2020年江苏省南京市中考数学二模试卷含答案
23. 如图，港口 B 位于港口 A 的南偏西 45°方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处．一艘海 轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的南偏东 45°方向的 D 处，它沿正北方向航行 18.5km 到达 E 处，此时测得灯塔 C 在 E 的南偏西 70°方向上，求 E 处距离港口 A 有多远？ （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
10.【答案】
【解析】解：原式= =．
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故答案为 ． 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次 根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质， 选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
在点 B 的右侧． （1）求 x 的取值范围； （2）当 AB=2BC 时，x 的值为______．
19. 某校 1200 名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽 取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．
请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为______； （2）图①中“20 元”对应扇形的圆心角的度数为______°； （3）估计该校本次活动捐款金额为 15 元以上（含 15 元）的学生人数．
16. 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG，E 是 AD 的中点，若 AB=2，则点 B 与点 F 之间的距离为______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 7.0 分） 17. 计算（x+ +2）÷（x- ）．
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四、解答题（本大题共 10 小题，共 81.0 分） 18. 如图，在数轴上点 A、B、C 分别表示-1、-2x+3、xƣ 页
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1.【答案】A
答案和解析
【解析】解：（-xy2）3=-x3y6． 故选：A． 直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵25＜29＜36， ∴5＜ ＜6， 则 29 的算术平方根介于 5 与 6 之间， 故选：B． 估算确定出所求即可． 此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
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25. 已知二次函数 y=x2-2（m+1）x+2m+1（m 为常数），函数图象的顶点为 C． （1）若该函数的图象恰好经过坐标原点，求点 C 的坐标； （2）该函数的图象与 x 轴分别交于点 A、B，若以 A、B、C 为顶点的三角形是直 角三角形，求 m 的值．
26. 在▱ABCD 中，经过 A、B、C 三点的⊙O 与 AD 相切于点 A，经过点 C 的切线与 AD 的延长线相交于点 P，连接 AC． （1）求证：AB=AC； （2）若 AB=4，⊙O 的半径为 ，求 PD 的长．
【解析】解：∵AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD⊥BC， 又∵CE 是△ABC 的中线， ∴DE 是△ABD 的中线，
∴DE= AB=3，
故答案为：3． 根据等腰三角形的性质，即可得到 AD⊥BC，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即 可得出 DE 的长． 本题主要考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质；在直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半．
8.【答案】x≠1
【解析】解：∵代数式 1+ 在实数范围内有意义，
∴x-1≠0， 解得：x≠1， ∴则实数 x 的取值范围为：x≠1． 直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的有意义的条件是解题关键．
9.【答案】（a-3b）2
【解析】解：（a-b）（a-9b）+4ab =a2-9ab-ab+9b2+4ab =a2-6ab+9b2 =（a-3b）2． 故答案为：（a-3b）2． 直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案． 此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
3. 对于实数 a，b，若 b＜a＜0，则下列四个数中，一定是负数的是（）．
A. a﹣b
B. ab
C.
D. a+b
4. 下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A. 2，3，4
B. 2，3，5
C. 3，4，4
D. 3，4，5
5. 如图，已知 BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧
22. 如图是某景区每日利润 y1（元）与当天游客人数 x（人）的函数图象．为了吸引游 客，该景区决定改革，改革后每张票价减少 20 元，运营成本减少 800 元．设改革 后该景区每日利润为 y2（元）．（注：每日利润=票价收入-运营成本） （1）解释点 A 的实际意义：______； （2）分别求出 y1、y2 关于 x 的函数表达式； （3）当游客人数为多少人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等？
4.【答案】C
【解析】解：A、∵
= ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
B、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
C、∵
=5＞4，3+4＞4，∴能组成锐角三角形；
D、∵
=5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：C． 根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进 行比较作出判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因圆柱的展开面为长方形，AC 展开应该是两直线，且有公共点 C． 故选：B． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
6.【答案】C
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【解析】解：∵y1+y2=2， ∴y2=2-y1=2-ax2-bx-c=-ax2-bx-c+2， 由图可以看出 a＞0，△＜0， ∴y2 开口向下，故 A 错误； ∴b2-4ac＜0， ∴b2-4a（c-2）=b2-4ac+8a，无法判断△的取值情况，故 B 错误； y2 是 y1 关于 x 轴对称后向上平移两个单位得到的， 从图象看，当 x＞2 时，y1 随 x 的增大而增大， ∴y2 随 x 的增大而减小，故 C 正确； 当 x=1 时，0＜y1＜1， ∴当 x=1 时，1＜y2＜2，故 D 错误； 故选：C． y2 是 y1 关于 x 轴对称后向上平移两个单位得到的，由可以看出 a＞0，△＜0，利用函数 的性质即可求解； 本题考查二次函数的图象及性质；能够判断出 y2 是 y1 关于 x 轴对称后向上平移两个单 位得到的是解题的关键．
14. 如图，点 A 在反比例函数 y1= （x＞0）的图象上，点 B 在反比例函数 y2= （x＜0） 的图象上，AB⊥y 轴，若△AOB 的面积为 2，则 k 的值为______．
15. 如图，五边形 ABCDE 内接于⊙O，BC=CD=DE，若∠B=98° ，∠E=116°，则∠A=______°．
3.【答案】D
【解析】解：A、若 b＜a＜0，则 a-b＞0，故本选项错误； B、若 b＜a＜0，则 ab＞0，故本选项错误；
C、若 b＜a＜0，则 ＞0，故本选项错误；
D、若 b＜a＜0，则 a+b＞0，故本选项正确； 故选：D． 根据实数运算法则判断． 考查了正数和负数．属于基础计算题，熟练掌握实数的运算法则即可解题．
20. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 上的一点，且 OC=OD，连接 OA． （1）求证：∠AOC=2∠ABC；
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（2）求证：CD2=OD•BD．
21. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大 小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口． （1）求两辆车全部继续直行的概率． （2）下列事件中，概率最大的是______ A．一辆车向左转，一辆车向右转 B．两辆车都向左转 C．两辆车行驶方向相同 D．两辆车行驶方向不同
27. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 为 AB 边上的动点，过点 D 作 DE⊥AB 交边 AC 于点 E，过点 E 作 EF⊥DE 交 BC 于点 F，连接 DF． （1）当 AD=4 时，求 EF 的长度； （2）求△DEF 的面积的最大值； （3）设 O 为 DF 的中点，随着点 D 的运动，则点 O 的运动路径的长度为______．
7.【答案】1.1×103
【解析】解：1100=1.1×103， 故答案为：1.1×103． 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值大于 1 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
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12. 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，CE 是 △ABC 的中线，连接 DE，若 AB=6，则 DE=______．
13. 在平面直角坐标系中有一点 A，作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，再将点 A′向下平 移 4 个单位，得到点 A″（1，1），则点 A 的坐标是（______）．
面上，过点 A，C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 AB
剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）
A.
B.
C.
D.
江苏省南京市鼓楼区2020届中考数学二模试卷 (含解析)
江苏省南京市鼓楼区2020届中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.计算(−1)2−(−1)3=()A. −2B. −1C. 0D. 22.下列式子中，是不等式的有()①2x=7；②3x+4y；③−3<2；④2a−3≥0；⑤x>1；⑥a−b>1．A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为()A. 4：3B. 3：4C. 16：9D. 9：164.今年百色市九年级参加中考人数约有38900人，数据38900用科学记数法表示为()A. 3.89×102B. 389×102C. 3.89×104D. 3.89×1055.甲、乙两名同学进行登山比赛，甲同学和乙同学沿相同的路线同时在早8：00从山脚出发前往山顶，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路以每小时6千米的速度下山，在这一过程中，各自行进的路程随所用时间变化的图象如图所示，根据提供信息得出以下四个结论：①甲同学从山脚到达山顶的路程为12千米；②乙同学登山共用4小时；③甲同学在14：00返回山脚；④甲同学返回与乙同学相遇时，乙同学距登到山顶还有1.4千米的路程．以上四个结论正确的有()个A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.0.25的平方根是______，−64的立方根是______8.分式3x−2，当x=______ 时无意义．2x+3=_________；9.化简：(1)√5−√3=________．(2)|√3−2√2|10.已知关于x的方程x2+kx+3=0的一个根是−1，则k=_____．11.边长分别为6、8、10的三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是______．12.如图，四边形ABCD内接于⊙，已知∠ADC=135°，则∠AOC的度数是____________．13.在数轴上表示数m的点到原点的距离为2，则m+1=__________．14.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于______．15.已知反比例函数y=m与一次函数y=2x+m的图象的一个交点的横坐标是−4，则m的值是x______ ．16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，若把直角三角形绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17.已知(2012−a)⋅(2010−a)=2011，求(2012−a)2+(2010−a)2的值．18.解方程：16x2−4+1x+2=x+2x−219.如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线．(1)求证：四边形EFGH为平行四边形;(2)当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形．20.水果店进了某种水果2000千克，进价是每千克8元，售价定为每千克10元，销售了四分之一以后，为了尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于1000元，那么余下的水果最多打几折？21.某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表(单位：环)：x 甲=16(10+8+9+8+10+9)=9(环)s2=16[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2]=23请根据以上信息，解答下列问题：(1)请参考小明的方法分别计算乙的平均数和方差；(2)请根据调查结果，从平均数和方差的角度分析选谁去参加比赛较为合适？22.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率．23.请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD．(1)如图①，以等边三角形ABC的边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F．(2)如图②，以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E．24.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．25.己知二次函数y=−316x2+bx+c的图象经过A(0,3)，B(−4,−92)两点．(1)求b，c的值．(2)二次函数y=−316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．26.如图，在矩形BCD中，AB=3，AD=8，O为AD中点，P是线段AO上一动点，以O为圆心，OP为半径作⊙O分别交BO及BO延长线于点E，F，延长AE交BC于点H．(1)当OP=2时，求BH的长．(2)当AH交⊙O于另一点G时，连接FG，DF，作DM⊥BF于点M，求证：△EFG∽△FDM．(3)连结HO，当△EHO是直角三角形时，求OP的长．27.小强骑自行车去郊游，如图表示他离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：(1)小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息时间多长？(3)小强离家速度与回家速度各是多少？(写出计算过程)-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：原式=1−(−1)=1+1=2．故选D．原式先计算乘方运算，再计算减法运算即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.答案：B解析：解：①2x=7是等式；②3x+4y不是不等式；③−3<2是不等式；④2a−3≥0是不等式；⑤x>1是不等式；⑥a−b>1是不等式，故选B．要依据不等式的定义——用不等号(>、≥、<、≤或≠)表示不相等关系的式子是不等式来判断．本题考查不等式的定义，需要熟练掌握不等式定义．3.答案：D解析：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．故选：D．已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．此题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键．4.答案：C解析：解：将38900用科学记数法表示为3.89×104．故选C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：A。
2020年江苏省南京市建邺区中考数学试卷(二模)(附解析)
