y 轴反射又回到点Q ，求直线EF 的方程．

22．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图D 3-2所示)．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．

(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；

(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．

图D 3-2

单元测评(三)

1．C

2．A [解析] 设直线的方程为x －2y ＋b ＝0，将点(1，0)代入得b ＝－1，所以直线方程为x －2y －1＝0.

3．C [解析] 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式得x 0＝－2＋4

2

＝1，

y 0＝－1＋32＝1，即点M 的坐标为(1，1)，故|AM|＝（1＋1）2＋（1－5）2

＝2 5.

4．C [解析] Q(－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42

＋82

＝4 5.

5．B [解析] 本题可采用排除法，显然不能选择A ，C.又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为12

5

，故不能选择D ，所以答案为B.

6．C [解析] 直线5x －4y －20＝0可化为x 4－y 5＝1或y ＝5

4

x －5，易得直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，

－5，斜率为5

4

.

7．C [解析] 方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理为

m(2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立?????2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得?

???

?x ＝－3，y ＝－5.

故P(－3，－5)．

得l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ， ∴l 1的斜率等于l 2在y 轴上的截距．∵C 中l 1的斜率小于0，l 2在y 轴上的截距大于0；D 中l 1的斜率大于0，l 2在y 轴上的截距小于0，∴可排除C ，D 两选项．

又∵l 1在y 轴上的截距等于l 2的斜率的相反数，∴可排除A.

9．D [解析] 因为直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，所以m ＝2，所以它们之间的距离为d ＝?

?????－3－1232＋1

2

＝7

20

10. 10．C [解析] 设Q 点坐标为(m ，n)，则?

????n ＋4m －7×6

5

＝－1，6×m ＋72－5×n －42

－1＝0，

解得m ＝－5，n ＝6，所以点P(7，－

4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q

11．B [解析] 如图所示，直线2x ＋3y －6＝0过点A(3，0)，B(0，2)，直线l 必过点C(0，－3)，当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而可得直线l 的倾

斜角的取值范围是? ??

??π6，π2. 12．A [解析] 只有当直线x ＝a 与线段AC 相交时，x ＝a 才可将△ABC 分成面积相等的两部分．S △ABC ＝1

2

×3

×3＝92，设x ＝a 与AB ，AC 分别相交于D ，E ，则S △ADE ＝12×a ×32a ＝12×9

2

，解得a ＝3(负值舍去)．

13．x ＝12或x －3y ＋1＝0 [解析] 易求得两直线交点的坐标为? ??

??1

2，32，显然直线x ＝12满足条件．

当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ? ??

??

x －12，

化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0，因为直线与原点的最短距离为1

2，

所以|3－k|4＋4k 2

＝12

，解得k ＝33， 所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.

[解析] 由a ＋2b ＝1得a ＝1－2b ，所以(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0，

即b(1－2x)＋x ＋3y ＝0，联立?

????1－2x ＝0，

x ＋3y ＝0，得?

????x ＝12，y ＝－16

，

故直线必过定点? ????1

2

，－16.

15．x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0 [解析] 当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，易得所求直线的方程为x ＋y ＋5＝0.

16．(2，2) [解析] 易知当点P 为直线AB 与直线y ＝x 的交点时，|PA|＋|PB|的值最小．直线AB 的方程为y －5＝5－（－1）3－1(x －3)，即3x －y －4＝0.

解方程组?????3x －y －4＝0，y ＝x ，得?

????x ＝2，

y ＝2.

所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P 的坐标为(2，2)．

17．解：(1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°x ，即3x －y －2＝0. (2)设直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，

令y ＝0得x ＝2 3

3；令x ＝0得y ＝－2.

所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×2×2 33＝2 33，故所求三角形的面积为2 3

3

.

18．解：联立{x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得?

????x ＝0，

y ＝2，所以交点坐标为(0，2)．

(1)因为直线l 与直线3x －4y ＋1＝0平行，所以k ＝3

4

，

故直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.

(2)因为直线l 与直线5x ＋3y －6＝0垂直，所以k ＝3

5

，

故直线l 的方程为3x －5y ＋10＝0.

19．解：由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k(x －a)，即kx －y －ak ＝0，

∵点Q(2，2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak|

k 2

＋1

＝1，① 又∵直线l 1的方程为y ＝－k(x －a)，且直线l 1过点P(－3，3)，∴ak ＝3－3k.②

由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2

－25k ＋12＝0，

解得k ＝43或k ＝3

4.

∴当k ＝43时，代入②得a ＝－3

4，此时直线l 2的方程 4x －3y ＋3＝0；

当k ＝3

4

时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.

综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.

20．解：由已知易得直线AB 的斜率为2，∵A 点坐标为(0，1)，∴AB 边所在的直线方程为2x －y ＋1＝0.

联立?????2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0，解得?????x ＝12，y ＝2，

故直线AB 与AC 边上的中线的交点为B ? ????12，2.

设AC 边中点D(x 1，3－2x 1)，C(4－2y 1，y 1)，∵D 为AC 的中点，∴由中点坐标公式得?

??

??2x 1＝4－2y 1，

2（3－2x 1）＝1＋y 1，解得?????x 1＝1，y 1＝1，

∴C(2，1)，∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y －7＝0， AC 边所在的直线方程为y ＝1.

21．解：设Q 关于y 轴的对称点为Q 1，则Q 1的坐标为(－2，0)．

设Q 关于直线l 的对称点为Q 2(m ，n)，则QQ 2的中点G ? ????m ＋22，n 2在直线l 上．

∴m ＋22＋n 2

＝4，①

n

由①②得Q 2(4，2)．

由物理学知识可知，点Q 1，Q 2在直线EF 上，

∴k EF ＝kQ 1Q 2＝1

3

.

∴直线EF 的方程为y ＝1

3

(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0.

22．解：(1)①当k ＝0时，此时点A 与点D 重合，折痕所在的直线方程为y ＝1

2

；

②当k≠0时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为G(a ，1)， 所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，

有k OG ·k ＝－1?1

a

·k ＝－1?a ＝－k ，

故点G 的坐标为G(－k ，1)，

从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标(线段OG 的中点)为P ? ????－k 2，12， 折痕所在的直线方程为y －12＝k ? ????x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 2

2＋1

2

.

综上所述，折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 2

2＋1

2

.

(2)当k ＝0时，折痕的长为2；

当－2＋3≤k<0时，折痕所在的直线交BC 于点M ? ????2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ?

????0，k 2＋12， ∵|MN|2＝22

＋??????k 2

＋12－? ????2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4×(7－4 3)＝32－16 3， ∴折痕长度的最大值为32－16 3＝2(6－2)．

而2(6－2)>2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．