《数列的概念与简单表示法》-教学设计讲课讲稿

2.1.1 数列的概念
一、教学目标
<1>了解数列的概念
通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。

同时了解数列的几种分类。

<2>了解数列是一种特殊的函数
了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点
<1>教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

<2>教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程
第一课时
<1>创设情境，实例引入
1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。

留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗
1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...
（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。

我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。

那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。

）
2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。

（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。

大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什
么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。

现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。

）
<2>概念的提出
1、数列（sequence of number ）：按照一定顺序排列着的一列数
（我们可以借助它的专业英语对这一概念进行理解，我们知道sequence 在英语中表示序列、顺序，故而顾名思义，sequence of number 即数列表示这一列数的排列顺序。

）
联系生活中的数列实例：银行利息
（在了解了数列的概念之后，大家能否举出一些生活中的数列的例子呢？
大家知道我们把钱存进银行，我们账户上的存款除了我们本身存进去的钱还包括一定的利息，我们会发现每一个单位时间内我们帐户的利息的值是按照一定的顺序排列起来的。

再如，有养过兔子的同学会发现兔子产出的小兔子数量也可以构成一个数列。

）
2、项：数列中的每一个数称为这个数列的项
（我们知道，由数列的概念进行解读，数列是按照一定顺序排列起来的一组数，故而数列中的每一项都和它的序号有关。

）
我们称排在第一位的数为这个数列的第一项或首项，称排在第二位的数为这个数列的第二项，...，（以此类推）称排在第n 位的数为这个数列的第n 项。

故而，数列的一般形式可以写成
,...,...,,321n a a a a
简记为{}n a
<3>数列的分类
（我们可以按照数列的特点进行适当地分类。

）
1、按照数列的项数进行分类
项数有限的称为有穷数列
项数无限的称为无穷数列
2、按照数列中数的大小特点进行分类
每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列
各项相等的数列称为常数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数列
（现在我们根据数列的分类来判断一下课本P28的几个数列是属于哪一类数列） 练习P28-观察
<4>数列与函数的关系
（我们再来观察一下数列的特点，大家是否有发现数列中的数与它所对应的序列号的关系呢？大家是否可以联想到从前学习的某些内容呢？提问学生。

）
事实上，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，3，。

，n ｝）为
定义域的函数)(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

对于函数)(x f y =，如果...)3,2,1)((=i i f 有意义，那我们就可以得到一个数列 ),...(),...3(),2(),1(n f f f f
<5>归纳小结
（我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，数列的两种分类。

另外，我们发现数列实质上是一种特殊的函数。

）
回顾数列的概念，数列的两种分类以及数列的实质：是一种特殊的函数。

<6>作业布置
P33 习题2.1 A 组 1
第二课时
<1>数列的简单表示法的学习
1、通项公式
（在上节课的学习中，我们一同认识了数列这个新的数学概念，得知可以将其定义为一种特殊的函数，在此基础上，我们可以这样提出：）
如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，我们可以根据数列的通项公式写出数列。

练习：课本例1
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）4
1-3121-1，，， （2）0202，，，
解：
（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 故它的一个通项公式为n
a n n 1
)1(+-=
另一种表示法：
⎩⎨⎧===-=-=,...)3,2,1,2(1
,...)3,2,1,12(1m m n n m m n n
n a （2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的通项公式为
1)1(1+-=+n n a
2、图象、列表法
（我们一同来回忆一下函数的集中表示方法，函数常用的三个表示法为解析法、列表法、图象法。

数列作为一种特殊的函数，自然拥有函数的一般性质。

事实上，数列的通项公式可以相对应于函数的解析式，同样数列也可以用图象和列表来表示。

）
例如：全体正偶数按从小到大的顺序构成数列
2，4，6，... ，2n ，...
则该数列可以用列表和图表分别表示出来（表2-1和图2.1-4）
练习：课本P30 例2
图2.1-5中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形。

在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像。

解：
如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27
则可知所求数列的前四项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式为13-=n n a
则可在直角坐标系中作出该数列图象如图2.1-6
（大家可以从图上发现数列的图象是一些离散的点，大家想想是为什么呢？主要是由于数列中自变量的取值是一系列离散的点。

）
3、递推公式
（在一个由拥有某些共同点的个体组成的总体中，允许个体存在个性。

数列作为一种特殊的函数，自然有其个性，我们一起来研究一下这一个个性。

） 如果一个数列{}n a 的首项为1a =1，
从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上1，即
)1(121>+=-n a a n n ，
那么...
7123
122312=+==+=a a a a
像这样给出数列的方法称为递推法
我们将)1(121>+=-n a a n n 称作递推公式。

练习：课本P31 例3
设数列{}n
a 满足⎪⎩⎪⎨⎧=>+=-1
)1(1111a n a a n n ，请写出这个数列的前五项。

解：
由题意可知
5853111,8532111,2321111,211111,
1453423121=+=+==+=+
==+=+
==+=+
==a a a a a a a a a
<2>归纳小结
（我们今天探究了数列的几种简单表示法，我们一同来共同回忆一下。

）
回顾本节学习的数列的几种简单表示法：通项公式、图象法、列表法、递推公式，与函数的表示法进行类比。

<3>作业布置
P33 习题2.1 A 组 2、3、4、5、6。