时滞系统稳定性分析与应用(孙健,陈杰,刘国平著)思维导图
时滞系统稳定性分析和镇定：一种基于Finsler引理的统一观点
时滞系统稳定性分析和镇定：一种基于Finsler引理的统一观点刘健辰;章兢;张红强;何敏【摘要】This paper investigates the delay-dependent stability and stabilization of time-delay systems from the view-point of Finsler’s lemma.The free-weighting matrices method is a special case of the proposed unified framework.It is necessary to introduce multiplier matrices for the stability analysis of the time-varying delay systems.The construction of the multiplier matrices affecting the conservatism of the results is discussed.Improved stability criteria and design algo-rithms for the stabilizing controller are developed in terms of linear matrix inequalities.Numerical examples illustrate the effectiveness of the proposed methods.%从Finsler引理角度,研究时滞系统的时滞相关稳定性分析和镇定问题,发现自由权矩阵方法是该研究框架的一个特例,阐明引入乘子矩阵对分析时变时滞系统稳定性的必要性,讨论乘子矩阵结构对所得结果保守性的影响,提出一些改进的基于线性矩阵不等式的稳定性判据和镇定控制器设计算法,数值算例表明所提出方法的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2011(028)011【总页数】6页(P1577-1582)【关键词】时滞系统;时滞相关;Finsler引理;线性矩阵不等式【作者】刘健辰;章兢;张红强;何敏【作者单位】湖南大学电气与信息工程学院,湖南长沙410082;湖南大学电气与信息工程学院,湖南长沙410082;湖南科技大学信息与电气工程学院,湖南湘潭411201;湖南大学电气与信息工程学院,湖南长沙410082【正文语种】中文【中图分类】TP131 引言(Introduction)时滞普遍存在于自然和工程系统中[1],由于经常引起系统恶化甚至不稳定,其稳定性分析和控制器设计一直是研究热点之一[2～10].特别地,文献[11]从LMI的角度对时滞系统稳定性分析的最新进展进行了全面总结.已有研究方法大体分为频域方法和时域方法.由于频域方法在处理时变时滞,特别是控制器设计方面的局限性,时域方法所受关注程度较高,而且研究成果也较为丰富.时域方法又可分为Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函方法和Lyapunov-Razumikhin(L-R)函数方法.L-R函数方法由于相对较为保守,目前已经较少使用.对于线性时滞系统的稳定性,Gu等提出一种基于完整(complete)L-K泛函的充分必要条件[1],但由于其涉及无限维优化问题而无法直接求解.为此,研究者转而寻求近似解决该问题的途径,包括离散化(discretization)方法[1]和平方和(sum-of-squares)方法[12],但这两种方法都由于算法复杂和计算量巨大而限制了应用.相对于完整L-K泛函方法,研究者对简单L-K 泛函方法[7]更加感兴趣.简单L-K泛函方法的缺点在于其只能得到充分条件,这样减少保守性就成为近来研究的主要目标.这方面研究的早期成果在文献[1]中有较为集中的呈现,其中重点讨论了4种模型变换方法的特性,指出一阶模型变换和中立模型变换方法会因引入附加动态特性,而导致变换系统与原系统不再等价.因此另外两种方法:基于Park不等式[13](或Moon不等式[14])的模型变换法和Fridman广义模型变换方法[15]成为了一时的研究主流.直到后来,何勇等研究者发现这两种方法都等价于引入一些包含自由矩阵的零等式,如果显式地用零等式可以推广这两种方法,就可能取得保守性更小的结果,并称之为自由权矩阵(free-weighting matrices,FWM)法[5,6].自此之后,研究者沿着FWM法的研究思路,取得了大量的研究成果.但是最近,研究者在文献[16,17]中证明了已有文献中多种定常时滞系统稳定性判据之间的等价性,同时发现引入自由权矩阵对减小保守性没有任何意义.那么透过这些等价性,是否可以建立一个统一的研究框架哪?这构成了本文研究的基本出发点,即建立一个基于Finsler引理的时滞系统稳定性分析和控制器设计框架,并在此框架下探讨包括FWM法在内各种研究方法的内在联系,研究这一类方法所具有的独特问题和解决方案.受到文献[18]中的关于约束线性系统分析的启发,本文首先基于Finsler 引理分别建立定常时滞系统和时变时滞系统稳定性的等价充分条件.然后,提出一种可以避免迭代过程的直接控制器设计算法,并通过数值算例验证本文提出方法的有效性.本文中,对于对称矩阵A和B,A ＞(≥)B表示A−B正定(半正定);diag{·}表示块对角矩阵,即ξ=col{ξ1,ξ2}表示ξ=[ ]T;B⊥ ∈ Rn×(n−r)为矩阵B ∈Rm×n的右正交补,且rank(B)=r;矩阵中的“∗”表示对称元素;0n和In分别表示n×n维的零矩阵和单位矩阵,且一般简写为0和I;0n×m表示n × m维的零矩阵;ei(i=1,2,···,p)为块元矩阵(block entry matrices),如e2=[0 I 0n×(p−2)n];在没有引起混淆的情况下,变量x(t),x(s)和h(t)等分别简写为x,xs和ht等.2 稳定性分析(Stability analysis)2.1 定常时滞系统(Constant delay systems)Finsler引理早在1937年就已经提出,但主要用于线性规划等研究领域.