三角函数恒等变换含问题详解及高考题
专题14 三角恒等变换与解三角形(解析版)
专题14 三角恒等变换与解三角形【高考导航】1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.【真题解析】1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A.解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ， 所以2b 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2， 即2b a(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2， 即(a 2＋b 2－c 2)⎝⎛⎭⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154， ∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14， 0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104. [答案]152 104 4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.【典例解析】考点一 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a . 【训练】1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. [答案] D【训练】2．已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( ) A.12 B.34 C.32D ．2 [解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2，故选D. [答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案]7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二 解三角形1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74.故选A.[答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．【训练】1．[角度1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cos A2＝sin B＋sin C2sin C＝12·sin Bsin C＋12，∴1＋cos A＝sin Bsin C＋1，∴cos A sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，∴sin A cos C＝0，sin A≠0，∴cos C＝0，∴C为直角．故选B.[答案] B【训练】2．[角度2]在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，则B＝()A.π6或5π6 B.π3 C.π6 D.5π6[解析]∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝12sin B. 又∵sin B≠0，∴sin A cos C＋sin C cos A＝12，解得sin(A＋C)＝sin B＝12.∵0<B<π，∴B＝π6或5π6.故选A.[答案] A【训练】3．[角度3]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．[解析]由正弦定理得，(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，又a＝2，所以b2＋c2－bc＝4，所以cos A＝b2＋c2－42bc＝bc2bc＝12，故A＝π3.因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，所以S△ABC＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 3考点三 正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练】1．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2. [答案] B2．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.[解析] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DB sin15°，即DB ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤【强化训练】一、选择题1．已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358 B.1＋538C.1－358D.1－538[解析] 由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0， 解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A. [答案] A2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×sin π33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010[解析] 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[解析] 因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD ，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D.[答案] D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 因为sin C ＝23sin B ，所以由正弦定理得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，再由余弦定理可得cos A ＝32，所以A ＝π6.故选A. [答案] A6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为312c ，则ab 的最小值为( )A.12B.13C.16D ．3 [解析] 由正弦定理及2c cos B ＝2a ＋b ，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，则2sin C ·cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，整理可得2sin B ·cos C ＋sin B ＝0，又0<B <π，所以sin B >0，则cos C ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3，所以sin C ＝32，则△ABC 的面积为12ab sin C ＝34ab ＝312c ，即c ＝3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，可得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ＋ab ≤9a 2b 2，即ab ≥13，当且仅当a ＝b ＝33时等号成立，故ab 的最小值是13.故选B. [答案] B 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝________.[解析] 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.[答案] 120°8．计算：4cos50°－tan40°＝________.[解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝ 3.[答案]39．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝45°，C 点的仰角∠CAB ＝60°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝45°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.