立体与平面解析解析几何(研究生整理)
解析几何的论文[整理版]
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摘要：在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用关键字：解析几何，介绍，历史，作用。
基本介绍解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用历史介绍十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
何的思想。
只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。
笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。
学科应用,,,解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
,,,在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
,,,在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
考研数学一大纲空间解析几何
考研数学一大纲空间解析几何空间解析几何是考研数学一科目的重要内容之一。
在考研数学一大纲中，空间解析几何包括平面方程与空间直线、平面及空间中的曲面方程、立体几何与相关计算方法等内容。
下面将对这些内容进行详细讨论。
一、平面方程与空间直线平面方程是空间解析几何的基础，在考研数学一大纲中要求掌握平面的一般方程、点法式方程、截距式方程以及向量法方程。
对于一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数项，可以通过法向量的系数A、B、C来确定该平面的法向量。
点法式方程是通过平面上的一点和法向量来表示平面方程的形式，截距式方程是通过平面与坐标轴的截距来表示平面方程的形式。
向量法方程是通过平面上的一点和与平面垂直的一个向量来表示平面方程的形式。
空间直线也是空间解析几何的重点内容之一。
在考研数学一大纲中要求掌握空间直线的点向式方程、对称式方程以及向量式方程。
点向式方程是通过直线上的一点和方向向量来表示直线方程的形式，对称式方程是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
向量式方程是通过直线上一点和与该直线平行的一个向量来表示直线方程的形式。
二、平面及空间中的曲面方程在考研数学一的大纲中，平面与空间中的曲面方程也是重要的内容。
常见的曲面方程包括二次曲面方程、柱面方程、圆锥曲线方程等。
二次曲面方程的一般形式为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、K、L为方程的系数。
不同的二次曲面有不同的特点和性质，例如椭球、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面等。
柱面方程是通过直线沿着某一方向无限延伸而形成的表面。
柱面方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为方程的系数。
圆锥曲线方程是由一个点（焦点）和一个直线（准线）确定的曲线。
圆锥曲线方程的一般形式为(x-a)^2+(y-b)^2-(z-c)^2=0，其中(a, b, c)为焦点的坐标。
解析几何知识点归纳整理
解析几何知识点归纳整理解析几何是数学中的一个分支，涉及到空间形状和位置关系的研究。
下面是几何学中常见的重要知识点的归纳整理：1.点、线、面：解析几何中的基本元素包括点、线和面。
点是几何中最基本的概念，没有大小和方向；线是由无数个点连成的，具有长度，没有宽度；面是由无数条线构成的，具有长度和宽度，没有厚度。
2.直线与平面：在解析几何中，直线是由无数个点连成的，具有无限延伸性的线段；平面是由无数个直线连接在一起形成的，具有无限延伸性的平面区域。
3.曲线与曲面：曲线是由一系列连续点所组成的，可以在平面或者空间中弯曲的线；曲面是由一系列连续曲线所组成的，可以在空间中弯曲的平面区域。
4.坐标系：坐标系是解析几何中用来表示点的一种方式。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在x、y、z三个轴上的坐标来确定。
5.基本图形：解析几何中的一些基本图形包括：线段、射线、角、多边形和圆。
线段是有两个端点的线，定长；射线是有一个起点的线，可以无限延伸；角是由两条射线共享一个端点所形成的；多边形是由多个线段组成的封闭图形；圆是由一条曲线所围成的等距点的集合。
6.距离和长度：距离是一个点到另一个点之间的直线距离；长度是一个线段的大小。
在直角坐标系中，可以通过勾股定理计算距离和长度。
7.相似与全等：相似性是解析几何中一个重要的概念，表示一对图形在形状上相似，但大小不一定相等。
全等性表示一对图形在形状和大小上完全相同。
8.垂直与平行：垂直表示两条线段或者平面之间成直角的关系；平行表示两条直线或者平面之间永不相交的关系。
9.角的性质：解析几何中的角有许多性质。
例如，对顶角是两条互相垂直且相交于一点的直线所形成的角；对称角的度数相等；互补角的和为90度。
10.三角形：三角形是解析几何中的一个重要图形。
三角形有许多性质，包括内角和为180度、中线相交于一点、高相交于底边垂直平分等。
11.四边形：四边形是含有四条边的多边形。
高等数学教材解析几何