直到1997年,Skelton等研究者开始利用Finsler引理进行控制系统分析[19].基本的Finsler 引理如下:引理1(Finsler引理) 对于向量x,矩阵Ξ ＜0和B,如下4个条件相互等价:i)xTx＜ 0,∀Bx=0,x/=0;ii)(B⊥)TΞB⊥＜0;iii)存在标量µ,使得−µBTB＜0;iv)存在矩阵X,使得+XB+BTXT＜0.考虑如下定常时滞系统:其中:x(t)∈Rn为状态向量,d＞0为定常时滞,A,Ad∈Rn为定常矩阵,ϕ为初始状态. 下面,基于Finsler引理给出系统(1)的几种等价稳定性判据.定理1 如果存在适当维数的矩阵P＞0,Q＞0,R＞0,X和标量µ,使得如下条件之一得到满足,则系统(1)渐近稳定:其中:证采用如下广泛使用的L-K泛函(9):其中:P＞0,Q＞0,R＞0.计算式(9)的微分,可得使用Jensen不等式对式(10)的最后一项定界:其中.故而其中ζ0=col{,x,x(t−d),w}.这样根据Lyapunov-Krasovskii稳定性理论,如果则系统(1)稳定,其中η=col{x,x(t−d)}.注意到ζ0=η,所以式(13)等价于这对应于Finsler引理的条件i).进而由Finsler引理的条件ii),可得式(2).相似地,采用ζ1=col{,x,x(t−d),−w}和Finsler引理的条件iv),可得式(3).如果首先采用约束∀S3ζ0=0,则根据Finsler引理,如果式(14)成立,则系统(1)渐近稳定.其中ζ2=col{,x,x(t−d)}.再对式(14)利用Finsler引理的条件iv),可得条件(4).相似地,如果首先采用约束∀S5ζ0=0,则如果式(15)成立,系统(1)渐近稳定.其中ζ3=col{x,x(t−d),w}.再利用Finsler引理的条件iv),可得条件(5).条件(6)～(8),可由条件iii)得到. 证毕.注 1 基于Finsler引理,定理1给出的定常时滞系统等价稳定性判据,分别对应于Finsler引理的条件ii),iii)和iv),以及约束矩阵和乘子矩阵的不同选择.这样,定理1就提供了一个定常时滞系统稳定性分析的研究框架,大量已有技术可以融入这一框架,获得等价的(或不等价)的稳定性判据.比如,用其他积分不等式[20]代替Jensen不等式,所得结果与定理1等价;用一些模型变换系统(如中立型变换、广义模型变换等)代替原系统(1),如果模型变换系统与原系统等价(如广义模型变换),则所得结果也与定理1等价,否则不等价(如中立型变换);通过S--过程[21]引入一些不等式约束.下面将具体表明已有文献中的结果只是定理1的特例,而定理1中的标量乘子条件(6)～(8)在已有文献中还未出现过.实际上将式(2)中选为再由Schur补即可得到文献[7]中提出的稳定性判据.根据定理1和注1可见,不论采用何种约束矩阵和乘子矩阵,不论结合何种等价技术(积分不等式、模型变换),从Finsler引理的角度,所得结果都与条件(2)等价,且由于条件(2)不引入任何乘子变量而最为简单,从而解释了文献[17]的结论.在条件(3)中,如果选择X=[N M],则式(3)等价于ζ0 ＜ 0的两边加上零等式(16)和(17)的两边:实际上,在FWM法中,矩阵N,M被称为自由权矩阵,式(16)(17)分别对应于系统方程(1)和Leibniz-Newton公式.若选择进行合同变换,即可得文献[6]的结果.在一些FWM法文献中,仅使用零等式(16),这意味着(x,)中的被保留下来而未被系统方程(1)所替换,这对应定理1中的条件(4).也有文献仅使用零等式(17),这对应定理1中的条件(5).实际上,若选择由式(5)可得文献[9]的结果.由以上分析可见,FWM法是定理1的特例,而自由权矩阵本质上就是Finsler引理中的乘子矩阵.2.2 时变时滞系统(Time-varying delay systems)本节将沿着2.1节的思路,基于Finsler引理,研究如下时变时滞系统的稳定性判据:其中ht表示时变时滞,且满足定理2 如果存在适当维数矩阵P＞0,Q1＞0,Q2＞ 0,R ＞ 0和X,使得式(20)或(21)对于ht=0和均成立,则系统(18)渐近稳定.其中:证考虑采用L-K泛函(22):其中:P＞0,Q1＞0,Q2＞0和R＞0.计算式(22)的微分,可得由Jensen不等式,有其中:w1=(x−x(t−ht))/ht,w2=(x(t−ht)− x(t− ))/t. 当ht=0和时,根据导数定义,分别有w1(ht=0)=(t),w2(ht=)=(t−).但实际上,以下证明中w1和w2在ht=0或处的定义并不影响证明过程.这样,如果式(25)或式(26)成立,则系统(18)渐近稳定.其中:ξ1=col{x,x(t−ht),x(t−),w1,w2},ξ2=col{,ξ1}.再由Finsler引理,即可得(20)和(21).证毕.注2 从定理2可以看出时变时滞系统与定常时滞系统的本质不同在于:时变时滞ht 会不可避免地出现在二次不等式1(ht)和约束矩阵S8(ht)或S9(ht)中,这使得如果不引入乘子变量,所得判据中ht将以非线性形式出现.而对于存在非线性时变参数的矩阵不等式,将无法有效计算其可行性.另一方面,引入乘子变量可以解除耦合,使得时变参数ht线性地出现式(20)或(21)中.而根据鲁棒稳定性理论[21],该LMI的可行性等价于其在不确定性参数的顶点处的可行性,从而最终获得可以有效检验的LMI稳定性判据.因此,定理2反映了为了获得可以有效检验的时变时滞系统稳定性判据,引入乘子变量是必要的.而对定常时滞系统稳定性分析,由于二次不等式和约束矩阵中不存在时变参数,导致没有必要引入乘子变量.从中也可发现,在时变时滞系统的稳定性分析中,时变时滞ht实际上被看作为一个多胞型不确定性参数,这与凸组合方法(convex combination method)[22]在本质上完全相同.注3 需要注意的是,在对式(23)的最后一项定界时,如果忽略一些有用项,可以去除在二次不等式和约束矩阵中的ht,从而得到不引入乘子变量的稳定性判据.