立体几何中空间距离的求法

443711 湖北省兴山一中万忠国

空间中的距离基本可以分为点点距、点线线、点面距、线线距、线面距、面面距几种。这些距离的一般求法为：（1）根据定义作出距离进行求解，（2）进行各种距离之间的转化，并通过做辅助图形，应用解三角形或其他知识求解。关于各种距离可以初略的进行以下转化。

下面通过例题讲解如何求距离

已知正方体的棱长为求异面直线BD 与B 1C 的距离。

解：方法一：作公垂线。（因为AC 1垂直于两异面直线，所以将AC 1平行

1 A B 1 B D 1

C D

A 1 C 1

暑假立体几何中的距离问题

立体几何中的距离问题【要点精讲】 1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离?因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：①"一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。(2)等体积法。直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形. 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA '的长度为d，在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n，那么EF = 、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)

立体几何中体积与距离的问题

………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题考点一：两条异面直线间的距离例1如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；考点二：点到平面的距离例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时，（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离；例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形， PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点． 1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积．练习1、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若AB=CB=2,A 1C=6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积练习2如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。(Ｉ) 证明平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D

立体几何空间距离问题

空间距离问题 (专注高三数学辅导:) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 是PA的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. 。 P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. < 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (2 2 a ,0,0),C (0, 2 2 a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分别为a,b ，平面线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ；面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量分别为u,v ，则线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「；面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量分别为u ，v ，则 ①两直线I ，m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < )，cos cos (0< =2)，sin 所成的角为

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算例1.如图，已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求：(1) A、B两点间的距离； (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距离. 解：设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°

高考数学复习第十一讲立体几何之空间距离

第十一讲立体几何之空间距离一、空间距离包括：点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。二、空间距离的求法重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离（1）线线距离：找公垂线段（2）点面距离 ① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥) ③ 向量法：设平面α的法向量为n ，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则点P 到平面α的距离为ｄ等于PQ 在法向量n 上的投影绝对值。d =三、例题讲解 1、下列命题中: ①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα??b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离； ③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ?则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离 ④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且??b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离其中正确的命题个数有（Ｃ ) A ． 1个Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。

解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ?中,ＰQ 边长的高MH 为所求,423,22== PQ PM 3 2=∴MH 3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ，Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于a AO EO AE EK 6 32121=?= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。解：方法1:建立如图直角坐标系，

立体几何中的距离问题

立体几何中的求距离问题集美中学数学组刘海江一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？ 1、两点间的距离：连接两点的线段的长。求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。（3）利用向量的模，|AB|=|AB … （4）两点间的球面距离：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为。 2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。（4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为。基本思想是将点线距转化为点点距。 3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离； ②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈?O A ,,，则点A 到平面α的距离||n d = （是平面α的法向量）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法） 4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）

高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

高中数学专题讲义-空间几何体. 截面与距离问题

棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【例2】正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例4】已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ?的面积． M O C 1 B 1 A 1 C A 【例6】如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7， ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．典例分析板块二.截面与距离问题

H O'O D C B A V 【例7】如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【例9】一圆锥轴截面顶角为120?，母线长为1，求轴截面的面积．【例10】圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2 倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【例12】圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为．

《立体几何中的角度与距离问题》

二年级下学期小学期末检测数学试卷（考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分得分一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称：教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（）四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657

立体几何文科距离体积

距离问题 1、如图，四棱锥中，底面， ,,. (1)求证：；(2)求点到平面的距离． 2、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， . （Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求点到平面的距离.

3、如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点， . （1）求证:直线平面；（2）求点到平面的距离. 4、在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与的交点，已知，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．

体积问题【2014高考北京文第17题】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面， AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1 B 1 A 1 F E C B A 3. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形， C C A ⊥B 且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．

5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积. 23. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.

立体几何经典难题汇编

立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（） ①能构成矩形； ②能构成不是矩形的平行四边形； ③能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】画出图形，分类找出所有情况即可．【解答】解：作出正方体：在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况： ①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确； ③四面体A 1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； ④四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； ⑤四面体A 1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角形．由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确．综上可知：正确的结论个数是4．故选C．【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．

【解答】解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ．取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可，当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB= EF= 所以几何体的体积为：．故答案为：【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力． 4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ，（2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________. 22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1. 323a c c c a c --=--222 1. 3c a c --5

