三角函数恒等变换含答案及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2
β
α+-
2
β
α-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?=
a
b
确定。 1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 解:因为2cos sin tan ==
x
x
x ,又sin 2x +cos 2x =1, 联立得???=+=,1
cos sin cos 2sin 2
2x x x
x 解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ???
????-=-=??
?????==x x x x
2.求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο
ο
ο
οοο----的值.
解:原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο
οοοοο
3.若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ,求sin x cos x 的值.
解:法一:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2x =1,联立方程组,解得
,,??????
?=-=??
?
????-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-
=103
cos sin x x 法二:因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x -cos x =2(sin x +cos x ),
所以(sin x -cos x )2=4(sin x +cos x )2, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有?-
=10
3cos sin x x 4.求证:tan 2x ·sin 2x =tan 2x -sin 2x .
证明:法一:右边=tan 2x -sin 2x =tan 2x -(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ,问题得证. 法二:左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1-cos 2x )=tan 2x -tan 2x ·cos 2x =tan 2x -sin 2x ,问题得证. 5.求函数)6
π
2sin(2+
=x
y 在区间[0,2π ]上的值域. 解:因为0≤x ≤2π,所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象, 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域.
(1)y =sin 2x -cos x +2; (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x ). 解:(1)y =sin 2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos 2x +cos x )+3,
令t =cos x ,则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y =2sin x cos x -(sin x +cos x )=(sin x +cos x )2-1-(sin x +cos x ),令t =sin x +cos x 2=
,)4
π
sin(+x ,则
]2,2[-∈t 则,,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-∈y
7.若函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是4
1个周期,这样求得
44
=T ,T =16,所以?=8πω
又由)28π
sin(22?+?=,得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ?
8.已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值. 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域.
解:(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin4x =(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π.
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时,
f (x )取最小值为.2-
1. 已知2tan =
θ,求(1)
θθθ
θsin cos sin cos -+;(2)θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解:(1)
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ; (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ2
2222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222
-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
2. 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解:设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈,则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
,因为[t ∈,所以
当t =
时,max 3y =12t =-时,min 3
4
y =,
所以,函数的值域为3
[34
y ∈,。
3.已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈,。
(1)求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合; (2)证明:函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。 解:2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈,
所以,当2242ππx k π-
=+,即38
π
x k π=+时,()f x
最大值为 (2)证明:欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称,只要证明对任意x R ∈,有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立,
因为())]2)28842
ππππ
f x x x x --=---=--=-,
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-,
所以()()88ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
4. 已知函数y=2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 (x ∈R ),
(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x -1)+ 41+43(2sinx ·cosx )+1
=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时,只需2x+6π=2π+2k π,(k ∈Z ),即 x=6
π
+k π,(k ∈Z )。
所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换:
(i )把函数y=sinx 的图像向左平移6π,得到函数y=sin(x+6
π
)的图像; (ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+6π
)的图像;
(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变),得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像;
(iv )把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。 综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。
历年高考综合题
一,选择题
1.(08全国一6)2
(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数
D .最小正周期为π的奇函数
2.(08全国一9)为得到函数πcos 3y x ?
?
=+
??
?
的图象,只需将函数sin y x =的图像( )
A .向左平移
π
6个长度单位 B .向右平移
π
6个长度单位 C .向左平移5π
6
个长度单位
D .向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是,则α是 ( ) A .第一象限角
B . 第二象限角
C . 第三象限角
D . 第四象限角
4.(08全国二10).函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 ( ) A .1 B . 2 C .3 D .2
5.(08安徽卷8)函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 ( ) A .6
x π
=-
B .12
x π
=-
C .6
x π
=
D .12
x π
=
6.(08福建卷7)函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x
7.(08广东卷5)已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是 ( )
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.(08海南卷11)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 ( )
A. -3,1
B. -2,2
C. -3,
32 D. -2,32 9.(08湖北卷7)将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′,若
F ′的一条对称轴是直线,1
x π
=
则θ的一个可能取值是 ( )
A.
512π B.512π- C.11
12
π D.1112π-
10.(08江西卷6)函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是 ( )
A .以4π为周期的偶函数
B .以2π为周期的奇函数
C .以2π为周期的偶函数
D .以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则
MN 的最大值为 ( )
A .1
B
C
D .2
12.(08山东卷10
)已知πcos sin 6αα??-
+= ??
?7πsin 6α??+ ??
?的值是( ) A
.5
-
B
.
5
C .45-
D .45
13.(08陕西卷1)sin330?等于 ( ) A
.2
-
B .12-
C .12
D
.