但这种处理方法必然放大对式(23)最后一项上界的估计,从而增大所得结果的保守性.文献[5]和文献[2]中分别忽略了不同的有用项,所引入的保守性程度也不同,比较结果见例1. 注4 根据Finsler引理,如果将乘子矩阵设置为某种特殊结构,也可能引入保守性.所以,需要特别注意乘子矩阵X的结构选择问题,而已有研究对于该问题很少涉及.以定理2中条件(20)为例,如果采用全参数结构,即乘子矩阵X采取5n×2n维的无约束矩阵,将使得式(20)中出现零对角元素,而零对角元素的同行列元素不全为零的情况,这将导致严重的数值计算问题而无法正确求解.为了避免这种情况的发生,目前通用的方法是将乘子矩阵X中与w1和w2对应的行设置为全零行.在例1中将通过数值计算分析乘子矩阵结构选择对保守性的影响.在注1中提到,通过S--过程可以引入一些不等式约束,下面将文献[23]中从频域提出的一个不等式约束通过S--过程引入到定理2中,获得一个新的时变时滞系统稳定性判据.推论1 如果存在适当维数矩阵P＞0,Q1＞0,Q2＞ 0,Q3＞ 0,R ＞ 0和X,使得式(27)或(28)对于ht=0和均成立,则系统(18)渐近稳定.其中:(ht)= (ht)+αQ3e1+βQ3(e2−e4)+(e2−e4)TβQ3e1−(e2−e4)TQ3(e2−e4),α = −(c2 − r2)2,β =c,c=0.251,r=0.749.证文献[23]中提出其中w3=x− x(t−).这样利用S--过程,由定理2就可以容易地证得结论. 证毕.例1 考虑一个在文献中广泛研究的时变时滞系统(18),参数如下:表1中给出对于不同µ,不同方法所取得的保证该系统渐近稳定的最大时滞上界max.由表1可以看出,定理2(除a)和d)两种情况)比文献 [5]和文献[2]可以取得更大的max.文献[5]和文献[2]中都对式(23)最后一项上界的估计进行了放大,由于被忽略的有用项不同,所引入的保守性也不同.定理2由于避免了忽略有用项,具有比文献[5]和文献[2]更低的保守性.另外表1给出了当定理2中的乘子矩阵X取如下一些典型结构时所对应的结果,其中Xkn×ln代表kn×ln维的无约束矩阵.对式(20):对式(21):由表1可以看出,当X采用参数结构a)和d)时,会由于自由度的缺失,而导致保守性较大.增加自由度可以降低保守性,特别当X采用参数结构b)和e)时,可在保持最小保守性的同时,涉及最少的求解变量.表1 对于不同µ的最大时滞上界maxTable 1 Maximum delay upper boundhmaxfor differentµµ0 0.1 0.2 0.5 0.8文献[5] 4.472 3.605 3.039 2.043 1.492文献[2] 4.472 3.606 3.043 2.072 1.590定理2式a),d) 4.358 3.462 2.864 1.741 0.928定理2式b),c),e),f)4.472 3.658 3.163 2.337 1.934文献[24] 4.5683.673 3.085 2.043 1.492推论1式e) 5.0024.000 3.349 2.337 1.934由表1可见,在对乘子矩阵都采用相同参数结构的条件下,推论1取得了比定理2更大的max(特别在µ较小时),这体现了由S--过程引入不等式约束(29)的作用.作为对比,文献[24]基于二次分离法也使用了不等式约束(29),但由表1可见推论1对文献[24]的结果也有一定的改进.3 控制器设计的直接法(Direct algorithm for controller design)本节以定常时滞系统为例,提出一种改进的时滞相关控制器设计算法,即对系统设计状态反馈控制u(t)=Kx(t)使得闭环系统渐近稳定.用AK=A+BK取代式(4)中的A,且取可得其中:参数化乘子矩阵X为[N N 0],对式(31)的左边用diag{N−1,N−1,N−1}取合同变化,并令V=N−1,=V PV,=V QV,=V RV,U=KV,可得其中:这样,可得如下一种避免迭代过程的直接控制器设计算法.算法1 直接控制器设计算法.Step1 设d＞0为足够小的初始时滞上界.Step2 对于正定对称矩阵,,和矩阵V,U,求解式(32).如果式(32)不成立,退出算法. Step3 如果状态反馈增益K=UV−1满足设计要求,记dmax=d,K∗=K,增大d,返回Step2;否则,退出算法.注5 算法1通过将乘子矩阵适当地参数化,直接获得状态反馈增益,从而避免了迭代过程.但根据注4,将X参数化为[N N 0]会由于丧失一定的自由度,从而增大保守性.不过以下的数值算例表明,其保守性并不太大.例2 考虑系统(30),参数为为了便于比较,在算法1中对控制增益矩阵K的大小进行不同的限制,即限定|kij|≤σ,σ＞0,其中kij为矩阵K的元素.对于不同的σ,由算法1得到最大时滞上界和相应的控制增益矩阵(见表2).表2中,“—”表示没有可行解.表2 算法1的结果Table 2 Results for Algorithm 1σ dmax K∗1 ——5 0.8 [−4.1530−3.8543]10 1.0 [−9.1537−5.6192]50 2.3 [−46.7779−15.1364]100 2.8 [−98.9933−29.1903]1000 5.0 [−986.0011−257.4562]10000 8.6[−9844.5−2497.0]100000 15.6 [−99893−25074]由表2可见,放松对控制增益矩阵K的限制,可以取得很大的dmax,但是得到的控制增益也非常大,这反映了算法1将乘子矩阵设定为特殊结构所引起的保守性.4 结论(Conclusion)本文建立了一个基于Finsler引理的时滞系统稳定性分析框架.这个新框架推广了FWM法,可以清楚表明引入乘子矩阵对于时变时滞系统稳定性分析的必要性.在这个统一框架下,提出一些新的稳定性判据和控制器设计算法,数值算例表明了所提出方法的有效性.参考文献(References):【相关文献】[1]GU K,KHARITONOV V L,CHEN J.Stability of Time-DelaySystems[M].Boston,American:Birkhauser,2003.