2020年江苏省南京市建邺区中考数学试卷（二模）1.2020年春节，新冠肺炎疫情蔓延，为满足学生居家学习的需要，“建邺云课堂”为全区学生免费提供优质的在线教育服务.据统计，上线当天截止晚上7点访问量超过15600人次.用科学记数法表示15600是()A. 156×102B. 15.6×103C. 1.56×104D. 0.156×1052.下列运算正确的是()A. a3+a4=a7B. 2a3⋅a4=2a7C. (2a4)3=8a7D. a8÷a2=a43.面积为15m2的正方形，它的边长介于()A. 2m与3m之间B. 3m与4m之间C. 4m与5m之间D. 5m与6m之间4.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为()A. 12B. √33C. √22D. √325.如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD=3，BC=6，则AB+CD的值是()A. 3B. 6C. 9D. 126.若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是()A. 1B. 4C. 6D. 87.8的平方根是______；8的立方根是______．8.函数y=x中，自变量x的取值范围是______．1−x9.计算(√6−√2)×√2=______ ．10.若关于x的方程x2−mx+8=0的一个根为4，则m=______．11.在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2的图象一x 个交点的坐标是(−1,3)，则它们另一个交点的坐标是______ ．12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为______．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A=50°，则∠E+∠F=______ ．14.已知二次函数y=x2−2x+2的图象上有两点A(−3,y1)、B(−2,y2)，则y1______y2.(填“>”“<”或“=”号)15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，N是AD上一点.若以点D为圆心，DN为半径作圆.⊙D与线段AM仅有一个公共点，则DN的长的取值范围是______ ．16.如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD外的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为______ ．17.解方程：x2−4x+2=0．18. 解不等式组{2x +4<5(x +2)2x 3+1≥x 并把它的解集在数轴上表示出来．19. 某校七年级共有400名学生，今年6月份学校在网络上开展了名著知识竞赛.该校数学兴趣小组随机抽取了20名学生进行了调查，获得了他们名著知识竞赛的成绩(单位：分)，并绘制了名著知识竞赛成绩的扇形统计图(数据分为5组，A ：50≤x ≤59；B ：60≤x ≤69；C ：70≤x ≤79；D ：80≤x ≤89；E ：90≤x ≤100)． 根据以上信息，回答下列问题：(1)七年级学生名著知识竞赛成绩的中位数在______ 组.(2)若将成绩80分及以上规定为“优秀”，请估计该校七年级学生达到“优秀”的人数．(3)下列结论：①七年级成绩的众数是80分；②七年级成绩的平均数可能为86分；③七年级成绩的极差可能为50分.其中所有正确结论的序号是______ ．20.某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯.已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格．21.甲、乙、丙、丁四个人玩“击鼓传花”的游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．(1)甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是______ ；(2)求经过两次传花后，花恰好回到甲手中的概率．22.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD=AC+CD，那么AB=AC吗？悦悦的思考：①如图，延长DB至点E，使BE=BA，延长DC至点F，使CF=CA，连接AE、AF．②由AD是EF的垂直平分线，易证∠E=∠F．③由∠E=∠F，易证∠ABC=∠ACB．④得到AB=AC．如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，AB+AD=CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形．23.小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进，在出发2h时，两人相距36km，在出发3h时，两人相遇．设骑行的时间为x(ℎ)，两人之间的距离为y(km)，图中的线段AB表示两人从出发到相遇这个过程中，y与x之间的函数关系．(1)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；(2)求甲、乙两地之间的距离．24.已知函数y=mx2−6x+1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．26.已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．(1)如图1，α=60°，探究线段CE与AD的数量关系，并加以证明；(2)如图2，α=120°，探究线段CE与AD的数量关系，并说明理由；(3)如图3，结合上面的活动经验探究线段CE与AD的数量关系为______ .(直接写出答案)．27.概念认识⏜的两个端点M、N分别在∠AOB的两边上(不如果MN⏜除端点外的所有点都在∠AOB与点O重合)，并且MN⏜是∠AOB的“连角弧”．的内部，则称MN初步思考⏜是以O为圆心，半径为1的一个“连角弧”．(1)如图，∠AOB=90°，MN⏜的长是______ ．①图中MN②以M、N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是______ ．⏜是半圆，也(2)∠AOB=60°，M是OA上一点，OM=2，N是OB上一动点.若MN是∠AOB的“连角弧”，求ON的长的取值范围．深入研究⏜是∠AOB的“连角弧”，(3)已知∠AOB，M、N分别在射线OA、OB上，ON=4，MN⏜所在圆的半径为1，直接写出∠AOB的取值范围．且MN答案和解析1.【答案】C【解析】解：15600=1.56×104．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：A、a3和a4不是同类项不能合并，故本选项错误；B、2a3⋅a4=2a7，故本选项正确；C、(2a4)3=8a12，故本选项错误；D、a8÷a2=a6，故本选项错误；故选：B．根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力．3.【答案】B【解析】解：设正方形的边长为x，则x2=175∴x=√15．∵9<√15<16，∴3<√15<4．故选：B．先依据算术平方根的定义求得它的边长，然后再估算出它的范围即可．本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题关键．4.【答案】D【解析】解：连接BC，由题意可得：OB=OC=BC，则△OBC是等边三角形，．故sin∠AOC=sin60°=√32故选：D．根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键．5.【答案】C【解析】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF=AE，BE=BH，CH=CG，DG=DF，∴AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD，∵AD=3，BC=6，∴AB+CD=AD+BC=9，故选：C．根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：数据5，6，7，8，9中，每2个数相差1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，若x=1或x=6时，两组数据方差相等，而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是8；故选：D．观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．7.【答案】±2√2 2【解析】解：8的平方根是±2√2；8的立方根是2；故答案为：±2√2；2．根据平方根以及立方根的定义即可直接求解．本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．8.【答案】x≠1【解析】解：由题意，得1−x≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．根据分母不为零分式有意义，可得答案．本题考查了函数值变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键．9.【答案】2√3−2【解析】解：原式=√6×2−2=2√3−2．故答案为2√3−2．根据二次根式的乘法法则运算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10.【答案】6【解析】解：依题意，得42−4m+8=0，解得，m=6．故答案是：6．由方程的解的定义，把x=4代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．11.【答案】(1,−3)【解析】解：根据题意，直线y=k1x经过原点与双曲线y=k2x相交于两点，又由于双曲线y=k2x与直线y=k1x均关于原点对称．则两点关于原点对称，一个交点的坐标为(−1,3)，则另一个交点的坐标为(1,−3)．故答案为：(1,−3)．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．12.【答案】5【解析】【分析】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=12CD=12×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB−BE=x−1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+(x−1)2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．13.【答案】80°【解析】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°，∠ECD =∠A =50°，∠BCF =∠A =50°，∴∠EDC +∠FBC =180°，∴∠E +∠F =360°−180°−50°−50°=80°，故答案为：80°．根据圆内接四边形的性质得到∠ADC +∠ABC =180°，∠ECD =∠A =50°，∠BCF =∠A =50°，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．14.【答案】>【解析】解：∵二次函数y =x 2−2x +2的对称轴是x =1，开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，∵点A(−3,y 1)，B(−2,y 2)是二次函数y =x 2−2x +2的图象上的两点，−2>−3，∴y 1>y 2．故答案为：>．先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．15.【答案】DN =83或3<DN ≤256【解析】解：(1)当⊙D 与线段AM 相切时，如图1，设切点为Q ，则NQ ⊥AM ，由题意可知，NQ =ND ，∵ABCD 是矩形，∴AD//BC ，∴∠AMB =∠NAQ ，又∵M 是AB 的中点，AB =6，∴BM =MC =3，在Rt △ABM 中，AM =√AB 2+BM 2=√42+32=5， ∵sin∠AMB =AB AM ，sin∠NAQ =NQ AN ，∴ABAM =NQAN ，设ND =DQ =x ，则AN =6−x ，∴45=x 6−x ，解得x =83，经检验，x =83是原方程的解，即DN =83时，⊙D 与线段AM 相切，⊙D 与线段AM 仅有一个公共点；(2)当⊙D 过线段AM 的端点A时，如图2，此时⊙D 与线段AM 有两个公共点的最小临界值，DN =DA =12AD =3，当⊙D 过线段AM 的端点M 时，如图3，此时⊙D 与线段AM 有两个公共点的最大临界值，过点M 作MP ⊥AD ，垂足为P ，设DN =DM =y ，则NA =6−y ，DP =DN −PD =y −3，由勾股定理得， NM 2=NP 2+PM 2，即y 2=(y −3)2+42，解得y =256，因此3<DN ≤256时，⊙D 与直线AM 相交，而与线段AM 仅有一个公共点，综上所述，当DN =83或3<DN ≤256时，⊙D 与线段AM 仅有一个公共点， 故答案为：DN =83或3<DN ≤256．因为⊙D与线段AM仅有一个公共点，所以分两种情况进行解答，第一种．⊙D与线段AM相切，第二种，.⊙D与线段AM相交，且只有一个公共点，分别画出相应的图形，借助切线的性质，直角三角形的边角关系进行解答即可．本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系是解决问题的前提，画出相应情况的图形是解决问题的关键．16.【答案】7√2【解析】解：延长EA交FD的延长线于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=DC=AD=5，∵AE=3，BE=4，∴AE2+BE2=AB2=25，∴△AEB是直角三角形，同理可证△CDF是直角三角形，∴∠EAB=∠DCF，∠EBA=∠CDF，∠EAB+∠EBA=90°，∠CDF+∠FDC=90°，∴∠EAB+∠CDF=90°又∵∠EAB+∠MAD=90°，∠MDA+∠CDF=90°，∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠M=90°∴△EMF是直角三角形，∵∠EAB+∠MAD=90°，∴∠EAB=∠MDA，在△AEB和△DMA中，{∠AEB=∠M=90°∠EAB=∠MDAAB=AD，∴△AEB≌△DMA，∴AM=BE=4，MD=AE=3，∴EM=MF=7，∴EF=√ME2+MF2=7√2．故答案为：7√2．延长EA交FD的延长线于点M，可证明△EMF是等腰直角三角形，而EM=MF=AE+DF=7，所以利用勾股定理即可求出EF的长．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形△EMF是等腰直角三角形是解题的关键．17.【答案】解：x2−4x+2=0x2−4x=−2x2−4x+4=−2+4(x−2)2=2，则x−2=±√2，解得：x1=2+√2，x2=2−√2．【解析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键．18.【答案】解：{2x+4<5(x+2)①2x3+1≥x②解不等式①得x>−2，解不等式②得x≤3，数轴表示解集为：所以不等式组的解集是−2<x≤3．【解析】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解两个不等式得到x>−2和x≤3，再利用数轴表示解集，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．19.【答案】D②③【解析】解：(1)∵A，B，C三个组的人数为20×(10%+10%+15%)=7，D组的人数为20×40%=8，∴七年级学生知识竞赛成绩的中位数在D组，故答案为：D；(2)400×(40%+25%)=260(人)；．答：估计该校七年级学生中达到“优秀”的人数是260；(3)∵①七年级成绩的众数不确定；②七年级成绩的平均数可能为86分；③七年级成绩的极差可能为50分；故正确结论的序号是②③，故答案为：②③．(1)根据中位数的定义即可得到结论；(2)根据优秀率和人数进行计算即可；(3)根据众数、平均数和极差的概念分别进行解答，即可得出答案．本题考查了扇形统计图，中位数，众数，极差，正确的理解题意是解题的关键．20.【答案】解：设一个玻璃杯的价格是x元，则一个保温杯的价格是(x+10)元，依题意，得：2800x+10=2000x，解得：x=25，经检验，x=25是原方程的解，且符合题意．答：一个玻璃杯的价格是25元．【解析】设一个玻璃杯的价格是x元，则一个保温杯的价格是(x+10)元，根据用2000元购买玻璃杯的数量等于用2800元购买保温杯的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21.【答案】13【解析】解：(1)甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是13，故答案为：13．(2)如图所示：，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，．故两次传花后，花恰好回到甲手中的概率为13(1)直接利用概率公式求解可得；(2)直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图列出所有等可能结果是解题关键．22.【答案】如图①，解：AB=AC，理由如下：延长DB至点E，使BE=BA，延长DC至点F，使CF=CA，连接AE、AF．则∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，∵AB+BD=AC+CD，∴BE+BD=CF+CD，即DE=DF，∴AD是EF的垂直平分线，∴AE=AF，∴∠E=∠F，∴∠E=∠F=∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠E+∠BAE，∠ACB=∠F+∠CAF，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．如图②，证明：在DA的延长线上取点M，使AM=AB，在BC的延长线上取点N，使CN=CD，连接BM、DN，则∠M =∠ABM ，∠N =∠CDN ，∵AB +AD =CD +CB ，且 AM =AB ，CN =CD ，∴AM +AD =CN +CB ，即DM =BN ，又∵AD//BC ，∴四边形MBND 是平行四边形，∴MB =ND ，∠M =∠N ，∴∠ABM =∠CDN ，在△ABM 和△CDN 中，{∠M =∠NMB =ND ∠ABM =∠CDN，∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴AM =CN ，∵DM =BN ，∴DM −AM =BN −CN ，即AD =BC ，∵AD//BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．【解析】如图①，延长DB 至点E ，使BE =BA ，延长DC 至点F ，使CF =CA ，连接AE 、AF.则∠BAE =∠E ，∠CAF =∠F ，证出AD 是EF 的垂直平分线，则AE =AF ，由等腰三角形的性质得∠E =∠F ，证出∠ABC =∠ACB ，即可得出AB =AC ．如图②，在DA 的延长线上取点M ，使AM =AB ，在BC 的延长线上取点N ，使CN =CD ，连接BM 、DN ，先证四边形MBND 是平行四边形，得MB =ND ，∠M =∠N ，再证△ABM≌△CDN(ASA)，得AM =CN ，证出AD =BC ，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23.【答案】解：(1)设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数关系式为：y =kx +b ，根据题意，得：{3k +b =02k +b =36，解得：{k =−36b =108， 所以解析式为：y =−36x +108；(2)把x =0代入解析式，可得y =108，所以甲、乙两地的距离为108千米．【解析】(1)根据图象设出解析式后，再应用待定系数法求解析式即可；(2)根据所求的解析式，代入数值计算即可．此题考查一次函数的应用，关键是根据待定系数法求解析式．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =1．所以不论m 为何值，函数y =mx 2−6x +1的图象都经过y 轴上一个定点(0,1)；(2)①当m =0时，函数y =mx 2−6x +1的图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时，若函数y =mx 2−6x +1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx 2−6x +1=0有两个相等的实数根，所以△=(−6)2−4m =0，m =9．