三角函数恒等变换

理由。
思路分析：要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，因此，解决本
题的关键是由两个等式消去α或β的同名三角函数值。
注：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是： （1）由三角函数值的符号确定角α所在的象限； （2）据角α所在的象限求出角α的最小正角； （3）最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式。
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※相关链接※ （1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使用公式； ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化
弦”； ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到
2
2
2
2
思路解析：
由 的关系可求出的正切值，再据已知与2 构造出 ,从而可求出 的一个 2
三角函数值,再据、的范围求 的范围从而确定角 。
4、三角函数的综合应用
〖例〗已知α、β为锐角，向量 a (cos,sin ),b (cos ,sin ), c (1 , 1). 22
（1） 若 a b 2 , a c 3 1, ，求角 2 的值；
0,
2
，选正、余弦皆可；
若角的范围是 0,
，选余弦较好；若角的范围为 (
,
)
，选正弦较好。
22
（2）解给值求角问题的一般步骤为：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角。
※例题解析※
〖例 1〗如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的
ΔABC 的三内角。 思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用 ，求出 cosA 的值，再利用 A+B+C=π进行计算。
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注：在ΔABC 中常用的变形结论有：
∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π， A B C ， 222 2
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;
2
2
tan = 1 cos
2
1 cos
3、用 sinα,cosα表示 tan 2
tan = sin 1 cos 2 1 cos sin
四、常用数据: 30 、45 、60 、90 的三角函数值
sin15 cos 75 6 2 , sin 75 cos15 6 2
4
4
tan15 cot 75 2 3 , tan 75 cot15 2 3 注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化
〖例〗已知
cos( 2
)
2 sin(
2
)
，求
sin 3 ( 5 cos( 5
) )
cos( ) 3sin(7
)
的值。
2
2
思路解析：化简已知条件 化简所求三角函数式，用已知表示 代入已知求解
3、诱导公式在三角形中的应用
〖例 1〗在ΔABC 中，若 sin(2π-A)= 2 sin(π-β)， 3 cosA= 2 cos(π-β)求
1 [( ) ( )] 2
1 [( ) ( )] 2
( )
4
24
※例题解析※
〖例〗已知 0 3 , cos( ) 3 ,sin( 3 ) 5 ，求 sin( ) 的
4
4
4
54
13
值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现
（1） 2k (k Z ) ， ， ， 的三角函数值是化简的主要工具。使用 2
诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；
（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：
5 2 ( ) 等。
2
2
注：若 k 出现时，要分 k 为奇数和偶数讨论。
2,
1 tan2
2
1 tan2
cosα=
2
1 tan2
2
3、形如 asinα+bcosα的化简
asinα+bcosα= a2 b2 sin(α+β).其中 cosβ= a ,sinβ= b
a2 b2
a2 b2
三、简单的三角恒等变换
2
1、用 cosα表示 sin2 ,cos2 ,tan2
〖例〗（1）化简
2
2 (0 )
2 2 cos
（2）求值 1 cos 200 2sin 200
sin
100
(
1 tan 50
tan 50 )
思路解析：（1）从把角 变为 入手，合理使用公式； 2
（2）应用公式把非10 角转化为10 的角，切化弦。
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2、三角函数的给值求值问题
※相关链接※
三角函数的给值求值问题
2
4
（2） 若 a b c ，求 tanα的值。
思路解析：（1）由 a b 2 , a c 3 1 ，及 a、b、c 的坐标，可求出关于α、β的三
2
4
角函数值，进而求出角；
（2）由 a b c 可求出关于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解决问题
10
同角三角函数的基本关系
已知 sin x cos x 2 ，求 sin4 x cos4 x ． 2
余弦
cosα
正切
tanα
口诀
注：诱导公式可概括为
二 π+α -sinα - cosα tanα
三 -α -sinα cosα - tanα
四 π-α sinα - cosα - tanα
五
-α 2
cosα sinα
六
+α 2
cosα -sinα
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，
(3 ) ( ) ( ) 或 将 cos( ) 变 化 为 sin( ) ， 再 由
4
4
2
4
4
( 4
)
3 4
求解。
8
3、三角函数的给值求角问题 ※相关链接※ （1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是
形式.如 tan( )(1 tan tan ) tan tan
cos2 1 cos ,sin2 1 cos 等.
2
2
2
2
从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.
⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.
⑶三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求
值；
（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类
少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。
※例题解析※
〖例〗化简： sin(k ) cos[(k 1) ] (k Z ) sin[(k 1) ]cos(k )
变式 1：已知 sin4 x cos4 x 23 ， <x< ，求 sin x cos x 的值． 32 2
变式 2、化简： 1 sin2 440
两角和与差及二倍角的三角函数
已知 cos 3 ， (0, ) ，求 sin( ) ， tan( ) 的值．
5
2
6
4
变式 1.已知 tanα，tanβ 是方程 x2 3 3x 4 0 两根，且 α，β ( , ) ，则 α+β=
②项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2 x 2cos2 x (sin2 x cos2 x) cos2 x 1 cos2 x ;
配凑角(常用角变换): 2 ( ) ( ) 、 2 ( ) ( ) 、
3
、 、 ( ) 等.
22
变式 2. tan15 cot15 的值是
变式 3. 设 (0, ),若sin 3 ,则 2 cos( ) =
2
5
4
变式 4. sin163 sin 223 sin 253 sin 313
11
变式 5：在 △ABC 中，已知 AC 2 ， BC 3， cos A 4 ． 5
2
2
2
2
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ= a2 b2 sin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由 a、b 的符
号确定， 角的值由 tan = b 确定。 a
1、三角函数式的化简
※相关链接※
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;
sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C;
cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C;
tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;
sin( A B )=sin( C )=cos C ;
1
符号看象限。其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数； 若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的 符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式