[2]SHAO H.Improved delay-dependent stability criteria for systems with a delay varying ina range[J].Automatica,2008,44(12):3215–3218.[3]FRIDMAN E,SHAKED U.An improved stabilization method for linear time-delay systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2002,47(11):1931–1937.[4]XU S,LAM J,ZOU Y.New results on delay-dependent robust H∞control for systems with time-varying delays[J].Automatica,2006,42(2):343–348.[5]HE Y,WANG Q,LIN C,et al.Delay-range-dependent stability for systems with time-varying delay[J].Automatica,2007,43(2):371–376.[6]HE Y,WU M,SHE J,et al.Parameter-dependent lyapunov functional for stability of time-delay systems with polytopic-type uncertainties[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(5):828–832.[7]HAN Q.Absolute stability of time-delay systems with sectorboundednonlinearity[J].Automatica,2005,41(12):2171–2176.[8]SHAO H.New delay-dependent stability criteria for systems with intervaldelay[J].Automatica,2009,45(3):744–749.[9]XU S,LAM J.Improved delay-dependent stability criteria for timedelay systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(3):384–387.[10]SUPLIN V,FRIDAN E,SHAKED U.A projection approach to H∞control of time-delay systems[C]//Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control.New York:IEEE,2004:4548–4553.[11]XU S,LAM J.A survey of linear matrix inequality techniques in stability analysis of delay systems[J].International Journal of Systems Science,2008,39(12):1095–1113.[12]PAPACHRISTODOUIOU A,PRAJNA S.On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition[C]//Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control.New York:IEEE,2002:3482–3487.[13]PARK P.A delay-dependent stability criterion for systems with uncertain time-invariant delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1999,44(4):876–877.[14]MOON Y S,PARK P,KWON W H,et al.Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems[J].International Journal of Control,2001,74(3):1447–1455.[15]FRIDMAN E,SHAKED U.A descriptor system approach to H∞control of linear time-delay systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2002,47(2):253–270.[16]ZHANG D,YU L.Equivalence of some stability criteria for linear time-delaysystems[J].Applied Mathematics and Computation,2008,202(1):395–400.[17]XU S,LAM J.On equivalence and efficiency of certain stability criteria for time-delay systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2007,52(1):95–101.[18]DE OLIVEIRA M C,SKELTON R E.Stability tests for constrained linearsystems[M]//Perspectives in Robust Control.London:Springer,2001:241–256.