综上，若函数y =mx 2−6x +1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．【解析】(1)根据解析式可知，当x =0时，与m 值无关，故可知不论m 为何值，函数y =mx 2−6x +1的图象都经过y 轴上一个定点(0,1)．(2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x 轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．此题考查了抛物线与x 轴的交点或一次函数与x 轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．25.【答案】(1)证明：如图，连接EF ，∵∠BAC =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴OA =OE ，∴∠BAD =∠AEO ，∵点D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴AD =BD ，∴∠B =∠BAD ，∴∠AEO =∠B ，∴OE//BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，根据勾股定理得，AE=√EF2−AF2=8，由(1)知OE//BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【解析】(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF//BC是解本题的关键．26.【答案】CE=2ADsinα2【解析】(1)CE=AD，理由为：证明：连接BC，BE，如图1所示，∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=60°，∴△ABC与△BDE都为等边三角形，∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，DB=BE，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中，∵{AB=CB∠ABD=∠CBE DB=EB，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴CE=AD；(2)CE=√3AD，理由为：连接BC、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，如图2所示，∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=120°，∴△ABC与△DBE为相似的等腰三角形，即∠ABC=∠DBE=30°，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，且ABBC =BDBE，∴△ABD∽△CBE，∴CEAD =BCAB，在Rt△ABF中，由∠ABF=30°，得到∠BAF=60°，∴BCAB =2BFAB=2sin60°=√3，∴CEAD=√3，即CE=√3AD；(3)CE=2ADsinα2.理由为：连接BC、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，如图3所示，∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α，∴△ABC与△DBE为相似的等腰三角形，即∠ABC=∠DBE=180°−α2=90°−α2，∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，且ABBC =BDBE，∴△ABD∽△CBE，∴CEAD =BCAB，在Rt△ABF中，由∠ABF=180°−α2=90°−α2，得到∠BAF=α2，∴BCAB =2BFAB=2sinα2，∴CEAD =2sinα2，即CE=2ADsinα2．故答案为：CE=2ADsinα2．(1)CE=AD，理由为：连接BC，BE，如图1所示，当α=60°，由题意得到三角形ABC 与三角形DBE都为等边三角形，可得出AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=60°，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形CBE 全等，由全等三角形的对应边相等可得证；(2)CE =√3AD ，理由为：连接BE ，BC ，过A 作AF 垂直于BC 于F 点，如图2所示，由题意得到三角形ABC 与三角形DBE 都为等腰三角形，且两三角形相似，可得出两三角形的底角相等，且得出比例式，由底角相等利用等式的性质得到一对角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ABD 与三角形CBE 相似，由相似得出比例式，再由直角三角形ABF 中三角形ABC 的底角度数求出∠BAF 的度数，利用锐角三角形函数定义表示出sin60°，利用特殊角的三角函数值及得出的比例式，变形后即可得证；(3)由(1)(2)得出的结论，以此类推，即可得到线段CE 与AD 的数量关系．此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．27.【答案】π2 32π【解析】解：(1)①MN ⏜的长=90⋅π⋅1180=π2． 如图1−1中，MN⏜即为所求．②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MN⏜即为最长的弧优弧MN ⏜的长=270⋅π⋅1180=32π， 故答案为：①π2；②32π.(2)如图2中，∵OM =2，∠AOB =60°，∴M(1,√3)，当MN 1⊥OB 时，可得ON 1=1，此时t =1，当MN 2⊥OM 时，可得ON 2=4，此时t =4，观察图象可知满足条件的t 的值为1≤t ≤4．(3)如图3中，当MN 为直径，且NM ⊥AB 时，∠AOB 的值最大，在Rt △OMN 中，∵sin∠AOB =MN ON =24=12， ∴∠AOB =30°， 观察图形可知满足条件的∠AOB 的值为0°<∠AOB ≤30°．(1)①利用弧长公式计算即可．如图1−1中，作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得劣弧MN⏜． ②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MN⏜即为最长的弧． (2)求出两种特殊情形ON 的长即可判断．(3)如图3中，当MN 为直径，且NM ⊥AB 时，∠AOB 的值最大，求出∠AOB 的最大值即可．本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
2020年江苏省南京市中考数学二模试卷
2020年江苏省南京市中考数学二模试卷一、单选题1．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．不存在2．已知点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，则点Q 一定在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若不等式组12x x k<⎧⎨>⎩有解，则k 的取值范围是( )A ．2k <B ．2kC ．1k <D ．12k <4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,1)和点(3,0)．关于这个二次函数的描述：①0a <，0b >，0c <；②当2x =时，y 的值等于1；③当3x >时，y 的值小于0．正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．计算99399-的结果更接近( ) A ．999B ．989C ．969D ．3396．如图，点P 是O 外任意一点，PM 、PN 分别是O 的切线，M 、N 是切点．设OP 与O 交于点K ．则点K 是PMN ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点二、填空题7．8-的立方根是 ． 8．计算：232()x y-= ．9．因式分解：32a ab -= ．10．如图，O 的半径为2，点A ，B 在O 上，90AOB ∠=︒，则阴影部分的面积为 ．11．直线12y x =与双曲线k y x =在第一象限的交点为(,1)a ，则k = ．12．已知方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ，若121x x +=，则12x x = ．13．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕图中某点顺时针旋转90︒得到，则旋转中心应该是 点．14．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，22AB =，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则DF 的长为 ．15．平面直角坐标系中，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O 的坐标是 ．16．定点O 、P 的距离是5，以点O 为圆心，一定的长为半径画圆O ，过点P 作O 的两条切线，切点分别是B 、C ，则线段BC 的最大值是 ． 三、解答题17．先化简，再求值：22212212x x xxx x x--+÷-+-，其中3x=．18．（1）解不等式1132x x--，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同．（1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为．（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．游戏规则让小明先从箱子中随机摸取个小球，记下颜色后放回箱子，摇匀后再让小贝随机摸取一个小球，记下颜色，若两人所摸小球的颜色相同，则小明胜：反之，则小贝胜你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？21．如图，等腰三角形ABC中，AB AC=．（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）（2）若30B∠=︒，求证：AB与（1）中所作O相切．22．现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式； ②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本）23．某长方体包装盒的表面积为2146cm ，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．24．如图，已知30ABM ∠=︒，20AB =，C 是射线BM 上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是 ；（填写所有符合条件的序号）①13AC =；②12tan 5ACB ∠=；③ABC ∆的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC 的长．25．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件)与售价x （元)的相关信息如下： 售价x （元) 60 70 80 90 ⋯ 销售量y （件)280260240220⋯（1）试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式； （2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？26．（1）如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =，在BC 边上是否存在点P ，使90APD ∠=︒，若存在，请用直尺和圆规作出点P 并求出BP 的长．（保留作图痕迹） （2）如图②，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，当6AD =时，BC 边上是否存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8CA =，6CB =，动点P 从C 出发沿CA 方向，以每秒1个单位长度的速度向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原来速度沿AC 返回；同时动点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度向点B 匀速运动，当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒(0)t >．（1）当t 为何值时，//PQ CB ？（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，在CB 上是否存在点E 使CEP ∆与PQA ∆全等？若存在，求出CE 的长；若不存在，请说明理由；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线DF 交PQ 于点D ，交折线QB BC CP --于点F ．当DF 经过点C 时，求出t 的值．2020年江苏省南京市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单选题1．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a ，b ，c 三个数的和为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．不存在【分析】先根据自然数，整数，有理数的概念分析出a ，b ，c 的值，再进行计算． 【解答】解：最小的自然数是0，最大的负整数是1-，绝对值最小的有理数是0， 0(1)01a b c ∴++=+-+=-．故选：A ．【点评】此题的关键是知道最小的自然数是0，最大的负整数是1-，绝对值最小的有理数是0．2．已知点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，则点Q 一定在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可． 【解答】解：点2(1,1)P m -+与点Q 关于原点对称，2(1,1)Q m ∴--，∴点Q 一定在第四象限，故选：D ．【点评】本题考查了关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键．3．若不等式组12x x k <⎧⎨>⎩有解，则k 的取值范围是( )A ．2k <B ．2kC ．1k <D ．12k <【分析】根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，k 的值必须小于2．【解答】解：因为不等式组12x x k <⎧⎨>⎩有解，根据口诀可知k 只要小于2即可．故选：A ．【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，解集也是2x >，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,1)和点(3,0)．关于这个二次函数的描述：①0a <，0b >，0c <；②当2x =时，y 的值等于1；③当3x >时，y 的值小于0．正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①如图所示，抛物线开口方向向下，则0a <． 对称轴在y 轴的右侧，则a 、b 异号，即0b >． 抛物线与y 轴交于负半轴，则0b <． 综上所述，0a <，0b >，0c <． 故①正确；②抛物线与x 轴另一交点横坐标01x <<，∴抛物线的顶点横坐标322x <<． 抛物线开口向下，且过点(1,1)，∴点(1,1)关于对称轴对称的点的横坐标大于2， ∴当2x =时，y 的值大于1，故②错误；③观察函数图象，可知：当3x >时，y 的值小于0，故③正确； 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5．计算99399-的结果更接近( ) A ．999B ．989C ．969D ．339【分析】根据因式分解解答即可． 【解答】解：99339699999(91)9-=-≈， 故选：A ．【点评】此题考查因式分解，关键是根据提公因式法解答．6．如图，点P 是O 外任意一点，PM 、PN 分别是O 的切线，M 、N 是切点．设OP 与O 交于点K ．则点K 是PMN ∆的( )A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三个角的角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点【分析】连接OM 、ON 、MK 、NK ，根据切线长定理得出PM PN =，易证得POM PON ∆≅∆，得出OP 是MPN ∠的平分线，然后根据圆周角定理证得12PMK MOK ∠=∠，12PNK NOK ∠=∠，12NMK NOK ∠=∠，12MNK MOK ∠=∠，即可证得PMK NMK PNK MNK ∠=∠=∠=∠，从而证得结论． 【解答】解：连接OM 、ON 、MK 、NK ，PM 、PN 分别是O 的切线，PM PN ∴=，PMN PNM ∴∠=∠，OM ON =易证POM PON ∆≅∆， OP ∴是MPN ∠的平分线，由圆周角定理可得12PMK MOK ∠=∠，12PNK NOK ∠=∠，12NMK NOK ∠=∠，12MNK MOK ∠=∠，PMK NMK PNK MNK ∴∠=∠=∠=∠，∴点K 是PMN ∆的三个角的角平分线的交点，故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题7．8-的立方根是 2- ．【分析】利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：3(2)8-=-， 8∴-的立方根是2-．故答案为：2-．【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于3()a x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．8．计算：232()x y -= 638x y- ．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：263328()x x y y -=-．故答案为：638x y-．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 9．因式分解：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【分析】观察原式32a ab -，找到公因式a ，提出公因式后发现22a b -是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：3222()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式． 本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．