数学周报精品系列之课标高中版课件

如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b b′
a′ ″

O
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(4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
×）
(4)存在与两条异面直线都平行的第三直线对吗？（ × ） 无数） (5) 与两条异面直线都相交的直线有几条？（ 无数） (6) 与两条异面直线都垂直的直线有几条？（ (7) 与两条异面直线都垂直且相交的直线有几条？（唯一）
4.例题选讲
例1 下图正方体中 (1)哪些棱所在直线与BA1是异面 直线？ A1 (2).直线BA1和CC1的夹角是多 少? A (3).哪些棱所在的直线与AA1垂直? D B C D1 C1
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定它们可能异面，可能相交，也可能平行
b a
a
M
b
a
b



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a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫 做异面直线（skew lines）。
注1
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
(2)连接FH， ∵HD = EA，EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥
H
E
O
G F
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o
a
b
c
d
e
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
做一做
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观察 : 如图长方体ABCD-A1B1C1D1？中， AA1//BB1,AA1//DD1,那么BB1与DD1平行吗？
D1 A1 B1 C1
D A B
C
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
A , B M a, M a , a
画画看
三、两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别推三条线的平行线
⑷把被遮部分的线段画 成虚线或不画。其它为 实线。
α β
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
河南省舞阳县第二高级中学 耿林波
genglinpo@
那么这两个角相等或互补．
一作(找)二证三求
异面直线的求法:
作业
课本 P56：4,6
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多谢指导
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
相交直线 平行直线 异面直线
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Hale Waihona Puke NEXT2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″ a

∠2
a′
O
∠1
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在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
练一练
脑筋急转弯：
(1)若果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么，另 一条直线是否也与这条直线垂直？（ √ ） (2) 垂直同一条直线的两条直线是否平行？（ × ） (3)与同一条直线所成的角相等，两直线平行吗？（
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1 A1 D A 那么这两个角相等或互补．
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C1 B1 C
D A
B
C
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
B1
4.例题选讲
例2 下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
思考: 1、 这个长方体的棱中共有多少对异面直线? 2、有没有两条棱是相互垂直的异面直线？
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A

如图：
a


b
(3)
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a

b
(2)
合作探究二
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,
CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有
对?
答:共有 C G
3对
D A
C G
A D B
E F
B
H
H
E F
BACK
2 3 D 2 3
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
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想一想
这节课主要学 习了什么内容？
6.课堂小结
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D
C
A
B
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出
角
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5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
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例3
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
o o 又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
a b
平行直线 （无公共点）
相交直线 （有一个公共点）
D
B
A
两路相交
立交桥中, 两条路线AB, CD
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异面 既不平行，又不相交
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C
立交桥
六角螺母
D C A B
异面
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在教室里您能找出类似位置关
系的两条直线吗？
复习巩固
一、用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一 点 Q； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α 内，L 和m 相交于点P 。