[19]SKELTON R,IWAZAKI T,GRIGORIADIS K.A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design[M].London:Taylor and Francis,1998.[20]张先明.基于积分不等式方法的时滞相关鲁棒控制研究[D].长沙:中南大学,2006.(ZHANG Xianming.Study on delay-dependent robust control based on an integral inequality approach[D].Changsha:Central South University,2006.)[21]BOYD S,El G L,FERON E,et al.Linear Matrix Inequalities in System and ControlTheory[M].Philadelphia,USA:SIAM,1994.[22]PARK P,WAN KO J.Stability and robust stability for systems with a time-varyingdelay[J].Automatica,2007,43(10):1855–1858.[23]ZHANG J,KNOSPE C R,TSIOTRAS P.Toward less conservative stability analysis of time-delay systems[C]//Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision andControl.Piscataway:IEEE,1999:2017–2022.[24]ARIBA Y,GOUAISBAUT F,PEAUCELLE D.Stability analysis oftime-varying delay systems in quadratic separation framework[C/OL]//The International Conference on Mathematical Problems in Engineering,Aerospace and Sciences.Genoa,Italie,2008.Availablefrom:hal.inria.fr/docs/00/35/77/66/PDF/icnpaa08−hal.pdf.。
线性时滞系统的稳定性分析
线性时滞系统的稳定性分析孙凤琪【摘要】利用 Lyapunov 稳定性理论及矩阵分析方法，对线性时滞控制系统进行稳定性分析，通过范数有界不确定参数矩阵的限制，给出了系统稳定的新的充分性判据。
该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性不等式形式给出，可应用于标准和非标准的时滞奇异摄动系统的稳定性分析中。
%The author considered the stability problem of linear singularly perturbed systems with time-delay.Under the norm bounded uncertain matrix constraints,a new sufficient stability criterion was proposed by Lyapunov stability theory and matrix analysis method.This method is expressed in terms of linear matrix inequalities that does not require the system decomposition and reduction technique.Thus,the method is simple and feasible,which can be applied to both standard and nonstandard singularly perturbed systems with time-delay.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】6页(P709-714)【关键词】奇异摄动系统;时滞系统;不确定系统;稳定性分析;线性矩阵不等式;Lyapunov-Krasovskii泛函【作者】孙凤琪【作者单位】吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000【正文语种】中文【中图分类】O232考虑非线性时变时滞不确定控制系统模型：其中f，g∈Rn是满足f（0，t）＝0，g（0，t）＝0的未知时变非线性函数，表示模型中的参数摄动或不确定性，满足如下线性限定条件：其中α，β是已知的正常数界，其他条件与文献［5］中的相应系统相同.引理1［6］假设X，Y为定常实矩阵，则其中Q＞0为对称正定矩阵.引理2［6］设X，Y为向量，则式（3）变为特别地，当Q＝ε时，矩阵不等式2XTY≤ε－1 XTX＋εYTY成立.取f（x（t），t）＝（A＋DFE1）x（t），g（x（t－d（t）），t）＝（Ad＋DFEd）x（t－d（t）），＝0，＝0，则系统（1）变为如下线性系统：其中P＞0，Q＞0，P1＞0，P2＞0是适当维数的正定矩阵.则V（xt）即为正定的Lyapunov－Krasovskii泛函.将V（xt）沿系统（5）的轨迹微分，得“＊”表示对角位置处矩阵的转置，为消除不确定性，将式（9）进行如下变换：其中：Π＝P（A＋Ad）＋（A＋Ad）TP＋Q＋τ（λ1α＋λ2β）I；Σ＝P（DFE1＋DFEd）＋（DFE1＋DFEd）TP.由文献［5］中引理4.1知，存在η＞0，使得矩阵不等式M＜0，等价于式（10）对于变量P，Q，λ1，λ2和是线性的，即为式（7）.证毕.在系统（5）中，令E1＝0，Ed＝0，得：推论1 系统（5）是渐近稳定的当且仅当存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，使其满足矩阵不等式：此即为正常系统的稳定性条件［8－9］.