加权变分的图像去噪算法

项, 第二项与第四项是扩散项, 第三项与第五项是冲击项。 对于新模 型可做如下 解释:
( 1) 第一项是控制扩散后图像 u 与原始含噪图u 0 之间 的逼近程 度。
( 2) 第二项是加权扩散项, g ( | !u| ) 使得在| !u| 大的地
方实现强扩散, 在| !u| 小的地方实现弱扩散。第四项中扩
( 1 . S chool of Science, X idian Univ . , X i an710071 , China; 2 . School of M athematics and Comp uting Science, Guilin Univ . of Electr onic T echnology , Guilin541004 , China)
的同时更好地保持图像的纹理特征和边缘信息; 线性加权变分模型是对含噪图利用高斯函数进行预处理, 再对处 理后的图像进行扩散, 从而降低计算复杂度。数值实验表明, 与经典的总变分模型相比, 改进的方法无论是在视
觉效果 还是峰值 信噪比上都 有明显的 提高。
关键词: 偏微分方程; 总变分; 图像去噪; 权函数
( 也称运输项)
,
运输速度分别为 !g|(
| !u| !u|
)
和!g(( |
!u|
)
,
它们
在不同方向上运输量是不同的: 在边缘处的垂直方向上运输 量最大, 在切线方向的运输量最小[15] 。此项对于产生激波 在保持边缘上有很重要的作用[16] 。
2. 2 线性加权变分模型 在非线性加权变分模型中, 算法每迭代一次, 正则项
现较大的 平 滑; 当 | !u | % k 时认 为 是 细节 信 息, 此 时
g( | !u| ) 较小或者趋于零, 从而抑制平滑, 更好地保持边
缘。由于权函数是不断改变的, 所以称之为非线性加权变
分模型( nonlinear weight variation model, NWVM ) , 其能
由于偏微分方程具有各向异性的特性, 近年来, 基于偏 微分方程的非线性算子的方法备受重视, 主要分为两类: 一 类是以 P er ona Malik 的扩散方法[ 1] 为代表的迭代格式[ 2 7] , 这类方法是随着时间的变化, 使得扩散的图像向所要的效 果逼近; 另一类是以 Rudin Osher Fa temi 的总变分模型[ 8] 为代表的变分法[ 9 14] , 它是根据研究目标来设计图像的能 量函数, 求能量函数的最小化来找平衡态。目前, 总变分模 型备受青睐, 但由于不具备反扩散的能力, 所以处理后的图 像模糊, 边缘不能锐化, 丢失了图像的一些重要特征。本文
中的权函数 g( | !u| ) 就随之改变。因此, 可以将原始含噪 图像经高斯函数光滑后, 再用预处理后的图像的梯度模来
检测边界, 这样不但可以平滑噪声, 保持边界, 还可以减少 计算量。由于权函数为一个常数, 故新模型称为线性加权 变分模型( linear w eight var iation m odel, LWVM ) , 其能量
形式 为
∀ 394 ∀
系统工 程与电子 技术
第 32 卷
# E( u) = m in u
g ( | !G∀* u0 | ) | !u | dx dy +
# 2 ( u - u0 ) 2 dxdy
(6)
式( 6) 的 Euler Lagrange 方程对应的发展方程为
ut =
(u0 -
u) +
div
# # min E (u) = u
| !u | dx dy + 2 ( u - u0 ) 2 dx dy ( 1)
利用梯度下降法, 式( 1) 的 Euler lagr ange 方程为
ut = div
!u | !u |
+
(u0 - u) , t > 0
(2)
u( x , y , 0) = u0 , ( x , y ) !