10．如图，O 的半径为2，点A ，B 在O 上，90AOB ∠=︒，则阴影部分的面积为 2π- ．【分析】根据90AOB ∠=︒，OA OB =可知OAB ∆是等腰直角三角形，根据OAB OAB S S S ∆=-阴影扇形即可得出结论． 【解答】解：90AOB ∠=︒，OA OB =， OAB ∴∆是等腰直角三角形． 2OA =，290212223602OABOAB S S S ππ∆⋅∴=-=-⨯⨯=-阴影扇形．故答案为2π-．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 11．直线12y x =与双曲线k y x =在第一象限的交点为(,1)a ，则k = 2 ．【分析】先把(,1)a 代入12y x =中求出a 得到交点坐标，然后把交点坐标代入k y x =中可求出k 的值．【解答】解：把(,1)a 代入12y x =得112a =，解得2a =，把(2,1)代入ky x=得212a =⨯=． 故答案为2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．12．已知方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ，若121x x +=，则12x x = 3- ． 【分析】根据根与系数的关系结合121x x +=，可求出m 的值，再将其代入123x x m =-中即可求出结论．【解答】解：方程230x mx m --=的两根是1x 、2x ， 12x x m ∴+=，123x x m =-，又121x x +=，1m ∴=，1233x x m ∴=-=-．故答案为：3-．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -、两根之积等于ca是解题的关键．13．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕图中某点顺时针旋转90︒得到，则旋转中心应该是 M 点．【分析】根据以M 为旋转中心，把正方形ABCD 顺时针旋转90︒解答即可．【解答】解：若以M 为旋转中心，把正方形ABCD 顺时针旋转90︒，A 点对应点为H ，B 点对应点为E ，C 点对应点为F ，D 点对应点为G ，则可得到正方形EFGH ． 故答案为：M【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．14．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，22AB =A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则DF 的长为32π．【分析】连接AE ，根据圆的切线的性质可得AE BC ⊥，解Rt AEB ∆可求出ABE ∠，进而得到DAB ∠，然后运用弧长公式就可求出DF 的长度． 【解答】解：连接AE ，如图，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，AE BC ∴⊥，2AE AD ==．在Rt AEB ∆中， 22sin 222AE ABE AB ∠===， 45ABE ∴∠=︒． //AD BC ，180DAB ABE ∴∠+∠=︒， 135DAB ∴∠=︒，∴DF 的长度为135231802ππ⨯=； 故答案为：32π．【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质和等腰直角三角形的判定、特殊三角函数值，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径和同圆的半径相等是关键．15．平面直角坐标系中，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O 的坐标是 96(25，72)25 ．【分析】由直线的解析式求得A 、B 的坐标，设1O O 与直线443y x =-+的交点为D ，作1O E x ⊥轴于E ，根据题意1OO AB ⊥，根据三角形面积公式求得OD 的长，即可求得1OO 的长，然后通过三角形相似求得OE 的长，进一步根据勾股定理求得1O E 的长，即可求得对称点1O 的坐标．【解答】解：如图，原点O 关于直线443y x =-+对称点1O ，1OO AB ∴⊥，设1O O 与直线443y x =-+的交点为D ，作1O E x ⊥轴于E ，由直线443y x =-+可知(3,0)A ，(0,4)B ，3OA ∴=，4OB =， 5AB ∴=，1122AOB S OA OB AB OD ∆==，125OA OB OD AB ∴==， 1245OO ∴=， 190ADO O EO ∠=∠=︒，1AOD EOO ∠=∠，AOD ∴∆∽△1O OE ，∴1OO OEOA OD=，即2451235OE =，9625OE ∴=， 17225O E ∴， ∴点1O 的坐标是96(25，72)25， 故答案为96(25，72)25．【点评】本题考查了坐标和图形变化-对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键．16．定点O 、P 的距离是5，以点O 为圆心，一定的长为半径画圆O ，过点P 作O 的两条切线，切点分别是B 、C ，则线段BC 的最大值是 5 ．【分析】首先说明点C 、B 在以OP 为直径的圆上，根据直径是圆中最长的弦，即可解决问题．【解答】解：PC 、PB 是O 的切线， 90PCO PBO ∴∠=∠=︒，∴点C 、B 在以OP 为直径的圆上，BC 是这个圆的弦，∴当5BC OP ==时，BC 的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．【点评】本题考查切线的性质、直径的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题17．先化简，再求值：22212212x x xx x x x --+÷-+-，其中3x =． 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式2(1)(1)(2)1121(1)211x x x x x xx x x x x +--+=+=+=----，当3x =时，原式4633131==--．【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．18．（1）解不等式1132x x --，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）若关于x 的一元一次不等式x a 只有3个负整数解，则a 的取值范围是 43a -<- ． 【分析】（1）①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1，据此解不等式1132x x --，并把它的解集在数轴上表示出来即可． （2）根据关于x 的一元一次不等式x a 的3个负整数解只能是3-、2-、1-，求出a 的取值范围即可．【解答】解：（1）23(1)6x x --，2336x x ∴-+，解得3x -，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）关于x 的一元一次不等式x a 只有3个负整数解，∴关于x 的一元一次不等式x a 的3个负整数解只能是3-、2-、1-，a ∴的取值范围是：43a -<-．故答案为：43a -<-．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．19．一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同． （1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为14．（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．游戏规则让小明先从箱子中随机摸取个小球，记下颜色后放回箱子，摇匀后再让小贝随机摸取一个小球，记下颜色，若两人所摸小球的颜色相同，则小明胜：反之，则小贝胜你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）依据箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，从中随机摸取1个球，可得摸到黑球的概率为14；（2）共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，据此可得小贝胜的可能性大，故这个游戏不公平．【解答】解：（1）箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图：共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，∴两人所摸小球的颜色相同的概率为63168=，两人所摸小球的颜色不同的概率为105168=，∴小贝胜的可能性大，∴这个游戏不公平．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．20．某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？【分析】设甲机器每小时加工零件x个，则乙机器每小时加工零件(36)x-个，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲机器每小时加工零件x个，则乙机器每小时加工零件(36)x-个，根据题意得：8010036x x=-，解得：16x=，经检验，16x=是原方程的解，36361620x∴-=-=．答：甲机器每小时加工零件16个，乙机器每小时加工零件20个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21．如图，等腰三角形ABC中，AB AC=．（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）（2）若30B∠=︒，求证：AB与（1）中所作O相切．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于O，以O为圆心，OC为半径作O即可；（2）只要证明AB OA⊥即可；【解答】（1）解：如图O即为所求．（2）证明：AB AC=，30B C ∴∠=∠=︒OA OC =， 30OAC C ∴∠=∠=︒， 60AOB OAC C ∴∠=∠+∠=︒， 90ABO AOB ∴∠+∠=︒， 90BAO ∴∠=︒， AB OA ∴⊥，AB ∴是O 的切线．【点评】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、切线的判定、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元． （1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a 箱、b 箱，求a ，b 的值；（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x 箱，其余的按每箱35元全部售完． ①求商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式； ②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入-进货总成本）【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以解答本题； （2）①根据题意可以得到y 与x 的函数关系式；②由题意可知，若不亏本，则所获取利润不小于0，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， 405070040a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得，1030a b =⎧⎨=⎩，即a ，b 的值分别是10，30；（2）①由题意可得，6035(40)1050304025300y x x x =+--⨯-⨯=-，即商店销售完全部草莓所获利润y （元)与x （箱)之间的函数关系式是25300y x =-； ②商店要不亏本，则0y ，253000x ∴-，解得，12x ，答：当x 的值至少为12时，商店才不会亏本．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答．23．某长方体包装盒的表面积为2146cm ，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．【分析】分别表示出长方体的各侧面面积，进而得出等式求出答案．【解答】解：设高为x cm ，则长为(132)x cm -，宽为1(142)2x cm -．由题意，得11[(132)(142)(142)(132)]214622x x x x x x --+-+-⨯=，解得：12x =，29x =-（舍去），∴长为：9cm ，宽为：5cm ．长方体的体积为：395290cm ⨯⨯=，答：这个包装盒的体积为390cm ．【点评】此题主要考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，正确表示出长方体的侧面积是解题关键．24．如图，已知30ABM ∠=︒，20AB =，C 是射线BM 上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是 ②③ ；（填写所有符合条件的序号）①13AC =；②12tan 5ACB ∠=；③ABC ∆的面积为126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC 的长．【分析】（1）根据AC 的长大于点A 到直线的距离可判断①，利用AAS 可判断②，根据平行线间的距离可判断③；（2）②：先求得cos 103BD AB B ==，再求得25tan 6AD CD ACB ==∠即可；③：作CE AB ⊥，根据面积得出12.6CE =，由sin CEBC B=可得答案．【解答】解：（1）①以点A 为圆心、13为半径画圆，与BM 有两个交点，不唯一；②由12tan 5ACB ∠=知ACB ∠的大小确定，在ABC ∆中，ACB ∠、B ∠及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AC 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的； 故答案为：②③；（2）方案一：选② 作AD BC ⊥于D ，则90ADB ADC ∠=∠=︒． 在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，sin 10AD AB B ∴==，cos 103BD AB B == 在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，25tan 6AD CD ACB ∴==∠．256BC BD CD ∴=+=． 方案二：选③，作CE AB ⊥于E ，则90BEC ∠=︒． 由12ABC S AB CE ∆=得12.6CE =． 在Rt BEC ∆中，90BEC ∠=︒，25.2sin CEBC B∴==． 【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 25．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件)与售价x （元)的相关信息如下：（1）试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是 一次函数 （填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式； （2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）由x 的值每增加10元时，y 的值均减小20件知这个函数为一次函数，待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单件利润⨯销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式依据二次函数的性质是解题的关键．【解答】解：（1）由表可知，x 的值每增加10元时，y 的值均减小20件， 据此可知y 与x 的函数关系为一次函数， 设该一次函数为y k = x b +， 代入(60,280)和(70,260)，得：6028070260k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2400k b =-⎧⎨=⎩，2400y x ∴=-+，将(80,240)，(90,220)代入上式等式成立； 故答案为：一次函数．（2）设月利润为w 元，则2(40)(40)(2400)2(120)12800w x y x x x =-=--+=--+，20-<，∴当120x =时，w 有最大值12800，答：当售价定为120元时，利润最大，最大值为12800元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出函数解析式是解题的关键．26．（1）如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =，在BC 边上是否存在点P ，使90APD ∠=︒，若存在，请用直尺和圆规作出点P 并求出BP 的长．（保留作图痕迹） （2）如图②，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，当6AD =时，BC 边上是否存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．【分析】（1）以AB 为直径作圆，交BC 于1P ，2P ，点1P 、2P 为所求的点； （2）如图②中，因为EF 分别为AB 、AC 的中点，推出//EF BC ，162EF BC ==，因为6AD =，AD BC ⊥，推出EF 与BC 间距离为3，推出以EF 为直径的O 与BC 相切，推出BC 上符合条件的点Q 只有一个，记O 与BC 相切于点Q ，连接OQ ，过点E 作EG BC ⊥，垂足为G ，想办法求出BQ 即可；【解答】解：（1）如图①所示，点1P 、2P 为所求的点；在矩形ABCD 中，连接1AP 、1DP ，10AD BC ==，4AB CD ==， 设1BP x =，则110PC x =-， 190APD ∠=︒， 1190APB CPD ∴∠+∠=︒， 1190BAP APB ∠+∠=︒， 11BAP CPD ∴∠=∠， 又90B C ∠=∠=︒， 1ABP ∴∆∽△1PCD ， ∴11BPAB PC CD =， ∴4104xx =-， 解得：12x =，28x =，BP ∴的长是2或8．（2）如图②中，EF 分别为AB 、AC 的中点， //EF BC ∴，162EF BC ==， 6AD =，AD BC ⊥，EF ∴与BC 间距离为3，∴以EF 为直径的O 与BC 相切，BC ∴上符合条件的点Q 只有一个，记O 与BC 相切于点Q ，连接OQ ，过点E 作EG BC ⊥，垂足为G ，3EG OE ∴==，∴四边形EOQG 为正方形，在Rt EBG ∆中，60B ∠=︒，3EG =， 3BG ∴=，33BQ ∴=+．【点评】本题考查作图-复杂作图、直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8CA =，6CB =，动点P 从C 出发沿CA 方向，以每秒1个单位长度的速度向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原来速度沿AC 返回；同时动点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度向点B 匀速运动，当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒(0)t >．（1）当t 为何值时，//PQ CB ？（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，在CB 上是否存在点E 使CEP ∆与PQA ∆全等？若存在，求出CE 的长；若不存在，请说明理由；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线DF 交PQ 于点D ，交折线QB BC CP --于点F ．当DF 经过点C 时，求出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可； （2）根据全等三角形的性质得到90PQA ∠=︒，根据相似三角形的性质求出PE ，根据勾股定理计算；（3）分P 由C 向A 运动和P 由A 向C 运动两种情况，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算．【解答】解：（1）如图1，CP AQ t ==，则8AP t =-， 在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得10AB =， //PQ CB ，∴AP AQAC AB=，即8810t t -=， 解得，409t =， ∴当409t =时，//PQ CB ； （2）存在，如图2，由题意可知CP AQ t ==，又90PCE ∠=︒， 要使CEP ∆与PQA ∆全等，只有90PQA ∠=︒这一种情况， 此时CE PQ =，PE AP =， PQA BCA ∆∆∽，∴AP AQ AB AC =，即8108t t-=，解得，329t =， 则4089PE AP t ==-=， 在Rt PCE ∆中，由勾股定理可得83CE =；（3）①当P 由C 向A 运动时，CQ CP AQ t ===， QCA QAC ∴∠=∠， QCB QBC ∴∠=∠， CQ BQ t ∴==， 12BQ AQ AB ∴==， 即2AB t =， 解得5t =；②如图3，当P 由A 向C 运动时，过Q 作QG CB ⊥交CB 于点G ， 16CQ CP t ==-，10BQ t =-，则BQ GQ BA CA =，即10108t GQ-=， 解得，4(10)5GQ t =-，同理可求得3(10)5BG t =-，36(10)5GC t ∴=--，在Rt CGQ ∆中，由勾股定理可得：222CG GQ CQ +=， 即22234[6(10)][(10)](16)55t t t --+-=-，解得10t =，综上可知满足条件的t 的值为5和10．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