[解析] 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝60°，BC ＝100 m ，所以AC ＝2003m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝45°， 从而∠AMC ＝60°，由正弦定理得AC sin60°＝AM sin45°，因此AM ＝20023m.在Rt △MNA 中，AM ＝20023m ，∠MAN ＝45°，得MN ＝2003m.[答案] 2003三、解答题10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A ·sin π4＝7226. 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A . (1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S . [解] ∵⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C ·cos B ＝sin C .∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23.又∵a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝12ac sin B ＝15.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． [解] (1)由已知可得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3且B ∈⎣⎡⎭⎫π3，2π3， 故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)．。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测4-1三角恒等变换带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第四章 三角函数4.1 三角恒等变换单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α＞0 B ．cos2α＜0 C ．sin2α＞0 D ．sin2α＜0【答案】D ．【解答】解：α为第四象限角，则−π2+2k π＜α＜2k π，k ∈Z ，则﹣π+4k π＜2α＜4k π，∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D ．2．（2018•新课标Ⅱ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23，则|a ﹣b |＝（ ） A ．15B ．√55C ．2√55D ．1【答案】B ．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=56，∴|cosα|=√306，∴|sinα|=√1−3036=√66，|tanα|＝|b−a 2−1|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√66√306=√55．故选：B ．3．（2017•新课标Ⅱ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2α＝（ ） A ．−79B ．−29C ．29D ．79【答案】A ．【解答】解：∵sinα﹣cosα=43，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=169， ∴sin2α=−79， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin （α+β）＝ −12． 【答案】−12．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin （α+β）＝1， ∴2sin （α+β）＝﹣1． ∴sin （α+β）=−12． 故答案为：−12．5．（2015•四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 【答案】﹣1【解答】解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2，则原式=2sinαcosα−cos 2α1=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=−54+1=−1， 故答案为：﹣16．（2021•新高考Ⅱ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A ．−65 B ．−25C ．25D ．65【答案】C ．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) =sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ1+tan 2θ =4−21+4=25． 故选：C ．7．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos （α﹣β）＝ −79． 【答案】−79【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cosβ，∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79： ∵sinα=13，当α在第二象限时，cosα=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−79题型二.两角和与差公式1．（2017•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cos （α−π4）＝3√1010．【答案】3√1010【解答】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∵sin 2α+cos 2α＝1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos （α−π4）＝cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010， 故答案为：3√10102．（2020•新课标Ⅱ）已知2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，则tanθ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2【答案】D ．【解答】解：由2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ﹣2tan 2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan 2θ﹣8tanθ+8＝0， 即tan 2θ﹣4tanθ+4＝0， 即（tanθ﹣2）2＝0， 则tanθ＝2， 故选：D ．3．（2014•新课标Ⅱ）设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）A ．3α﹣β=π2 B ．3α+β=π2C ．2α﹣β=π2D ．2α+β=π2【答案】C ． 【解答】解：由tanα=1+sinβcosβ，得： sinαcosα=1+sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin （α﹣β）＝cosα＝sin （π2−α）， ∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴当2α−β=π2时，sin （α﹣β）＝sin （π2−α）＝cosα成立．故选：C ．4．（2015•江苏）已知tanα＝﹣2，tan （α+β）=17，则tanβ的值为 3 ．【答案】3．【解答】解：tanα＝﹣2，tan （α+β）=17， 可知tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=17， 即−2+tanβ1+2tanβ=17，解得tanβ＝3．故答案为：3．5．（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan （θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ −√105 ． 【答案】−√105【解答】解：∵tan （θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，∴tanθ=−13， 而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ， ∵θ为第二象限角， ∴cosθ=−√11+tan 2θ=−3√1010，sinθ=√1−cos2θ=√1010， 则sinθ+cosθ=√1010−3√1010=−√105． 