# R (u) = T V( u) = | !u | dx dy
在求最小值时, 无论在梯度小还是在梯度大的地方( 如边缘)
都实现大的平滑, 从而将重要信息平滑掉, 使得图像模糊。
针对这一点, 在正则项中加入权函数 g ( | !u| ) , 其中
0 ∃ g ( x ) ∃ 1 为一个非增可导函数, 满足 g ( 0) = 1, g ( x) %0
且lim x& ∋
g(x) =
0。因此,
在 梯度 大 的地 方,
g(|
!u|
) 就较小,
从而降低平滑程度, 较好的保护边缘。在梯度小的地方,
g( | !u| ) 就较大, 从而实现强平滑, 去除噪声。 本文取 g( x ) = 1/ ( 1+ ( x / k) 2 ) , 其中 k 为边缘阈值参
数。当| !u| < k 时为区域内部, 此时 g ( | !u| ) 较大, 从而实
( 1. 西安电子科技大学理学院, 陕西 西安 710071; 2. 桂林电子科技大学数学与计算科学学院, 广西 桂林 541004 )
摘 要: 针对经典的总变分去噪模型边缘信息对噪声敏感且易模糊的缺陷, 提出了非线性与线性的加权变分
模型。非线性加权变分模型是在总变分模型的正则项中引入权函数, 并利用权函数引导扩散, 使得新模型在消噪
总变分模型不具备反扩散的能力, 所以处理的图像模 糊, 边缘不能锐化, 从而丢失了一些重要的细节特征。近年 来, 许多学者注重于忠诚项的选择, 文献[ 10] 是继承 Meyer 的思想, 用较弱的范数来替代忠诚项中的 L2 范数, 从而更 好将结构和 纹理分开 。
2 加权变分模型
2. 1 非线性加权变分模型 ROF 模型中的正则项为
+
(4) div g(( | !u | ) !u
u( x , y , 0) = u0
式中, g(( x) 是g( x) 对 x 的一阶导数, 记 dg= g(( x) , g= g( x) 。
图1
给出了函数 dg、g
与
x k
之间 的关系。
图 1 权函数
对于式( 4) 的第一个式子可以进一步写为
ut =
散函数 g(( | !u | ) < 0, 所以是各向同性的反扩散项, 即锐 化。从图 1 可以看出, 当| !u| ∃ 0. 5K 时, g(( | !u| ) 急速下 降, 此时反扩散的能力较弱, 而当| !u| > 0. 5K 时, g(( | !u| )
缓慢递增且趋于零, 反扩散能力随着| !u| 的增加而增强。 ( 3) 第三项与第五项均为两个向量的內积, 称为冲击项
m in E ( u) = u
2
u- u0
+ 2 2
L
R( u)
式中, > 0 是正则化参数; 等式右端第一项称为逼近项, 控
制着图像 u 和观测图 u0 的差异; 第二项为正则项, 其作用
是减少振荡, 惩罚不连续并平滑图像; ! R+ 为尺度参数,
收稿日期: 2008 07 10; 修回日期: 2009 07 10。 基金项目: 国家自然科学基金( 10861005, 10501009) 资助课题 作者简介: 陈利霞( 1979 ) , 女, 讲师, 博士研究生, 主要研究方向为小波分析、偏微分方程、数字图像处理。E mail: clx_2001@ 126. com
针对这一缺点, 提出了两种改进的算法。实验结果表明, 改 进的算法不仅能去噪, 而且保持图像特征的能力比总变分 模型明显 地改善。
1 总变分模型
设图 像的噪声模 型为
u0 ( x , y ) = u( x , y ) + n( x , y ) 式中, u( x , y) 为未知的图像; u0 ( x , y ) 为已知的带噪观测图; n( x , y ) 为附 加 的均 值 为 0、方 差为 2 高斯 白 噪 声。从 u0 ( x , y ) 中恢复 u( x , y) 归结为求解下列极小化模型
量形式为
# m in E ( u) = u
g ( | !u | ) | !u | dx dy +
# 2 ( u - u0 ) 2 dxdy
(3)
不难推导出式( 3) 相应的 Euler Lagr ange 方程, 其对应的发
展方程为
ut =
( u0 -
u) + div
g(|
!u | ) |
!u !u |
第 32 卷 第 2 期 2010 年 2 月
文章编号: 1001 506X( 2010) 02 0392 04
系统工 程与电子 技术 Systems Engineer ing and Electr onics
Vol. 32 No. 2 F2 , 冯象初1 , 王卫卫1 , 宋国乡1
第2期
陈利霞等: 加权变分的图像去噪算法
∀ 393 ∀
它在正则项和忠诚项中起着重要的平衡作用。 越大, u 越 逼近观测图 u0 , 此时图像的局部特征平滑得越弱, 相应的消 噪效果不理想; 越小, 图像的细节和噪声都平滑得越强。 经典的模型是 Rudin Osher Fatemi 提出的总变分模型( 即 ROF 模型) , 其能量形式为
Abstract: View on the w eakness of a classical variational de noising m odel in w h ich edge inform at ion is sen sitive to noises and prone to blur, tw o improved nonlinear and linear w eight ed variational algorithm s are put for w ard. In the nonlinear w eighted variat ional model, a w eight function is introduced in the regularizat ion t erm of t he classical m odel t o induct diffusion, w hich gives the result that the new model preserves the texture chara ct eristics and the edge inform ation bet ter w hile removing noises. In t he linear model, the Gaussian function is used t o sm ooth the noised image before diffusion, w hich reduces the computat ional complexity. Compared w it h t he classical m odel, the experiment al result s show improvem ents of bot h the proposed models.