高考数学复习知识点：轨迹方程的求解
怎么求轨迹方程
怎么求轨迹方程求轨迹方程是解决数学问题的一种方法，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍如何求解轨迹方程的方法和技巧，希望能对读者有所帮助。
一、轨迹方程的定义轨迹方程是描述物体在运动过程中所经过的路径的数学函数。
它通常用一组参数表示，可以是时间、速度、加速度等。
在二维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为时间参数，x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的坐标。
在三维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示物体在三个方向上的坐标。
二、求解轨迹方程的方法1.解析法解析法是一种通过分析物体运动的规律，推导出轨迹方程的方法。
这种方法通常适用于简单的运动情况，如直线运动、匀加速运动等。
例如，对于一个匀加速运动的物体，可以通过运用物理学公式推导出它的轨迹方程。
2.几何法几何法是一种通过绘制物体运动的轨迹图像，从而推导出轨迹方程的方法。
这种方法适用于物体运动的轨迹比较规则的情况，如圆形运动、椭圆形运动等。
例如，对于一个绕着圆心旋转的物体，可以通过绘制其轨迹图像，推导出它的轨迹方程。
3.数值法数值法是一种通过数值计算的方法，求解轨迹方程的近似解。
这种方法通常适用于无法用解析法或几何法求解的复杂运动情况，如自由落体运动、抛体运动等。
例如，对于一个自由落体运动的物体，可以通过数值计算出其在每个时间点上的位置，从而近似地求解出它的轨迹方程。
三、求解轨迹方程的技巧1.选择合适的方法在求解轨迹方程时，需要根据具体的问题选择合适的方法。
如果物体运动比较简单，可以采用解析法或几何法；如果物体运动比较复杂，可以采用数值法。
不同的方法有不同的优缺点，需要根据具体情况选择。
2.确定参数在求解轨迹方程时，需要确定一组参数来表示物体的运动状态。
这些参数可以是时间、速度、加速度等。
需要根据具体问题选择合适的参数，并注意参数的物理意义。
3.运用数学工具在求解轨迹方程时，需要运用数学工具，如微积分、向量、矩阵等。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理-圆的轨迹方程例题
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。
轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。
一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。
分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
解：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
二、定义法
例2. 点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线
的距离相等。
由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
分析：抛物线的焦点为。
设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。
解：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。
分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m
来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
解：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
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专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
求轨迹方程的方法
求轨迹方程的方法轨迹方程是描述物体在运动过程中所遵循的路径的数学表达式。
轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。
下面将介绍几种常见的物体运动方式，并讨论如何求解它们的轨迹方程。
1.直线运动：物体在直线上做匀速或变速直线运动时，其轨迹方程为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
若已知起始点的坐标和运动速度，则可以通过这些参数来确定轨迹方程。
2.曲线运动：物体在空间中做曲线运动时，其轨迹方程一般无法用简单的直线方程表示。
这时需要通过其他方法来求解轨迹方程。
以下是几种常见的曲线运动例子：-圆周运动：若物体做匀速圆周运动，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)，其中r为圆的半径，θ为角度。
通过改变θ的取值范围，可以得到整个圆周的轨迹方程。
-椭圆运动：椭圆运动可以用参数方程表示：x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ)，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个椭圆的轨迹方程。
-抛物线运动：物体做匀速或变速抛物线运动时，其轨迹方程可以用解析几何中的一般二次方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
通过给定的起始点和速度，可以确定这些常数，从而求解轨迹方程。
-双曲线运动：物体做匀速或变速双曲线运动时，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = a * sec(θ)，y = b * tan(θ)，其中a和b为常数。
同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个双曲线的轨迹方程。
除了上述运动方式外，还存在许多其他复杂的运动形式，例如螺线、摆线等。
对于这些运动形式，求解轨迹方程的方法往往需要借助更高级的数学工具，如极坐标、参数方程、微分方程等。
总结起来，轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。
对于直线运动，可以直接得到轨迹方程；对于曲线运动，常常需要借助参数方程、解析几何等数学工具来求解。
对于更加复杂的运动形式，可能需要借用更高级的数学方法来确定轨迹方程。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
高三高考数学中求轨迹方程的常见方法
高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：),3(),,2(y x y x --=---= ，2)3)(2(y x x +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x . 三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --.ΘN 在直线上，.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得,111=--x x y y 即011=-+-x y y x .②联解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为25221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠kk ，则直线OB 的斜率为k1-.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==kp y k px 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -. 由中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=pk kpy pk k px 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=①；直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②. ①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x Θ)(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C：22(16x y ++=内一点()A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．4kx =（28k y >） 9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 设PQ 所在直线方程为(1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44yx =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =u u u r u u u u r ， GM AB R λλ=(∈)u u u u r u u u r．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =u u u r u u u r，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ． ∵ GM AB λ=u u u u r u u u r ，点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =u u u r u u u u r，(0,1)A -，∴= 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =u u u r u u u r，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+， ∴2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且k ≠． 故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=u u u r u u u r．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅u u u r u u u r为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+u u u r ，(0,4)MN =u u u u r ，(,2)PN x y =--u u u r, 48MP MN y ⋅=+u u u r u u u u r．