2
14.(08四川卷4)()2
tan cot cos x x x += ( ) A.tan x B.sin x C.cos x D.cot x 15.(08天津卷6)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 ( ) A .sin 23y x x π??
=-
∈ ???
R , B .sin 26x y x π??
=+∈
???
R , C .sin 23y x x π??
=+
∈ ???
R , D .sin 23y x x 2π??
=+
∈ ??
?
R , 16.(08天津卷9)设5sin 7a π=,2cos 7b π=,2tan 7
c π
=,则 ( ) A .a b c <<
B .a c b <<
C .b c a <<
D .b a c <<
17.(08浙江卷2)函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 ( )
A.
2
π
B .π C.32π D.2π
18.(08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中,函数])20[)(2
32cos(ππ
,∈+=x x y 的图象和
直线2
1
=y 的交点个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.4 二,填空题
19.(08北京卷9)若角α的终边经过点(12)P -,,则tan 2α的值为 . 20.(08江苏卷1)()cos 6f x x πω?
?
=-
??
?
的最小正周期为
5
π,其中0ω>,则ω= . 21.(08辽宁卷16)设02x π??
∈ ???
,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .
22.(08浙江卷12)若3
sin(
)25
π
θ+=,则cos2θ=_________。 23.(08上海卷6)函数f (x )=3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
三,解答题
24. (08四川卷17)求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. (08北京卷15)已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=+
??
?
(0ω>)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03??????
,上的取值范围.
26. (08天津卷17)已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=(,0x R ω∈>)的最小值正周期是
2
π
. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数()f x 的最大值,并且求使()f x 取得最大值的x 的集合.
27. (08安徽卷17)已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
28. (08陕西卷17)已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令π()3g x f x ?
?
=+
??
?
,判断函数()g x 的奇偶性,并说明理由. 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 23.2 24. 解:2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-,中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10,当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;
25. 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-=
11
2cos 222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?.
因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?. 因为2π03
x ≤≤, 所以ππ7π2666
x --≤≤,
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤, 因此π130sin 2622x ?
?-+ ??
?≤≤,即()f x 的取值范围为302??
????
,. 26. 解:
()2
42sin 22
4sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+??? ?
?
+=+??? ?
?
+=++=+++?
=πωπωπωωωωωx x x x x x x
x f 由题设,函数()x f 的最小正周期是2
π
,可得222πωπ=,所以2=ω.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()244sin 2+??? ?
?
+=
πx x f .
当ππ
π
k x 22
4
4+=
+
,即()Z k k x ∈+
=
216
π
π
时,??? ?
?+44sin πx 取得最大值1,所以函数
()x f 的最大值是22+,此时x 的集合为?
??
???∈+=Z k k x x ,216|ππ
27. 解:(1)()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+Q
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 222
x x x =
+-
sin(2)6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ (2)5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈-Q 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123ππ-
上单调递增,在区间[,]32
ππ
上单调递减,
所以 当3
x π
=
时,()f x 取最大值 1
又
1()()12
222f f π
π-
=-
<=Q ,∴当12
x π
=-时,()f x
取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为[2- 28. 解:(Ⅰ)()f x
Q sin
22x x =π2sin 23x ??
=+ ???
. ()f x ∴的最小正周期2π
4π12
T =
=. 当πsin 123x ??+=-
???时,()f x 取得最小值2-;当πsin 123x ??
+= ???
时,()f x 取得最大值2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知π()2sin 23x f x ??=+
???.又π()3g x f x ?
?=+ ??
?.
∴1ππ()2sin 233g x x ???
?=+
+ ???????
π2sin 22x ??
=+ ???2cos 2x =. Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ??
-=-== ???.
∴函数()g x 是偶函数.
常用三角恒等变换技巧
1 “角变换”技巧
角变换的基本思想是,观察发现问题中出现的角之间的数量关系,把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”,然后运用相应的公式求解。
例1 已知534cos =??
? ??
