第3章-刚体的转动
3.刚体的定轴转动
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
第三章刚体的转动
三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
第3章 刚体的定轴转动
F
Od
r *ϕ
P
方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 单位： 单位： N ⋅ m （牛⋅米） 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用， 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用，合力矩是 各力矩的代数和。 各力矩的代数和。
6
3.2 刚体的定轴转动定律
4
3.1 刚体的运动
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体作 匀变速转动 。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
1
3.1 刚体的运动
3.1.2 刚体的定轴转动
转动：组成刚体的各质点都绕某一直线作 组成刚体的各质点都绕某一直线作 圆周运动， 这条线为转轴。 圆周运动， 这条线为转轴。 转轴 若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 刚体的定轴转动 刚体的一般运动 （如：运行的车轮） 运行的车轮） 随某点(基点) 随某点(基点)的平动 + 过该点 的定轴转动。 的定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 章 3.1 刚体的运动
刚体： 刚体：特殊的质点系 受力时质点系的形状和体积不改变
3.1.1 刚体的平动
在运动过程中刚体上的任 意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行 任意质元运动都代表整体运动 任意质元运动都代表整体运动 质元运动都代表整体
A’ A B A”
B’
B”
可用质点运动学和动力学知识研究
第3章_刚体的定轴转动
T3
αB
T1
T2
2011-5-28
刚体的定轴转动
质量m的杆可绕过一端的水平轴转动 例：长l质量 的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开 质量 的杆可绕过一端的水平轴转动。 始转动，当转到与水平位置成θ角时 角时， 角速度ω和 始转动，当转到与水平位置成 角时，角法速度α ，角速度 和 质心法速度a 为多少？ 质心法速度 c为多少？ 解：(1) mg l cos θ = Jα
2011-5-28
刚体的定轴转动
转动定律及其应用： 转动定律及其应用：
对 刚 体 的 动 力学 问 题
M = Jα 与 F = ma 联合联来运用
2011-5-28
刚体的定轴转动
二、刚体的定轴转动
1、 定轴转动的运动学质律 、
刚体定轴转动 ( 运动学 ) —— 转动平面的定轴转动 转动平面上任一点 P
角量描述 : θ , ω = ω0 + α t
ω , α
v
v
θ = θ 0 + ω 0t + ω 2 − ω 02
1 α t2 2 = 2 α (θ − θ 0 )
本章教学基本要求 本章教学基本要求
1、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念，并角解刚体 、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念， 的基本运动为平动 定轴转动。 平动和 的基本运动为平动和定轴转动。 2、掌握描述刚体定轴转动的角量描述，熟练掌握刚体上 、掌握描述刚体定轴转动的角量描述， 法点的角量 线量关系 角量与 关系。 法点的角量与线量关系。 3、角解力矩 转动惯量的物角意义 了解平行轴定角 3、角解力矩和转动惯量的物角意义，了解平行轴定角， 力矩和 的物角意义， 平行轴定角， 掌握刚体定轴转动定律及其应用。 转动定律及其应用 掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、掌握刚体的动能和重力势能的计算，并能在有刚体转 动能和 的计算， 、掌握刚体的动能 重力势能的计算 动等问题中正确刚应用机械能守恒定律 机械能守恒定律。 动等问题中正确刚应用机械能守恒定律。 5、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定 、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定 角动量守恒定律。 角和角动量守恒定律。
大学物理课件第3章-刚体
T
m
o
x
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。
解： TR
a
1 2
MR
2
a R
T
1 2
Ma
2
mg T ma
M
T
mg mM 2
注： 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。
转动：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆 周运动。这种运动称为刚体的转动。这 条直线称为转轴。
定轴转动：
转轴固定不动的转动。
刚体的转动动能
mn
rn
o
r1
m1
r2
m2
令
I mi ri
i
2
kg m
2
I 为刚体对 z 轴的转动惯量。
结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体：
2
2
( mi ri )
Ek
1 2
J
2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：
dA Md
A I
d dt
A
由转动定律 有
d dt
d I d
1 2 1 2
