数学思想方法之化归与转化思想
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。
这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。
(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。
瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。
[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
专题四转化与化归思想
则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
化归与转化思想,函数与方程思想、归纳、抽象概
初中数学教材中蕴含的数学思想方法很多，比较基本的有：用字母表示数的思想、整体和换元思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想，函数与方程思想、归纳、抽象概括思想，特殊与一般思想、数学模型思想、分解组合思想以及图形运动思想，等等。
实践证明，只有掌握了这些基本的数学思想方法，学生方能在运用数学解决问题时自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题，掌握了这些基本思想方法，也就相当于抓住了初中数学知识的精髓。
数学思想方法是借助于数学知识、技能为载体而体现出来的，思想要融入内容和应用中，才成为思想，就思想方法讲思想方法，学生自然会感到枯燥无味，是不能真正掌握数学思想方法的。
只有在教学中反复渗透，方能“随风潜入夜，润物细无声”，让学生在不知不觉中领会、掌握，才能自觉运用，形成能力。
那么，在那么初中数学课堂教学中，究竟该如何向学生渗透数学思想，进而培养他们的数学思维能力呢？下面就本人在教学中的实践，谈谈个人的一些不成熟的看法。
1、分类讨论思想分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。
分类是数学发现的重要手段。
在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。
因此，在学完实数的概念后，可以如此分类：尔后一提到实数，就会想到它可能是有理数，也可能是无理数；一提到有理数，就会想到它可能是整数，也可能是分数等。
又如，实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择 a = 0作为分类的标准。
在每一类中，其结果都不包含绝对值符号。
因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法。
再如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：⑴折痕是圆周角的一条边，⑵折痕在圆周角的内部，⑶折痕在圆周角的外部。
转化和化归_数学思想方法
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
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2 φ1<0， 3x －x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0，
故当x∈ 都有g(x)<0.
2 － ， 1 3
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，
专题
数学思想方法
第四讲 化归与转化思想
2．化归与转化思想 根据熟知的数学结论和掌握的数学 题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化 困难为容易、化整体为局部、化复杂为简 单、化空间为平面、化高维为低维的解决 问题的思想方法就是化归思想与转化思 想.
► 探究点二 化归与转化思想的应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 设数列{an}， {bn}都是等差数列． 若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 且(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，则角 A 的大小为________．
[解析] (1)方法一：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn} 是等差数列．设其公差为 d，则 c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得 d＝7， 因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填 35. 方法二：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{cn}是等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 即 42＝7＋(a5＋b5)，因此 a5＋b5＝42－7＝35.故填 35. (2)因为(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，由正弦定理得 (2sinB－ 3sinC)cosA＝ 3sinAcosC， 即 2sinBcosA 2sinBcosA＝ 3sin(A＋C)，则 2sinBcosA＝ 3sinB. 因为 0<B<π，所以 sinB≠0， 3 π 所以 cosA＝ ，于是 A＝ . 2 6
3．化繁为简：在一些问题中，已知条件或是求解结论比较 繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情 况，再解决问题．有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行 换元，这种方法也是化繁为简的转化思想的体现． 4．化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几 个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出 的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进 行解决，这就是化大为小． •易错 分类讨论时要不重复也不能遗漏，结果的整合要符 合问题的要求.
[解析] 由点P为椭圆第一象限内的任意一点，则可设 点P为特殊点，易求得S1＝S2，故选A.
3 (2)已知f(x)＝ x ，则f(－2015)＋f(－2014)＋„＋f(0) 3＋ 3 ＋f(1)＋„＋f(2016)＝________. 2016
3 3 解析 f(x)＋f(1－x)＝ x ＋ 3 ＋ 3 31－x＋ 3 3x＋ 3 3 3x ＝ x ＋ ＝1， x＝ x 3＋ 3 3 ＋3 3 ＋ 3 ∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2015)＋f(2016)＝1， ∴f(－2015)＋f(－2014)＋„＋f(0)＋f(1)＋„＋f(2016) ＝2016.
