人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》
几何体外接球常用结论及方法
几何体外接球常用结论及方法几何体的外接球是指能够将该几何体完全包围的球。
在三维空间中，我们常见的几何体有球、正方体、长方体、圆锥体、圆柱体、四面体等。
下面将介绍几何体外接球的常用结论及求解方法：1.球的外接球：球本身就是一个外接球，其半径即为球的半径。
2.正方体的外接球：正方体的外接球是一个球心位于正方体空间对角线中点处的球。
对角线在空间中的长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于正方体一条边的平方根乘以根号3、因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
3.长方体的外接球：长方体的外接球是一个球心位于长方体空间对角线中点处的球。
同样，对角线长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于长方体的长、宽、高的平方和的开方。
因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
4.圆锥体的外接球：圆锥体的外接球是一个球心位于圆锥体顶点与底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
5.圆柱体的外接球：圆柱体的外接球是一个球心位于圆柱体两个底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
6.四面体的外接球：四面体的外接球是一个球心位于四面体四个顶点的外接圆圆心的球。
外接球的半径等于外接圆的半径。
以上是几何体外接球的常用结论。
接下来我们介绍一种求解几何体外接球半径的常用方法，即通过计算几何体的顶点坐标来求解。
首先，根据几何体的类型和已知信息，确定几何体的顶点坐标。
对于球、正方体、长方体等简单的几何体，可以通过已知的半径、边长等信息得到；对于复杂的几何体，可以通过已知的顶点坐标及其它辅助信息求解。
然后，根据顶点坐标计算几何体的外接球的球心坐标。
球心位于几何体顶点的外接圆的圆心处。
对于球、正方体、长方体等几何体，直接取顶点坐标的平均值作为球心坐标；对于其它几何体，可以通过求解外接圆的圆心坐标来得到球心坐标。
最后，根据球心坐标和几何体顶点坐标，计算几何体的外接球半径。
外接球半径就是几何体顶点与球心之间的距离的最大值。
(仅供参考)高中数学几何体外接球求法
高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆（1）长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；（2）正三角形的内切圆半径：6a 外接圆半径：3a （3）正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球正方体的内切球5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
（1）长方体（或各个顶点都落在长方体顶点上的几何体）的外接球半径公式：2222c b a R ++=，,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长例：三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA 平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为()(A)(B)(C)3(D)12（2）正棱锥（底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体）的外接球半径公式：2,2a R h =，a 为侧棱长，h 为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥P ﹣ABCD 的高为3，底面ABCD 为正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD且AB ＝，则四棱锥P ﹣ABCD 外接球的半径为（）A．B ．2C ．D ．3（3）正四面体外接球半径公式：a 46R =，内切球半径：a 126R =，a 为棱长例：，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π（4）侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式：22)2(R hr +=，h 为几何体的高，r 为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A ．41πB ．C ．D ．57π（5）求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD ，PA ＝PD ＝AD ＝3，AB ＝4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为．三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A.π12125 B.π9125 C.π6125D.π31252、对角线构造例、在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，5==BC AD ，7==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积是__________．练习1、三棱锥A ﹣BCD 中，，AC ＝BD ＝2，，则该几何体外接球的表面积为．2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm 2，4cm 2和3cm 2，那么它的外接球的体积为______．3、在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，且AB ＝1，BD ＝，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A ﹣BDC 的外接球的表面积为．4、若三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，32=SA ，1=AB ，2=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为__________．5、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）A.6B.6C.3D.26、三棱锥P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰三角形，∠C ＝120°，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，AC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为．7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．25πB ．C ．D ．40π8、如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．441πD ．31π9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．36πB ．29πC ．28πD ．25π10、如图，正三棱锥A BCD -的侧棱长为2，底面BCD 的边长为，E 、F 分别为BC 、BD 的中点，则三棱锥A BEF -的外接球半径R =__________，内切球半径r =__________．。
人教版高中数学必修二《空间简单几何体的外接球问题》
r1 R R r2
d1
R
O O2 d2
O2 O d2
R R r2
M P1
R O d r O1
R
底面多边形有外接圆的直棱柱 底面多边形有外接圆时， 棱台存在外接球 存在外接球
底面多边形有外接圆时， 棱锥存在外接球
r1=r2=r h h1=h2= 2 h 2 2 2 R =r +( ) 2
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
R2=r12+d12 R2=r22+d22 h-d1=± d2 r22-r12=d12-d22=h2-2hd1 r12+h2-r22 2 2 2 d1= ,R =r1 +d1 2h
侧棱相等的三棱锥存在 外接球，球心在高 O1O2上
C A
O'
B
d2=h-R R2=r22+(h-R)2
直三棱柱都有外接球 斜三棱柱无外接球
设底面正方形的中心为 解： P ABCD为正四棱锥 PO' 面ABCD且球心O在线段PO' 上 r BD 2 d OO' 4 R R2 d 2 r 2 R 2 16 8R R 2 2 R 9 4
A D O' B A C D d O' P P
2
空间简单几何体的 外接球问题
空间简单几何体的外接球问题
两条主线：
空间简单几何体的 外接球 柱体的外接球
锥体的外接球 台体的外接球
旋转 体 圆柱
圆锥 圆台
人教版高中数学必修二《空间几何体的外接球》
2）在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 四个面都是直角三角形的四面体
3）在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 对棱相等： 其中一条棱与一个面垂直的四面体
【例题】：在四面体中 ABCD ,共顶点的三条棱两两垂直， 其长度分别为 1， 6 , 3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上， 求这个球的表面积。
练习：
例题：已知四面体 A1ABC的四个顶点都在球 O的表面上， A1A 平面ABC，ABC是边长为3的等边三角形，若 A1A 2，则球O的表面积为多少？
例题：正四面体的各个棱长为a， 求其外接球半径。
【举一反三】 若正四面体的中D-ABC中，二面角A-BC-D的 大小变为90度，求变化之后的四面体D-ABC 的外接球半径。
一、球心投影面是普通三角形
O
一、【知识复习】常见多面体的外接球
长方体 直棱柱 正棱锥
图
（在图中 画出外接 球心位置 ，并画出 相应需要 的辅助线 ） 外接球球 心位置 球半径 如果长方体的长宽高a,b,c， 外接球半径是多少？外接球 半径是多少？ 如果底面外接圆半径为r， 棱柱高为h，外接球半径 R。它们三个之间有什么 样的等量关系? 如果底面外接圆半径为r， 高为h，外接球半径R。 它们三个之间有什么样的 等量关系?
