三角函数诱导公式及恒等变换
三角函数高中数学诱导公式大全
三角函数高中数学诱导公式大全三角函数是高中数学中的重要内容，它与三角形的关系密切，广泛应用于各个学科中。
掌握三角函数的诱导公式对于解决各种问题是非常有帮助的。
下面我们就来详细介绍一些三角函数的诱导公式。
1.正弦函数的诱导公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)2.余弦函数的诱导公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBcos2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2AcosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)3.正切函数的诱导公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tanA + tanB = sin(A + B) / (cosAcosB)tanA - tanB = sin(A - B) / (cosAcosB)4.余切函数的诱导公式：cot(A + B) = (cotAcotB - 1) / (cotB + cotA)cot(A - B) = (cotAcotB + 1) / (cotB - cotA)cot2A = cot^2A - 2cotA / (cot^2A - 1)cotA + cotB = cotAcotB - 1 / (cotA + cotB)cotA - cotB = cotAcotB + 1 / (cotB - cotA)这些诱导公式可以帮助我们在计算三角函数的复杂表达式时，将其化简为更简洁的形式。
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式三角恒等式1.同角三角比的基本关系:sin2 a + cos' a = 1,1 + tan2a = sec2 tzj + cot2 = csc2a；(2)倒数关系：sinaCSC a=1, COSaSeCa=l,t an a co二1；（3）商数关系:tan. = ^,cota = ^；cos a sin a注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求岀它的其他五个三角比的值。
2.三角比的诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”函数。
（填“奇”或“偶”）tan(2^^ + a) = _______ 伙G Z)；( 3 ) sin(2^-a) = _________tan(2^^ 一a) = _____ 伙G Z);(4) sin(兀+ a) = 9 cos(/r + a) = f tan(^ + a)=伙G Z);(5) sin(/r-a) = 9 cos(/r-a) = 9 tan(^-a)= (2Z);(6) sin(— -cr)= • cost—-<z)=2 9 tan(—-a) =伙eZ）；（1）平方关系:”指的兀/2的倍数）。
(1) sin(-a) = _________ cos(-a) = _______ tan(-a) = _______ 伙e Z) •注意: y = siru•和y = taiix 是函数，y=COSY是 __________ ( 2 ) sin(2^ + a) = _____________ 9 cos(2R/r + a) = ___________cos(2R;r—a) = ______3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:； ( 2 ) cos(a + 0) = ； ； ( 4 ) sin(a + /?) = ； ) _____________________ tan (a - #) =tan(& + 0) = _______________a ____________________________ ；注意：特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆 用和“1”的巧用。
三角函数变换公式汇总
三角函数变换公式汇总1.诱导公式：- $\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$- $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha-\beta) =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$这些公式可以通过将和差的角展开来得到，其中$\alpha$和$\beta$可以是任意角度。
2.和差化积公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta =2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha -\beta}{2}\right)$以上公式可以通过将和差的三角函数展开，并应用三角函数诱导公式来推导得到。
三角函数的诱导公式与恒等变换
三角函数的诱导公式与恒等变换三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在学习三角函数时，了解三角函数的诱导公式和恒等变换可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角函数的诱导公式和恒等变换，并探讨其在解题中的应用。
一、诱导公式1. 正弦函数的诱导公式我们知道，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将正弦函数表示为cosine的形式，即sinθ = √(1 - cos²θ)。
进一步地，我们可以应用勾股定理将正弦函数表示为另外两个三角函数的形式。
勾股定理指出，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
假设直角边a是对边，直角边b是邻边，斜边c是hypotenuse。
则a/hypotenuse = sinθ，b/hypotenuse = cosθ。
根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式sinθ = cos(90° - θ)。
2. 余弦函数的诱导公式余弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
利用三角恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以将余弦函数表示为sine 的形式，即cosθ = √(1 - sin²θ)。
同样地，根据勾股定理的关系，我们可以得到诱导公式cosθ =sin(90° - θ)。
3. 正切函数的诱导公式正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
利用正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到正切函数的诱导公式tanθ = sinθ/cosθ。
三角函数恒等变换,辅助角公式,诱导公式
三角函数恒等变换,辅助角公式,诱导公式1. 三角函数恒等变换三角函数恒等变换是三角函数中一个重要的知识点，主要涉及到三角函数的加、减、乘、除等运算。
通过恒等变换，可以将复杂的三角函数式化简为简单的形式，从而方便计算。
常见的三角函数恒等变换公式包括：(1) 降幂公式：$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$，$cos2\theta =cos^2\theta - sin^2\theta$，$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$。
(2) 倍角公式：$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$，$cos2\theta = cos^2\theta - sin^2\theta$，$tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1 -tan^2\theta}$。
(3) 和差化积公式：$sin(a+b) = sinacosb + cosasinb$，$cos(a+b) = cosacosb - sinasinb$。
(4) 积化和差公式：$sinacosa = \frac{1}{2}[sin(a+a) - sin(a-a)]$，$cosacosa = \frac{1}{2}[cos(a+a) + cos(a-a)]$。
2. 辅助角公式辅助角公式是三角函数中一个重要的化简工具，主要用于将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式。
通过辅助角公式，可以方便地求出三角函数的值域、最值、单调性等性质。
常见的辅助角公式包括：(1) $asinx + bcosx = \sqrt{a^2+b^2}sin(x + \varphi)$，其中$\varphi$ 是辅助角，满足 $tan\varphi = \frac{b}{a}$。
(2) $asinx - bcosx = \sqrt{a^2+b^2}cos(x + \varphi)$，其中$\varphi$ 是辅助角，满足 $tan\varphi = \frac{a}{b}$。
三角函数转换公式