dA I
2
1
I d
I 2 －
2
I 1
2
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
l a v
o
30°
机械能守恒：
11 l 2 2 2 Ml ma mga1 cos 30 Mg 1 cos 30 23 2
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
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第3章 刚体的转动一. 选择题1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零(C) 切向加速度和法向加速度均为零(D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ]2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样?（A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变(C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 [ ]3 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是[ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B(C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确4. 地球的质量为m , 太阳的质量为0m ，地心与太阳中心的距离为R , 引力常数为G , 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) R m G m 0 (B)R m m G 0 (C) R Gm m 0 (D) Rmm G 20[ ] 5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是(A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零(C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ]6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则(A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ]7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的(A) 角速度将增加三倍 (B) 角速度不变, 转动动能增大二倍(C) 转动动能增大一倍 (D) 转动动能不变, 角速度增大二倍 [ ] 8如图1粘土垂直于板面撞击板, 并粘在板上. 对粘土和板系统, 守恒的量是(A) 动能 (B) 绕长方形板转轴的角动量(C) 机械能 (D) 动量 [ ]9. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小图2(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 [ ] 10. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零在上述说法中(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确 [ ]二、填空题1. 一个唱片转盘在电动机断电后的30 s 内由1min r 3133-⋅减慢到停止，它的角加速度是 ；它在这段时间内一共转了 圈．2. 半径为r 的圆环平放在光滑水平面上, 如图3所示，环上有一甲虫, 环和甲虫的质量相等, 并且原先都是静止的. 以后甲虫相对于圆环以等速率爬行, 当甲虫沿圆环爬完一周时, 圆环绕其中心转过的角度是 ．23. 如图4所示，两个完全一样的飞轮, 当用98 N 的拉力作用时，产生角加速度1α; 当挂一重98 N 的重物时, 产生角加速度2α．则1α和2α的关系为 ．4 如图5所示，两人各持一均匀直棒的一端, 棒重W , 一人突然放手, 在此瞬间, 另一人感到手上承受的力变为 ．5. 一质量为m 的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为j t b i t a rωωsin cos +=，其中ω、、b a 皆为常数．则此质点所受的对原点的力矩M= ；该质点对原点的角动量L = ．6. 长为l 、质量为0m 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为2031l m ，开始时杆竖直下垂，如图6所示．现有一质量为m 的子弹以水平速度0v射入杆上A 点，并嵌在杆中，32lOA =，则子弹射入后瞬间的角速度=ω ．图34图5图6三、计算题1. 如图7所示，两个匀质圆盘质量分别为m 1， m 2，半径分别为R 1，R 2，各自可绕互相平行的固定水平轴无摩 擦地转动，今对圆盘1相对其转轴施加外力矩M ，圆盘、 皮带都被带动，设圆盘、轻皮带间无相对滑动， 求圆盘1，2的角加速度。
