三角恒等变换高考真题

【必修四】第三章 三角恒等变换

一、选择题

1 ．（2012年高考（重庆文））

sin 47sin17cos30

cos17-

（ ）

A ．2

-

B ．12

-

C ．

12

D ．

2

2 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2

320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为

（ ）

A ．3-

B ．1-

C ．1

D ．3

3 ．（2012年高考（陕西文））设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于

1

2

C ．0

D ．-1

4 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ）

A ．-1

B ．

C

D ．1

5 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=α∈(0,π),则tan α= （ ）

A ．-1

B ．-

C D ．1

6．（2012年高考（江西文））若sin cos 1

sin cos 2

αααα+=-,则tan2α=

（ ）

A ．-34

B ．34

C ．-43

D ．

43

7．（2012年高考（江西理））若tan θ+1

tan θ

=4,则sin2θ=

（ ）

A ．15

B ．14

C ．13

D ．12

8．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3

sin 5

α=,则sin 2α=

（ ）

A ．2425-

B ．1225-

C ．1225

D ．

2425

9 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ??

∈?

???

，,sin 2=8θ,则sin θ=

（ ）

A ．

3

5

B ．

45 C D ．

34

10．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+

6

π

)的值域为 （ ）

A ．[ -2 ,2]

B ．

C ．[-1,1 ]

D ．]

11．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos αα+=

,则cos2α= （ ）

A ．-

B ．

C

D 二、填空题

1．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=-≤<取最大值时,x =____.

2．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4

cos 65απ?

?+

= ??

?,则)12

2sin(π+a 的值为____.

3．（2012年高考（大纲理））当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________.

三、解答题

1．（2012年高考（四川文））已知函数

2

1()cos sin cos 2222

x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若()10

f α=,求sin 2α的值.

2．（2012年高考（湖南文））已知函数

()sin()(,0,02

f x A x x R π

ω?ωω=+∈><<

的部分图像如图5所

示.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()12

12

g x f x f x π

π

=--+

的单调递增区间.

3．（2012年高考（湖北文））设函数2

2()sin

cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1

(,1)2

ω∈

(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(

,0)4

π

,求函数()f x 的值域.

4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)2

sin 13cos17sin13cos17?+?-?? (2)2

sin 15cos15sin15cos15?+?-?? (3)2

sin 18cos12sin18cos12?+?-?? (4)2

sin (18)cos 48sin(18)cos 48-?+?--?? (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-?+?--?? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

5．（2012年高考（北京文））已知函数

(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

.

(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.

6．（2012年高考（天津理））已知函数

2()=sin (2+

)+sin(2)+2cos 13

3

f x x x x π

π

-

-,x R ∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,

]44ππ

-上的最大值和最小值.

7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)

设()4cos()sin cos(2)6

f x x x x π

ωωωπ=-

-+,其中.0>ω

(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ??

-???

?上为增函数,求 ω的最大值.

8．（2012年高考（四川理））函数

2

()6cos 3(0)2

x

f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A

为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ?为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;

(Ⅱ)若0()5f x =,且0102

(,)33

x ∈-,求0(1)f x +的值.

9．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(

3cos ,

cos 2)(0)3

A

m x n A x x A ==>,函数()f x m n =?的最大值为6. (Ⅰ)求A ;

(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12

倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24

π

上的值域.

10．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,

(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为

常数,且1

(,1)2

ω∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;

(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π

(,0)4

,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.

11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω?

?

=+

??

?

(其中0ω>x ∈R )的最小正周期

为10π. (Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)设α、0,2πβ??

∈????

,

56535f απ??+=- ???,5165617f βπ?

?-= ??

?,求()cos αβ+的值.

12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)2

sin 13cos17sin13cos17?+?-?? (2)2

sin 15cos15sin15cos15?+?-?? (3)2

sin 18cos12sin18cos12?+?-?? (4)2

sin (18)cos 48sin(18)cos 48-?+?--?? (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-?+?--?? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

13．（2012年高考（北京理））已知函数

(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

.

(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.

14．（2012年高考（安徽理））设函数2()cos(2)sin 24

f x x x π

=

++

(I)求函数()f x 的最小正周期;

(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π

+

=,且当[0,]2x π∈时, 1

()()2

g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.

参考答案

一、选择题 1. 【答案】:C

【解析】:

sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30

cos17cos17

-+-=

sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171

sin 30cos17cos172

+-=

===

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+

2. 【答案】A

【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==?+===-+-

【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.

3. 解析:0a b ?=,2

12cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.

