1988年全国统一高考数学试卷(理科)

1988年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A ． 1B ． ﹣1C ． iD ． ﹣i 2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（） A ．点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M 上，但不在直线L 上C ．点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ．点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（） A ． 10 B ． 5C ．D ．5．（3分）在的展开式中，x 6的系数是（）A ． ﹣27C 106B ． 27C 104 C ． ﹣9C 106D ． 9C 104 6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B ．双曲线右支C ．抛物线 D ．椭圆9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B ．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D ．互相垂直的异面直线10．（3分）的值等于（） A ．4 B ．C ．D ． 811．（3分）设命题甲：△ABC 的一个内角为60°，命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（） A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 12．（3分）在复平面内，若复数z 满足|z+1|=|z ﹣i|，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是（） A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 13．（3分）如果曲线x 2﹣y 2﹣2x ﹣2y ﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（） A ．（1，1） B ．（﹣1，﹣1） C ．（﹣1，1） D ．（1，﹣1） 14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C 1972种 C ． C 2005﹣C 1975种 D ． C 2005﹣C 31C 1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么（）A ． ∠CEB ＞∠DEB B ． ∠CEB=∠DEBC ． ∠CEB ＜∠DEBD ． ∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分） 16．（20分）四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD ，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．1988年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A ． 1B ． ﹣1C ．i D ． ﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1，故选B ．点评：本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（） A ．点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M上，但不在直线L 上 C ．点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ．点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点：点与圆的位置关系．分析：点P 代入直线方程和圆的方程验证即可．解答：解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确．选项C 正确．故选C ．点评：本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点：子集与真子集．分析：集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个．故选B ．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A．10 B．5C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不互相垂直的D．互相垂直的异面直线异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A．4B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．考点：反函数．专题：证明题．分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答：解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．考点：频率分布直方图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答：解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=log a x是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=log a x是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．。

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1989年全国统一高考数学试卷(理科)

1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（） A ．在区间（﹣1，0）上是减函数 B ．在区间（0，1）上是减函数 C ．在区间（﹣2，0）上是增函数 D ．在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解．解答：解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评：本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点：反函数．分析：欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答：解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错；对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确；故选D ．点评：本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（） A ． B ． C ． D ．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面积公式直接解答即可．解答：解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评：本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评：本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（） A ．在区间（﹣1，0）上是减函数 B ．在区间（0，1）上是减函数 C ．在区间（﹣2，0）上是增函数 D ．在区间（0，2）上是增函数考点：复合函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答：解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选A ．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点：排列及排列数公式．专题：压轴题．分析：由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答：解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评：本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点：正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集．解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。

1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案

1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至8。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束。

监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称（C ）点(2,)3π中心对称（D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若的值为（）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积（）（A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。

1997年全国统一高考数学考试(理科)

1997年全国统一高考数学考试(理科)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ．{x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2}2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（） A ． ﹣6 B． ﹣3 C ． D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC﹣A 的大小为（） A ． B ． C ． D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（）A ．B ． πC ． 2πD ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x ﹣1）2（y ﹣1）=1 B ． y=C．D ．10．（4分）函数y=cos 2x ﹣3cosx+2的最小值为（） A ． 2 B ． 0 C ． D ． 611．（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（） A．B ．C ．D ．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（） A ． π B ． 2π C ． π D． π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）； ④f （a ）﹣f （﹣b ）＜g （b ）﹣g （﹣a ），其中成立的是（） A ． ①与④ B ． ②与③ C ． ①与③ D ． ②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A ． {x|0＜x ＜2}B ． {x|0＜x ＜2.5}C ．D ． {x|0＜x ＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（） A ． 150种 B ． 147种 C ． 144种 D ． 141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为 _________ ．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N 中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}，∴M∩N={x|0≤x ＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ． D ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得 =3，解方程求a 的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A ．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（） A ．B ．C ．D ．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan （）=0求得函数的图象的中心，排除C ，D ；再根据函数y=tan （）的最小正周期为2π，排除B ．解答：解：令tan （）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan （）与x 轴的一个交点不是，排除C ，D∵y=tan （）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（） A． B ． C ． D ．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P ﹣BC ﹣A 的大小，我们关键是要找出二面角P ﹣BC ﹣A 的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P ﹣BC ﹣A 的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC 的中点E ，连接AE ，PE ，则∠AEP 即为所求二面角的平面角．且AE=EP=， ∵AP 2=AE 2+PE 2，∴∠AEP=，故选C ．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角，通过解∠AEP 所在的三角形求得∠AEP ．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP 是二面角的平面角→计算∠AEP ，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（）A ．B ．π C ．2π D ．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin （2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f （x ）=sin （）+cos2x=cos2x ﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x ﹣sin2x=sin （2x+θ） ∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccos x的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S 球=4π×R 2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x ﹣1）2（y ﹣1）=1 B ． y= C ．D ．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x ﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y ﹣1=﹣t 2，相乘消去t 即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x ﹣1）2（1﹣y ）=1， ∴y=，故选B ．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos 2x ﹣3cosx+2的最小值为（） A ． 2 B ． 0 C ． D ． 6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos 2x ﹣3cosx+2=（cosx ﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min =0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C 与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（） A． B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C 关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C 关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可． ∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C 的方程为故选A ．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（） A ． π B ． 2π C ． π D． π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S 1=π，S 2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R ）l ，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f （x ）为增函数；偶函数g （x ）在区间[0，+∞）的图象与f （x ）的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f （b ）﹣f （﹣a ）＞g （a ）﹣g （﹣b ）； ②f （b ）﹣f （﹣a ）＜g （a ）﹣g （﹣b ）； ③f （a ）﹣f （﹣b ）＞g （b ）﹣g （﹣a ）； ④f （a ）﹣f （﹣b ）＜g （b ）﹣g （﹣a ），其中成立的是（） A ①与④ B ②与③ C ①与③ D ②与④．．．．考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f （b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ．D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（） A ． B ． C ． D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（） A ．B ． πC ．2π D ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1] 7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．611．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B ．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos （1﹣x ）≥arccosx 化为cos[arccos （1﹣x ）]≤cos[arccosx ] 所以1﹣x≤x ，即：x，又x ∈[﹣1，1]，所以x 的取值范围是[，1]故选D ．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log 2（x+1）解得：x=2y ﹣1 则函数y=log 2（x+1）（x ＞﹣1）的反函数为y=2x ﹣1（x ∈R ）即函数y=2x 平移后的函数为y=2x ﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。

