2019届苏教版(文科数学) 三角函数三角恒等变形 图象与性质 单元测试
第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
苏教版高考总复习数学精品课件 主题二 函数 第五章 三角函数、解三角形 第五节 三角函数的图象与性质
≤≤
4π
2πD.
3
≤≤
3π
2
[解析]因为 ∈ [− , ],所以 + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以ቐ
+ ≤ ,
−
+≥
+<
解得
,
,且函数
≤≤
在[− , ]上单调递增,
,即的取值范围为[ ,
点的横坐标.故选B.
=
, , , ,,即为五个关键
4.函数 = −2tan 2 +
π
6
π π
{| ≠
+ , ∈ }
的定义域是____________________.
2
6
[解析]由正切函数的定义域可得,
的定义域为{| ≠
≤ − ,
−
≤ ,
∈ .
> ,∴ < ≤
∴正实数的取值范围是为(, ].故选C.
,
规律方法
（1）已知三角函数解析式求单调区间
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律
“同增异减”；②求形如 = sin + 或 = cos + > 0 的单调区间时,
强基础 知识回归
知识梳理
一、“五点法”作图
2019版高考一轮复习理数江苏专版课件：第四章 第五节 三角恒等变换 (49张PPT)
[例 1]
(1)已知 α∈(0，π)，化简：
α α cos －sin α· 2 2
1＋sin α＋cos
2＋2cos α
＝________.
(2) 2＋2cos 8＋2 1பைடு நூலகம்sin 8的化简结果是________．
[解析]
(1)原式＝
α α α α 2α 2cos ＋2sin cos · cos －sin 2 2 2 2 2
第五节 三角恒等变换
本节主要包括 3 个知识点： 1.三角函数的化简求值； 2.三角函数的条件求值； 3.三角恒等变换的综合问题.
01 02 03 04
突破点(一) 三角函数的化简求值
突破点(二) 三角函数的条件求值
突破点(三) 三角恒等变换的综合问题
课时达标检测
突破点（一） 三角函数的化简求值
[方法技巧]
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
三角函数的给角求值
1＋cos 20° 1 －tan 5° 求值：(1) －sin 10° ； tan 5 ° 2sin 20°
[例 2]
(2)sin 50°(1＋ 3tan 10°)．
[解]
2cos210° cos 5° sin 5° (1)原式＝ －sin 10° － 2×2sin 10°cos 10° sin 5° cos 5°
(2)原式＝ 4cos24＋2 sin 4－cos 42＝2|cos 4|＋2|sin 4－ 5π 3π cos 4|，因为 ＜4＜ ，所以 cos 4＜0，且 sin 4＜cos 4，所以 4 2 原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4.
[答案]
(1)cos α
数学苏教必修4本章综述 第三章三角恒等变换 含解析
第三章三角恒等变换
本章综述
本章主要包括两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数，它是以两角差的余弦公式为基础，利用向量为工具推导出来的.尤其是两角差的余弦和正弦公式，它们是本章各类公式的基础，学习这两个公式时，应注意它们的推导和一般性，同时要做足够的练习，牢记这些公式.
本章的重点是：两角和与差的三角公式、二倍角公式及其运用.本章的难点是：综合运用三角公式进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明.
学习本章时应注意以下几点：(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
本章的三角公式众多，对学过的公式做到真正的理解、记准、记熟、用活.掌握知识体系，对三角函数式的恒等变形，要牢记公式及其相互关系，在应用公式时要特别注意逆用公式或变形使用，训练逆向思维能力.