高等数学教材解析几何解析几何是高等数学中的一门重要学科，它是研究平面和空间中几何图形的性质和变换规律的数学分支。
作为高等数学教材的内容之一，解析几何既深刻又具体地描述了几何问题，并通过数学方法进行分析和求解。
本文将对高等数学教材中的解析几何进行详细解析，为读者解释其基本概念、常用方法以及应用场景。
1. 直线与平面在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何要素。
直线可以通过方程、向量等方式表示，而平面则可以由点和法向量确定。
在教材中，我们学习了直线和平面的基本性质，并能够应用它们解决实际问题，比如求直线与平面的交点、直线在平面上的投影等。
2. 向量与坐标向量是解析几何的重要工具，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在高等数学教材中，我们学习了向量的定义、运算法则以及坐标表示方法。
通过向量，我们可以更加直观地理解几何图形之间的关系，并可以通过向量的性质进行证明和推导。
3. 直线与曲线的方程直线和曲线在解析几何中经常出现，并且可以通过数学方程进行表示。
对于直线而言，我们学习了直线的点斜式、截距式等不同的表示方法，并能够根据给定条件求出直线的方程。
而对于曲线，我们掌握了圆、椭圆、抛物线、双曲线等常见曲线的方程，并能够分析其性质和特点。
4. 空间几何与立体图形除了平面几何外，解析几何还包括了空间几何的内容。
在高等数学教材中，我们学习了空间中点、直线、平面的位置关系以及其方程表示。
此外，我们还研究了立体图形的性质，比如球、圆柱、锥体等，并能够通过解析几何的知识进行计算和推导。
5. 解析几何的应用解析几何不仅仅是一门抽象的数学学科，它也有着广泛的应用场景。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，解析几何都扮演着重要的角色。
通过解析几何的方法，我们可以分析和解决各种实际问题，比如物体的运动轨迹、工程结构的设计等。
总结起来，解析几何是高等数学教材中的一门重要学科，它通过数学方法来研究和解决几何问题。
通过学习解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换规律，并能够将其应用于实际问题的求解中。
高中数学立体几何与解析几何
高中数学立体几何与解析几何立体几何与解析几何是高中数学中的重要内容，它们研究了几何图形在三维空间中的形态和性质，以及利用坐标系进行几何问题的解析计算。
本文将介绍高中数学中立体几何和解析几何的基本概念和应用。
一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。
在立体几何中，我们主要关注的图形包括点、线、面以及各种立体体形（如球、锥、柱、棱锥等）。
下面将介绍几个常见的立体几何概念和性质。
1.1 点、线、面的定义在三维空间中，点是没有大小和形状的，用坐标表示。
线是由两个点确定的直线段，可以延伸到无穷远。
面是由三个或多个点确定的平面，它没有厚度，只有长度和宽度。
1.2 正交投影与投影性质正交投影是指物体在垂直于投影面的直线上的投影。
投影性质包括平行线投影后仍为平行线、线段长度比例保持不变、角度保持不变等。
1.3 空间几何体的性质各种空间几何体如球体、立方体、锥体等都有各自的性质，如体积、表面积、对称性等。
二、解析几何的基本概念与性质解析几何是通过坐标系和代数方法研究几何问题的学科。
它将几何问题转化为代数问题，通过运用代数方法解决几何问题。
下面将介绍几个常见的解析几何概念和性质。
2.1 坐标系及其表示方法在解析几何中，我们通常使用直角坐标系或参数方程来表示几何图形。
直角坐标系是由横轴和纵轴组成的，图形的坐标表示为(x, y)。
参数方程是通过参数t的取值来表示几何图形的坐标。
2.2 点、线、面的解析表示通过坐标表示，我们可以用方程的形式来表示点、线、面的几何性质，将几何问题转化为代数问题。
例如，直线的解析表示为y = kx + b，平面的解析表示为ax + by + cz + d = 0。
2.3 距离、角度的解析计算在解析几何中，我们可以通过坐标计算两点间的距离和线段的长度。
同时，也可以通过坐标计算两条直线的夹角和两个平面的夹角。
三、立体几何与解析几何的应用立体几何和解析几何在实际问题中有着广泛的应用。
解析几何课件全册(第四版)
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a
(a)
0.
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有限个矢量a1, a2 ,an相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任 意 点O开 始 ， 依 次 引OA1 a1 , A1 A2 a2 ,,
An1 An an ,由 此 得 一 折 线OA1 A2 An , 于 是 矢 量OAn
a0 1 a, |a|
a | a | a0
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）第一分配律：
(
)a
a
a
（3）第二分配律：
(a
b)
a
b
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两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
cab
a
B
b
O
A
这种求两个向量和的方法叫三角形法则.