故答案为：−√1056．（2016•新课标Ⅱ）已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ −43 ． 【答案】−43．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k ∈Z ， 又sin （θ+π4）=35，∴cos （θ+π4）=√1−sin 2(θ+π4)=√1−(35)2=45． ∴cos （π4−θ）＝sin （θ+π4）=35，sin （π4−θ）＝cos （θ+π4）=45．则tan （θ−π4）＝﹣tan （π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43． 故答案为：−43．7．（2015•重庆）若tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【解答】解：tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=cosαcos3π10+sinαsin 3π10sinαcos π5−cosαsinπ5=cos3π10+tanαsin 3π10tanαcos π5−sinπ5=cos 3π10+2tan π5sin 3π102tan π5cos π5−sin π5=cos 3π10+2sin π5cosπ5sin 3π102sin π5cosπ5cos π5−sin π5=cos π5cos 3π10+2sin π5sin 3π102sin π5cos π5−cos π5sin π5=cos(π5−3π10)+sin π5sin 3π10sin π5cos π5+sin(π5−π5)=cos π10+sin π5sin 3π10sin π5cos π5=cos π10−12[cos(π5+3π10)−cos(π5−3π10)]12sin 2π5=cos π10+12cos π1012sin 2π5=3cos π10sin 2π5=3cos π10sin(π2−π10)=3cos π10cos π10=3． 故选：C ．题型三.倍角公式1．（2021•乙卷）cos 2π12−cos 25π12=（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√32【答案】D ．【解答】解：法一、cos2π12−cos25π12=1+cos π62−1+cos5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 法二、cos 2π12−cos 25π12＝cos 2π12−sin 2π12＝cosπ6=√32． 故选：D ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ） A ．√53B ．23C ．13D ．√59【答案】A ．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos α=−23．∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．故选：A ．3．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55【答案】B ．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sinα）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sinα=√55． 故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）若cos （π4−α）=35，则sin2α＝（ ）A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D ．【解答】解：法1°：∵cos （π4−α）=35，∴sin2α＝cos （π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos 2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，法2°：∵cos （π4−α）=√22（sinα+cosα）=35，∴12（1+sin2α）=925，∴sin2α＝2×925−1=−725，故选：D ．5．（2013•浙江）已知α∈R ，sinα+2cosα=√102，则tan2α＝（ ） A ．43B ．34C ．−34D ．−43【答案】C ．【解答】解：由sinα+2cosα=√102，则（sinα+2cosα）2=52，即sin 2α+4sinαcosα+4cos 2α=52， 可得tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，解得tanα＝3或−13．那么tan2α=2tanα1−tan 2α=−34．故选：C ．6．（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=23，则cos 2（α+π4）＝（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A ．【解答】解：∵sin2α=23，∴cos 2（α+π4）=12[1+cos （2α+π2）]=12（1﹣sin2α）=12×（1−23）=16． 故选：A ．7．（2021•甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tanα＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153【答案】A ．【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin 2α，解得sinα=14，则cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515． 故选：A ．8．（2010•宁夏）若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=（ ）A ．−12 B ．12C ．2D ．﹣2【答案】A ．【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角， ∴可得sinα=−35，则1+tanα21−tanα2=cos α2+sinα2cos α2−sinα2=1+sinαcosα=1−35−45=−12，故选：A ．9．（2012•江苏）设α为锐角，若cos （α+π6）=45，则sin （2α+π12）的值为 17√250． 【答案】17√250． 【解答】解：设β＝α+π6，∴sinβ=35，sin2β＝2sinβcosβ=2425，cos2β＝2cos 2β﹣1=725， ∴sin （2α+π12）＝sin （2α+π3−π4）＝sin （2β−π4）＝sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250． 故答案为：17√250．10．（2011•重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin(α−π4)的值为 −√142 ． 【答案】−√142 【解答】解：由sinα=12+cosα，得到sinα﹣cosα=12①， 又sin 2α+cos 2α＝1②，且α∈（0，π2）， 联立①②解得：sinα=√7+14，cosα=√7−14，∴cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=−√74，sin （α−π4）=√22（sinα﹣cosα）=√24，则cos2αsin(α−π4)=−√74√24=−√142． 故答案为：−√142题型四.三角函数的最值——辅助角公式1．（2021•乙卷）函数f （x ）＝sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和2【答案】C ．【解答】解：∵f （x ）＝sin x 3+cos x3=√2sin （x 3+π4）， ∴T =2π13=6π．当sin （x3+π4）＝1时，函数f （x ）取得最大值√2；∴函数f （x ）的周期为 6π，最大值√2． 故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A ．【解答】解：函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）=15sin （x +π3）+cos （﹣x +π6）=15sin （x +π3）+sin （x +π3）=65sin （x +π3）≤65． 故选：A ．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34（x ∈[0，π2]）的最大值是 1 ．