此外，在条件（8）中，令P1＝0，P2＝0，即得相应的时滞独立稳定性判据：定理2 如果存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，满足下列矩阵不等式：则系统（5）是渐近稳定的，其中：“＊”表示对角位置处矩阵的转置；综上所述，本文研究了一类带有时变时滞不确定线性系统的鲁棒稳定性问题.采用Newton－Leibniz公式［8］，将离散时滞转变为分布时滞.通过构造一种新的Lyapunov泛函，应用引理2的放大方法，得到一种新的时滞依赖和时滞独立稳定性判据.该方法对系统不确定性的限制结构更具体，对加权矩阵的特殊选取使得鲁棒稳定性判据描述为线性矩阵不等式形式.与文献［6，9］相比，具有一定的优越性和可行性.该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性矩阵不等式形式给出，可利用现有优化方法对求解相关问题［9－12］提供理论参考，该方法也适用于标准和非标准情形下时滞系统的稳定性研究.【相关文献】［1］ TANG Gongyou.Suboptimal Control for Nonlinear Systems：A Successive Approximation Approach［J］.Systems ＆Control Letters，2005，54（5）：429－434. ［2］ ZHANG Xianfu，CHENG Zhaolin，LIU Qingrong.A Fuzzy Logic Approach to Optimal Control of Nonlinear Time－Delay Systems［C］／／Proceedings of the Fifth World Congress on Intelligent Control and Automation.New York：IEEE Press，2004：902－906. ［3］周朝霞.不确定时滞非线性系统的鲁棒稳定性研究［D］.南昌：南昌大学，2007.（ZHOU Chaoxia.The Robust Stability Study for the Uncertain Nonlinear Systems with Time－Delay ［D］.Nanchang：Nanchang University，2007.）［4］ Tang G Y，Wang H H.Successive Approximation Approach of Optimal Control for Nonlinear Discrete－Time Systems［J］.International Journal of Systems Science，2005，36（3）：153－161.［5］ Fridman E.Efects of Small Delays on Stability of Singularly Perturbed Systems ［J］.Automatica，2002，38（5）：897－902.［6］郑再东，崔宝同.一类广义不确定时滞系统的鲁棒容错控制［J］.计算机应用研究，2012，29（4）：1329－1331.（ZHENG Zaidong，CUI Baotong.Robust Fault－Tolerant Controlfor a Class of Uncertain Singular Systems with Time－Delay［J］.Appl Res Comput，2012，29（4）：1329－1331.）［7］孙凤琪.不确定时滞系统的控制器设计［J］.哈尔滨工业大学学报，2012，44（11）：129－132.（SUN Fengqi.Controller Design for Uncertain Time－Delay Systems［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2012，44（11）：129－132.）［8］俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法［M］.北京：清华大学出版社，2002：174－176.（YU Li.Robust Control：Linear Matrix Inequality Approach［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2002：174－176.）［9］姜偕富，徐文立.线性不确定时滞系统鲁棒指数镇定［J］.清华大学学报：自然科学版，2004，44（7）：997－1000.（JIANG Xiefu，XU Wenli.Robust Exponential Stabilization for Linearly Uncertain Time－Delay Systems［J］.Tsinghua Univ：Sci ＆Tech，2004，44（7）：997－1000.）［10］ SUN Fengqi，YANG Chunyu，ZHANG Qingling，et al.Stability Bound Analysis of Singularly Perturbed Systems with Time－Delay［J］.Chemical Industry ＆Chemical Engineering Quarterly，2013，19（4）：505－511.［11］孙凤琪.时变不确定时滞系统的稳定性分析［J］.吉林大学学报：信息科学版，2012，30（5）：456－461.（SUN Fengqi.Stability Analysis of Singularly Perturbed Uncertain Systems with Time－Varying Delay［J］.Journal of Jilin University：Information Science Edition，2012，30（5）：456－461.）［12］ Tang G Y，Wang H H.Successive Approximation Approach of Optimal Control for Nonlinear Discrete－Time Systems［J］.International Journal of Systems Science，2005，36（3）：153－161.。