1988年全国统一高考数学试卷(理科)

1988高考数学全国卷及答案理

1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的值等于（ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么（ C ）（A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有（ B ）（A ）7个（B ）8个（C ）6个（D ）5个（4）已知双曲线方程15y20x22=-，那么它的焦距是（ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15（D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是（ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9（6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是（ A ）（A ）π （B ）π2 （C ）2π（D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是（ C ）（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k∈π⋅-+π=（C ）}Z k ,6k 2x|x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π=（8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是（ D ）（A ）圆（B ）双曲线右支（C ）抛物线（D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线（ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线（D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg(tg +的值等于 ( D ）（A ）4 （B ）21（C ）81 （D ）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ C ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是（ B ）（A ）圆（B ）直线（C ）椭圆（D ）双曲线'C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（ D ）（A ）（1，1）（B ）（-1，-1）（C ）（-1，1）（D ）（1，-1）（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ B ）（A ）319723C C 种（B ）219733319723C C C C+种（C ）51975200C C-种（D ）4197135200C C C-种（15）已知二面角β--αA B 的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么（ A ）（A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分直接写出结果（1）求复数i 3-的模和辐角的主值α C A E D β B[答]模：2;复角主值：π611（只答对一个值的给2分）（2）解方程.27329x1x=⋅---[答]x=-2（直接答-2也算对）（3）已知2tg,273,53sin θπ<θ<π-=θ求的值[答]-3（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值[答]55（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求.a a a a a a a a limn876n 321n ++++++∞→[答]1三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x 3sin x sin 3++的值解：xcos x 2cos 2x cos 2x cos x 2sin 2x sin 2x3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=++++=++)3a (2a )3x tg (2tgx )2x (sec2tgx xcos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 2222222+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）S α B A C D如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，并且SE和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA DF ⊥SE ，交SE 于点F SDE 的面积，得到,DE SD 21DF SE 21⋅=⋅所以，.a 66a23a 222aDF ,,a 22)2a(a 43SDSEDE ,a 23)2a (a BESBSE ,.SEDE a 21SEDE SD DF 22222222=⋅==-=-==-=-=⋅=⋅=所以易知所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即.a 363a 236a31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）设21t log t log21,0t ,1a ,0aaa+>≠>与比较的大小，并证明你的结论解：当t>0时，由重要不等式可得t 21t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t l o g2121t l o g,t l o g21t l o g,1t aaaa=+=+=∴即时S D F A C E Btlog2121t log,t log 21t log,x log y ,1a .t log2121t log,t log21t logx log y ,1a 0.t 21t ,1t aaaaaaaaaa>+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数时当六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数).a 1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a,a ≠∈--=≠≠且设函数且证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且.0y y ,x x ,1a ,)1ax )(1ax()1a )(x x ()1ax )(1ax()x x ()x x (a )1ax )(1ax()1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=--+---+--=-----=-且从而直线M 1M 2的斜率,0x x y y k1212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x轴（2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则,111)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(11,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠'x a x a ay y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a成轴对称图形线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由xy x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.11)2(.01（注：对（1）也可用反证法或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况由其无交点或恰有一交点，从而得证对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称）七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x -=，其中p ＞0;椭圆的中心为D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A )0,2p (问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：,1y4)]2p 2(x [22=++-又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：⎪⎩⎪⎨⎧==++-)2(.px 2y )1(,1y 4)]2p 2(x [222 YL将（2）式代入（1）式，得)3(.0p 24px )4p 7(x ,4px 8)]2p 2(x [222=++-+=++-即所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根而这又等价于310,,0.047,024,0)24(4)47(222<<>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p pp p p 得到解此不等式组的条件下在所以，所求的p 的取值范围为.31p 0<<。

1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A B B(5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值．以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0，所以sin2B =43，从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k =aaa k+-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =，当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ，所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=，即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ，可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ，所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1988年全国高考数学(理科)试题