【答案】1【解答】解：f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34=1﹣cos 2x +√3cos x −34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝﹣t 2+√3t +14=−（t −√32）2+1， 当t =√32时，f （t ）max ＝1， 即f （x ）的最大值为1， 故答案为：14．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是 −3√32． 【答案】−3√32． 【解答】解：由题意可得T ＝2π是f （x ）＝2sin x +sin2x 的一个周期， 故只需考虑f （x ）＝2sin x +sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2cos x +2（2cos 2x ﹣1）＝2（2cos x ﹣1）（cos x +1），令f ′（x ）＝0可解得cos x =12或cos x ＝﹣1， 可得此时x =π3，π或5π3；∴y ＝2sin x +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点x ＝0中取到，计算可得f （ π3）=3√32，f （π）＝0，f （ 5π3）=−3√32，f （0）＝0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．5（2020•北京）若函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2．【答案】π2．【解答】解：∵sin （x +φ）≤1，cos x ≤1，又函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，所以当且仅当sin （x +φ）＝1，cos x ＝1时函数f （x ）取到最大值， 此时x ＝2k π，k ∈Z ，则sin （x +φ）＝sinφ＝1， 于是φ=π2+2k π，k ∈Z 时φ均满足题意， 故可选k ＝0时，φ=π2． 故答案为：π2．1．（2020•广州模拟）sin80°cos50°+cos140°sin10°＝（ ） A ．−√32 B ．√32C ．−12D ．12【答案】D ．【解答】解：sin80°cos50°+cos140°sin10°＝cos10°cos50°﹣sin50°sin10°＝cos （50°+10°）＝cos60°=12． 故选：D ．2．（2018•沈阳一模）已知tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ的值为（ ）A ．195B ．165C ．2310D ．1710【答案】C ．【解答】解：∵tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ=1+1tanθ+sin 2θsin 2θ+cos 2θ＝1+12+tan 2θtan 2θ+1=32+44+1=2310，故选：C ．3．（2020•福州一模）若tan(π2−α)=3cos(α−π)，则cos2α＝（ ） A ．﹣1 B ．79C ．0或79D ．﹣1或79【答案】D ．【解答】解：由tan(π2−α)=3cos(α−π)，得sin(π2−α)cos(π2−α)=−3cosα，所以cosαsinα=−3cosα，所以cosα＝0或sinα=−13，故cos2α＝2cos 2α﹣1＝﹣1，或cos2α=1−2sin 2α=79． 故选：D ．4．（2017秋•乐山期末）已知cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，且α，β均为锐角，则sin(α+π6)=（ ） A ．8√2−315B ．8√2−415C ．8−3√215D ．8−4√215【答案】A ．【解答】解：∵α，β均为锐角， ∴α+β∈（0，π），β−π6∈（−π6，π3）， 由cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，得sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=45，cos （β−π6）=√1−sin 2(β−π6)=2√23．∴sin(α+π6)=sin[（α+β）﹣（β−π6）]＝sin （α+β）cos （β−π6）﹣cos （α+β）sin （β−π6）] =45×2√23−35×13=8√2−315． 故选：A ．5．（2019秋•湖北月考）若sin （π6−θ）=35，则sin （π6+2θ）＝（ ）A ．−2425B ．2425C ．−725D ．725【答案】D ．【解答】解：sin （π6+2θ）＝sin[π2−2（π6−θ）]＝cos2（π6−θ）＝1﹣2sin 2（π6−θ）＝1−1825=725，故选：D ．6．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为 12．【答案】12．【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）＝sin 2x +（ 12sin x +√32cos x ）2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin（2x −π6）+1，当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f （x ）min ＝1−12=12． 故答案为：12．7．已知α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ，则（ ） A ．2α＝β+πB ．2α＝π﹣βC ．3α＝π+βD ．3α＝π﹣β【解答】解：∵α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ， ∴sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=1+1cosβ， ∴cosαcosβ+cosα＝sinαsinβ， ∴cos （α+β）＝﹣cosα＝cos （π±α），∴α+β＝2k π+π+α（k ∈Z ），或α+β＝2k π+π﹣α（k ∈Z ）， ∴β＝2k π+π+α（k ∈Z ）（舍去），或2α＝2k π+π﹣β（k ∈Z ）， ∵α，β都是锐角， 当k ＝0时，2α＝π﹣β， 故选：B ．8．已知α，β∈（0，π），cosα=−3√1010，若sin （2α+β）=12sinβ，则α+β＝（ ）A ．54πB ．23πC ．76πD ．74π【解答】解：∵α（0，π），cosα=−3√1010， ∴sinα=√1−cos 2α=√1010， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×√1010×（−3√1010）=−35，cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√1010)2=45， ∵sin （2α+β）=12sinβ， ∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=12sinβ，∴−35cosβ+45sinβ=12sinβ，即sinβ＝2cosβ， 又sin 2β+cos 2β＝1，且β∈（0，π）， ∴sinβ=2√55，cosβ=√55，∴sin （α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=√1010×√55+（−3√1010）×2√55=−√22＜0， ∵α，β∈（0，π），且cosα＜0，cosβ＞0，∴α∈（π2，π），β∈（0，π2），∴α+β∈（π2，3π2），∴α+β=5π4． 故选：A ．。
三角恒等变换-高考数学一题多解