三角函数转换公式1、诱导公式：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα；sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα；sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tanA= sinA/cosA；tan（π/2＋α）＝－cotα；tan（π/2－α）＝cotα；tan（π－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα2、两角和差公式：sin(A±B) = sinAcos±BcosAsinBcos(A±B) = cosAcosB sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1 tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB 1)/(cotB±cotA)3、倍角公式sin2A=2s inA•cosAcos2A=cosA2-sinA2=1-2sinA2=2cosA2-1tan2A=2tanA/（1-tanA2）=2cotA/(cotA2-1)4、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分56％线性代数22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
考点15 诱导公式及恒等变化——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点15 诱导公式及恒等变化【思维导图】【常见考法】考点一：诱导公式1．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 。
【答案】513【解析】由三角函数的定义可得：5cos 13α==-，则32sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭5cos 13α=-=. 2．若角θ的终边经过点34(,)55-，则sin()cos()tan(2)2πθπθπθ++-+-= 。
【答案】43【解析】由题知4tan θ=-3．由诱导公式()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．若,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭= 。
【答案】sin cos θθ-【解析】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，sin cos θθ===-，又由(,)2πθπ∈，则sin 0,cos 0θθ><sin cos θθ=-． 4．若sin 2sin 2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
【答案】25-【解析】∵sin 2sin 2cos 2x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴222sin 4cos 1cos x x x ==-，21cos 5x =， ∴cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin x x -2122cos 255x =-=-⨯=-．5．若()0,απ∈，()sin cos παα-+=，则sin cos αα-的值为 。
【答案】43【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos 3παααα-+=+=， 平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<， 所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 又因为()0,απ∈，所以sin cos 0αα->，所以4sin cos 3αα-=. 6．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】依题意α为第四象限角，所以==+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α7．已知α 【答案】-1=sin cos 1cos sin αααα-==--故答案为：1-8．在数学解题中，时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若a ,b 是非零实数，且满足sin cos855tan15cos sin55a ba bπππππ+=-，则ba=________.【解析】由已知sin cos tan8555tan15cos sin1tan555ba baba baπππππππ++==--，又tan tan853tan tan()15531tan tan35πππππππ+=+=-，所以tan3baπ==考点二：恒等变换1．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为.【答案】1 2 -【解析】sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17+=-+()sin47cos17cos47sin17=--sin(4717)=--1 sin302 =-=-2．2sin37522+的值为.【解析】2223 cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos302222+=+=-==．3=.【答案】14【解析】13tan10=-=⎝⎭()sin204sin3010︒︒-︒=14= 4．tan70tan503tan50tan70+-=______.【答案】【解析】因为tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅，所以()tan 70tan50tan1201tan50tan 7033tan50tan 70+=-⋅=-+⋅，∴原式50tan 703tan 50tan 703=⋅-⋅=-.故答案为5．70tan 70)sin 80︒-︒︒= . 【答案】12【解析】由题意可得：()707080tan sin ︒-︒︒cos1020=40cos20cos10sin 20-=⋅()()3010cos 3010cos10sin 20+--=⋅331sin10cos10sin1022cos10sin 20⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅sin10cos1012sin10cos102==. 6．化简cos 20(tan20cos10︒︒+⋅︒值为 .【答案】2【解析】cos 20sin 20cos 20(tan 20(cos10cos 20cos10︒︒︒︒⋅=+⋅︒︒︒cos 20cos10︒=︒12(sin 2020)2sin80222cos10cos10︒+︒︒===︒︒ 7．2223164sin 20sin 20cos 20︒︒︒-+=__________． 【答案】32.【解析】因为222222313cos20sin 20sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒-=︒︒︒︒)2sin20sin201sin 404︒+︒︒-︒=︒。
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
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授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换
教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点
三角函数公式的运用
教学内容
1、象限角
（1）各象限角的范围
（2）三角函数值在各象限的符号
αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换
3、同角三角函数的基本关系
()()122=+
()()
=
αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ；
（2、若=⋅+=+α
ααααcos sin 2cos 1
0cos sin 32
，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ；
（一）诱导公式
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
例题赏析
例题1、（2013广东，4）已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπcos 51
25sin ，那么（）；
A ：52-
B ：51-
C ：51
D ：5
2
例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-⋅-+--⋅+)
2cos(cos cos )
2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ
达标训练
（1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5
3
2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5
4.-D
正弦 余弦 正切 α-
απ-2 απ+2
απ-2
2 απ
+2
2
απ-23 απ+23
（2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23
sin sin 2-1（）
． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D
（二）三角函数的求值与化简
1、两角和差公式
=+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。
公式拓展
=+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。
例题精讲
例题1、（2012重庆，5）=︒
︒
︒-︒17cos 30cos 17sin 47sin （）
A. 23-
B.21-
C.21
D.2
3
例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。
达标训练
（1、（2014江苏，15）已知⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα，2，55sin =α.