PN MN ⋅=u u u r u u u u r……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴48y+= 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =u u u r u u u r（1m >），0MN AF =⋅u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，//AM ME u u u u r u u u r ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME u u u u r u u u r，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===u u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||MA MF =u u u r u u u r ，∴ ||||2||ME MF m EF +=>u u u r u u u r u u u r ，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）． 7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++r，(2)b xi y j =+-r ， 且||||8a b +=r r．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．Q 0OP OA OB =+=u u u r u u u r u u u r，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k=-+， Q OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r．1122(,),(,)OA x y OB x y ==u u u r u u u rQ ， ∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得5k =． 故存在直线l ：53y x =+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF uuu r =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =u u u u r u u u u r ，点P 满足：//PQ EF u u u r u u u r ，0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=， 当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y=-．∵ FM MQ =u u u u r u u u u r ，//PQ EF u u u r u u u r ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r ，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，||||PM PN =u u u u r u u u r．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OAOB ⋅=-u u u r u u u r，且||AB ≤l的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =u u u u r u u u r得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--u u u u r ，(1,)2yPF =-u u u r ，又0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，∴204yx -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． 10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=u u u，0MN MP +=u u u u r u u u r r ．（1）求P 点轨迹E 的方程； （2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a=r平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围． 解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-u u u u r 、(, 1)MF a =-u u u r、(, )MP x a y =-u u u r．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． 11．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =u u u r u u u r，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-u u u r u u u r， ∴14mn =．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---，∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =u u u r u u u r 得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-， 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--， 消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||AB =u u u r P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．记动点P 的轨迹为C ．（I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=u u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又AB =u u u r ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l的方程；（y x =）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525xy +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =， 则1221)yy x x +=-，2112)y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知||PF =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；15．如图，直线:1l ykx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k=，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分 显然23k10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b 43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k >或1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是11(,(,0)(0,))22-∞-+∞U U U ．…………………14分 17．已知向量OA u u u r=(2，0)，OC u u u r =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM u u u u r ·AM u u u u r =K(CM u u u u r ·BM u u u u r -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围. 18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，1()2ON OC OD =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；xyOA BEF M（2）若M 为动点，且90EMF∠=o ，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值． 法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+u u u u r u u u r u u u r．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程； （2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =u u u r u u u r，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围．。
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2019高考数学复习知识点：轨迹方程的求解2019高考各科复习资料
2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；
⒉写出点M的集合；
⒊列出方程=0；
⒋化简方程为最简形式；
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法
等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系；外语学习网
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式——列出动点p所满足的关系式；
④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其
转化为关于X，Y的方程式，并化简；
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多
课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。