定理1.2.1 如果把两个向量 OA、OB 为邻边
组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
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(a
b)
a
b
1) 当 0 或 ab 中有一个为零向量时，
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
平面与立体几何的解析几何方法
平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。
解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。
平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。
本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。
一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。
一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。
以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。
2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。
对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。
解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。
对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。
以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。
一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。
一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。
立体几何和平面解析几何知识点
立体几何和平面解析几何知识点一、立体几何1.点、线、面和体：在立体几何中，点是没有大小和形状的，是具有位置的对象。
线由无数个点组成，线是没有宽度的。
面是由无数个线组成，面是二维的，具有长度和宽度。
体是由无数个面组成，体是三维的，具有长度、宽度和高度。
2.平行和垂直关系：在立体几何中，平行是两条线或两个面永远不会相交的关系，垂直是两条线或两个面相互垂直的关系。
3.点的投影：在立体几何中，点的投影是指垂直于水平面（或垂直于垂直面）的直线与平面的交点。
点的投影可以用来确定点在一些平面上的位置。
4.线和面的交点：在立体几何中，线和面的交点是指线与面相交的点。
线和面的交点可以用来确定线在一些面上的位置。
5.体的体积和表面积：在立体几何中，体的体积是指所占据的空间大小，可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。
体的表面积是指体的外部空间的面积，可以通过计算底面积与侧面积的和来得到。
二、平面解析几何1. 直线的方程：在平面解析几何中，直线可以用一般式、截距式和斜截式等形式来表示。
一般式的直线方程是Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数；截距式的直线方程是x/a + y/b = 1，其中a和b分别是x轴和y轴上的截距；斜截式的直线方程是y = mx + c，其中m是斜率，c是y轴上的截距。
2.圆的方程：在平面解析几何中，圆可以用标准式和一般式来表示。
标准式的圆方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度；一般式的圆方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E和F是常数。
3.直线和圆的交点：在平面解析几何中，直线和圆可以相交于零个、一个或两个交点。
可以通过求解直线方程和圆方程的联立方程组来确定直线和圆的交点。
4.曲线的方程：在平面解析几何中，曲线可以用隐式方程、参数方程和极坐标方程来表示。
隐式方程是F(x,y)=0，其中F是关于x和y的方程；参数方程是x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数；极坐标方程是r=f(θ)，其中r是距离原点的距离，θ是与x轴的夹角。
平面解析几何以及立体几何复习题
一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。
1.椭圆的对称轴是坐标轴，离心率23e =，长轴长为6，则椭圆的方程为（ ）。
.A 2213620x y += .B 22195x y +=或22195y x += .C 22195x y += .D 2212036x y +=或2212036y x += 2. 圆22230x y y +--=的圆心及半径为（ ）。
.A 012（，），r = .B 014（，），r = .C 012（，-），r = .D 014（，-），r = 3.下列命题中的真命题是（ ）。
.A 若直线l 垂直于平面a 内的二直线、a b ，则l ^a.B 若直线l 与平面a 相交，则过l 且与a 垂直的平面只有一个 .C 过平面a 外一点，只能作一个平面与a 平行 .D 与两条异面直线都相交的二直线也是异面直线4.直线210ax y ++=与直线220x y ++=垂直，那么a 的值为（ ）。
.A 4 .B 4- .C 1 .D 1-5.双曲线22123y x -=的离心率为（ ）。
.A 3 .B 2.C 3 .D 26.双曲线的方程是221205x y -=，那么它的焦距是（ ）。
.A 5 .B 10 .C .D7.抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）。
.A 1016（，） .B 1016（，） .C ()0,1 .D ()01，8.圆心为23（，）-，半径r = ）。
.A ()()2223=18x y +++ .B ()()2223=18x y ++- .C ()()2223=18x y -++ .D ()()2223=18x y -+-9.抛物线24x y =的准线方程为（ ）。
.A 1x = .B 1x =- .C 1y = .D 1y =- 10.过点13（，）-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）。
立体几何和平面解析几何知识点
必修2 数学基础知识第1章立体几何初步§1.1.1 棱柱、棱锥和棱台§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球§1.1.3 中心投影和平行投影三视图：主视图（从前向后）；左视图（从左向右）、俯视图（从上向下）主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；长对正俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；高平齐左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度；宽相等已知几何体的三视图时，通常以正方体为载体画出该几何体的直观图§1.1.4 直观图画法斜二测画法：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行且长度为原来的一半.§1.2.1 平面的基本性质1. 点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα∉点与直线的关系：点A在直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作α⊂l；直线l不在平面α内，记作α⊄l2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）用符号语言表示公理1：,,,A lB l A B lααα∈∈∈∈⇒⊂3. 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据4. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线若平面α和平面β相交，交线是l，记作l=⋂βα.用符号语言表示公理3：P∈α, P∈β且l=⋂βα⇒P∈l.公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法；②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系, 即交线必过公共点；③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.§1.2.2 空间两条直线的位置关系1. 平行关系 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这个两角相等 2. 异面直线异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 它们既不平行，又不相交. 异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a ，b ′∥b ，则把直线a ′ 和b ′ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角.两条异面直线所成角的取值范围是（0°，90°].若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.§1.2.3 直线与平面的位置关系1. 三种位置关系 直线在平面内――有无数个公共点．直线不在平面内（即直线在平面外）：①相交――只有一个公共点；②平行――没有公共点；三种位置关系的符号表示：α⊂a ； A a =⋂α； a ∥α. 2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 线线平行⇒线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行3. 直线与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.线线垂直⇒线面垂直性质定理：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.线面垂直⇒线线垂直②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 4. 直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]. §1.2.4 平面与平面的位置关系1. 