1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学说明：共七道大题，满分120分.一、选择题：（本题满分45分）本题共15个小题，每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.每小题选对得3分，不选或选错一律得0分. 1.21()1i i -+的值等于 A.1 B.-1C. iD.i -2.设圆M 的方程为22(3)(2)2x y -+-=,直线l 的方程为30x y +-=,点P 的坐标为(2,1),那么A.点P 在直线l 上,但不在圆M 上B.点P 在圆M 上,但不在直线l 上C.点P 既在圆M 上,又在直线l 上D.点P 既不在圆M 上,也不在直线l 上 3.集合{}1,2,3的子集总共有A.7个B.8个C.6个D.5个4.已知双曲线221205x y -=，那么它的焦距是A.105.在10(x 的展开式中, 6x 的系数是A. 61027C -B. 41027CC. 6109C -D. 4109C6.函数cos 4sin 4y x x =-的最小正周期是 A. π B. 2π C.2πD. 4π7.方程224cos 30x x -+=的解集是A. (1),6k x x k k z ππ⎧⎫=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭B. (1),3k x x k k z ππ⎧⎫=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭C. 2,6x x k k z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D. 2,3x x k k z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8.极坐标方程432cos ρθ=-所表示的曲线是A. 圆B.双曲线右支C.抛物线D.椭圆9.如图,正四棱台中, 11A D 所在的直线与1BB 所在的直线是 A.相交直线 B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线10.1tan(arctan arctan 3)5+的值等于A. 4B. 14C. 18 D. 811.设命题甲: ABC ∆的一个内角为60°.命题乙: ABC ∆的三个内角的度数成等差数列.那么A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.3甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件12.复平面内,若复数z 满足1z z i +=-,则z 所对应的点z 的集合构成的图形是 A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线13.如果曲线222210x y x y ----=经过平移坐标轴后的新方程为221x y ''-=那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为A. 1,1()B. (1,1)--C. (1,1)-D. (1,1)-14.假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有A.233197C C 种B.233231973197C C C C +种C.55200197C C -种D.5142003197C C C - 种 15.如图,二面角AB αβ--的平面角是锐角, C 是面α内的一点(它不在棱AB 上),点D 是点C 在面β上的射影,点E 是棱AB 上满足CEB ∠为锐角的任意一点,那么A. CEB DEB ∠>∠B. CEB DEB ∠=∠B A CDA 1C 1 B 1D 1 A B CD E αβC. CEB DEB ∠<∠D. CEB DEB ∠∠，的大小关系不能确定二、（本题满分20分）本题共5个小题，每个小题满分4分，只要求直接写出结果.1.i 的模与辐角的主值. 2.解方程：192327x x ---⋅=.3.已知3sin 5θ=-，732ππθ<<，求tan 2θ的值.4.如图，已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB =用α表示ASD ∠,求sin α的值. 5.已知等比数列{}n a 的公比1q >,并且1(0)a b b =≠,123678lim nn n a a a a a a a a →∞++++=++++ 三、（本小题满分10分）已知tan x a =，求3sin sin 33cos cos3x xx x ++的值.四、（本小题满分10分）如图,正三棱锥S ABC -的侧面是边长为a 的正三角形D 是SA 的中点,E 是BC 的中点,求SDE ∆绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体的体积.五、（本小题满分11分）设0a >，1a ≠，比较1log 2a t 与1log 2a t +的大小，并证明你的结论.六、（本小题满分12分）给定实数a ，0a ≠,且1a ≠设函数11x y ax -=-，1(,)x R x a∈≠证明(1)(2)这个函数的图象关于直线y x =成轴对称图形. 七、（本小题满分12分）如图，直线l 的方程为2p x =-，其中0p >；椭圆的中心为(2,0)2pD +，焦点在x 轴上，长轴长为2，短轴长为1，它的一个顶点为(,0)2pA ，问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线的距离.ABCDSC D。

1988年(高考数学试题文理科)

一九八八年（理科）一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。

每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。

（1）2i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛+-的值等于（ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么（ C ）（A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。

（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。

（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。

（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。

（3）集合{1，2，3}的子集共有（ B ）（A ）7个（B ）8个（C ）6个（D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是（ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是（ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是（ A ）（A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是（ C ）（A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是（ D ）（A ）圆（B ）双曲线右支（C ）抛物线（D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线（ C ）（B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线（D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ）（A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。