+πx ,4743ππ<
π + x ,而“未知角”是x 和x 2,注意到4 4π π-??? ? ? + =x x ,可直接运用相关公式求出x sin 和x cos 。 【简解】因为ππ4743< π24 <+ ? ? + πx ,所以πππ2423<+ ?+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin - =??? ?? +-??? ??+=??????-??? ??+=ππππππx x x x , 从而102 cos -=x ,7tan =x . 原式= 75 28tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】(1)若先计算出10 2 cos - =x ,则在计算x sin 时,要注意符号的选取;(2)本题的另一种自然的思路是,从已知出发,用和角公式展开,结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐,易出现计算错误;(3)本题也可由2 422π π-??? ??+=x x ,运用诱导公式和倍角公式求出x 2sin 。 例2 已知)tan()tan(βαλβα-=+,其中1≠λ,求证: 1 12sin 2sin -+=λλβα 【分析】所给条件中出现的“已知角”是βα+与βα-,涉及的“未知角”是α2与β2,将三个角比较分析发现)()(2βαβαα-++=,)()(2βαβαβ--+=,把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和,然后用相关公式求解。 【简证】 ()()[]()()[] βαβαβαβαβα--+-++=sin sin 2sin 2sin ) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-+--+-++-+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= 1 1 )tan()tan()tan()tan(-+=----+-=λλβαβαλβαβαλ 【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外,还用到了“弦化切”技巧.;(2)本题也可由已知直接求出αtan 与βtan 的关系,但与目标相差甚远,一是函数名称不同,二是角不同,所以较为困难;(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有: ()ββαα-+=,()ββαα+-=, ()ββαβα-+=+22,()ββαβα+-=-22,)4 (24αππαπ--=+,? +?=?304575等. 2 “名变换”技巧 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换,需要进行名变换的问题常常有明显的特征,如已知条件中弦、切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但实际上,诱导公式、倍角公式和万能置换公式,平方关系也能进行名变换。 例3 已知向量)1,tan 1(x a -=,)0,2cos 2sin 1(x x b ++=,求b a x f ?=)(的定义域和值域; 【分析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=,这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子,因此既要通过“切化弦”减少函数名称,又要用倍角公式来统一角,使函数式更简明。 【简解】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-= () 1cos 2cos sin 21cos sin 12 -++?? ? ??- =x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-= x 2cos 2= 由0cos ≠x 得,Z k k x ∈+ ≠,2 π π,22cos 2-≠x 所以,x x f 2cos 2)(=.的定义域是? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π,值域是(]2,2-. 【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知βα,都是锐角,且ααααβcos sin cos sin tan +-= ,求α αβcos sin sin -的值。 【分析】已知条件中,等式的右边是分式,符合和差解的正切公式特征,可考虑“弦化 切”,另一方面,若是“切化弦”,则很快出现待求式,与目标很近. 【简解1】显然0cos ≠α时,??? ??-=+-=+-=4tan 4tan tan 14tan tan 1cos sin 1cos sin tan παπαπ αααααβ, 因为βα,都是锐角,所以4 π αβ-=, 所以, 22 4sin 2sin cos sin sin = ? ?? ? ? -= -παβα αβ . 【简解2】由 ααααββcos sin cos sin cos sin +-=得,α αβ ααβcos sin cos cos sin sin +=-, 设 A =+=-α αβααβcos sin cos cos sin sin ,则 ()()[] 2 2 222cos sin cos sin cos sin ααααββ++-=+A , 所以,122 =A ,2 2= A ,即22 cos sin sin =-ααβ. 【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时,很容易“弦化切”;简 解2很巧妙,其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧 在三角恒等变形过程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,以利于完善式子结构,运用相关公式求解,如 x x 22cos sin 1+=,?=45tan 1,3 tan 3π =等. 例5 (1)求证: 2 3 cos sin 1cos sin 14 466=----x x x x ;(2)化简:x x 2cos 32sin +. 【分析】第(1)小题运用() 3 22cos sin 1x x +=和() 2 22cos sin 1x x +=把分子、分母都变成齐次式后进行转化;第(2)小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的 ()?ω+=x A y sin 的形式,有利于系统研究函数的图象与性质. 【简解】(1)左边=x x x x x x x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+ 2 3cos sin 2)cos (sin cos sin 32 22222=+=x x x x x x . (2)原式=x x 2cos 3 tan 2sin π + x x 2cos 3 cos 3sin 2sin ?+ =π π3 cos 3sin 2cos 3 cos 2sin π π π x x +=? ?? ? ?+=32sin 2πx 【反思】“1”的变换应用是很多的,如万能置换公式的推导,实际上是利用了 x x 22cos sin 1+=把整式化成分式后进行的,又如例4中,也是利用了?=45tan 1,把分 式变成了整式. 4 “边角互化”技巧 解三角形时,边角交互呈现,用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边,运用代数运算方法求解,或统一成角,运用三角变换求解. 例6 在ABC ?中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边,且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C , (1)求角A 的大小; (2)若sin sin 1B C +=,证明ABC ?是等腰三角形. 【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身,看似复杂,但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式,所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。 【简解】(1)(角化边)由正弦定理 C c B b A a sin sin sin = =得, c b c b c b a )2()2(22 +++=,整理得,bc c b a ++=222,