2020年南京市鼓楼区中考数学二模试卷(有答案)
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x 1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt△DPC中，PC===2．。
2020届南京市鼓楼区中考数学二模试卷(有答案)
江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．_._在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt △DPC中，PC===2．_._。
2020年南京市联合体中考数学二模试卷含答案
2020年中考模拟试卷（二）数 学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．|－2|的值是（ ▲ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．－122．已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm ，用科学计数法表示这个数为（ ▲ ）A ．8.9×10－５B ．8.9×10－４C ．8.9×10－３D ．8.9×10－２3．计算a 3·(－a )2的结果是（ ▲ ）A ．a 5B ．－a 5C ．a 6D ．－a 64．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是－1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则点E 表示的实数是（ ▲ ） A ． 5 ＋1 B ． 5 －1C ． 5D ． 1－ 55．已知一次函数y ＝ax －x －a ＋1(a 为常数)，则其函数图象一定过象限 （ ▲ ）A ．一、二B ．二、三C ．三、四D ．一、四6. 在△ABC 中， AB ＝3，AC ＝2．当∠B 最大时，BC 的长是 （ ▲ ） A ．1B ．5C ．13D ．5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在试卷相应位置．．．．．．上） 7．计算： ( 13 )﹣2＋(3＋1)0＝ ▲ ．8．因式分解：a 3－4a ＝ ▲ ． 9．计算：3－33＝ ▲ ．10．函数y ＝x －12中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 11..则这段时间内这两种品牌冰箱月销售量较稳定的是 ▲ （填“A ”或“B ”）.(第４题)12．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为 ▲ °.13．已知m 、n 是一元二次方程ax 2–2x ＋3＝０的两个根，若m ＋n ＝2，则mn ＝ ▲ ． 14．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少7个.设计划做x 个中国结，可列方程 ▲ ．15. 如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为23，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与自变量x 的部分对应值如下表：现给出下列说法：①该函数开口向下． ②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y 轴的直线． ③当x ＝2时，y ＝3． ④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为 ▲ ．（只需写出序号）三、解答题（本大题共12小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （6分）解不等式：1－2x －13 ≥ 1－x2，并写出它的所有正整数解．．．．. 18．（6分）化简：x －3x －2 ÷（ x ＋2－5x －2）.19.（8分）（1）解方程组 ⎩⎨⎧y ＝x ＋1，3x －2y ＝－1；（2）请运用解二元一次方程组的思想方法解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x ＋y 2＝3．（第11题）（第15题）20．（8分）网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次抽样调查中共调查了 ▲ 人，并请补全条形统计图； （2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 ▲ 度；（3）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙； （2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙.22.（8分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．（1）求证：ABE AD F '△≌△；（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．全国12-35岁的网瘾人群分布条形统计图人数全国12-35岁的网瘾人群分布扇形统计图ADBE CD 'F(第22题)23.（8分)如图，两棵大树AB 、CD ，它们根部的距离AC ＝4m ，小强沿着正对这两棵树的方向前进. 如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m ，小强在P 处时测得B 的仰角为20.3°，当小强前进5m 达到Q 处时，视线恰好经过两棵树的顶端Ｂ和D ，此时仰角为36.42°. （1） 求大树AB 的高度； （2） 求大树CD 的高度.（参考数据：sin20.3°≈0.35，cos20.3°≈0.94，tan20.3°≈0.37；sin36.42°≈0.59，cos36.42°≈0.80，tan36.42°≈0.74）24.（10分）把一根长80cm 的铁丝分成两个部分，分别围成两个正方形. （1）能否使所围的两个正方形的面积和为250cm 2，并说明理由； （2）能否使所围的两个正方形的面积和为180cm 2，并说明理由； （3）怎么分，使围成两个正方形的面积和最小？25. （9分）如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于点A 、B ，AB ＝2 5 ， （１）求k 的值；（２）若反比例函数y ＝kx的图象上存在一点C ，则当△ABC 为直角三角形，请直接写出点C 的坐标．(第23题)ABPE DCQFHGxyO AB(第25题)26.（9分）如图，在⊙O 的内接四边形ACDB 中，AB 为直径，AC ：BC ＝1：2，点D 为弧AB 的中点，BE ⊥CD 垂足为E. （1）求∠BCE 的度数；（2）求证：D 为CE 的中点；（3）连接OE 交BC 于点F ，若AB ＝10 ，求OE27.（88分）在△ABC 中，用直尺和圆规．．．．．作图（保留作图痕迹）． （1）如图①，在AC 上作点D ，使DB +DC ＝AC .（2）如图②，作△BCE ，使∠BEC ＝∠BAC ，CE ＝BE ；（3）如图③，已知线段a ，作△BCF ，使∠BFC ＝∠A ，BF ＋CF ＝a .（图1） A C B（图2） A C B图ACBa（第26题）B2020年中考模拟试卷（二） 数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．10 8．a （a ＋2）（a －2） 9．3－1 10．x ≥ 1 11．A12. 35° 13. 3 14.x +96 = x —7415．123 16．①③④ 三、解答题（本大题共12小题，共计88分） 17. （6分）解：去分母，得：6－2(2x ＋1)≥3(1－x )……………………………2分去括号，得：6－4x ＋2≥3－3 x ……………………………3分移项，合并同类项得：－x ≥－5 ……………………………4分 系数化成1得：x ≤5. ……………………………5分 它的所有正整数解1，2，3，4，5. ……………………………6分18．（6分）解：原式＝x －3x －2 ÷（ x 2－4x －2－5x －2 ）……………………………………………………2分＝x －3x －2 ÷ x 2－9x －2……………………………………………3分＝x －3x －2 × x －2x 2－9 ……………………………………………4分 ＝x －3x －2 × x －2（x －3）（x ＋3） ……………………………………………5分 ＝1x ＋3……………………………………………6分 19．（8分）解：（1）将①代入②，得 3x －2(x ＋1)＝－1．解这个方程，得x ＝1． ………………………………………………………1分 将x ＝1代入①，得y ＝2 . ……………………………………………………2分所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2．…………………………………………………3分（2）由①，得x ＝1－y ．③…………………………………………………1分 将③代入②，得1－y ＋y 2＝3． ……………………………………………2分解这个方程，得y 1＝2，y 2＝－1． …………………………………………4分 将y 1＝2，y 2＝－1分别代入③，得x 1＝－1，x 2＝2．所以原方程组的解是⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝－1．……………………………5分20．（8分）解：（1）1500，（图略）；（每个2分）） ……………………………4分（2）108° ……………………………6分 （3）万人1000%502000=⨯ ……………………………8分 21．（8分）解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是13；………………………………………3分（2）恰好选中班长和副班长的概率是16.……………………………………………8分(树状图或列表或枚举列出所有等可能结果3分，强调等可能1分，得出概率1分) 22. （8分）（1）三角形全等的条件一个1分，结论1分 …………………4分 （2）四边形AECF 是菱形 …………………5分证明： …………………8分 (证出平行四边形1分，证出邻边相等1分，结论1分 ) 23. （8分)（1）解：在Rt △BEG 中，BG ＝EG ×tan ∠BEG ……………………1分在Rt △BFG 中，BG ＝FG ×tan ∠BFG ……………………2分 设FG ＝x 米，（x ＋5）0.37＝0.74x ,解得x ＝5， ……………………3分 BG ＝FG ×tan ∠BFG ＝0.74×5＝3.7 ……………………4分 AB ＝AG ＋BG ＝3.7＋1.6＝5.3米 ……………………5分 答：大树AB 的高度为5.3米.（2）在Rt △DFG 中，DH ＝FH ×tan ∠DFG ＝(5＋4)×0.74＝6.66米 ………………7分 CD ＝DH ＋HC ＝6.66＋1.6＝8.26米 ……………………8分 答：大树CD 的高度为8.26米.24. (10分)解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为（20－x ）cm ，由题意得： x 2＋（20－x ）2＝250 ………2分 解得x 1＝5，x 2＝15. ………3分 当x ＝5时，4x ＝20，4（20－x ）＝60；当x ＝15时，4x ＝60，4（20－x ）＝20.答：能，长度分别为20cm 与60cm. ………4分（2）x 2＋（20－x ）2＝180整理：x 2－20x ＋110＝0， ………5分 ∵b 2－4ac ＝400－440＝﹣40＜0， ………6分 ∴此方程无解，即不能围成两个正方形的面积和为180cm 2 ………7分 （3）设所围面积和为y cm 2，y ＝x 2＋（20－x ）2 ………8分＝2 x 2－40x ＋400＝2（ x －10）2＋200 …………………9分 当x ＝10时，y 最小为200. 4x ＝40，4（20－x ）＝40.答：分成40cm 与40cm ，使围成两个正方形的面积和最小为200 cm 2. …10分 25. （9分）解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，由题意可知点A 与点B 关于点O 中心对称，且AB ＝2 5 …………………1分 ∴OA ＝OB ＝ 5 ， ………………2分 设点A 的坐标为（a ，2a ），在Rt △OAD 中，∠ADO ＝90°，由勾股定理得：a 2＋（2a ）2＝（ 5 ）2………………3分解得a ＝1 ………………4分∴点A 的坐标为（1，2），把A （1，2）代入y ＝kx ，解得k ＝2，………………5分（2） （2，1）（﹣2，﹣1）（4，12）（﹣4，﹣12）………………9分（每个1分）（反比例函数对称性、用相似或勾股定理）26. （9分）（1）连接AD ，∵D 为弧AB 的中点，∴AD ＝BD ， .…………………1分 ∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°.…………………2分 ∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°，∴∠DCB ＝∠DAB ＝45°.…………………3分（2）∵BE ⊥CD ，又∵∠ECB ＝45° ∴∠CBE ＝45°，∴CE ＝BE ，∵四边形ACDB 是圆O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BDC ＝180°，又∵∠BDE ＋∠B D C ＝180° ∴∠A ＝∠BD …………………4分又∵∠ACB ＝∠BED ＝90°， ∴△ABC ∽△DBE ， …………………5分 ∴DE :AC ＝BE ：BC ，∴D E:B E ＝AC ：BC ＝1:2，又∵CE ＝BE ，∴DE :CE ＝1:2，∴D 为CE 的中点. …………………6分（3）连接CO ，∵CO ＝BO ，CE ＝BE ， ∴OE 垂直平分BC ，∴F 为OE 中点，B（第26题）又∵O 为BC 中点，∴OF 为△ABC 的中位线，∴OF ＝12AC ， …………………7分∵∠BEC ＝90°，EF 为中线，∴EF ＝12BC ， …………………8分在Rt △ACB 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∵AC :BC ＝1:2,AB ＝10 ，∴AC ＝ 2 ，BC ＝2 2 ， ∴OE ＝OF ＋EF ＝1.5 2 …………………9分 27.（8分）（1）作图正确 …………………3分（2）作图正确…………………6分说明：（即△ABC 的外接圆和线段BC 的中垂线的交点）（3）作图正确 (只要做出一个即可)…………………8分 说明：(按照（1）（2）的方法找到点E ，再以点E 为圆心，以EC 或EB 长为半径做圆，再以点B 为圆心，a 长为半径作圆，两圆的交点为点H ，再连接BH ，交△ABC 的外接圆于点F,则点F 为所求。
江苏省南京市鼓楼区2020届中考数学二模试卷（含解析）