求（1））（
απ
+4
sin 的值；
（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛-απ265cos 的值。
（2、设βαtan tan ，是方程023-2=+x x 的两个根，则）（βα+tan =（） A. 3- B.1- C.1 D.3
（3、已知=∈=απαααtan 02cos -sin ），则，（，（） A. 22-
B.1-
C.1
D.2
2
（4、（2014山东，12）函数x x y 2cos 2sin 2
3
+=的最小正周期为 。
2、二倍角公式
=α2sin ；=α2cos = = ； =α2tan ； （将和差公式中的β换成α就得到二倍角公式）
公式变形
2cos sin 2sin 1）（ααα+=+； 2
cos sin 2sin 1）（ααα-=-；
22cos 1sin 2αα-=； 2
2cos 1cos 2α
α+=
例题精讲
例题1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则
=θ2cos （）
A. 53
B.54
C.54-
D.5
3
-
例题2、（2012山东，7）若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，，sin 2θ=873，则sin θ=（）
A.
53 B.54 C.4
7
D.43
例题3、（2011江苏，9）已知==+x x x 2tan tan 24tan ，则）（π 。
达标训练
（1、（2013江西，3）若==
αα
cos 3
3
2
sin
，则（） A. 32- B.3
1- C.31
D.32
（2、（2012辽宁，6）已知（）），则，（，=∈=απααα2sin 02cos -sin A. 1- B.22- C.2
2
D.1 （3、=94cos 92cos
9cos
πππ
（）
A.81-
B.16
1- C.161 D.81
（4、已知20π
θ<<，且==θπθ2tan 10
2
4-sin ，则）（（） A. 34 B.43 C.7
24- D.724
1、设==αααtan2-sin 2sin ，则_______。
2、若θ
θ
θ2cos 12sin 3tan +=，则=（）
A.
3 B.
33 C.3
3- D.3- 3、（2013课标全国II ，6）已知322sin =
α，则=+）（
4
cos 2
πα（） A. 61 B.31 C.21 D.3
2
4、（2012江苏，11）设α为锐角，若546cos =+）（πα，则）（12
2sin πα+的值为 。
5、（2014福建，18）已知函数()x x x y cos sin cos 2+=，
求（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛45πf 的值；
（2）()x f 的最小正周期及单调递增区间。
1、若4tan 1
tan =+
θ
θ，则=θ2sin （） A. 51 B.41 C.31 D.2
1
2、（2012陕西，7）设向量===θθθ2cos cos 2,1-)cos ,1(）垂直，则（与b a
（）
A. 2
2
-
B.21
C.0
D.1-
3、（2014陕西，13）设2
0π
θ<<，向量，则若），（），，（0,cos 1cos 2sin =⋅-==b a b a
θθθ
=θtan _______。
4、设θ是第二象限的角，若=+=+θθπθcos sin 2
1
4tan ，则）（_______。
5、（2013湖南，16）已知函数⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=3-x cos cos πx y ，
求（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛32πf 的值；
（2）()4
1
<x f 成立的x 的取值范围。
6、（2012山东，17）在ABC ∆中，已知.tan tan tan tan sin C A C A B ⋅=+）
（ (1)求证：a 、b 、c 成等比数列； (2)若a=1，c=2，求ABC ∆的面积。