1988-1998年高考理科数学试题参考答案

S FAC ED 1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCBAD ACDCD CBDBA 二、（本题满分20分）1.2;116π 2. 2x =- 3.-3 4.555. 1．三、（本题满分10分）解：3sin sin 33cos cos3x xx x ++2sin sin sin 32cos cos cos3x x x x x x ++=++ 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos x x x x x x +=+ 22sin 4sin cos 2cos (1cos 2)x x xx x +=+ 22tan (12cos )2cos x x x+=2tan (sec 2)2x x =+ 22tan (tan 3)(3)22x a x a =+=+．四、（本题满分10分）解：连接AE ，SE ．∵△SBC 和△ABC 都是边长为a 的正三角形，E 是BC 的中点，∴SE 和AE 分别是它们的中线，且SE =AE ，∴△SAE 为等腰三角形．∵D 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ．由已知条件及上述解析得：在正△SBC 中有，cos302SE SB a =︒=；在等腰△SAE 中有，2DE a ==．作DF ⊥SE ，交SE 于点F ，则1122SDE S SE DF SD DE ∆=⋅=⋅，∴6a SD DE DF SE ⋅===．所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即2211))33V SF EF ππ=⋅⋅+⋅⋅旋转体22311()3636236a SE a ππ=⋅⋅=⋅=．五、（本题满分11分）解：∵0t >，∴12t +≥当且仅当1t =时“=”成立．1log log 2a a t = ∵当01a <<时，函数log a y x =是减函数，∴1log log 2aa t +≤ 11log log 22a a t t +≤；∵当1a >时，函数log a y x =是增函数，∴1log log 2aa t +≥ 11log log 22a a t t +≥．综上可得：当01a <<时，11log log 22a a t t +≤；当1a >时，11log log 22aa t t +≥．六、（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分. 解：（1）设11122212(,),(,)()M x y M x y x x ≠函数图象上任意两个不同的点，则l DA y xO 2121211111x x y y ax ax ---=--- 12211211211(1)(1)(1)ax x x ax ax x x ax ax ax --+---+=-- 2121212121()()()(1)(1)(1)(1)(1)a x x x x x x a ax ax ax ax -----==----， ∴1a ≠，且12x x ≠，∴210y y -≠．∴直线12M M 的斜率21210y y k x x -=≠-，∴直线12M M 不平行于x 轴．（2）设点(,)P x y ''是函数图象上任意一点，则1x a '≠，且11x y ax '-'='-，点(,)P x y ''关于直线y x =的对称点为(,)P y x '''，11111111x y x ax ax x ay a a ax '--'''--'-'===''---'-，∴点(,)P y x '''在已知函数图象上，即函数的图象关于直线y x =成轴对称图形．七、（本题满分12分）解：由已知条件知椭圆方程为22[(2)]214px y -++=；以l 为准线、点A为焦点的抛物线方程为22y px =．椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：222[(2)]21,(1)42.(2)p x y y px ⎧-+⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ 将（2）式代入（1）式，得2[(2)]842px px -++=，即22(74)204p x p x p +-++=．（3）∴原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根，∴2220,(74)4(2)0,420,4740.P p p p p p p >⎧⎪⎪∆=--+>⎪⎨⎪+>⎪⎪-<⎩ ∴103p <<∴p 的取值范围为.31p 0<<．B 1D 1C 1N A C MD OA 11989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题）ADCAB CDDCD AC 二、填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分） 13．7{|2,(21),}1212x x k x k k Z ππππ=+=++∈或或{|(1),}43kx x k k Z πππ=+-+∈14．(,1)(4,)-∞-+∞ 15．(1,1)-16． -2 17．必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分） 18．233 三、解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分）证明：3sinsin322322cos cos 22x xx x tg tg x x-=- 33sin cos cos sin22223cos cos22x x x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 20．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD . ∵∠1A AM =∠1A AN ， ∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ，∴1A M =1A N ，∴OM ON =∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）∵AM =1AA ,232133cos =⋅=π ∴AO =AM .2234csc=π 又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅ 21．（本小题满分10分）解(一)：圆的标准方程为：1)2()2(22=-+-y x ，它关于x 轴对称的圆的方程为： 1)2()2(22=++-y x ．设光线l 所在的直线方程为： )3(3+=-x k y ．由题意知，l 是圆1)2()2(22=++-y x 的切线， ∴11552=++kk ，解得34k =-，或43k =-∴l 的方程为：3430x y +-=或4330x y ++=．解(二)：圆的标准方程为：1)2()2(22=-+-y x ．设光线l 所在的直线方程为： )3(3+=-x k y ．由题意知0≠k ，于是l 与x 轴的交点为)0,)1(3(kk +-．由于入射角等于反射角，所以反射光线l '的斜率为k -，∴直线l '的方程为：))1(3(kk x k y ++-=，即 0)1(3=+++k y kx ．由于l '与已知圆相切，所以11552=++kk ，解得3443-=-=k k 或. ∴l 的方程为：3430x y +-=或4330x y ++=．点评本题难度不大，但涉及的知识面较广，属跨学科问题. 22．（本小题满分12分）解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足22222(),(1)0,(2)0.(3)x ak x a x ak x a ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解222(),(1)0,(2)x ak x a x ak ⎧-=-⎨->⎩ 由（1）得22(1).(4)k x a k =+ 当0k =时，由0a >知（4）无解，因而原方程无解.当0k ≠时，（4）的解是2(1).(5)2a k x k+=把（5）代入（2），得212k k k+>，解得10 1.k k -∞<<-<<或综合得，当k 在集合(,1)(0,1)-∞-内取值时，原方程有解. 23．（本小题满分10分）解：假设存在,,a b c 使题设的等式成立，则当n =1,2,3时有24,4344,9310.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,11,10a b c ===.①由上可知，当n =1,2,3时，下面等式成立：2221223(1)n n ⋅+⋅+++2(1)(31110)12n n n n +=++.②记2221223(1)n S n n =⋅+⋅+++. 假设当n k =时上式成立，即2(1)(31110)12k k k S k k +=++.∴21(1)(2)k k S S k k +=+++ 22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++2(1)(2)(35)(1)(2)12k k k k k k +=+++++2(1)(2)(351224)12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++.也就是说，当1n k =+时等式成立.综上所述，当3,11,10a b c ===时，题设的等式对一切自然数n 成立. 24．（本小题满分10分）解：（1）∵()f x 是以2为周期的函数， ∴当k Z ∈时，2k 也是()f x 的周期又∵当k x I ∈时，02(1,1]x k I -∈=-， ∴2()(2)(2)f x f x k x k =-=-. ∴对k Z ∈，当k x I ∈时，2()(2)f x x k =-. （2）对自然数k ，且k x I ∈时，由（1）的结论可得方程2(2)x k ax -=，即22(4)40x k a x k -++=.上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足22(4)16(8)0,121[42121[42k a k a a k k k a k k a ⎧⎪∆=+-=+>⎪⎪-<+⎨⎪⎪+≥+⎪⎩，即(8)0,(1)2,(2)2,(3)a a k a a +>⎧+≤- 由（1）知0a >，或8a k <-. 