吉林大学《数字信号处理》期末考试学习资料(二)

吉大《数字信号处理》（二）

第二章 离散时间信号与系统的z 域分析和频域分析

一、什么是z 变换？

在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，z 变换则是其推广，用以

对序列进行复频域分析。

序列x(n)的z 变换定义为

式中z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。注意在定义中，对n 求和是在－∞、

＋∞之间求和，可以称为双边Z 变换。还有一种称为单边Z 变换的定义，如下式：

这种单边z 变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z 变换定义计算的结果是一样的。z 变换是傅里叶变换的推广，傅里叶变换是z 变换的特例—单位圆上的变换。

二、简述z 变换的收敛域。

对于任意给定的序列x(n)，使其z 变换X(z)收敛的所有z 值的集合称为X(z)的收敛域（region of convergence ，Roc ）。使级数收敛的充要条件是满足绝对可和,如下式所示：

一般收敛域用环状域表示如下：

常用的Z 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示为：

()()n

n X z x n z

∞

-=-∞

=

∑0

()()n

n X z x n z ∞

-==∑()

()()

P z X z Q z =

分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z 变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。

三、x(n)=u(n), 求其Z 变换。

解：

()()n

n

n n X z u n z

z ∞

∞

--=-∞

==

=∑∑

X(z)存在的条件是1||1<-z ，因此收敛域为|z|>1, 因此: X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的z 变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，

该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定的收敛域内z 变换是可以存在的。

四、求)()(n u a n x n =的z 变换及其收敛域。

解：

10

1()(

)1n n

n n n n X z a u n z

a z az ∞

∞

---=-∞

==

==

-∑

∑

在收敛域中必须满足1||1<-az ，因此收敛域为|z|>|a|。

五、已知

求z 反变换。 解：

1

1

()||1

1X z z z -=>-