→ ＋5PB → ＋2PC → ＝0，则 3(PA → ＋PB → )＝－2(PB →＋ (3)如图，由 3PA → ＋PB → → ＋PC → PA PB → )，则 3· PC ＝－2· . 2 2 → ＋PB → PA → →＝ 设 AB，BC 的中点分别为 M，N，PM＝ ，PN 2 → ＋PC → PB → ＝－2PN → ，则点 P 在中位线 MN 上，则△PAC ，即 3PM 2 的面积是△ABC 的面积的一半．
(4)
已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－
5，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．若对满足－1≤a≤1 的一 切 a 的值， 都有 g(x)<0， 则实数 x
2 － ， 1 的取值范围为__________ ． 3
[解析] 由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝ (3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
[答案]
(1)D
(2)5π
S (3) 2
[ 解 析 ] (1) 设 f(p) ＝ px2 ＋ (p － 3)x － 3 ， 则 2 f－1＝－x －4x－3>0， 解得－3<x<－1. 2 f 1 ＝ x － 2 x － 3>0 ，
(2) 折成直二面角后组成的三棱锥 B － ACD 中的三条侧棱 DA，DB，DC 两两垂直，以这三条侧棱为棱构造一个长方体， 则这个长方体与三棱锥 B－ACD 有共同的外接球． 这个长方体的 5 三条侧棱长度分别为 1,1， 3，故其外接球的半径 R＝ ，这个 2 5 球的表面积是 4π× 2＝5π. 2
变式题 (1)若对任意实数 p∈[－1,1]，不等式 px2＋(p－3)x －3>0 均成立，则实数 x 的取值范围为( ) A．(－1,1) B．(－∞，－1) C．(3，＋∞) D．(－3，－1) (2)将边长为 2 的正△ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B－AD－C，则三棱锥 B－ACD 的外接球的表面积为________． → ＋5PB →＋ (3)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点，且 3PA → ＝0，设△ABC 的面积为 S，则△PAC 的面积为________． 2PC
2 由①得3x ＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥ x －3x，当x∈
2
2 (t,3)时恒成立，∴m＋4≥ t －3t恒成立，则m＋4≥－1，即 m≥－5； 2 2 由②得m＋4≤ x －3x当x∈(t,3)时恒成立，则m＋4≤ 3 37 －9，即m≤－ 3 . ∴使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值 37 范围为－ 3 <m<－5.
(3)
若对于任意 t∈[1,2]，函数
m 2 g(x)＝x3＋ 2 ＋2 x
－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围 是
37 － 3 <m<－5 __________________ ．
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3) 上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或② g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
规律技巧提炼
•技巧 化归转化思想几种方向： 1．化为已知：当所解决的问题和我们已经掌握的问题有关系 时，把所解决的问题化为已知问题，是化归的基本形式之一． 2．化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们 遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们 熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这 是化难为易的一个方面；当我们所面临的问题正面解决较为困难 时，从其反面考虑，也是化难为易的一个方面．
命题立意追溯
推理论证能力——正向思维与逆向思维在解题中的应用
示例 根据多年经验，张先生在本单位的一次考核中， 获得第一、二、三、四名的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28， 计算张先生在一次考核中： (1)获得第一名或第四名的概率； (2)名次不在前四名的概率．
解：(1)记“获得第一名”为事件 A，“获得第四名”为事 件 B，由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件．则获得第一名或第四名的概率的概率为 P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49； (2)记“名次不在前四名”为事件 E，则事件 E 为获得第 一名、第二名、第三名、第四名的对立事件，获得第一名、第 二名、第三名、第四名这几个事件是彼此互斥的， 故 P( E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而 P(E)＝1－P( E )＝1－0.97＝0.03.
跟踪练
向边长为 2 正六边形内任意掷点， 求该点离正六边形的所 有顶点的距离均不小于 1 的概率．
解：根据题意，只要点落在图中的空白区域即可，所求 的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所 2π 3π 求的概率是 1－ ＝1－ . 9 3 3 2 ×2 2
x2 y2 跟踪练(1)[2016· 厦门模拟]如图，P 为椭圆25＋ 9 ＝1 上 第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别 作 y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点 C，过点 P 引 BC， AC 的平行线交 AC 于点 N，交 BC 于点 M，交 AB 于点 D， E，记矩形 PMCN 的面积为 S1，三角形 PDE 的面积 S2，则 S1∶S2＝( A．1 1 C.2 ) B．2 1 D.3
[点评] 本题第一题的方法 1 是根据熟知的等差数列性质得 出的从整体上求解的方法，即把要解决的问题化归为等差数列 求解，这种整体思想在数列、解析几何中具有广泛的应用；本 例第二题是含有三角形边角混合方程的问题，解决问题的一般 思路是根据正弦定理、余弦定理实现边角关系的互化，这是一 种典型的使用转化思想解决的问题．