两平面平行的判定定理和性质定理 判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行⇒面面平行）；②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行⇒面面平行）；③垂直于同一条直线的两个平面平行；性质定理： ①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行⇒线面平行）②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平行⇒线线平行）2. 两平面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直） 3. 二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线l 出发的两个半平面βα,所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作βα--l .②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③二面角的取值范围[ 0°, 180° ]， 平面角是直角的二面角叫直二面角. §1.3.1 空间几何体的表面积空间几何体的表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h ′为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表§1.3.2 空间几何体的体积1. 柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台2. 球体的表面积和体积公式V 球=343R π ；S 球面=24R π3. 若多面体的表面积为S ，内切球的半径为R , 则该多面体的体积SR V 31=第2章 平面解析几何初步§2.1.1 直线的斜率1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).2. 直线的斜率①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在. ②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=§2.1.2 直线的方程1. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).注意：当直线的倾斜角为0°时，直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1；2. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）3. 两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)4. 截矩式：1x ya b+= 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b .（a ≠0且b ≠0）注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点； 5. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 §2.1.3 两条直线的平行与垂直设直线l 1：11b x k y +=，直线l 2：22b x k y +=.则 ① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ②12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否. §2.1.4 两条直线的交点1. 若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交则交点坐标为方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ⇔ ；方程组有无数解⇔l 1与l 2重合 2. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点(x 0 , y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)；②过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为 (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ( A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. §2.1.5 平面上两点间的距离设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2)是平面直角坐标系中的两点，则||AB =若线段AB 的中点为M(x 0 ,y 0) , 则2,2210210y y y x x x +=+= §2.1.6 点到直线的距离1. 点到直线距离公式：点P(x 0 , y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离2200||BA C By Ax d +++=2. 两条平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 ，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离2221||BA C C d +-=y §2.2.1 圆的方程1. 标准方程 222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a , b )，半径为r ；2. 一般方程 022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心坐标为)2,2(ED --，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.§2.2.2 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系有三种情况：相离，相切，相交；可由下列两种方法判断： ①设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22||BA C Bb Aa d +++=则有d ＞r ⇔l 与C 相离；d ＝r ⇔l 与C 相切；d ＜r ⇔l 与C 相交；②设直线0:=++C By Ax l ，圆C ：222)()(r b y a x =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为△，则有△＜0⇔l 与C 相离；△＝0⇔l 与C 相切；△＞0⇔l 与C 相交； 2. 直线l 被圆C 截得的弦长公式：222d r AB -=3. 过圆C ：x 2＋y 2＝r 2 上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 24. 过圆C ：x 2＋y 2＝r 2 外一点P(x 0，y 0)作圆C 的两条切线PA, PB （A, B 为切点）， 切点弦AB 所在直线的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2 §2.2.3 圆与圆的位置关系设圆C 1：22121)()(r b y a x =-+-， 圆C 2：22222)()(R b y a x =-+-. 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（或差），与圆心距（d ＝C 1C 2）之间的大小比较来确定.当r R d +>时，两圆相离； 当r R d +=时，两圆外切； 当r R d r R +<<-时，两圆相交；当r R d -=时，两圆内切； 当r R d -<时，两圆内含； 当d ＝0时，为同心圆.§2.3.1 空间直角坐标系如右图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是单位正方体. 以A 为坐标原点O ，分别以OB, OD,OA 1的方向为正方向，建立三条数轴x 轴，y 轴，z 轴. 这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz. 空间一点M 的坐标可以表示为M(x , y , z)（x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标） §2.3.2 空间中两点间的距离设空间中两点P 1(x 1 , y 1 , z 1) , P 2(x 2 , y 2 , z 2) 则P 1P 2 ＝221221221)()()(z z y y x x -+-+-；线段P 1P 2 的中点P 0)2,2,2(212121z z y y x x +++。
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立体与平面解析解析几何
1. 常见多面体：棱柱，棱锥，棱台
常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球
平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α
直线一般用小写英语字母a, b, l或者大写字母直线上的两个点AB表示。
点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，
记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。
4. 四个公理
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
符号语言
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
5. 直线和平面之间的位置关系
★线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行
★面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
★线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
★面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
6. 思考途径
证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为二直线同与第三条直线平行；
（2）转化为线面平行；
证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为线线平行；
（2）转化为面面平行.
