三角函数诱导公式及恒等变换

授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换

教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点

三角函数公式的运用

教学内容

1、象限角

（1）各象限角的范围

（2）三角函数值在各象限的符号

αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换

3、同角三角函数的基本关系

()()122=+

()()

=

αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ；

（2、若=⋅+=+α

ααααcos sin 2cos 1

0cos sin 32

，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ；

（一）诱导公式

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限

例题赏析

例题1、（2013广东，4）已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπcos 51

25sin ，那么（）；

A ：52-

B ：51-

C ：51

D ：5

2

例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-⋅-+--⋅+)

2cos(cos cos )

2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ

达标训练

（1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5

3

2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5

4.-D

正弦 余弦 正切 α-

απ-2 απ+2

απ-2

2 απ

+2

2

απ-23 απ+23

（2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23

sin sin 2-1（）

． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D

（二）三角函数的求值与化简

1、两角和差公式

=+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。

公式拓展

=+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。

例题精讲

例题1、（2012重庆，5）=︒

︒

︒-︒17cos 30cos 17sin 47sin （）

A. 23-

B.21-

C.21

D.2

3

例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。

达标训练

（1、（2014江苏，15）已知⎪⎭

⎫

⎝⎛∈ππα，2，55sin =α.

求（1））（

απ

+4

sin 的值；

（2）⎪⎭

⎫

⎝⎛-απ265cos 的值。

（2、设βαtan tan ，是方程023-2=+x x 的两个根，则）（βα+tan =（） A. 3- B.1- C.1 D.3

（3、已知=∈=απαααtan 02cos -sin ），则，（，（） A. 22-

B.1-

C.1

D.2

2

（4、（2014山东，12）函数x x y 2cos 2sin 2

3

+=的最小正周期为 。

2、二倍角公式

=α2sin ；=α2cos = = ； =α2tan ； （将和差公式中的β换成α就得到二倍角公式）

公式变形

2cos sin 2sin 1）（ααα+=+； 2

cos sin 2sin 1）（ααα-=-；

22cos 1sin 2αα-=； 2

2cos 1cos 2α

α+=

例题精讲

例题1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则

=θ2cos （）

A. 53

B.54

C.54-

D.5

3

-

例题2、（2012山东，7）若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，，sin 2θ=873，则sin θ=（）

A.

53 B.54 C.4

7

D.43

例题3、（2011江苏，9）已知==+x x x 2tan tan 24tan ，则）（π 。

达标训练

（1、（2013江西，3）若==

αα

cos 3

3

2

sin

，则（） A. 32- B.3

1- C.31

D.32

（2、（2012辽宁，6）已知（）），则，（，=∈=απααα2sin 02cos -sin A. 1- B.22- C.2

2

D.1 （3、=94cos 92cos

9cos

πππ

（）

A.81-

B.16

1- C.161 D.81

（4、已知20π

θ<<，且==θπθ2tan 10

2

4-sin ，则）（（） A. 34 B.43 C.7

24- D.724

1、设==αααtan2-sin 2sin ，则_______。

2、若θ

θ

θ2cos 12sin 3tan +=，则=（）

A.

3 B.

33 C.3

3- D.3- 3、（2013课标全国II ，6）已知322sin =

α，则=+）（

4

cos 2

πα（） A. 61 B.31 C.21 D.3

2

4、（2012江苏，11）设α为锐角，若546cos =+）（πα，则）（12

2sin πα+的值为 。