有限循环小数如何化为分数
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：
[
从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
%
二、混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数。
"
（2）先看小数部分
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
》
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题：
解：先把循环小数化成分数后再计算。
|
例4 计算下面各题。
分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
（2）可根据乘法分配律把提出，再计算。
（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。
(完整版)无限循环小数如何化为分数汇总
无限循环小数如何化为分数由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。
一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。
方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数例1： 0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么 0.4747……=47/9由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
练习：（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。
（3）0.312 312……=类型2：混循环小数如何化为分数例题：把0.4777……和0.325656……化成分数例3：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以： 0.325656……=3224/9900练习：（1）0.366……=（2）1.25858……=（3）6.23898989……=可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
循环小数化为最简分数
循环小数化为最简分数
摘要：
1.循环小数的定义与性质
2.循环小数化为最简分数的方法
3.实例与应用
正文：
1.循环小数的定义与性质
循环小数是指一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现。
例如，1/3 = 0.3333...，其中3 无限循环出现。
循环小数具有一些特殊的性质，如它们的小数部分不会终止，可以表示为两个整数的比值等。
2.循环小数化为最简分数的方法
将循环小数化为最简分数的方法，主要是利用数学中的约分原则。
具体操作步骤如下：
(1) 找出循环小数的循环节，即从小数点后某一位开始不断重复出现的数字。
例如，对于1/3 = 0.3333...，循环节为3。
(2) 将循环节中的数字作为分子，分母为9（即循环节的位数+1）。
如上例中，分子为3，分母为9。
(3) 进行约分，将得到的分数化为最简分数。
在这个例子中，3/9 可以约分为1/3。
3.实例与应用
假设有一个循环小数0.6666...，我们需要将其化为最简分数。
(1) 找出循环节：循环节为6。
(2) 构建分数：分子为6，分母为6（循环节的位数+1）。
(3) 约分：6/6 可以约分为1，所以0.6666...化为最简分数为1/1，即1。
通过以上方法，我们可以将任何循环小数化为最简分数。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数得方法归纳
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环得小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢?瞧下面例题。
例１把纯循环小数化分数:
从以上例题可以瞧出，纯循环小数得小数部分可以化成分数,这个分数得分子就是一个循环节表示得数,分母各位上得数都就是9。
9得个数与循环节得位数相同。
能约分得要约分。
ﻬ二、混循环小数化分数
不就是从小数点后第一位就循环得小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？瞧下面得例题。
例2 把混循环小数化分数。
(2)先瞧小数部分0、3５3
由以上例题可以瞧出,一个混循环小数得小数部分可以化成分数,这个分数得分子就是第二个循环节以前得小数部分组成得数与小数部分中不循环部分组成得数得差。
分母得头几位数就是9,末几位就是0。
9得个数与循环节中得位数相同,0得个数与不循环部分得位数相同。
三、循环小数得四则运算
循环小数化成分数后，循环小数得四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲,循环小数得四则运算与有限小数四则运算一样,也就是分数得四则运算。
例3 计算下面各题：
解：先把循环小数化成分数后再计算。
例4 计算下面各题。
分析与解:(1)把循环小数化成分数，再按分数计算。
(２)可根据乘法分配律把１、25提出,再计算。
(3)把循环小数化成分数,根据乘法分配律与等差数列求与公式计算。
各种循环小数化成分数的方法归纳
0.216 = 216 999 8 374.123 = 4 123 999各种循环小数化成分数的方法归纳一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢看下 面例题。
例1把纯循环小数化分数：(1) 0.6 (2)3.102解二(1)0.6 X 10=6.666 ....... ①0.6=0.666 ......... ②由①一②得0?>v9 = 6所以0•二卜（2）先看小数部分o.io?0.102X1000= 102.102102 ......... ①0.102 = 0.102102 ....... ②由①一②得 0.10 2 X 999 = 102 所以 O.W2= II 24333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分 子 是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
3.102 = 3 102 999二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分 数呢看下面的例题。
例2把混循环小数化分数。
C1) 0.215； (2) &3 对解二（1） 0.215 X 1000 = 215.1515 ............. ①0.215X10 = 2.1515 ....... ②由①一 W0.215 X 990 = 215-20启二八二匹二21990 990330(2)先看小数部分 由①一 @110353 X900 = 353-35山以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数 的 分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的 差。
分母的头儿位数是9,末儿位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与 不循环部分的位数相同。
如 ①把0.276化成分数。
②把7.4；化成分数0.疵二土二竺二呂 900 900 所以 6.353 = 6 353・35 900 150 318 900 53 1500.27 6 二 276・27 83 900 ”300解；7.42 = 7A90 45三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
分数和小数的互化公式
分数和小数的互化公式
一、分数化成小数。
1. 基本方法。
- 分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按“四舍五入”法保留一定的小数位数。
- 例如：将(3)/(4)化成小数，计算3÷4 = 0.75；再如(2)/(3)，2÷3≈0.67（保留两位小数）。
2. 特殊情况。
- 分母是10、100、1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。
- 例如：(3)/(10)=0.3，(7)/(100) = 0.07，(123)/(1000)=0.123。