江苏省南京市⿎楼区2020届中考数学⼆模试卷（含解析）江苏省南京市⿎楼区2020届中考数学⼆模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共12.0分）1.计算(?1)2?(?1)3=()A. ?2B. ?1C. 0D. 22.下列式⼦中，是不等式的有()①2x=7；②3x+4y；③?3<2；④2a?3≥0；⑤x>1；⑥a?b>1．A. 5个B. 4个C. 3个D. 1个3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似⽐为3：4，则△ABC与△DEF的⾯积⽐为()A. 4：3B. 3：4C. 16：9D. 9：164.今年百⾊市九年级参加中考⼈数约有38900⼈，数据38900⽤科学记数法表⽰为()A. 3.89×102B. 389×102C. 3.89×104D. 3.89×1055.甲、⼄两名同学进⾏登⼭⽐赛，甲同学和⼄同学沿相同的路线同时在早8：00从⼭脚出发前往⼭顶，甲同学到达⼭顶后休息1⼩时，沿原路以每⼩时6千⽶的速度下⼭，在这⼀过程中，各⾃⾏进的路程随所⽤时间变化的图象如图所⽰，根据提供信息得出以下四个结论：①甲同学从⼭脚到达⼭顶的路程为12千⽶；②⼄同学登⼭共⽤4⼩时；③甲同学在14：00返回⼭脚；④甲同学返回与⼄同学相遇时，⼄同学距登到⼭顶还有1.4千⽶的路程．以上四个结论正确的有()个A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是AB上⼀个动点，则OP的最⼩值为()A. 2B. 3C. 4D. 5⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，共20.0分）7.0.25的平⽅根是______，?64的⽴⽅根是______8.分式3x?2，当x=______ 时⽆意义．2x+3=_________；9.化简：(1)√5?√3=________．(2)|√3?2√2|10.已知关于x的⽅程x2+kx+3=0的⼀个根是?1，则k=_____．11.边长分别为6、8、10的三⾓形的内切圆半径是______，外接圆半径是______．12.如图，四边形ABCD内接于⊙，已知∠ADC=135°，则∠AOC的度数是____________．13.在数轴上表⽰数m的点到原点的距离为2，则m+1=__________．14.⼩明把⼀副含45°，30°的直⾓三⾓板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于______．15.已知反⽐例函数y=m与⼀次函数y=2x+m的图象的⼀个交点的横坐标是?4，则m的值是x______ ．16.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，若把直⾓三⾓形绕边AB所在直线旋转⼀周，则所得⼏何体的表⾯积为______ ．三、解答题（本⼤题共11⼩题，共88.0分）17.已知(2012?a)?(2010?a)=2011，求(2012?a)2+(2010?a)2的值．18.解⽅程：16x2?4+1x+2=x+2x?219.如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线．(1)求证：四边形EFGH为平⾏四边形;(2)当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形．20.⽔果店进了某种⽔果2000千克，进价是每千克8元，售价定为每千克10元，销售了四分之⼀以后，为了尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于1000元，那么余下的⽔果最多打⼏折？21.某射击队要从甲、⼄两名运动员中选拔⼀⼈参加⽐赛，对他们进⾏了六次测试，测试成绩如下表(单位：环)：x 甲=16(10+8+9+8+10+9)=9(环)s2=16[(10?9)2+(8?9)2+(9?9)2+(8?9)2+(10?9)2+(9?9)2]=23请根据以上信息，解答下列问题：(1)请参考⼩明的⽅法分别计算⼄的平均数和⽅差；(2)请根据调查结果，从平均数和⽅差的⾓度分析选谁去参加⽐赛较为合适？22.⼀个不透明盒⼦中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡⽚，卡⽚上分别标有数字1，2，3.从盒⼦中随机抽取⼀张卡⽚，记下数字后放回，再次随机抽取⼀张⼀记下数字，请⽤画树状图(或列表)的⽅法，求第⼆次抽取的数字⼤于第⼀次抽取的数字的概率．23.请你仅⽤⽆刻度的直尺在下⾯的图中作出△ABC的边AB上的⾼CD．(1)如图①，以等边三⾓形ABC的边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F．(2)如图②，以钝⾓三⾓形ABC的⼀短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E．24.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．25.⼰知⼆次函数y=?316x2+bx+c的图象经过A(0,3)，B(?4,?92)两点．(1)求b，c的值．(2)⼆次函数y=?316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．26.如图，在矩形BCD中，AB=3，AD=8，O为AD中点，P是线段AO上⼀动点，以O为圆⼼，OP为半径作⊙O分别交BO及BO延长线于点E，F，延长AE交BC于点H．(1)当OP=2时，求BH的长．(2)当AH交⊙O于另⼀点G时，连接FG，DF，作DM⊥BF于点M，求证：△EFG∽△FDM．(3)连结HO，当△EHO是直⾓三⾓形时，求OP的长．27.⼩强骑⾃⾏车去郊游，如图表⽰他离家的距离y(千⽶)与所⽤的时间x(⼩时)之间关系的函数图象，⼩强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：(1)⼩强到离家最远的地⽅需要⼏⼩时？此时离家多远？(2)何时开始第⼀次休息？休息时间多长？(3)⼩强离家速度与回家速度各是多少？(写出计算过程)-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：原式=1?(?1)=1+1=2．故选D．原式先计算乘⽅运算，再计算减法运算即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.答案：B解析：解：①2x=7是等式；②3x+4y不是不等式；③?3<2是不等式；④2a?3≥0是不等式；⑤x>1是不等式；⑥a?b>1是不等式，故选B．要依据不等式的定义——⽤不等号(>、≥、<、≤或≠)表⽰不相等关系的式⼦是不等式来判断．本题考查不等式的定义，需要熟练掌握不等式定义．3.答案：D解析：解：∵△ABC∽△DEF，且相似⽐为3：4，∴△DEF与△ABC的⾯积⽐为32：42，即△ABC与△DEF的⾯积⽐为9：16．故选：D．已知相似三⾓形的相似⽐，根据相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅可直接得出答案．此题考查了相似三⾓形的性质，掌握“相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅”是解答本题的关键．4.答案：C解析：解：将38900⽤科学记数法表⽰为3.89×104．故选C．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，⼩数点移动了多少位，n的绝对值与⼩数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表⽰⽅法．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表⽰时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：A。
2020-2021学年江苏省南京市中考数学二模试卷及答案解析
江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.142．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a63．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，1004．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是，﹣3的绝对值是．8．使式子1+有意义的x的取值范围是．9．分解因式：4a2﹣16= ．10．计算（﹣）×= ．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果，那么．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．18．化简：（1+）÷．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= ，n= ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= cm，BC= cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= ，d（∠xOy，B）= ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．江苏省南京市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在下列实数中，无理数是（）A．sin45°B．C．0.3 D．3.14【考点】无理数．【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【解答】解：∵0.3、3.14是有限小数，∴0.3、3.14是有理数；∵，0.是循环小数，∴是有理数；∵sin45°=是无限不循环小数，∴sin45°是无理数．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．计算（2a2）3的结果是（）A．2a5B．2a6C．6a6D．8a6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据即的乘方法则，即可解答．【解答】解：（2a2）3=23•a6=8a6，故选：D．【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则．3．在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）分数50 60 70 80 90 100人数1 2 8 13 14 4A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．90，100【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（80+80）÷2=80，则该班学生成绩的中位数是80；90出现了14次，出现的次数最多，则众数是90；故选C．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．4．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为3【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，比较即可．【解答】解：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项错误；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项正确；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则劣弧的度数是（）A．80°B．100°C．130°D．160°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角与弧的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=100°，∴∠C=180°﹣100°=80°，∴劣弧=160°．故选D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x的图象为直线l，作点A1（1，0）关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（）A．（1007，1008）B．（1008，1007）C．（1006，1007）D．（1007，1006）【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据对称和平移，可得A1的坐标（1，0），A3的坐标（2，1），A5的坐标（3，2），A7的坐标（4，3），根据观察，发现规律：A点的横坐标是顺序，纵坐标是顺序减1，根据规律，可得答案．【解答】解：由题意可知：A1（1，0），A3（2，1），A5（3，2），A7（4，3），点的横坐标为：=1008，纵坐标为：1007，∴A2015的坐标是：（1008，1007）．∴点A2015故选：B．【点评】本题考查了轴对称，利用对称、平移发现规律是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是 3 ．【考点】倒数；绝对值．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣3的绝对值是3，故答案为：，3．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．8．使式子1+有意义的x的取值范围是x≥﹣2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可解答．【解答】解：根据题意，得x+2≥0，解得x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质、概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．分解因式：4a2﹣16= 4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．10．计算（﹣）×= 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=﹣2=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”：如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．【考点】命题与定理．【分析】如果后面应是命题中的条件，那么后面是由条件得到的结论．【解答】解：原命题的条件是：四边形的对角线互相平分，结论是这个四边形是平行四边形；如果四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是准确找到所给命题的条件和结论．12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），的坐标是（2，1）．∴O1故答案为：（2，1）．【点评】此题考查了垂径定理的推论以及三角形的外心的性质，利用垂径定理的推论得出是解题关键．13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧的长度为π．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OM，ON，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．【解答】解：如图：连接OM，ON，∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠A=108°，∴∠MON=72°，∵半径为1，∴劣弧的长度为：=π，故答案为π．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够连接OM和ON，从而求得劣弧所在扇形的圆心角，利用扇形弧长公式求解．14．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（﹣1，2）和点B．当y1＜y2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据对称性由A的坐标确定出B坐标，根据两点横坐标，利用函数图象即可确定出当y1＞y2时的变量x的取值范围．【解答】解：由题意及A（﹣1，2），利用对称性得：B（1，﹣2），根据图象得：当y1＞y2时的变量x的取值范围为﹣1﹣1＜x＜0或x＞1．故答案为﹣1＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．15．某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少20张．要使门票收入达到38500元，票价应定为多少元？若设票价为x元，则可列方程为x[1200﹣20（x﹣30）]=38500 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程．【解答】解：设票价应定为x元，依题意有x[1200﹣30（x﹣30）]=38500，故答案为：x[1200﹣20（x﹣30）]=38500．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．16．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为2．【考点】轨迹．【分析】因为MN是三角形EMN的中位线，所以MN∥BD，所以在运动过程中线段MN所扫过的区域为梯形，然后分别求得梯形的上底、下底和高，然后利用公式计算即可．【解答】解：在运动过程中线段MN所扫过的区域面积如图阴影所示：∵MN是△BDE的中位线．∴MN===1，且MN∥BD．同理：M′N′=3，且M′N′∥BD∴四边形MNN′M′为梯形．MG=MB•sin30°=1×=，N′F=N′C•sin30°=3×=．∴梯形MNN′M′的高==．∴梯形MNN′M′的面积=（FN﹣MG）=×=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查轨迹的问题，由三角形中位线的性质判断出MN扫过的区域的形状是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【考点】实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．化简：（1+）÷．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=•=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m= 30 ，n= 20 ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．20．一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，它们除了编号外其余都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为；（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用奇数球的个数除以球的总个数即可求得编号为奇数的概率；（2）将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有4个球，为奇数的有2个，∴P（编号为奇数）==；（2）从袋中任意摸出两个球，有①②、①③、①④、②③、②④，③④共6种可能，且都是等可能的，其中，都为奇数只有①③一种可能，所以摸到的球的编号都为奇数的概率为．【点评】本题考查了概率的求法，能够将所有等可能的结果列举出来是解答本题的关键，难度不大．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；（2）设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=，∴菱形AFCE的边长为．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．22．如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB=4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】如图，过点C作CD⊥AB，构建直角△ACD和直角△BCD．通过解Rt△BDC得到BD=0.5CD．通过解Rt△ADC得到AD=CD，所以由AB=4km科研求得CD的长度．最后通过解Rt△ADC来求AC的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，∴BD=CD tan27°=0.5CD．在Rt△ADC中，由tan∠ACD=∴AD=CD•tan60°=CD．∵AD+BD=CD+0.5CD=4，∴CD=．在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，∴∠CAD=30°，∴AC=2CD=≈3.6．∴灯塔C与观测点A的距离为3.6km．【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP 上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．