当0a >时，22a a +>-， ∴由（2），（32a ≤-，即2(8)(2),20,a a k a a ⎧+≤-⎨->⎩ 解得1021a k <≤+.当8a k <-时，2280a k +<-<，2a <+无解，综上所述，a 应满足1021a k <≤+.∴故所求集合1|021k M a a k ⎧⎫=<≤⎨⎬+⎩⎭.1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）参考答案满分120分，120分钟一、选择题: 共45分．1-5 ABDCC 6-10 BADBD 10-15 CBBCD 二、填空题: 共15分． 16．165y =± 17．20- 18．2 19．12+ 20．75 三、解答题. 21．（本小题满分8分）小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +，则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=，解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122,(1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由（1）式得 312x y =-. （3）将（3）式代入（2）式得2(16312)(12)y y y -+=-,整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==.代入（3）式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22．（本小题满分10分）本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23．（本小题满分10分）本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE, BE ∩DE ＝E, ∴SC ⊥面BDE, ∴SC ⊥BD.又∵SA ⊥底面ABC, BD 在底面ABC 上, ∴SA ⊥BD.而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC. ∵DE ＝面SAC ∩面BDE, DC ＝面SAC ∩面BDC, ∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC ．设SA ＝a ，则AB= a ，．又∵AB ⊥BC，∴AC =．在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠== ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC,所以∠EDC ＝60°，即所求的二面角等于60°． 24．（本小题满分10分）本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩由（2）式得0x =或0y =. ①若0x =，则方程（1）为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， ……（3）或220(0)y y a y -+=≥．……（4）由（3）得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由（4）得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， ……（5）或2(1)1(0)x a x -=+<．………（6） ∵0a ≥，∴解（5）得1x =- 解（6）得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±；当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解． 25．（本小题满分10分）本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b+=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=,设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=．当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．26．（本小题满分12分）本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解: ∵()f x 当(,1]x ∈-∞时有意义， ∴12(1)0x x x n n a +++-+>，即121x x xn a n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(,1]x ∈-∞．∵(1,2,,1)xk k n n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭在(,1]-∞上都是增函数，∴121()x x xn g x n n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(,1]-∞上是增函数，∴max 121()(1)n g x g n n n -⎛⎫==-+++ ⎪⎝⎭1(1)2n =--,∴1(1)2a n >--，即a 的取值范围为1(1),2n ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭． (Ⅱ) 要证2()(2)f x f x <，即12(1)2lg x x x n n an+++-+22212(1)lg x x x n n a n+++-+<.，只需证明212(1)xx x n n a ⎡⎤+++-+⎣⎦22212(1)x x x n n n a ⎡⎤<+++-+⎣⎦．当01a <<时，2a a <．∴当01a <<，0x ≠时，由柯西不等式得22212(1)xx x n n n a ⎡⎤+++-+⎣⎦ 222212(1)x x x n n n a ⎡⎤>+++-+⎣⎦()()222222(111)12x x n a ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦ 212(1)xx x n n a ⎡⎤≥+++-+⎣⎦， ∴当01a <<，0x ≠时，22212(1)xx x n n n a ⎡⎤+++-+⎣⎦212(1)x x x n n a ⎡⎤>+++-+⎣⎦．当1a =，0x ≠时，1(1,2,,)x k k n ≠=，22212(1)x x x n n n a ⎡⎤+++-+⎣⎦ 22212(1)x x x n n n ⎡⎤>+++-+⎣⎦212(1)xx x n n ⎡⎤>+++-+⎣⎦．综上可得，当01a <≤，0x ≠时，有22212(1)xx x n n n a ⎡⎤+++-+⎣⎦212(1)xx xn n a ⎡⎤>+++-+⎣⎦，即22212(1)x x x n n an+++-+212(1)x x x n n a n ⎡⎤+++-+>⎢⎥⎣⎦，12(1)2lg x x x n n a n+++-+22212(1)lg x x x n n a n+++-+<，∴2()(2)f x f x <，(0,1]a ∈，0x ≠．注：可用数学归纳法证明．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)参考解答本试卷共120分．考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBBA DADCC ACBCD二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．16.4π17.()2,0- 18.31419.1+510 20.23a π三、解答题21. （本小题满分8分）本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当22()42x k k Z πππ+=-∈，即3()8x k k Z ππ=-∈时y 取得最小值2使取最小值的x 的集合为3()8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． 22. （本小题满分8分）本小题考查复数基本概念和运算能力．解：∵ 1z i =+，∴ 2361z z z -++2(1)3(1)631112i i i i i i+-++-===-+++，∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π， ∴所给复数的模为2，辐角的主值74π． 23. （本小题满分10分）本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连接,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于H ，O ．∵ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，∴EF ∥BD ，H 为AO 的中点． BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面A B C D 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾． ∴BD ∥平面EFG ，∴BD 到平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离．∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥HC ．∵CG ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥CG ， ∴EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线．作OK ⊥HG 交HG 于点K ，则OK ⊥平面EFG ，∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离．