4. 【答案】A

【解析】

2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 5. 【答案】A

【解析一】

sin cos )sin()144

ππ

αααα-=-=-=

3(0),,tan 14

π

απαα∈∴=∴=-，,故选A

【解析二】

2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-

33(0,),2(0,2),2,,tan 124

ππαπαπααα∈∴∈∴=

∴=∴=-,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解

能力,难度适中. 6. 【答案】B

【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 7. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22

θθθθθθθθθθθ++

=+===,所以.1

sin 22θ=. 8.答案A

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. 【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=

,

故4cos 5

α==-,所以24

sin 22sin cos 25

ααα==-

,故选答案A.

9. 【解析】因为]2,4[

π

πθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以8

1

2s in 12c os 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=

θ,4

3

sin =θ,选D.

10. 【答案】B

【解析】

f(x)=sinx-cos(x+

6

π

)1sin sin )26x x x x π=-+=-,[]sin()1,16x π-

∈-,(

)f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ω?+的形式,利用[]sin()1,1x ω?+∈-,求得()

f x 的值域.

11. 答案A

【

解

析

】

sin cos 3

αα+=

,两边平方可得

12

1sin 2sin 233

αα+=?=-

α

是第二象限角,因此sin 0,cos 0

αα><

,

所以cos sin 3

αα

-===- 22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3

ααααααα∴=-=+-=

-

法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos 2

αα+

所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .

二、填空题 1.答案:

56

π 【解析】由sin 2sin()3

y x x x π

==-

由5023

3

3x x π

π

ππ≤

≤-

<

可知22sin()23

x π

-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=

时即56

x π

=取得最大值.

2. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.

【解析】∵α为锐角,即02

<<

π

α,∴

2=

6

6

2

6

3

<<

π

π

π

π

πα+

+

. ∵4cos 65απ??+= ???,∴3sin 65απ??+= ???.∴3424sin 22sin cos =2

=3665525αααπππ?????

?+=++ ? ? ???????. ∴7cos 2325απ?

?+= ???

.

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12

343434a a a a π

π

πππππ???

?+

+

-+-+ ? ????

?

2427217

=

=2252550

-

3.答案:

56

π 【解析】由sin 2sin()3

y x x x π

==-

由5023

3

3x x π

π

ππ≤

≤-

<

可知22sin()23

x π

-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56

x π

=取得最大值.

三、解答题

1. [解析](1)由已知,f(x)=2

12x cos 2x sin 2x cos

2

-- 21

sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4

x cos 22π+=

所以f(x)的最小正周期为2π,值域为?

???

???-

22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10

2

34cos 22=+πα 所以cos(5

34

=

+

π

α). 所以）（）（

42cos 22cos 2sin π

ααπα+-=+-= 25

7251814cos 212

=-=+-=）（πα,

2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(

),21212T T

πππ

πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126

A ππ???+=+=即.

又

55450,,=2

6636π

ππππ???π<<

∴

<+<+从而，

即=6

π

?. 又点0,1（）

在函数图像上,所以sin 1,26A A π

==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6

f x x π

=+

(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ????

????=-+-++ ? ?????????????

2sin 22sin(2)3

x x π

=-+

12sin 22(sin 22)2x x x =-

sin 22x x =

2sin(2),3

x π

=- 由222,2

3

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

得5,.12

12

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ?

?-+∈???

?

3. 【解析】(1)因为

22()sin cos cos cos 222sin(2)6

f x x x x x x x π

ωωωωλωωλωλ

=-++=-+=-+

由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16

x π

ω-=±

所以2()62x k k Z ππ

ωπ-

=+

∈,即1

()23k k Z ω=

+∈

又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65

π.

(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π

,得()04

f π

=

即52sin()2sin 6264πππ

λ=-?

-=-=即λ=

故5()2sin()36

f x x π

=-函数()f x 的值域为[22+.

4.

解:(1)选择(2)式计算如下2

13

sin 15cos15sin15cos151sin 3024

?+?-??=-?= (2)证明:2

2

sin cos (30)sin cos(30)αααα+?--?-

22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+?

2222311

sin cos cos sin cos sin 442

αααααααα=++-

22333

sin cos 444

αα=+= 5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得

非常容易入手.

解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.

因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -=

=2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos21x x --

)14

x π

--,

所以()f x 的最小正周期22

T π

π==.

(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22

k k k Z ππ

ππ++∈.

由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88

k x k k Z ππ

ππ+≤≤+∈

所以()f x 的单调递减区间为37[],()88

k x k k Z ππ

ππ+≤≤+∈

6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知

识.

()=sin 2cos

cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333

f x x x x x x ππππ

++-+

sin 2cos 2)4x x x π

=+=+

所以,()f x 的最小正周期22T π

π==.