三角恒等变换-高考数学一题多解三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式.积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索.要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养.已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系.角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、“1”的代换、和积变换、幂的升降变换等，变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.“恒等”这个词始终是三角变换的重点.三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力.在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下.（1）函数名称的差异变换：①切割化弦，弦化切割；②异名化同名.（2）角的差异变换：①异角化同角；②拆角、配角技巧.（3）运算结构的差异变换：①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化.（4）常数的处理：特别注意“1”的代换.（5）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑.在解题过程中，不论运用什么变换技巧，基本原则是：把握方向，活用公式，注意目标，贵在“恒等”.真可谓：三角变换贵在活，变角变式变函数，恒等始终是重点，公式繁多方法多.【典例】（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+=B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-（一）直接法——由条件推结果【答案】D【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-，即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=，所以()tan 1αβ-=-，故选：D（二）整体构造法——观察角与角的关系找共同点【答案】D【解析】根据sin()cos()αβαβ+++以及4πα+，可以利用辅助角公式，将4πα+当做一个整体，再进行合并，于是有如下解法：sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin ==0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选D【点评】解题的关键当然是如何沟通条件和结论，一种思考是变形条件使之朝结论的目标靠拢，而条件的变形又是多种多样，但应始终抓住是恒等变形，条件式直接变形要始终抓住“恒等”，引进新元更要注意“恒等”.另一种思考是构造法，构造法也不是凭空而得，务必考虑与条件之间的等价关系.（三）特殊值排除法——做选择题的快速解法解法：设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A ，C ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除B ；选D.【点评】排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，【针对训练】（2022·浙江卷T13）1．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．（2022·全国）2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．3．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----.4．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．5．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=6．22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒=_____________.7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．8．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________.9．cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒的值是()A ．-B ．0C ．D ．310．在ABC 中，=4A π∠，边,,a b c 满足22212b a c -=，求tan C 的值.参考答案：1．1045【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos 10θ=，()αθ-=22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.2．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,162A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.3．23.【分析】方法一：灵活利用平方关系及乘方公式化简即可.【详解】［方法一］：【最优解】“1”的代换化齐次式原式2224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin a ααααααα+--=+--2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα⋅==+.［方法二］：公式降幂原式44661(cos sin )1(cos sin )a ααα-+=-+222222242241(cos sin )2cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα⎡⎤-+-⋅⎣⎦=-+-⋅+2222222112cos sin 1(cos sin )3cos sin αααααα-+=⎡⎤-+-⋅⎣⎦22222cos sin 23cos sin 3a ααα⋅==⋅.［方法三］：降幂原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++-2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++-2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++-22222cos 1cos cos sin a ααα=++-222cos 23cos 3αα==.【整体点评】方法一：根据22cos +sin =1αα化齐次式，简洁易算，是该题的最优解；方法二：根据22cos +sin =1αα以及平方和．立方和公式降幂，是化简求值的常用处理方法；方法三：根据平方差．立方差公式化简降幂，变形难度稍大．4．证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以cos α，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝2cos cos (1sin )ααα-＝21sin cos (1sin )ααα--＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝1sin cos a α+＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝21sin cos (1sin )ααα--＝2cos cos (1sin )ααα-＝cos 1sin αα-＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝2cos (1sin )cos ααα-，右边＝(1sin )(1sin )(1sin )cos αααα+--＝21sin (1sin )cos ααα--＝2cos (1sin )cos ααα-，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵cos 1sin αα-－1sin cos a α+＝2cos (1sin )(1sin )(1sin )cos ααααα-+--＝22cos cos (1sin )cos αααα--＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝cos 1sin αα-＝cos (1sin )(1sin )(1sin )αααα+-+＝2cos (1sin )1sin ααα+-＝1sin cos a α+＝右边.[方法六]：∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 1sin αα-＝1sin cos aα+.[方法七]：若证cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，即证cos 2α＝1－sin 2α，此式成立，∴原等式cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.5．C【详解】[方法一]：sin 1sin ,sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+()sin sin 2παβα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,,0,2222ππππαβα⎛⎫⎛⎫-∈--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,222ππαβααβ∴-=-∴-=.