∵ 正方形ABCD 的边长为4，CG =2， ∴AC =42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG=由于Rt △HOK 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，∴ Rt △HOK ∽△HCG ．∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ，即点B 到平面EFG 的距离为11112．注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分． 24. （本小题满分10分）本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．证法一：在(),-∞+∞上任取12,x x 且12x x <，则332112()()f x f x x x -=- 22121122()()x x x x x x =-++21212213())24x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．∵12x x <，∴120x x -<，且212213)024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭（否则，120x x ==，与题设不符）．∴21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <． ∴函数3()1f x x =-+在(),-∞+∞上是减函数．证法二：在(),-∞+∞上任取12,x x ，且12x x <，则332112()()f x f x x x -=-= 22121122()()x x x x x x -++． ∵12x x <，∴120x x -<．∵12,x x 不同时为零，∴ x 21＋x 22>0．又 ∵2222121212121()2x x x x x x x x +>+≥≥-， ∴ 2211220x x x x ++>，∴21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <． ∴函数3()1f x x =-+在(),-∞+∞上是减函数．25. （本小题满分12分）本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为∵231log 4log 12log (2)log n n a a a a x x x n x --+++-1log 2log 4log (2)log n a a a a x x x x -=-+++- 112(2)log n a x -⎡⎤=-++-⎣⎦1(2)log 3n a x --=，∴原不等式可化为21(2)1(2)log log ()33n na a x x a ---->-．①（1）当n 为奇数时，1(2)03n-->，不等式①等价于2l o g l o g ()a a x x a >-． ② ∵1a >，∴②式等价于220,0,x x a x x a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩20,0x x x x a >⎧⎪⇔>⎨⎪--<⎩⇔x x ⎧><<∵102<， 2411a ++>24a=a ，∴，不等式②的解集为12⎭．（2）当n 为偶数时，1(2)03n--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③∵a >1，∴③式等价于220,0,,x x a x x a >⎧⎪->⎨⎪<-⎩20,0,x x x x a >⎧⎪⇔>⎨⎪-->⎩x x ⎧>⎪⇔⎨<⎪⎩ 或x x ⎧>⎪⎨>⎪⎩∵，，a a a a =>++<+-24241102411∴不等式③的解集为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是12⎫+⎪⎪⎭；当n 为偶数时，原不等式的解集是⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 26. （本小题满分12分）本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．解：设双曲线的方程为22221x y a b-=，焦点为12(,0),(,0)F c F c -．由题意知，直线PQ 的方程为)y x c =-．将直线方程代入双曲线方程得()2222315x x c a b --=，即 22222222(53)6(53)0b a x a cx a b a c -+-+=．① ∵,P Q 是右焦点的直线与双曲线的两个交点，∴22530b a -≠．设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且21222222212226,5353.53a c x x b a a b a c x x b a ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅121==-，即2121283()30x x x x c c -++=，∴2222222222253683305353a b a c a c c b a b a+-⋅+⋅+=--，即2222(3)(3)0a b a b +-=．∵230a +≠，∴223b a =，∴2c a =，且12212,9.4x x a a x x +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∵4PQ =，∴221212()()x x y y -+-2212123()()5x x x x =-+-2212128()416165x x x x a ⎡⎤=+-==⎣⎦． ∴21a =，23b =．∴所求双曲线方程为x 2－2213y x -=．1992年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)参考答案本试卷共120分．考试时间120分钟．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．共54分．1-18 ADDBD BBCDD BBADD CAC 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．共15分． 19.1x =- 20.41 21.1281522.()1124222=--y x 23.1613三、解答题24. （本小题满分9分）本小题考查复数相等的条件及解方程的知识．满分9分．解：设(,R)z x yi x y =+∈，则已知方程可变形为．()()3()13x yi x yi i x yi i +---=+，即223313x y y ix i +--=+．根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧=-+=-.13,3322y y x x 解得1,0x y =-=或3y =． ∴1z =-或13z i =-+．25. （本小题满分10分）本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．满分10分．解：∵432παβπ<<<， ∴30,42ππαβπαβ<-<<+<，又∵ 123cos(),sin()135αβαβ-=+=-，∴ ()sin αβ-=513==，()cos αβ+=45=-，∴]sin 2sin ()()ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+ =655653131254135-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 26. （本小题满分10分）本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．满分10分．解：设经过b 与a 平行的平面为α，经过a 和1AA 的平面为β，c αβ=，则c ∥a ．∴b ，c 所成的角等于θ，且1AA ⊥c ． ∵1AA ⊥b ，1AA ⊥c ， ∴1AA ⊥α．∴β⊥α．在平面β内作EG c ⊥，垂足为G ，则1EG AA =．且EG α⊥．连结FG ，则EG FG ⊥．在Rt △EFG 中，222EF EG FG =+． ∴1AG A E m ==，1EG AA d ==， ∴ 在△AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-．∴22222cos EF d m n mn θ=++-．如果点F (或E )在点A (或1A )的另一侧，则22222cos EF d m n mn θ=+++．∴EF 27. （本小题满分10分）本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．(Ⅱ)解法二：()d n n na S n 211-+= ()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵ 正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．解法三：由(Ⅰ)知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．28. （本小题满分12分）本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．证法一：设,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．∵线段AB 的垂直平分线与x 轴相交， ∴ AB 不平行于y 轴，即12x x ≠．又交点为0(,0)P x ，∴ PA PB =，即2222101202()()x x y x x y -+=-+． ① ∵ ,A B 在椭圆上，∴ 2122221x a b b y -=，2222222x ab b y -=．将上式代入①，得()22222102122()a b x x x x x a--=- ． ② ∵12x x ≠，∴2212022x x a b x a+-=⋅． ③ ∵12,a x a a x a -≤≤-≤≤，且12x x ≠，∴1222a x x a -≤+≤，∴22220a b a b x a a---<<．证法二：设,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．