随机时滞系统的稳定性分析
随机时滞系统的稳定性分析1. 随机时滞系统的基础理论概述随机时滞系统是指系统在运行过程中，受到了随机时滞的影响，进而导致系统的稳定性受到了影响。
本文将对随机时滞系统的基础理论进行概述，主要包括随机时滞系统的定义、特点及其常用的数学模型等。
同时，将从数学角度对随机时滞系统的稳定性进行讨论，以期为后续研究提供理论支撑。
在随机时滞系统中，时滞具有一定的随机性，因此很难用传统的时间域方法进行分析。
因此，需要采用一些数学工具进行分析，如概率论、随机过程等。
从而构建出适当的数学模型，用于研究随机时滞系统的稳定性。
本文将介绍各种随机时滞系统的数学模型，包括马尔可夫模型、布朗运动模型、白噪声模型等，以及基于这些模型的控制方法。
同时，还将介绍随机时滞系统的稳定性分析方法，如传统的LMI方法、LMIs和LMIs常微分方程方法等，以及这些方法的应用。
最后，结合随机时滞系统的应用实例，进一步探讨其应用前景。
2. 随机时滞系统的稳定性分析方法随机时滞系统的稳定性是指系统在稳定状态下运行的能力，是评估系统质量的一个重要指标。
本文将介绍随机时滞系统的稳定性分析方法，包括传统的LMI方法、LMIs和LMIs常微分方程方法等。
本文将详细介绍这些方法的原理与步骤，并以特定的例子加以说明。
对于传统的LMI方法，我们将介绍其基本思想，并讨论其在随机时滞系统中的应用。
对于LMIs和LMIs常微分方程方法，我们将详细介绍其基本原理，并讨论这些方法的优缺点以及其在实际应用中的表现。
此外，本文还将探讨一些新的稳定性分析方法，如时间反馈方法、李雅普诺夫方法等，以期能够拓展我们对随机时滞系统稳定性分析方法的认识。
最后，我们将介绍一些实际应用案例，以进一步阐明这些方法的有效性。
3. 随机时滞系统的稳定性控制随机时滞系统的稳定性控制是指通过对系统的控制方式进行调整，以达到控制系统在稳定状态下运行的目的。
本文将介绍随机时滞系统的稳定性控制方法，包括基于传统的反馈控制方法，以及新开发的控制方法。
T-S模糊时滞系统的稳定性分析与控制问题研究
研究t-s模糊时滞系统的稳定性分析及其控制问题，有助于提 高模糊控制系统的稳定性和鲁棒性，为工程实践提供理论支 持和技术指导。
研究现状与问题
现状
目前，针对t-s模糊时滞系统的稳定性分析已经取得了一定的研究成果，但大多数研究集中在特定的模糊逻辑 系统或时滞范围较小的情况下。
问题
然而，在实际应用中，时滞因素和模糊逻辑系统的复杂性往往会导致系统的不稳定性和控制性能下降。因此， 需要进一步研究t-s模糊时滞系统的稳定性及其控制问题。
t-s模糊时滞系统的稳定性 分析与控制问题研究
2023-10-30
目录
• 引言 • t-s模糊时滞系统模型 • t-s模糊时滞系统的稳定性分析 • t-s模糊时滞系统的控制问题研究 • 数值模拟与实验验证 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
背景
t-s模糊时滞系统是一种广泛应用于工程领域的模糊控制系统 ，其稳定性对于系统的性能和可靠性具有重要影响。
研究内容与方法
要点一
研究内容
本研究旨在研究t-s模糊时滞系统的稳定性分析及其控 制问题，主要内容包括：建立t-s模糊时滞系统的数学 模型；分析系统的稳定性和鲁棒性；设计有效的控制器 并对其进行优化。
要点二
方法
本研究采用理论分析和数值模拟相结合的方法，首先建 立t-s模糊时滞系统的数学模型，然后利用Lyapunov方 法、Razumikhin技巧等稳定性理论对系统进行稳定性 分析。同时，利用模糊控制理论、最优化方法等设计有 效的控制器并对其进行优化。最后，通过数值模拟验证 所提出方法的可行性和有效性。
06
结论与展望
研究结论
本文研究了t-s模糊时滞系统的稳定性分析与控制 问题，通过理论推导和仿真实验，得出了一些重 要的结论。
输出时滞控制系统稳定性分析及控制器设计-振动工程-南京航空航天
输出时滞控制系统稳定性分析及控制器设计邵敏强陈卫东（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016）摘要考虑滤波器时滞对受控系统的影响，研究受控输出时滞系统的稳定性能。
根据稳定性切换理论，确定多自由度受控系统的稳定时滞区域。
经过分析获得受控系统脉冲响应衰减时间接近最短时的时滞量，在此基础上采用时滞引入法和滤波器设计法进行控制器设计。
结合悬臂梁模型进行数值分析，结果表明：根据时滞系统稳定性分析设计的控制器能够使受控系统脉冲响应衰减速度提高80%以上，有效改善系统的控制效果和稳定性能。
关键词：振动主动控制；LQ控制；时滞；稳定性切换；滤波器中图分类号：O321 328 文献标识码：A引言时滞现象在振动主动控制中普遍存在，如响应信号采集、在线数据处理和控制力的计算等，都会产生时滞[1]。
控制系统中的时滞主要有两种，一是由系统硬件产生，包括信号采集或测试仪器、信号转换设备等带来的时滞；二是由控制算法或信号处理方法本身产生的时滞，如滤波器群时延[2]。
时滞问题的研究主要包括时滞消除和利用两个方面[3]，在时滞消除的研究方面，最早人们普遍认为时滞会给系统带来不利影响，使系统控制效果下降，甚至导致失稳。
一些处理手段如泰勒展开，状态预估等方法[4, 5]不断被提出，在处理小时滞量的问题上取得了显著的效果。
李卫等[6]针对输入时滞系统，在进行离散化之后采用扩维方法将系统转换为不含时滞的标准离散状态方程，结合线性二次型(Linear Quadratic, LQ)最优控制方法进行控制器设计，解决了任意时滞情况下的控制问题。
Cai等[7, 8]对该方法进行更加深入的研究，并应用于三层楼模型的振动主动控制。
该受控系统的时滞主要来源于作动器输出与输入之间的时间延迟。
在此基础上，Haraguchi等[9]进一步研究了任意输入时滞影响下离散系统的控制问题，所提出的方法在原时滞系统转换至不带时滞的离散状态方程的过程中无需增加维数，避免了扩维，大大减少了计算工作量。