2. 物体A 和B 叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接，如图8所示．今用大小为F 的水平力拉A ．设A 、B 和滑轮质量都为m ，滑轮的半径为R ，对轴的转动惯量221mR J =，AB 之间、A 与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，且绳子不可伸长．已知F ＝10 N ，m ＝8.0 kg ，R ＝0.050 m ，求：(1) 滑轮的角加速度；(2) 物体A 与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B 与滑轮之间的绳中的张力．3. 质量分别为m 和2 m 、半径分别为r 和2 r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为229mr ，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图9所示．求盘的角加速度的大小．4. 如图10所示，一长为l 、质量为m 的均匀细棒，可绕光滑轴O 在竖直面内转动．棒由水平位置从静止下落，转到竖直位置时与原静止于地面上的质量也为m 的小滑块碰撞，碰撞时间极短．滑块与地面的摩擦系数为μ，碰后滑块移动s 后停止, 棒继续沿原方向转动．求碰后棒的质心C 离地面的最大高度h ．5. 如图11所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质m 1和m 2的物体A 、B 。
A 置于倾角为θ 的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。
（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）图8图9图10 图76. 如图12所示，质量为0.5kg 、长为0.40m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴在竖直平面内转动先将棒放在水平位置，然后任其落下，求： (1)当棒转过60。
时的角加速度和角速度； (2)下落到竖直位置时的动能；(3)下落到竖直位置时的角速度7. 如图13所示，质量为m 半径为R 的均质圆盘，初角速度为0ω，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力f F 正比于该处的线速度v ，即f F k =v ，k 为常量，试求：(1) 圆盘所受的空气阻力力矩M ； (2) 圆盘在停止前所转过的圈数。
8. 如图14所示，长为l 、质量为m 的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O 转动，开始时杆静止在竖直位置．另一质量也为m 的小球，用长也为l 的轻绳系于O 轴上．现将小球在竖直平面内拉开，使轻绳与竖直方向的夹角θ，然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰，结果使杆的最大偏角为3π．求角度θ．图12图13图14第3章 刚体的转动答案一. 选择题1 .[ A ]2.[ D ]；3.[D ]；3.[ A ]；4.[ A ]；5.[ C ]；6.[ D ]；7.[ C ]；8.[ B ]；9.[A ] 10.[B ]二 填空题1.2min r 67-⋅-，8.3 2. π; 3. 12αα>; 4.14W ；5. 7.0m abk ω； 6.()lm m 00346+v ；三、计算题1. 解 设两圆盘边缘的切向加速度分别为1a 和2a 由转动定律得12111()M T T R J α--=12222()T T R J α-=1122R R αα=解得 222122121MR J R J Rα=+221222121MR R J R J Rα=+2. 解：各物体受力如图16所示．由牛顿定律和转动定律列方程如下：T T2T T 12F F ma F ma F R F R mR a R αα-=⎧⎪'=⎪⎪⎨'-=⎪⎪=⎪⎩ 由以上各式可以解出 (1) 滑轮的角加速度222210rad s 10rad s 5580.050F mR α--⨯==⋅=⋅⨯⨯(2) A 与滑轮之间绳中张力N 0.6N 510353T =⨯==F F (3) B 与滑轮之间绳中张力N 0.4N 510252T=⨯=='F F3 解 各物体受力如图17所示，由牛顿定律和转动定律列方程如下：T'TF 图16图15T22T112T2T1219222mg F ma F mg ma F r F r mr a r a r ααα-=-=⨯-⨯=== 联立以上方程，可以解得 219grα=4. 解 过程1：棒下摆．考查(棒---地球)系统，只有重力（保守内力）作功，系统机械能守恒．设地面为重力势能零点，则有 )2(212lmg J mgl +=ω (1) 式中J 为棒的转动惯量 231ml J =，解得 lg3=ω (2)过程2：棒和滑块的碰撞．考察(棒、滑块)系统，外力(重力、轴力)力矩均为零，系统角动量守恒．l m J J v +'=ωω (3)过程3：滑块运动且棒上摆．考察滑块，仅摩擦力作用，由动能定理2f 210 v m s F -=⋅- (4) 其中摩擦力 mg F f μ=考察(棒、地球)系统， 只有重力（保守内力）做功，系统机械能守恒．mgh lmg J =+')2(212ω (5) 联立(2) ~ (5)式可得 sl s l h 6 3μμ-+=5. 解 分别作A 、B 和滑轮的受力分析，如图18所示，根据质点的牛顿定律和刚体定轴转动定律可得11111sin cos T F m g m g m a θμθ--= ①2222T m g F m a -= ②21T T F r F r J α''-= ③αr a a ==21 ④1122T T T T F F F F''==， ⑤解上述方程组可得12a 0m图1722111221/cos sin r J m m g m g m g m a a ++--==θμθ21211212(1sin cos )(sin cos )//T m m g m gJ r F m m J r θμθθμθ++++=++21222212(1sin cos )//T m m g m gJ r F m m J r θμθ+++=++6. 解 (1)当棒转到600时，如图19所示，所受重力矩为cos602l M mg =由转动定律M J α=得21cos6023l mg ml α= 02339.8cos6018.4rad/s 240.4g l α⨯===⨯对于转轴O ，棒在转动过程中只受到重力矩的作用，故机械能守恒。