必修二《直线与方程》单元测试题(含详细答案)之欧阳学创编

第三章《直线与方程》单元检测

试题

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知点A(1，3)，B(－1，33)，则直线AB的倾斜角是()

A．60°B．30°

C．120°D．150°

[答案]C

2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为()

A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0

C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0

[答案]D

3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为()

A．－3 B．－6

C．3

2D．2 3

[答案]B

4．直线x

a2－

y

b2＝1在y轴上的截距为()

A．|b| B．－b2

C．b2D．±b

[答案]B

5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是()

A．0 B．－4

C．－8 D．4

[答案]C

6．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]D

7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是() A．－2 B．－7

C．3 D．1

[答案]C

8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的

交点，并且经过原点的直线方程是( )

A ．19x －9y ＝0

B ．9x ＋19y ＝0

C ．3x ＋19y ＝0

D ．19x －3y ＝0

[答案] C

9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )

A ．(0,0)

B ．(17，27)

C ．(27，17)

D ．(17，114)

[答案] C

10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )

A ．x ＋2y －1＝0

B ．2x ＋y －1＝0

C ．2x ＋y －3＝0

D ．x ＋2y －3＝0

[答案] D

11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )

A ．－4

B ．－2

C ．0

D ．2

[答案] B

12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( )

A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)

C．(4,6) D．(0,2)

[答案]A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B 两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为_________.

[答案]－2

3

[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2

2＝－1，又

y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即

B(4，－3)，又x1＋x2

2＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴k AB

＝

－3－1

4－－2

＝－

2

3.

14．点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线

l的方程为_________.

[答案]x＋6y－16＝0

[解析]直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中

点为(4,2)，k AB＝6，所以k l＝－1

6，所以直线l的方程为y

－2＝－1

6(x－4)，即x＋6y－16＝0.

15．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x

＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.

[答案]32

[解析]依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据

平行线间的距离公式，得|m＋7|

2

＝

|m＋5|

2

?|m＋7|＝|m＋5|

?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公

式，得M到原点的距离的最小值为|－6|

2

＝3 2.

16．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)

[答案]①⑤

[解析]两平行线间的距离为

d＝|3－1|

1＋1

＝2，

由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，

所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.

[点评]本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知

识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上

学期期末试题)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－3 4，

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

[解析](1)直线l的方程为：y－5＝－3

4(x＋2)整理得3x＋4y－14＝0.

(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，

d＝|3×－2＋4×5＋n|

32＋42

＝3，

解得n＝1或－29.

∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.

18．(本小题满分12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．

[解析]解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x

＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0.

由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得 －13·(－3＋λ3λ－2

)＝－1. 解得λ＝310.

故所求直线方程是3x －y ＋2＝0.

解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.

由????? 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得?????

x ＝－1，y ＝－1， 即两已知直线的交点为(－1，－1)．

又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，

故－3＋1＋m ＝0，m ＝2.

故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.

19．(本小题满分12分)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2.

[分析] 解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA |＝|PB |”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P 在AB 的垂直平分线上及距离为2求解．

[解析] 解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |， 所

以x －42＋y ＋32＝

x －22＋y ＋1 2.①

又点P 到直线l 的距离等于2， 所以|4x ＋3y －2|5

＝2.② 由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－87)．

解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，

所以点P 在线段AB 的垂直平分线上．

由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5.

所以设点P (x ，x －5)．

因为点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3x －5－2|5

＝2. 解得x ＝1或x ＝277.

所以P (1，－4)或P (277，－87)．

[点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P 的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．

20．(本小题满分12分)△ABC 中，A (0,1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0.

(1)求直线AB 的方程；

(2)求直线BC 的方程；

(3)求△BDE 的面积．

[解析] (1)由已知得直线AB 的斜率为2，

∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，

即2x －y ＋1＝0.

(2)由????? 2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0得????? x ＝12，y ＝2.

即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)．

设C (m ，n )，

则由已知条件得????? m ＋2n －4＝0，2·m 2＋n ＋12－3＝0，

解得????? m ＝2，n ＝1，∴C (2,1)．

∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －21

2－2

，即2x ＋3y －7＝0.

(3)∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．

∴|BE |＝1

2－12＋2－12＝52，

由????? 2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0得??? x ＝25，y ＝95，

∴D (25，95)，

∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|22＋12

＝255， ∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝110.

21．(本小题满分12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y

轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：

(1)△AOB 的周长为12；

(2)△AOB 的面积为6.

若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

[解析] 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，

若满足条件(1)，则a ＋b ＋a2＋b2＝12，①

又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b ＝1.②

由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，

解得????? a ＝4，b ＝3，或??? a ＝125，b ＝92，

∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，

即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.

若满足条件(2)，则ab ＝12，③

由题意得，43a ＋2b ＝1，④

由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，

解得????? a ＝4，b ＝3或?????

a ＝2，

b ＝6， ∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6＝1，

即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.

综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.

22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．

(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；

(2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．

[解析] (1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在

的直线方程为y ＝12.

②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点

记为G (a,1)，

∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，

有k OG ·k ＝－1?1a ·k ＝－1?a ＝－k .

故G 点坐标为(－k,1)，

从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中

点)为M (－k 2，12)．

故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋

k22＋12.

由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k22＋12.

(2)当k ＝0时，折痕的长为2.

当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点

E (2,2k ＋k22＋12)，

交y 轴于点N (0，k2＋12)．

则|NE |2＝22

＋[k2＋12－(2k ＋k22＋12)]2＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3.

此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－

2)．

而2(6－2)＞2，

故折痕长度的最大值为2(6－2)．