二、小数化成分数。
1. 有限小数化分数。
- 原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
- 例如：0.25=(25)/(100)=(1)/(4)；1.37=(137)/(100)；
0.125=(125)/(1000)=(1)/(8)。
2. 无限循环小数化分数。
- 纯循环小数化分数：循环节有几位，分母就有几个9，分子就是循环节。
- 例如：0.3̇=(3)/(9)=(1)/(3)；0.2̇1=(21)/(99)=(7)/(33)。
- 混循环小数化分数：分母中9的个数是循环节的位数，0的个数是不循环部分的位数，分子是不循环部分与第一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数。
- 例如：0.23̇，不循环部分是2，循环节是3，分母是90（1个9和1个0），分子是23 - 2=21，所以0.23̇=(21)/(90)=(7)/(30)。
数学小论文 循环小数化成分数的方法
循环小数化成分数的方法圩丰中心小学六（1）施中秋把循环小数化成分数的方法，可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到。
下面我们运用猜想验证的方法来推导。
（一）化纯循环小数为分数大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。
那么，一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢？我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。
如：＠①、＠②……化成分数时，它们的分母可以写成几呢？想一想：可能是10吗？不可能。
因为1/10＝0.1〈＠①，3/10＝0.3〉＠②；可能是8吗？不可能。
因为1/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0.375〉＠②；那么，可能是几呢？因为1/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分母可能是9。
下面我们来验证一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝＠②。
计算结果说明我们的猜想是对的。
那么，所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗？让我们根据自己的猜想，把＠③、＠④化成分数后再验证一下。
＠③＝4/9 验证：4/9＝4÷9＝0.444…… ＠④＝6/9＝2/3 验证：2/3＝2÷3＝0.666…… 经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用一个循环节组成的数作分子，用9 作分母；然后，能约分的再约分。
循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分数时，它们的分母又可以写成多少呢？想一想：可能是100吗？不可能。
因为12/100＝0.12〈＠⑤，13/100＝0.13〈＠⑥。
可能是98吗？不可能。
因为12/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0.1327〉＠⑥；可能是多少呢？因为12/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥〈13/98，所以分母可能是99。
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有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学初一二班初一二班初一二班初一二班王旭王旭王旭王旭目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区：：：：在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中，，，，只学过只学过只学过只学过0.aaa0.aaa0.aaa0.aaa……………………＝＝＝＝a/9a/9a/9a/9，，，，并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念。
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分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数；；；；分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都是是是是9999，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同。
2.2.2.2.混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数。
分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的数的差数的差数的差数的差；；；；分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是9999，，，，末几位数字是末几位数字是末几位数字是末几位数字是0000，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同，，，，0000的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数相同相同相同相同。
例例例例 1 1 1 1 把把把把0.47470.47470.47470.4747……………………和和和和0.330.330.330.33……………………化成分数化成分数化成分数化成分数。
解法解法解法解法1111：：：：0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100=47.4747100=47.4747100=47.4747100=47.4747……………………
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0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010－－－－
0.330.330.330.33……………………=3.33=3.33=3.33=3.33…………－－－－0.330.330.330.33……………………(10(10(10(10----1) 1) 1) 1) ××××0.330.330.330.33……………………=3=3=3=3 即即即即9999××××0.330.330.330.33……………………=3=3=3=3 那么那么那么那么0.330.330.330.33……………………=3/9=1/3=3/9=1/3=3/9=1/3=3/9=1/3 由此可见由此可见由此可见由此可见, , , , 纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数,,,,它的小数部分可以写成这样的分数它的小数部分可以写成这样的分数它的小数部分可以写成这样的分数它的小数部分可以写成这样的分数：：：：纯循环小数纯循环小数纯循环小数纯循环小数的循环节最少位数是几的循环节最少位数是几的循环节最少位数是几的循环节最少位数是几，，，，分母就是由几个分母就是由几个分母就是由几个分母就是由几个9999组成的数组成的数组成的数组成的数；；；；分子是纯循环小数中一分子是纯循环小数中一分子是纯循环小数中一分子是纯循环小数中一个循环节组成的数个循环节组成的数个循环节组成的数个循环节组成的数。
⑵⑵⑵⑵把把把把0.47770.47770.47770.4777……………………和和和和0000.325656.325656.325656.325656……………………化成分数化成分数化成分数化成分数。
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0.3256560.3256560.3256560.325656……×……×……×……×9900=32569900=32569900=32569900=3256－－－－32323232 所以所以所以所以, 0.32, 0.32, 0.32, 0.325656565656565656……………………=3224/9900=3224/9900=3224/9900=3224/9900。