已知二次函数y=x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；（2）把（0，﹣2）代入抛物线的解析可求得a的值，进一步可求得其顶点坐标．【解答】（1）证明：y=x2﹣ax﹣2a2=（x+a）（x﹣2a），令y=0，则x1=﹣a，x2=2a，、x2的值必为一正一负，∵a≠0，x1∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）解：由题意，得﹣2a2=﹣2，所以a=1或﹣1．当a=1时，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，顶点坐标为（，﹣），当a=﹣1时，y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），该函数图象的顶点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数与x轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．26．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）AD= 2 cm，BC= 5 cm；（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．【考点】四边形综合题；动点问题的函数图象．【分析】（1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC 上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；根据上面的分析，可知在MN之间时，E 在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD=2cm；根据OM段的函数图象知：当t=5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB=BC=5；（2）利用待定系数法分别求两个解析式．【解答】解：（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；当E、A重合，F、C重合时，t=5s，∴AB=BC=5cm；故答案为：2，5；（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH=3，BA=BC=5，∴AH=4∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：×BC×AH=×5×4=10，即a的值为10，点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm2；（3）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at2，把M点的坐标（5，10）代入得a=，∴y=t2，0＜t≤5；当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=﹣，b=，所以y=﹣t+，（7≤t＜11）把y=5分别代入y=t2和y=﹣t+得，5=t2和5=﹣t+，解得：t=或t=9．【点评】此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．27．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d （∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= 5 ，d（∠xOy，B）= 5 ．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先根据点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根据点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，据此求出点P运动所形成的图形即可．（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，然后设直线OT 对应的函数关系式为y=x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，），进而求出CH，OH的值各。
2020届中考模拟江苏省南京市联合体中考数学二模试卷((含参考答案))
江苏省南京市联合体中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.2的平方根是()3 C. √2 D. −√2A. ±√2B. √2【答案】A【解析】解：2的平方根是：±√2．故选：A．根据平方根的定义解答．本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．2.下列计算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. a3⋅a2=a6D. a3÷a2=a【答案】D【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3⋅a2=a5，故本选项错误；D、a3÷a2=a，正确．故选：D．根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3.如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：aa=1：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为a1，菱形ABCD的面积记为a2，则a1：a2的值为()A. 1：3B. 1：4C. 1：9D. 1：16【答案】D【解析】解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，菱形MFND∽菱形ABCD，∴a1a2=(aaaa)2，∵aa：aa=1：3，∴aa：aa=1：4，∴a1a2=(aaaa)2=116，故选：D．利用相似多边形的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、相似多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.如图，已知BA是⊙a的切线，切点为A，连接OB交⊙a于点C，若∠a=45∘，AB长为2，则BC的长度为()A. 2√2−1B. √2C. 2√2−2D. 2−√2【答案】C【解析】解：连接OA，∵aa是⊙a的切线，切点为A，∴∠aaa=90∘，∵∠a=45∘，∴△aaa是等腰直角三角形，∵aa长为2，∴aa=2，则aa=2√2，故BC=2√2−2，故选：C．利用切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出BO的长，进而得出答案．此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出△aaa是等腰直角三角形是解题关键．(a≠0)过点a(a,a1)，a(a+1,a2)，若a2>a1，则a的取值范围为( 5.已知反比例函数a=a2a)A. −1<aB. −1<a<0C. a<1D. 0<a<1【答案】B(a≠0)中的a2>0，【解析】解：∵反比例函数a=a2a∴反比例函数a=a2(a≠0)的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．a∵a2>a1，a+1>a，∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，a<0，∴{a+1>0解得−1<a<0．故选：B．根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答．考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉反比例函数解析式中系数与图象的关系．6.在二次函数a=−a2+aa+a中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：A. a>aB. a<aC. a=aD. 无法比较【答案】A【解析】解：∵a=−2时，a=−7，a=4时，a=−7，=1，即(1,2)为抛物线的顶点，∴抛物线对称轴为直线a=−2+42∴2为抛物线的最大值，即抛物线开口向下，∴当a>1时，抛物线为减函数，a<1时，抛物线为增函数，∴(2,a)与(3,a)在抛物线对称轴右侧，且2<3，则a>a．故选：A．由表格中a=−2与a=4时，对应的函数y都为−7，确定出(1,2)为二次函数的顶点坐标，即a=1为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下，进而由抛物线的增减性，即可判断出m与n的大小．此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的图象与性质，其中根据表格的抛物线的对称轴及开口方向是解本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 计算(√2)0=______，2−1=______． 【答案】1；12【解析】解：原式=1，原式=12， 故答案为：1；12原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 计算√2a ⋅√8aa (a ≥0,a ≥0)的结果是______． 【答案】4a √a【解析】解：√2a ⋅√8aa (a ≥0,a ≥0)=√16a 2a=4a √a ． 故答案为：4a √a ．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．9. 分解因式a 3−a 的结果是______． 【答案】a (a +1)(a −1)【解析】解：a 3−a =a (a 2−1)=a (a +1)(a −1)． 故答案为：a (a +1)(a −1)．先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10. 甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下：甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 丙 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10这三人10次射击命中的环数的平均数a 甲=a 乙=a 丙=8.5，则测试成绩比较稳定的是______，(填“甲”或“乙”或“丙”) 【答案】丙【解析】解：∵a 甲=a 乙=a 丙=8.5，∴a 甲2=110×[2×(7−8.5)2+3×(8−8.5)2+3×(9−8.5)2+2×(10−8.5)2]=1.05，a 乙2=110×[3×(7−8.5)2+2×(8−8.5)2+2×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]=1.45， a 丙2=110×[(7−8.5)2+4×(8−8.5)2+4×(9−8.5)2+(10−8.5)2]=0.65， ∵a 丙2<a 甲2<a 乙2， ∴测试成绩比较稳定的是丙， 故答案为：丙．根据方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，再利用方差的意义解答即可得出答案．此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．11. 如图，已知直线a //a ，∠1=72∘，∠2=38∘，则∠3=______ ∘.【答案】70【解析】解：∵a //a ， ∴∠2=∠4=38∘， 又∵∠1=72∘，∴∠3=180∘−38∘−72∘=70∘， 故答案为：70．依据a //a ，即可得到∠2=∠4=38∘，再根据∠1=72∘，即可得到∠3的度数． 本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．12. 如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 都在直角坐标系的x 轴上，AC 与BD 交于点E ，若点D 的坐标是(3,4)，则点E 的坐标是______．【答案】(1,2)【解析】解：过点E 作aa ⊥a 轴于点F ， ∵a 的坐标是(3,4)，B 、C 在x 轴上， ∴aa =4，aa =3，∵四边形ABCD是正方形，∴aa=aa=4，∴aa=4−3=1，∵a在x轴的负半轴上，∴a(−1,0)，∵a为BD中点，aa⊥aa，∴aa=aa=2，∴aa=1，aa=12aa=2，∴a(1,2)．故答案为：(1,2)．根据D的坐标和C的位置求出aa=4，aa=3，根据正方形性质求出OB，即可求出答案．本题考查了正方形的性质和坐标与图形性质，解此题的关键是求出DC、OC、OB的长度，题目比较好，难度不大．13.已知关于x的一元二次方程a2+aa+a=0的两个根是1和−2，则mn的值是______．【答案】−2【解析】解：由根与系数的关系可知：1+(−2)=−a，1×(−2)=a，∴a=1，a=−2∴aa=−2故答案为：−2根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．14.已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是______aa2.(结果保留a)．【答案】20a【解析】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=a×4×5=20aaa2．故答案为：20a．首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=a×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．15.已知⊙a过原点，a(1,2)，a(3,1)三点，则圆心M坐标为______．【答案】(32,1 2 )【解析】解：过A作aa⊥a轴于E，过B作aa⊥aa于F，∴∠aaa=∠aaa=90∘，∴∠aaa+∠aaa=90∘，∵a(1,2)，a(3,1)，∴aa=aa=2，aa=aa=1，∴△aaa≌△aaa(aaa)，∴∠aaa=∠aaa，∴∠aaa+∠aaa=90∘，∴∠aaa=90∘，∴△aaa是直角三角形，∴aa是△aaa外接圆的直径，∴a是OB的中点，∵a(0,0)，a(3,1)，∴a(32,12 )；故答案为：(32,1 2 ).先根据三角形全等证明△aaa是直角三角形，根据圆周角定理∠aaa=90∘得OB为⊙a的直径，则可得到线段OB的中点即点M的坐标．本题考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定和性质，熟练掌握90∘的圆周角所对的弦是直径是关键．16.如图，在直角坐标系中，△aaa为直角三角形，∠aaa=90∘，∠aaa=30∘，点A坐标为(3,1)，AB与x轴交于点C，则AC：BC的值为______．【答案】√33【解析】解：如图所示：作aa⊥a轴，垂足为D，作aa⊥a轴，垂足为E．∵a(3,1)，∴aa=√32+12=√10．∵∠aaa =30∘，∠aaa =90∘， ∴aa aa=√3．∵∠aaa =90∘，∠aaa =90∘， ∴∠aaa =∠aaa ， 又∵∠aaa =∠aaa ， ∴△aaa ∽△aaa ， ∴aa aa=aa aa=√33，即aa 3=√33，解得：aa =√3．∵aa ：aa =a △aaa ：a △aaa =aa ：aa =1：√3=√33． 故答案为：√33．作aa ⊥a 轴，垂足为D ，作aa ⊥a 轴，垂足为E ，先求得OA 的长，然后证明△aaa ∽△aaa ，依据相似三角形的性质可得到aa aa=aaaa =√33，最后依据AC ：aa =a △aaa ：a △aaa =aa ：OE 求解即可．本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，证得△aaa ∽△aaa 是解答本题的关键．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）17. 计算a2−a 2aa÷(1a −1a ).【答案】解：原式=(a +a )(a −a )aa÷a −aaa=(a +a )(a −a )aa⋅aa−(a −a )=−(a +a )=−a −a ．【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可得． 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．18. 甲、乙两地相距480km ，一辆货车从甲地匀速驶往乙地，货车出发一段时间后，一辆汽车从乙地匀速驶往甲地，设货车行驶的时间为a ℎ.线段OA 表示货车离甲地的距离a 1aa 与xh 的函数图象；折线BCDE 表示汽车距离甲地的距离a 2aa 与a (ℎ)的函数图象． (1)求线段OA 与线段CD 所表示的函数表达式；(2)若OA 与CD 相交于点F ，求点F 的坐标，并解释点F 的实际意义； (3)当x 为何值时，两车相距100千米？【答案】解：(1)设线段OA 对应的函数关系式为a 1=aa ，6a =480，得a =80，即线段OA 对应的函数关系式为a 1=80a (0≤a ≤6)， 设线段CD 对应的函数关系式为a 2=aa +a ，{5.2a +a =01.2a +a =480，得{a =624a =−120，即线段CD 对应的函数关系式为a 2=−120a +624(1.2≤a ≤5.2)； (2){a =−120a +624a =80a， 解得，{a =249.6a =3.12，∴点F 的坐标为(3.12,249.6)，点F 的实际意义是：在货车出发3.21小时时，距离甲地249.6千米，此时与汽车相遇；(3)由题意可得，|80a −(−120a +624)|=100， 解得，a 1=2.62，a 2=3.62，答：x 为2.62或a =3.62时，两车相距100千．【解析】(1)根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；(2)根据(1)中的函数解析式可以求得点F 的坐标，并写出点F 表示的实际意义； (3)根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．四、解答题（本大题共9小题，共73.0分）19. 求不等式组{1−a ≤0a +12<3的整数解．【答案】解：{1−a ≤0①a +12<3②∵解不等式①得：a ≥1， 解不等式②得：a <5， ∴不等式组的解集为1≤a <5， ∴不等式组的整数解是1，2，3，4．【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可求出答案．本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．20. 根据一家文具店的账目记录，某天卖出15个笔袋和5支钢笔，收入240元，另一天，笔袋加价1元和钢笔打8折，卖出同样的12个笔袋和8支钢笔，收入276元，求笔袋和钢笔的单价． 【答案】解：设每个笔袋的价格为x 元，每支钢笔的价格为y 元． 根据题意，得{12(a +1)+8a ×0.8=27615a +5a =240，解得{a =30a =6．答：每个笔袋的价格为6元，每支钢笔的价格为30元．【解析】等量关系为：15个笔袋总价+5支钢笔总价=240元；12个笔袋总价+8支钢笔总价=276元，把相关数值代入后看求得的单价是否符合实际情况即可．考查二元一次方程组在实际中的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21.