三角函数的问题千变万化，但只要抓住三角函数式的恒等变形这一根本，许多看似不同的问题的解法是相同的.此外在学习中要注意领会数学思想与方法的实质.本章中化归思想、数形结合思想、等价转化思想都是贯穿始终的重要思想和方法，在掌握知识的同时应注意这些思想和方法的应用.。
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
高三数学三角函数的图象与性质苏教版知识精讲
高三数学三角函数的图象与性质苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角函数的图象与性质二. 教学目的：了解三角函数的周期性，知道三角函数y ＝A sin （ωx ＋φ），y ＝A cos （ωx ＋φ）的周期为2T ωπ=。
能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π2，π2）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等）。
了解三角函数 y ＝A sin （ωx +φ）的实际意义及其参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y ＝A sin （ωx +φ）的简图，能由正弦曲线 y ＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y ＝A sin （ωx +φ）的图象。
会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
三. 教学重点：三角函数的性质与运用教学难点：三角函数的性质与运用。
四. 知识归纳1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3. 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4.由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx＋ϕ)的图象。
苏教版 高中数学必修第一册 三角函数的图象与性质 课件3
[2kπ-π,2kπ]
(k∈Z)
单调递
[2kπ,2kπ+π]
π
3π
2π + 2 , 2π + 2 (k∈Z)
(k∈Z)
减区间
y=tan x
R
π
奇函数
π
π- 2
, π +
π
2
(k∈Z)
函数
y=sin x
对称
中心
对称轴
(kπ,0)(k∈Z)
x=kπ (k∈Z)
y=cos x
π +
x=kπ
π
,0
π
5π
得kπ－12≤x≤12＋kπ(k∈Z)．]
3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为______．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°
＝cos 20°＞0，
cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos
π x
【例 1】 (1)函数 y＝3tan( － )的定义域为__n x－2tan
π
x|x|≤3的值域为________.
π x π
解析 (1)由6－4≠2＋kπ，k∈Z，
4π
得 x≠－ 3 －4kπ，k∈Z，
4π
即函数的定义域为{x|x≠－ －4kπ，k∈Z}.
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶
D．既奇又偶
A [∵ 2sin(－2x)＝－ 2sin 2x，
∴函数y＝ 2sin 2x为奇函数．]
高一数学苏教版课件：几个三角恒等式
1,
1 2
.2
10．化简并求值． (1) ； 3tan12 3
4cos212 2 sin12
(2) ； cos40 sin50 1 3tan10 sin70 1 cos40
(3) ． 3 4sin20 8sin320 2sin20sin480
随堂练习
随堂练习
【详解】（1） 3tan12 3 (4cos212 2)sin12
【答案】B
【详解】 ， . cos
x
π 3
cos
π 2
π 6
x
sin
π 6
x
7 25
cos
x
5π 3cos源自xπ 32π
cos
x
π 3
7 25
cos2
x
5π 6
1
cos
2x
2
5π 3
1
cos
2x
2
π 3
2π
1
cos
2
x
2
π 3
11 2sin2 2
x
π 6
，所以 .
2
2
sin
2
2
π 6
x
1
sin 2
π 6
x
1
49 625
576 625
cos(x 5π) 3
7 25
175
cos2 (x 5π) 576 576
6 625
故选：B
随堂练习
3．
1 cos 80
3 cos10
的值为______.
【答案】 4
【详解】 1 3 cos10 3 cos80 sin 80 3 cos80
π 2
的值域．
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解答题规范练
1.已知函数，，.
（1）求的值；
（2）若，，求。
解：（1）∵，且，
∴，
∴。
（2）由（1）知，
∴
又，
∴，∴，
∵，∴，
∴。
2.已知函数.
（1）求及的单调递增区间；
（2）求在区间上的最值。
解：（1）∵
.
∴；
令（），
解得（），
∴函数的单调递增区间为（）。
（2）∵，∴，
∴，
∴在区间上的最大值为1，最小值为。
3.已知函数（）的周期为.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值与最小值。
解：（1）∵
，
∵函数的周期，∴，∴。
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∴若，则的最大值是1，最小值是。
4.已知函数（）的最小正周期为．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）讨论函数在上的单调性。
解：（1）∵,
又最小正周期，，∴，∴，
∴,
令（），解得（），
∴函数图象的对称轴方程为（）。
（2）令（），
解得（），
∴函数的单调递增区间为（），
令（），
得函数的单调递减区间为（），
∵，
∴令，得函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
5.已知函数（）的最小正周期为
.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的取值范围。
解：（1）
,
∵，∴，∴，
∴，
由（），
解得（），
∴函数的单调递增区间为（）。
（2）∵，∴，
∴，，
∴函数在区间上的取值范围。
6.已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值。
解：（1）∵函数图象上相邻两个最高点的距离为，
∴函数的的最小正周期，∴，∴；
∵函数的图象关于直线对称，
∴，，即，，
∵，∴。
∴；。
（2）由（1）知.
∵，∴，
∴当，即时，；
当，即时，。
7.已知函数（）图象的两条相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函
数在区间上存在零点，求实数的取值范围。
解：（1）∵
∵函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
∴函数的的最小正周期，
∴，∴。
（2）由（1）知，；将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故。
∵，∴，
∵函数在区间上存在零点，
∴。