故选：C.[方法二]：222cos sin cos sin 1sin 2222tan tan cos 24cos sin cos sin 2222ββββββπαβββββ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭- 又,,,22442242βπππβππααβ⎛⎫+∈∴=+∴-= ⎪⎝⎭.故选：C.[方法三]：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．6．34【分析】根据两角和的正弦余弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】[方法一]：因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin 10cos (3010)sin10cos(3010)++++22211sin 10sin10)sin10cos10sin 102222=+-+⋅- 2233(sin 10cos 10)44=+= .[方法二]：原式＝1cos 201cos80sin10cos 4022-+++cos(5030)cos(5030)1sin10cos 402+--=++cos50cos30sin 50sin 30cos50cos30sin 50sin 301sin10cos 402---=++1sin 50sin 30sin10cos 40=-+ 1cos 40(sin 30sin10)=-- 1cos 40[sin(2010)sin(2010)]=-+-- 12cos 40cos 20sin10=-2cos 40cos 20sin10cos101cos10=-sin8013114cos1044=-=-= .[方法三]：换元法令10,40,sin a b cos a b ⎧=+⎨=-⎩得()()()()()11110401050302020,2221110401050302020,22a sin cos sin sin sin cos cos b sin cos sin sin cos sin sin ⎧=+=+==⎪⎪⎨⎪=-=-=-=⎪⎩则原式=222222333()()()()3cos 20sin 20444a b a b a b a b a b ++-++-=+=+=.[方法四]：设2222sin 10cos 40sin10cos 40,cos 10sin 40cos10sin 40x y =++=++ ，则1110401040250240,11180205040.222x y sin cos cos sin sin cos x y cos cos sin cos ⎧+=+++=+=+⎪⎨-=--=--=--⎪⎩所以322x =，故34x =.[方法五]：余弦定理由余弦定理，得2222cos a b ab C c +-=，又由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，于是2222224sin 4sin 22sin 2sin cos 4sin R A R B R A R B C R C +-⋅⋅⋅=，得222sin sin 2sin sin cos sin A B A B C C +-=故22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10sin 50sin10sin 50=++22sin 10sin 502sin10sin 50cos120=+-223sin 120)24=== .[方法六]：22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒()()22sin 10cos 1030sin10cos 1030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 10sin10sin10cos10sin102222⎛⎫⎛⎫=︒+︒-︒+︒⨯︒-︒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223113sin 10cos 10sin 10sin 104424=︒+︒+︒-︒=故答案为：34.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦余弦公式的应用，属于中档题.7．2875-【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得2π2sin cos sin sin 22sin 4π1tan cos 4x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：根据已知角化简 22sin 22sin 2sin cos 2sin 1tan 1cos x x x x sin x x x x++=--2sin cos (cos sin )cos sin x x x x x x +=-π2sin cos sin()4πcos()4x x x x +=+π3cos()45x += ，177ππ124x <<，π4sin()45x ∴+=-，72sin cos 25x x ∴=．∴π2sin cos sin()284π75cos()4x x x x +=-+，∴2sin 22sin 281tan 75x x x +=--．［方法二］：直接展开求sin cos ,sin cos x x x x±()π3cos cos sin 425x x x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，得cos sin x x -=平方得2sin cos x x =725，()2732cos sin 12525x x +=+=， 177,124x ππ<<∴cos sin 0,cos sin x x x x +<+=，∴原式=cos sin 2sin cos cos sin x x x x x x +-＝－2875．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π4tan(43x +=-）原式＝cos sin 1tan 2sin cos sin 2cos sin 1tan x x x x x x x x x ++=--=πsin2tan 4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，7sin2cos 212cos 2425x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=2875-．［方法四］：整体法求cos x 因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，又 177124x ππ<<，所以sin x =，tan x =7，∴原式＝－2875．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin cos ,sin cos x x x x ±，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin ,cos ,tan x x x ，是该题的通性通法．8．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】[方法一]：由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A b bc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=，∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.[方法二]：由cos cos A b B a =可知cos 0A >，cos 0B >，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理结合题意可得cos sin cos sin A B B A =，即11sin cos sin cos ,sin 2sin 222A AB B A B =∴=，据此有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.9．D【详解】[方法一]：()()15453045304530122224154530453045301222cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin =-=++=+==-=-==则原式44=[方法二]：()1tan15tan45tan15tan4515tan301tan151tan45tan15--===-==++原式[方法三]：cos15sin150>>，令cos15sin15(0)cos15sin15t t-=>+，22222cos152sin15cos15sin151sin301cos152sin15cos15sin151sin3033t t-+-===∴=+++则.