光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：(1)填写下表：中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)(2)估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【答案】解：(1)中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：44分)=.(分)．()随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：a=1×2+2×9+3×13+4×14+5×1250估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.5×900=3150(分)【解析】(1)根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；(2)算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．22.小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文1张、数学2张、英语1张(1)若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率．(2)若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为______【答案】34【解析】解：(1)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽出的试卷中有英语试卷的结果数为6，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为612=12；(2)∵从4张试卷中抽出3张有如下4种情况：(数、数、英)、(语、数、英)、(语、数、英)、(语、数、数)，其中抽出的试卷中有英语试卷的有3种结果，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为34．故答案为：34．(1)先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽出的试卷中有英语试卷的结果数，然后根据概率公式求解．(2)列举出抽出3张试卷的结果数，再从中找到抽出的试卷中有英语试卷的结果数，根据概率公式即可得．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23.如图，一单摆在重力作用下处于OA处(与水平垂直)，若单摆摆动到OB处，单摆的长度不变，旋转角为a，此时点B相对于点A高度上升了m厘米，求单摆的长度.(用含a与m的代数式表示)【答案】解：作aa⊥aa，设单摆长度是x厘米，在aa△aaa中，cos a=aaaa，∴aa=aa⋅cos a=a cos a，∴a−a cos a=a，解得：a=a1−cos a，答：单摆长度为a1−cos aaa．【解析】作aa⊥aa，根据直角三角形的解法解答即可．此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出OH的长是解题关键．24.已知，如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，连接CE井延长交DA的延长线于点F．(1)求证：△aaa≌△aaa；(2)若DE平分∠aaa，求证：aa=aa．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴aa//aa，∴∠a=∠aaa，∵a是AB中点，∴aa=aa，∵∠aaa=∠aaa，∴△aaa≌△aaa．(2)证明：∵aa平分∠aaa，∴∠aaa=∠aaa，∵aa//aa，∴∠aaa=∠aaa，∴∠aaa=∠aaa，∴aa=aa，∵△aaa≌△aaa，∴aa=aa=aa，∴aa=2aa，aa=aa=2aa，∴aa=aa．【解析】(1)根据AAS即可证明：△aaa≌△aaa；(2)首先证明aa=aa，再证明aa=2aa，aa=2aa即可解决问题；本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.已知⊙a的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．(1)如图①，若a=5，则∠a的度数为______ ∘；(2)如图②，若a=6．①求∠a的正切值；②若△aaa为等腰三角形，求△aaa面积．【答案】30【解析】解(1)如图1，连接OB，OA，∴aa=aa=5，∵aa=a=5，∴aa=aa=aa，∴△aaa是等边三角形，∴∠aaa=60∘，∴∠aaa=1∠aaa=30∘，2故答案为30；(2)①如图2，连接AO并延长交⊙a于D，连接BD，∵aa为⊙a的直径，∴aa=10，∠aaa=90∘，在aa△aaa中，aa=a=6，根据勾股定理得，aa=8，∴tan∠aaa=aaaa =34，∵∠a=∠aaa，∴∠a的正切值为34；②Ⅰ、当aa=aa时，如图3，连接CO并延长交AB于E，∵aa=aa，aa=aa，∴aa为AB的垂直平分线，∴aa=aa=3，在aa△aaa中，aa=5，根据勾股定理得，aa=4，∴aa=aa+aa=9，∴a△aaa=12aa×aa=12×6×9=27；Ⅱ、当aa=aa=6时，如图4，连接OA交BC于F，∵aa=aa，aa=aa，∴aa是BC的垂直平分线，过点O作aa⊥aa于G，∴∠aaa=12∠aaa，aa=12aa=3，∵∠aaa=2∠aaa，∴∠aaa=∠aaa，在aa△aaa中，sin∠aaa=aaaa =35，∴sin∠aaa=35，在aa△aaa中，sin∠aaa=35，∴aa=35aa=185，∴aa=245，∴a△aaa=12aa×aa=12×185×245=43225；Ⅲ、当aa=aa=6时，如图5，由对称性知，a△aaa=43225．(1)连接OA，OB，判断出△aaa是等边三角形，即可得出结论；(2)①先求出aa=10，再用勾股定理求出aa=8，进而求出tan∠aaa，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．26.已知二次函数a=a2−2aa+a2−a(a为常数)(1)若a≥0，求证该函数图象与x轴必有交点(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数a=−a的图象上(3)当−2≤a≤3时，y的最小值为−1，求m的值【答案】(1)证明：令a=0，则a2−2aa+a2−a=0，∵a≥0，∴△=4a2−4(a2−a)=4a>0，∴二次函数a=a2−2aa+a2−a的图象与x轴必有交点；(2)证明：∵二次函数a=a2−2aa+a2−a=(a−a)2−a，∴顶点坐标为(a,−a)，令a=a，a=−a，∴a=−a，∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数a=−a的图象上；(3)解：由(2)知，抛物线的对称轴为直线a=a，抛物线开口向上，当a>3时，由题意得：当a=3时，y最小值为−1，代入抛物线解析式中得：9−6a+a2−a=−1，即a=2(舍)或a=5，当−2≤a≤3时，由题意得：当a=a时，y最小值为−1，代入抛物线解析式中得：a2−2a2+a2−a=−1，即a=1；当a<−2时，由题意得：当a=−2时，y最小值为−1，代入抛物线解析式中得：4+4a+a2−a=−1，即a2+3a+5=0，此方程无解；综上，m的值是1或5．【解析】(1)利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况；(2)先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；(3)利用抛物线的增减性，分三种情况讨论即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与x轴交点个数的判定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．27.如图，在▱ABCD中，aa=3√2，aa=5，∠a=45∘，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙a交BC于点F．【操作与发现】(1)当E运动到aa⊥aa处，利用直尺与规作出点E与点F；(保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，证明：aa aa =aa aa ． 【探索与证明】 (3)点E 运动到任何一个位置时，求证：aa aa =aa aa ；【延伸与应用】(4)点E 在运动的过程中求EF 的最小值．【答案】解：(1)如图1所示，(2)如图，易知AC 为直径，则aa ⊥aa ，则a 四边形aaaa =aa ⋅aa =aa ⋅aa ，∴aa aa =aa aa =aa aa(3)如图，作aa ⊥aa ，aa ⊥aa ，若E 在DN 之间 由(2)可知，aa aa =aa aa∵a 、F 、C 、E 四点共圆，∴∠aaa +∠aaa =180∘，∵∠aaa +∠aaa =180∘，∴∠aaa =∠aaa ，∵∠aaa =∠aaa∴△aaa ∽△aaa∴aa aa =aa aa =aa aa若E 在CN 之间时，同理可证(4)∵a 、F 、C 、E 四点共圆，∴∠aaa +∠aaa =180∘，∵四边形ABCD 为平行四边形，∠a =45∘，∴∠aaa =135∘，∴∠aaa =45∘，∴∠aaa =90∘，∴△aaa 为等腰直角三角形，∴aa =√2a∵aa ≤aa ≤2a ，∴a与N重合时，FE最小，此时aa=√22aa，在△aaa中，aa=aa=3，则aa=2∴由勾股定理可知：aa=√13此时EF最小值为√262【解析】(1)当aa⊥aa，此时AC是⊙a的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出⊙a即可作出点E、F；(2)易知AC为直径，则aa⊥aa，a四边形aaaa=aa⋅aa=aa⋅aa，从而得证；(3)如图，作aa⊥aa，aa⊥aa，若E在DN之间，由(2)可知，aaaa =aaaa，然后再证明△aaa∽△aaa，从而可知aaaa =aaaa=aaaa，若E在CN之间时，同理可证；(4)由于A、F、C、E四点共圆，所以∠aaa+∠aaa=180∘，由于四边形ABCD为平行四边形，∠a=45∘，从而可证△aaa为等腰直角三角形，所以aa=√2a，由于aa≤aa≤2a，所以E与N重合时，FE 最小．本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。
2020年江苏省中考数学二模试卷附解析
2020年江苏省中考数学二模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（ ）A ． 圆锥B ． 圆柱C ． 球D ．空心圆柱2．已钝角三角形三边长分别为 a 、b 、c （a>b> c ），外接圆半径和内切圆半径分别为 R 、r ， 则能盖住这个三角形的圆形纸片的最小半径是（ ）A ．RB ．rC ．2aD ．2c 3．如图，一个小球从A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达 H 点的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 4．己如图，点 D ．E 、F 分别是△ABC （AB>AC ）各边的中点，下列说法中，错误的是（ ） A ． AD 平分∠BAC B ．EF=12BCC ． EF 与 AD 互相平分 D ．△DFE 是△ABC 的位似图形5．已知 y 与x 成反比例，当 x 增加 20% 时，y 将 （ ）A ．约减少20%B ．约增加20%C ．约增加80%D ．约减少 80% 6．已知Rt △ABC 斜边上的中线是2，则这个三角形两直角边的平方和是 （ ） A ．2B ．4C ．8D ．16 7．一组数据共40个，分成5组，第1～4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率是（ ）A ．0.15B ．0.20C ．0.25D ．0.308．现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝 6张、晶晶 5 张、欢欢4张、迎迎3张、妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到晶晶的概率（ ）A ．110B ．310C ．14D ．159．在3-，227，9-，π，2.121121112111122中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．若a a ±=-时,a 是（ ） A ． 全体实数B ． 正实数C ．负实数D ．零 二、填空题11．“五一”黄金周期间，梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩．甲地到乙地有2条公路，乙地到丙地有3条公路．每一条公路的长度如下图所示(单位：km)．梁先生任选．．一条从甲地到丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率是 ．12．若a:2=b:3,则ba a += . 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠B ＝55°，P 点在AC 上移动（点P 不与A 、C 两点重合），则α的变化范围是 .14．如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，AB=15cm ，OM= 8cm ，并且MB ：MA=1：4， 则工件半径的长为 cm ．解答题15．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满 足函数关系y=－0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）,且y 值越大，表示接受能力越强．则当x 满 足 ，学生的接受能力逐渐增强．16．若某数的一个平方根是54，则这个数的另一个平方根是 ．17．有6个数．它们的平均数是l2，若再添一个数5，则这7个数的平均数是 .18．汽车以每小时60 km 的速度行驶5h ，中途停驶2h ，后又以每小时80 km 行驶3 h ，则汽车平均每小时行驶 km ．19． Rt △ARC 中，∠C=90°，若CD 是AB 边的中线，且CD=4cm ，则AB= cm ，AD= BD= cm.20．如图，∠1 = 101°，当∠2 = 时，a ∥b ．21．如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，236cm ABC S =△，18cm AB =，12cm BC =，则DE =__________cm ．22．下列图形中，轴对称图形有 个．23．已知ax=by+2008的一个解是⎩⎨⎧-==11y x ，则a+b= ． 三、解答题24．某商店中的一盒什锦糖是由甲、乙、丙三种糖果混合成的，小明购得这种糖果 80 颗，通过多次摸糖试验后，发现摸到甲、乙、丙三种糖果的频率依次是 35、35和 30，试估计小明所购得的糖中甲、乙、丙三种糖果的数目.25．如图，MN ∥PQ ，同旁内角的平分线AB ，BC 和AD ，CD 相交于点B ，D ．(1)猜想AC 和BD 之间的关系；(2)试证明你的猜想．26．某校为了解全校2000名学生的课外阅读情况，在全校范围内随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，将结果绘制成频数分布直方图(如图所示)．(1)这50名学生在这一天课外阅读所用时间的众数是多少?(2)这50名学生在这一天平均每人的课外阅读所用时间是多少?(3)请你根据以上调查，估计全校学生中在这一天课外阅读所用时间在1．0 h 以上(含1．0 h)的有多少人?27．光明中学的甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成进行统计后，绘制成如图所示的统计图. 已知甲队五场比赛成绩的平均分90x =分，方差241.2s =平方分. 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图(1)请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x 乙；(2)就这五场比赛，计算乙队成绩的方差；(3)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加市篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、 折线的走势、方差三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成 绩？28．为了了解学生的身高情况，抽测了某校50名17岁男生的身高，并将其身高情况绘制成统计图如图所示．回答下面的问题：(1)观察图形，50名17岁男生身高的众数、中位数分别是多少?(2)用计算器计算出这50名学生的平均身高(精确到0．Ol m)．29．某高校共有 5 个同规格的大餐厅和 2 个同规格的小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐厅，2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅， 1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐.(1)求 1 个大餐厅，1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由.30．某中学为了了解该校学生的课余活动情况，从阅读、运动、娱乐、其他等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图（图1，图2），请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：(1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？(2）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？(3）补全条形统计图．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．B4．A5．A6．D7．D8．C9．B10．D二、填空题11．61 12． 52 13． 0°＜α＜110°14．1015．0≤x ≤1316．5417． 1118．5419．8．420．79°21．2.422．323．2008三、解答题24．甲：80×35%=28(颗)乙：80×35%=28(颗)丙：80×3O =24(颗25．(1)互相平分且相等；(2)证矩形ABCD26．(1)1．0 h；(2)1．05 h；(3)1400人27．(1)90分 (2)111. 6平方分 (3)从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势，所以适合选甲队参赛；从方差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩教稳定. 所以，选派甲队参赛更脂取得好成绩28．(1)众数：1．70m，中位数：1．70 m；(2)1.68m29．( 1) 1 个大餐厅可供 960 名学生就餐， 1 个小餐厅可供360 人就餐；(2)5300 人30．解 (1） 20÷20%=100 (人）(2）“娱乐”人数=100×40%=40（人）“其他”人数=100-30-20-40=10 (人）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角=360°×10100=36°(3）略。