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析作者：孔建云刘茂省王弯弯来源：《河北科技大学学报》2017年第03期摘要：为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。
结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。
研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。
关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支中图分类号：O175.13文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003Abstract：In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.Keywords：stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。
时滞系统的鲁棒稳定性分析讲义
8.1.2 基于频域方法的稳定性
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.1.2 Lyapunov-Krasovskii稳定性定理
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.1.2 Razumikhin稳定性定理
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.1.3 常用不等式
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.2.1 时滞无关稳定性分析 --频域方法
时滞系统的鲁棒稳定性分析
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.3.3 时滞相关稳定性分析 --确定型模型变换方法(6)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.3.4 时滞相关稳定性分析 --自由权矩阵方法(1)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.3.4 时滞相关稳定性分析 --自由权矩阵方法(2)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.4 时滞相关鲁棒稳定性分析(1)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.4 时滞相关鲁棒稳定性分析(2)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.4 时滞相关鲁棒稳定性分析(3)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.4 时滞相关鲁棒稳定性分析(4)
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.5 问题和展望
时滞系统的鲁棒稳定性分析
即当前状态变化率不仅依赖于当前时刻的状态，也依赖于过去 某时刻或某段时间的状态，系统的这种特性称为时滞，具有时 滞的系统称为时滞系统。
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.1.1 时滞系统的分类
--时滞在状态方程中的位置
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.1.1 时滞系统的分类
--状态方程的系统矩阵
时滞系统的鲁棒稳定性分析
时滞系统的鲁棒稳定性分析
8.3.4 时滞相关稳定性分析 --自由权矩阵方法(7)
切换时滞系统稳定性分析
目录目录 (I)摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)第一章正系统及切换系统 (2)1.1预备知识 (2)1.1.1 符号说明 (2)1.1.2 数学知识 (2)1.2正系统 (2)1.2.1 正系统简介 (3)1.2.2 无时滞正系统定义及稳定判据 (3)1.2.3 实例仿真 (3)1.2.4 结果分析 (4)1.3切换系统 (4)1.3.1 切换系统的定义及稳定判据 (4)1.3.2 实例仿真 (5)1.3.3 结果分析 (6)1.3.4 稳定性 (6)本章小结 (6)第二章含有时滞的离散切换系统稳定性 (7)2.1 含有时滞的离散时间切换系统 (7)2.1.1 离散切换时滞线性正系统的简介 (7)2.1.2 稳定判据 (7)2.1.3 实例仿真 (8)2.1.4 结果分析 (9)2.2离散切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 (9)2.2.1 a值（即系统参数）对系统稳定性的影响 (9)2.2.2 初始值对系统稳定性的影响 (12)2.2.3 时滞对切换时滞系统的影响 (13)本章小结 (16)第三章含有时滞的连续时间线性切换系统 (17)3.1连续切换时滞线性正系统 (17)3.2稳定判据 (17)3.2.1 实例仿真 (18)3.2.2 仿真结果分析 (19)3.3连续切换时滞线性正系统稳定性的影响因素 (21)3.3.1 a值对连续切换时滞线性正系统的影响 (21)3.3.2 时滞对连续切换时滞线性正系统的影响 (21)3.3.3 初始值对连续切换时滞线性正系统的影响 (24)本章小结 (24)总结 (25)参考文献 (26)致谢......................................... 错误！未定义书签。
摘要由于切换系统和时滞相互作用，切换时滞系统要比一般的系统要复杂的多。
同时，切换时滞系统在工程应用中得到广泛的关注，许多现实的系统都可以建模为切换时滞系统。