柱体外接球球心
例题：已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的6个顶点都在球 O的球面上，若 AB 3， AC 4，AB AC，侧棱AA1 12，则球O的表面积为多少？
二、补形法
(1)在长方体中画出与长方体共顶点的四面体： 从一个顶点出发的三条侧棱两两互相垂直 的四面体
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是 长方体的体对角线的长即为外接球的直径
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
几何体的外接球
几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》
【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 （辽宁卷，理 16） 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
几何体的外接球精彩讲义
例 已知三棱锥 A − BCD 中，AB=AD=CD=1，BC⊥CD， BD = 2 , ,则该三棱锥的外接球的半径
为
．
A
解：如图所示，△ABC，△BCD 均为直角三角形，O 为 BC 的中点，
易知，O 为外接球球心， R = 1 BC = 2 。
2
2
B
C
O
D
结论 6：一般棱锥外接球球心的找法
寻找底面多边形的外接圆的圆心 M 过 M 作底面的垂线 l 任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与 l 的交点即为外接圆的圆心
中， AB ⊥ BC, BC ⊥ CD ，平面BCD ⊥ 平面ABC ，BC=BD=AB=2,则该三
棱锥的外接球的半径为
．
解：如图，可知 R = 3
注：含有三个直角三形的三棱锥一般均可以补成长方体： 例：已知在三棱锥 P-ABC 中，已知 AB=1，PA=2，AC=3，其外接球的半径为 R (1)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，则 R= (2)若 PA⊥AB，PA⊥PC，AB⊥BC,则 R= (3)若 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，则 R=
注：实际使用中，通常在垂线 上任设一点 O ，然后利用 O 到各点的距离相等，从而确定外接球球心的
半径 （二）补形法 构造正方体或长方体确定球心
方法一：补成棱柱
有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱
例：已知在三棱锥 A-BCD 中，底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形，且 AC = AD = 13 ，若 AB=2，
例：已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注
水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水 8
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1 1 2
2 2
2
2R
O P C
A
例 2.已知棱长为
6 的正四面体（四个面都是正三角形的
9 三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，求此球的体积. 2
C
正方体边长 a 3
体对角线长度 2R 3a 3
A
B
D
1. 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA 平 面 ABC ， AB BC ， SA=1,AB=2,BC=3，求三棱锥 S-ABC 外接球的半径.
长方体的长宽高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，求球O
的半径.
2R 3 2 1
2 2
2
14 R 2
例 1. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA,PB,PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且
PA=PB=1，PC=2，求三棱锥P-ABC外接球的面积. 6
B
求长方体体对角线的长度
O'' S
O
C
O' A B
方法二 解题情景 解题步骤
几Байду номын сангаас法（直三棱柱） 侧棱垂直于底面 解 OO' 、 球的半径 OA 、 截面圆的半径 O' A 确定的
Rt OO' A ,
本节配套试卷
S
14 2
B A C
2.三棱锥 S-ABC 中， SB AC 5 , SC AB 13 , SA BC 10 ,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径. 14
2
S
A
c B a b C
B
C
S
A
O P C
B A C
B D
A
方法一 解题情 景 解题步 骤
模型法（长方体） 侧棱垂直于底面，底面为直角三角形 或每组对棱相等 把几何体放在长方体中，长方体的外接球的半 径r 1
2 a 2 b2 c2
就是几何体的外接球半径.
在直三棱柱 ABC A ' B ' C ' 中，AB 2 ，AC 3 ，A 求直三棱柱 ABC A ' B ' C ' 的外接球的半径.
A
O''
3
，AA1 2 ，
B
C
21 底面外接圆半径 r 3
外接球半径 R
7 2 30 1 3 3
O
A'
O'
B'
C'
例 3.已知四面体 P ABC 中, PB 4, PA 1, PC 3, AC 1,
PB 平面 PAC ,求四面体 P ABC
B
外接球的半径.
底面外接圆半径 r 1
外接球半径 R 22 12 5
O
C
P
A
练习 2． 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA 平 面 ABC， SA 2 3 ，AB=1， BCA 30 ,求球 O 的体积.