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

α n r A ?P ?O ?h A B D α β l 知识点整理 (一)平行与垂直的判断 (1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面线线平行l ∥m ?a r ∥b r a kb ?=r r ；线面平行l ∥α?a r u ⊥r 0a u ??=r r ；面面平行α∥β?u r ∥v r .u kv ?=r r (2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r ，则线线垂直l ⊥m ?a r ⊥b r 0a b ??=r r ；线面垂直l ⊥α?a r ∥u r a ku ?=r r ；面面垂直α⊥β?u ⊥v .0=??v u (二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r ，则 ①两直线l ,m 所成的角为θ(02π θ≤≤),cos a b a b θ?=r r r r ； ②直线l 与平面α所成的角为θ(02π θ≤≤),sin a u a u θ?=r r r r ； ③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u v θ?=r r r r (2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h = || || AP n n ?u u u r u u r u u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :|| || CD n d AB n ?==u u u r u u r r (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200 ，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角（3）AB 与CD 的距离.

立体几何中的角度与距离问题

立体几何中的角度与距离问题【基础知识】一．空间角度问题（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3．斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4．二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)

暑假立体几何中的距离问题

立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为，它们的公垂线 AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝ θcos 2222mn n m d ±++（ “±”符号由实际情况选定）点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:

立体几何空间距离问题

空间距离问题 (专注高三数学辅导:QQ1550869062) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离 ●案例探究

［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得. 错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1 的距离，这主要是对异面

高中数学立体几何的解题技巧 (1)

立体几何大题的解题技巧 ——综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角： “六个距离”： 1两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-= 2点P 到线l 的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量） 3 两异面直线的距离d = （P 、Q 分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量） 4点P 到平面的距离 d = （Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量） 5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】 “三个角度”： 1异面直线角【0，2π 】cos θ=2 121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0，π） 2线面角【0，2π 】sin θ=n v vn n v =,cos 或者解三角形 3二面角【0，π】cos 2 121n n n n ± =θ 或者找垂直线，解三角形

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题例1（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥． Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ， AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为 1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △ 中，由等面积法可求得AF = A B C D 1 A 1 C 1 B A B C D 1 A 1 C 1 B O F

高考数学《立体几何初步》专题空间距离学案

高考数学《立体几何初步》专题空间距离学案 1．点与点的距离：两点间的长． 2．点与线的距离：点到直线的的长． 3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上一点向另一条引垂线，这点到之间的线段长． 4．点与面的距离：点到平面的的长． 5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上一点到平面的的长． 6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上一点向另一个平面引垂线，这点到之间的线段长．两条异面直线的距离：与两条异面直线都的直线夹在两间线段的长．例1. 已知正六边形ABCDEF 的边长为a ，PA⊥平面AC ，PA ＝a ．求： ⑴ P 到直线BC 的距离； ⑵ P 到直线CD 的距离．答案：(1) a 2 7 (2) 2a 变式训练1：已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离相等．求证：存在△ABC 的一条中位线平行α或在α内．提示：分A 、B 、C 在α的同侧与异侧讨论例2．如图，直线l 上有两定点A 、B ，线段AC⊥l ，BD⊥l ， AC ＝BD ＝a ，且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离．解：在面ABC 内过B 作BE⊥l 于B ，且BE ＝AC ，则ABEC 为矩形． ∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE ．则AB 与CD 的距离即为B 到DE 的距离．过B 作BF⊥DE 于F ，易求得BF ＝a 2 1，∴AB 与CD 的距离为a 2 1．变式训练2：ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别为DA 、BC 边上的点，且MN∥AB 交AC 于O 点，沿MN 折成直二面角． ⑴ 求证：不论MN 怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC 的大小不变； ⑵ 当MN 在怎样的位置时，点M 到平面ACD 的距离最大？并求出这个最大值．解(1) 120°；典型例题基础过关 A C B D l A N M B O D C

立体几何中体积与距离的问题

B A C D 1A 1 B 1 C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题考点一：两条异面直线间的距离例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；考点二：点到平面的距离例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时，（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离；例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离．考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面; (2)求三棱锥P DEF -的体积。图5 B P A C D

3.已知在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD ?是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，G F E, ,分别是BC PC PD, ,的中点． 1）求平面EFG⊥平面PAD；2）若M是线段CD上一点，求三棱锥EFG M-的体积．练习1、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积练习2如图，三棱柱ABC－A1B1C1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 1 2AA1，D是棱AA1 的中点。(Ｉ) 证明平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C1 A1 B1 B1 D C1 A1

立体几何中空间距离的求法

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