0(,0)P x 在AB 的垂直平分线上，以点P为圆心，PA r =为半径的圆P 过,A B 两点，∴圆P 的方程为2220()x x y r -+= ，与椭圆方程联立，消去y 得2222202()b x x x r b a--=-，∴02222002222=+-+--b r x x x x ab a ．① ∵,A B 是椭圆与圆P 的交点， ∴12,x x 为方程①的两个根，且2120222a x x x a b+=-．∵12,a x a a x a -≤≤-≤≤，且12x x ≠，∴1222a x x a -≤+≤，即2022222a a x a a b -<<-a ，∴ 22220a b a b x a a---<<．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．18.6322+ 19.{k ||k |>31} 20.100 21)1 22.1760 23. 30 三、解答题 24. （本小题满分10分）本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．解 (Ⅰ)由已知函数知011>-+x x ，解得－1<x <1； ∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1a xf x x--=+ ()1log 1a x f x x +=-=--，∴ f (x )为奇函数． (Ⅲ)由(Ⅰ)知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<；当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．25. （本小题满分12分）本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：由123482448809254981S S S S ====，，，， … ，猜想()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()()2221121k k S k +-=+． ()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当1n k =+时等式也成立．根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 26. （本小题满分12分）本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α．而 a ⊂α，∴PM ⊥a ．同理PN ⊥a ．又 PM ⊂γ，PN ⊂γ， ∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ．同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合．又 1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α、β的交线，即都重合于a ． ∵b ∥1a ，∴ b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α．同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ．又 c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ．∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．27. （本小题满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即 54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭．在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴ c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，．由椭圆过点P 得2a PM PN =+==， ∴a =．∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ．解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去)．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ．说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．28. （本小题满分12分）本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．解法一：()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----= θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++=()θθθ4cos 4sin 2tg i +=．∴tg2sin 4cos4i ωθθθ=⋅+tg2θ==332tg ±=θ．∵ πθ<<0，∴57112,,,6666ππππθ=，即 511,,,121212πππ． ∴当12πθ=时，cos sin 333i ππω⎫=+⎪⎝⎭，得 arg 32ππω=<，适合题意．当712πθ=时，77cos sin cos sin 333333i i ππππω⎫⎫=+=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得arg 32ππω=<，适合题意．当512πθ=时，55cos sin 333i ππω⎫=-+⎪⎝⎭22cos sin 333i ππ⎫=+⎪⎝⎭， 2arg 32ππω=>，不适合题意，舍去．当1112πθ=时，1111cos sin 333i ππω⎫=-+⎪⎝⎭22cos sin 366i ππ⎫=+⎪⎝⎭， 2arg 32ππω=>，不适合题意，舍去．综上可得12πθ=或127πθ=．解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z -==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tg i +=．∵ 33=ω，2arg πω<，∴t g ,(1)2tg sin 0,(2)2tg cos 0.(3)2ϕϕϕϕϕ⎧=⎪⎪⎪⋅>⎨⎪⎪⋅≥⎪⎩当（1）成立时，（2）恒成立，所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ，或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ，解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=．(ⅱ)无解．综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1-15 CDDAB DBAAC CBDBC 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19． π322 20．()121n a a a n+++三、解答题 21．（本小题满分11分）本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．解：(1)∵1z i =+，∴()223413(1)4z z i i ω=+-=+++-23(1)41i i i =+--=--，∴ω的三角形式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ45sin 45cos 2i ．(2) ∵1z i =+，∴()()()()1111112222++-+++++=+-++i i b i a i z z b az z()()()()221a b a i a a b i i i+++==+-+=-，∴21,()1,a a b +=⎧⎨-+=-⎩解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 22．（本小题满分12分）本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．证明：121212sin sin tan tan cos cos x x x x x x +=+121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x +=()2121cos cos sin x x x x +=()()()1212122sin cos cos x x x x x x +=++-， ∵12,0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12x x ≠， ∴()122sin 0x x +>，12cos cos 0x x >，且()120cos 1x x <-<， ∴()()12120cos cos x x x x <++-()121cos x x <++，∴()()1212122sin tan tan 1cos x x x x x x ++>++12122124sin cos 222cos 2x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫ ⎪⎝⎭122tan 2x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12121(tan tan )tan 22x x x x ++>，即 []12121()()()22x x f x f x f ++>． 23．（本小题满分12分）本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形．连接B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．连接DE ．在△AB 1C 中，∵AD =DC ，∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1．(2)解：作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连结EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影． ∵AB 1⊥BC 1，由(1)知AB 1∥DE ，∴DE ⊥BC 1，则BC 1⊥EF ，∴∠DEF 是二面角的平面角α．