[方法四]：()()222cos15cos15sin15cos15sin15cos15sin152cos15cos15sin1512cos152sin15cos15cos301sin3022cos152sin15cos15cos301sin30--=++-+-===+++[方法五]：22222cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos30cos15sin152sin15cos151sin303-+-=++-===+++（）（）（）[方法六]：cos15sin15sin15cos15cos15sin15sin15cos151sin30sin302sin60sin602--=-=-++--==（）故选D.10．tan2C=.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得3c=，再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得3sin2cos2sinC C C=+，即可求tan C.【详解】［方法一］：【最优解】利用正、余弦定理边化角因为22212b a c-=，2222cosb c a bc A+-=，所以232c=，即3c=，所以33sin sin()2cos 2sin 4C B C C C π==-=+，即tan 2C =.［方法二］：和差化积公式的应用由22212b a c -=得，2221sin sin sin 2B AC -=，即212sincos 2cos sin sin 22222B A B A B A B AC +-+-⨯=，即()21sin sin sin 2C B A C -=，因为0sin 1C <≤，所以()()2sin sin sin B A C A B -==+，即sin cos 3sin cos B A A B =，所以tan 3tan 3B A ==．()tan tan 13tan tan 21tan tan 13A B C A B A B ++=-+=-=-=--．【整体点评】方法一：利用正、余弦定理边化角，再根据消元思想即可解出，是该题的最优解；方法二：利用和差化积公式转化求值，需要较强的运算能力．。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
三角恒等变形难题高考加竞赛(有答案)
三角恒等变形竞赛三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等，其变形的主要途径如下：1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± βαααβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±2．倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=3．半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=4．和化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=5．和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 6．万能公式设t =2tan α，则.12tan ,11cos ,12sin 2222t tt t t t -=+-=+=ααα 7．三倍角公式ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=8．)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中).2,2(,tan ππθθ-∈=a b 解题示范例1：求下列各式的值。
2023年高考数学总复习第7讲：三角函数及其恒等变换(附答案解析)
2023年高考数学总复习第7讲：三角函数及其恒等变换一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•江西期中）扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（）A．4B．3C．2D．1
2．（5分）（2022春•钦州期末）930°＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（5分）（2022春•温州期末）已知，且，则cosα﹣sinα＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（5分）（2022
春•温州期末）已知，则sinθ﹣cosθ
＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（5分）（2022春•开福区校级月考）若角α的终边过点P（8m，﹣3），且，则m 的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（5分）（2007秋•海曙区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，若内角A满足f（cos A）＜0，则A的取值范围是（）A ．B ．
C
．D
．
7．（5分）（2022春•房山区期中）若sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（5分）（2019秋•清远期末）sin195°sin465°＝（）
A ．
B ．
C ．D
．﹣
9．（5分）（2021秋•佛山期末）已知sin （+α）
＝，α∈（﹣，0），则tanα等于（）
A
．﹣B ．C
．﹣D ．
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三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证．法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2]上的值域．解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
2． 求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈，则原函数可化为22131()24y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =max 3y =，当12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3[34y ∈+，。
3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，所以，当2242ππx k π-=+，即38πx k π=+时，()f x最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称，只要证明对任意x R ∈，有()()88ππf x f x --=-+成立，因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-，())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-， 所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
4． 已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45 =21sin(2x+6π)+45 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）。
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+k π,k ∈Z} （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像。
综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像。
历年高考综合题一，选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A．5-B．5 C ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin 330︒等于 （ ） A．-B ．12-C ．12D14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）A.2π B .π C.32π D.2π18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二，填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。