证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为线面平行；
（2）转化为线面垂直.
证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为线面垂直；
（2）转化为线与另一线的射影垂直；
证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
（2）转化为线面垂直.
练习：
1. 点到面的距离：
2. 如图，在棱长为a正方体中，
（1）A到面BCC1B1的距离为______
（2）A到平面BDD1B1的距离为____________
（3）AD到平面BCC1B1的距离为___________
（4）AA1到平面BDD1B1的距离为__________
3. 线面平行的判定：
线面垂直：
4. 已知直线（）
A．异面 B．相交 C．平行 D．不确定
5. 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平
面（）
A．只有一个 B．至多有两个 C．不一定有 D．有无数个
6.
设E、F、G分别是四面体的棱BC、CD、DA的中点，则此四面
体中与过E、F、G的截面平行的棱（）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
7. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。
线面垂直
8. 已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD。
若在BC
上有且仅有一个点Q，满足PQ⊥QD，则a的值为 .
9.
如图，已知求证a∥l
B
A
D
C
10. 已知四面体ABCD所有的棱长相等，求证：AB⊥CD
11. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与
SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是
点A在直线SB和SD上的射影。
12. 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的
中心。
求证：A1O⊥平面GBD
13. 如图，已知AC、AB分别是平面a的垂线和斜线，C、B分别是
垂足和斜足，a⊂a，a⊥BC。
求证：a⊥AB
a
a
C
B
A
14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
面面垂直
15. S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面
SBC,求证AB⊥BC.
16.
如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点。
求证：（1）直线EFǁ平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
17. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面
VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。
证明:AB⊥平面VAD
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点 (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.
选择题专项
1、已知、是不同的两个平面，直线，直线．命题与无公
共点；命题．则是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、在下列条件中，可判断平面与平行的是
A．、都垂直于平面
B．内存在不共线的三点到的距离相等
C．、是内两条直线，且
D．、是两条异面直线，且
3、已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：①若，
则；②若，，则；③若则且；④若则．其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4、关于直线、、以及平面、，下列命题中正确的是
A．若则 B．若则
C．若且则
D．若则
5、在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6、已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
7、设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若则；
②若则；③若则。
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
8、已知直线、，平面、，且，给出下列四个命题：①若，则；②若，
则；③若，则；④若，则。
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
9、已知三条直线、、，三个平面、、，下面四个命题中正确的是
A． B．
C． D．
10、已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，则下列命题
中的假命题是
A．若，则 B．若，则
C．若、相交，则、相交 D．若、相交，则、相交
11、不同直线、和不同平面、，给出下列命题：①；
②；③异面；④。
其中假命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12、已知二面角的大小为，和是两条异面直线，则在下列四个条件中，
能使和所成的角为的是
A． B． C． D．
填空题专项
13、直线和平面、，，，给出如下三个论断：①②③。
从中任取两个作
为条件，其余一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题。
则这个命题可以是
14、、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个
论断：①②③④，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
15、若平面,点、,点、,且,又在平面内的射影长为，则和平面所成角的度
数是
16、设有不同的直线、、和不同的平面、、，已知如下命题：①若，
则；②若则；③若则；④若则．其中真命题的序号是。