设AC =1，则DC =21．∵△ABC 是正三角形，∴在Rt △DCF 中， DF =DC ·sin C =43，CF =DC ·cos C =41．取BC 中点G ．∵EB =EC ，∴EG ⊥BC ．在Rt △BEF 中，EF 2=BF ·GF ，又BF =BC －FC =43，GF =41， ∴EF 2=43·41，即EF =43． ∴tg ∠DEF =14343==EF DF． ∴∠DEF =45°． ∴二面角α为45°． 24．（本小题满分12分）本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力．解法一：依题设抛物线C 的方程可写为22(0)y px p =>，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为 (0)y kx k =≠)． ① 设A '，B '分别是A ， B 关于l 的对称点，因而A 'A ⊥l ，直线 A 'A 的方程为()11+-=x ky ② 由①，②联立解得AA '与l 的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-11122k k k ，．又M 为AA '的中点，从而点A '的坐标为222112111A k x k k '-⎛⎫=-+= ⎪++⎝⎭， 2222011A k k y k k '-⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭．③ 同理得点B '的坐标为2161B kx k '=+， ()22811B k y k '-=+．④又A '，B '均在抛物线22(0)y px p =>上，由③得112122222+-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ，由此知k ≠±1，即1242-=k kp ． ⑤ 同理由④得()11621182222+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k p k k ，即 ()()kk k p 112222+-=．从而 1242-k k=()()kk k 112222+-，整理得210k k --=，解得.25125121-=+=k k ，但当251-=k 时，由③知055<-='A x ，这与A '在抛物线y 2=2px (p >0)上矛盾，故舍去2512-=k ．设251+=k ，则直线l 的方程为x y 251+=．将251+=k 代入⑤，求得552=p ．所以直线方程为x y 251+=．抛物线方程为x y 5542=．解法二：设点A 、B 关于l 的对称点分别为A '(x 1、y 1)、B '(x 2，y 2)，则 |OA '|=|OA |=1，|OB '|=|OB |=8．设由x 轴正向到OB '的转角为α，则 228cos ,8sin x y αα==． ① 因为A '，B '为A ，B 关于直线l 的对称点，而∠BOA 为直角，故∠B 'OA '为直角，因此1cos sin 2x παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin cos 2y παα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ②由题意知x 1>0，x 2>0，故α为第一象限角．因为A '，B '都在抛物线y 2=2px 上，将①、②代入得22cos 2sin ,64sin 16cos p p αααα==，∴338sin cos αα=，即2sin cos αα=，解得52cos 51sin ==αα，．将52cos 51sin ==αα，代入 2cos 2sin p αα=得552sin 2cos 2==ααp ， ∴抛物线C 的方程为x y 5542=．因为直线l 平分∠B 'OB ，故l 的斜率1tan tan 2224k παπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦251sin 1cos 2cos 12sin +=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ααπαπα，∴直线l 的方程为x y 215+=．25．（本小题满分14分）本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力．解：(1)由题意，当n =1时有122a +==12a =．当n =2时有222a +==，整理得(a 2－2)2=16．由20a >，解得26a =．当n =3时有322a +，整理得()23264a -=．由30a >，解得310a =． ∴该数列的前3项为2，6，10． (2)解法一：由(1)猜想数列{}n a 有通项公式42n a n =-．下面用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式是42()n a n n N =-∈ ．①当n =1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出12a =，所以上述结论成立． ②假设n =k 时结论成立，即有42k a k =-． 222k a k +==，即22k S k =．又由题意有=122k a ++==，整理得221144160k k a a k ++-+-=．由10k a +>，解得142k a k +=+，即14(1)2k a k +=+-．这就是说，当n =k +1时，上述结论成立．根据①、②，上述结论对所有的自然数n 成立．解法二：由已知条件得()N n S a n n ∈=+222，整理得21(2)8n n S a =+，由此得2111(2)8n n S a ++=+，∴2211111(2)(2)88n n n n n a S S a a +++=-=+-+，即11()(4)0n n n n a a a a +++--=．由题意知 10n n a a ++>， ∴14n n a a +-=．∴数列{}n a 为等差数列，其中a 1=2，公差d =4，且a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)， ∴{}n a 通项公式为42n a n =-． (3)解：令1n n c b =-，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++22111n n n n n a a a ac⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=112121121221n n n n 121121+--=n n ， 1212n n b b b n c c c +++-=+++ 11111=13352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211+-=n ．∴()12lim n n b b b n →∞+++-1lim 1121n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1-15 CBCBD DBCAD BCADA 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 16．{x |－2<x <4} 17．3237 18． 43-19．4 20．144 三、解答题 21．（本小题满分7分）本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z 1，Z 3对应的复数分别为z 1，z 3，依题设得]4sin 4[cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππi z z ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i 22223121i 213213-++=． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 4cos 2123ππi z z=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++i i 22223121i 231231++-=． 22．（本小题满分10分）本小题主要考查三角恒等式和运算能力．解：原式1cos 401cos100=22-︒+︒+cos 20sin 50+︒︒cos100cos 40sin70sin 30=1+22︒-︒︒-︒+︒+︒︒-=70sin 2130sin 70sin 4343=．23．（本小题满分12分）本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ．又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ．又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ． ∵DB ⊂平面DEB ， ∴AF ⊥DB ．(2)解：过点E 作EH ⊥AB ，H 是垂足，连接DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH 平面ABE ， ∴EH ⊥平面ABCD ．又DH 平面ABCD ，∴DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而∠EDH 是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则DA =AB =2R ， ∴32R V π=圆柱,.32312EH R S AD V ABE ABE D ⋅=⋅=∆-由π3=-ABE D V V ：圆柱，得R EH =，可知H 是圆柱底面的圆心，且R AH =，R AH DA DH 522=+=，∴5arctg EHDHarcctg EDH ==∠， 24．（本小题满分12分）本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t ，即0t ≤≤时，。

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