(2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84

ππ

上是减函数,又

()14

f π

-=-

,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-

,最小值为1-.

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ω?的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.

7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生

分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424π

πωππω

?-≥-??

??≤??,从而解得ω的取值范围,

即可得ω的最在值. 解:(1)(

)1

4sin sin cos 222f x x x x x ωωωω??=++

? ???

222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-

21x ω=+

因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =

的值域为1??

(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ?

?

-+∈???

?上为增函数,故

(

)21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω??-+∈????

上为增函数. 依题意知3,22ππ??

-

?????,44k k ππππωωωω??

-+????

对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是 32424π

πωππ

ω

?-≥-???

?≤??,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. [解析](Ⅰ)由已知可得

:

2

()6cos 3(0)2

x

f x x ωωω=->

=3cos ωx+)3

sin(32sin 3π

ωω+

=x x

又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数4

82824)(π

ωω

π

=

==?=，得，即

的周期T x f

所以,函数]32,32[)(-的值域为x f

(Ⅱ)因为，由53

8)(0=

x f (Ⅰ)有 ，538)3

4

(

sin 32)(0

0=

+

=π

πx x f 5

4

)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100π

πππ-∈+-

∈），得，（ 所以,5

3

)54(1)34(

cos 20

=-=+

π

πx 即 故=+)1(0x f =+

+

)3

4

4

(

sin 320

π

π

πx ]4

)3

4

(

sin[320

π

π

π+

+

x

)

22532254(324

sin

)3

4

cos(

4cos

)34(

[sin 320

?+?=+

++

=π

π

ππ

π

πx x

5

6

7= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.

9.解析:(Ⅰ)

??? ?

?+=+=+

=?=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;

(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6

)12(2sin[6π

π++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)3

4sin(6)(π

+=x x g .

当]245,0[π∈x 时,]1,2

1

[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g .

故函数()g x 在5[0,]24

π

上的值域为]6,3[-.

另解:由)3

4sin(6)(π

+=x x g 可得)3

4cos(24)(π

+

='x x g ,令0)(='x g ,

则)(2

34Z k k x ∈+

=+

π

ππ,而]245,

0[π∈x ,则24π=x , 于是36

7sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======π

ππππg g g ,

故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24

π

上的值域为]6,3[-.

10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.

解析:

(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+

cos 22x x ωωλ=-+π

2sin(2)6x ωλ=-+.

由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得π

sin(2π)16ω-=±,

所以ππ2ππ()62k k ω-

=+∈Z ,即1

()23

k k ω=+∈Z . 又1

(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.

所以()f x 的最小正周期是

6π

5

. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π

()04

f =,

即5πππ

2sin()2sin 6264

λ=-?-=-=,即λ=

故5π

()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤

,有π5π5π6366

x -≤-≤,

所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π

12sin()236x --

故函数()f x 在3π

[0,

]5

上的取值范围为[12-. 11.解析:(Ⅰ)210T π

πω=

=,所以1

5

ω=. (Ⅱ)

515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα???????

?+=++=+=-=-

? ? ??????

?????,

所

以

3

s i

n 5

α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ???

???-=-+==

? ??????

???,所以8c o s 17β=.因为α、

0,2πβ??

∈????

,所以4cos 5α,15sin 17β=,

所以()4831513

cos cos cos sin sin 51751785

αβαβαβ+=-=

?-?=-. 12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、

特殊与一般思想、化归与转化思想.

解:(1)选择(2)式计算如下2

13sin 15cos15sin15cos151sin 3024

?+?-??=-?= (2)证明:2

2

sin cos (30)sin cos(30)αααα+?--?-

22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+?

2222311

sin cos cos sin cos sin 42422

αααααααα=+++--

22333

sin cos 444

αα=+=

13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.

解:

(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

=

(sin cos )2sin cos sin x x x x

x

-=

2(sin cos )cos x x x -=

sin 21cos2x x --

)14

x π

-

-,{|,}x x k k Z π≠∈

(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π;

(2)原函数的单调递增区间为[,)8

k k k Z π

ππ-

+∈,3(,

]8

k k k Z π

ππ+∈. 14. 【解析】

2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=

++=-+-11

sin 222

x =- (I)函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

= (2)当[0,]2x π∈时,11

()()sin 222

g x f x x =-=

当[,0]2x π

∈-

时,()[0,]22x ππ+∈ 11

()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11

()()sin 2()sin 222

g x g x x x ππ=+=+=

得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1

sin 2(0)22

()1sin 2()22

x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