一轮复习--导数与函数的极值、最值精编版
f′ (x)>0
x a
2、极小值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都小，
f′(b)=0，且在点x=b附近的左侧
f′(x)<0，右侧f′(x)>0 y
我们就说f(b)是函数的
y=f(x)一个极小值. 点b叫做极小值点． f′(x)<0
f′ (x)>0
x
f′ (b)=0
例3、（1）已知函数 f (x) x3 ax2 3x 9 若x=-3是函数f(x)的一个极值点，则a的值 为___5___;
（2）已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时 有极值0，则m+n=__1_1__.
例4、(1)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点， 则实数a的取值范围是（ ）B
导数与函数的极值、最值
一、极值的定义
1、极大值：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都大.
f′(a)=0，且在 点x=a附近的左侧f′(x)>0，
右侧f′ (x)<0
我们就说f(a)是函数
y
y=f(x)的一个极大值.
f′(a)=0
点a叫做极大值点．
f′(x)<0
A.(-∞,0) B.(0,1/2) C.(0,1) D.(0,+∞)
（2017皖南八校联考）已知函数f(x)=x(lnx+mx)-m 没有极值点，则实数a的取值范围是_(_-∞_,_-1_/_2]_.
例4、(2)已知x∈R,若
f (x) (x
a )ex x
在（0,1）上有
且只有一个极值点，则a的取值范围是（A ）
例2、求函数 f (x) x (1 a) ln x a 的极值. x
考点3 已知极值求参数
已知函数f(x)的极值求参数的值或取值范围的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f ′(x)； (2)用极值判断方程f ′(x)＝0的根的情况； (3)根据方程f ′(x)＝0的根的情况得到关于参数的方程 （不等式）；
b
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值
极值反映了函数在某一点附近的大小情况
(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如 果左正右负，那么f(x)在这个根处取 _极__大__值__，如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取_极__小__值____．
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
考点2 利用导数求函数的极值
运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f ′(x)； (2)求方程f ′(x)＝0在函数定义域内的所有根； (3)用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列 表； (4)由f ′(x)在各个区间内的符号，判断函数的极值情况: 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值． 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
1．函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为( )
A．1
B．－1
C．3
D．11
答案：D
4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值
为_____． 答案：6
例 1、 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝
(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D)
问题：
1、极大值一定大于极小值吗？ 2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在 (a,b)内是单调函数吗？
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
高三（8）班高考数学第一轮复习
问题：
1、极大值一定大于极小值吗？ 2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在 (a,b)内是单调函数吗？
f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件。
问题：
1、极大值一定大于极小值吗？ 2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在 (a,b)内是单调函数吗？
考点1 根据函数的图像判断函数极值的情况
根据函数图像判断极值的解题思路是：先找导数 为0的点，再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号， 导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区 间是函数的减区间，导函数图像与x轴的交点的横坐标 为函数的极值点.
2.函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、
最小值分别是( )
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
答案：C
考点4 利用导数解决函数的最值问题
例5、已知函数 f (x) ax3 6ax2 b , 问是否存在实数 a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存 在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.
例6、已知函数 f (x) (x k)ex (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在 [0,1]上的最小值.
A.（0，+∞）
B.（-∞，1]
C. (1,+∞)
D.(-∞,0]
函数的最大值与最小值
在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内 可导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小
值的步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的_极__值__b)比较，
其中最大的一个是__最__大__值__，最小的一 个是__最__小__值___．
2023年高考数学(文科)一轮复习——导数与函数的极值、最值
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值.
索引
(2)设 a∈R，若函数 y＝x＋aln x 在区间1e，e上有极值点，则 a 的取值范围为 ___－__e_，__－__1e_ ___. 解析 因为函数 y＝f(x)＝x＋aln x 在区间1e，e上有极值点，所以 y′在区间1e，e 上有可变号零点. f′(x)＝1＋ax(x>0)在1e，e上单调，且 f′1e·f′(e)<0， 所以(ea＋1)·1＋ae<0，解得－e<a<－1e， 所以 a 的取值范围为－e，－1e.
索引
4.函数f(x)＝2x－xln x的极值是( C )
1 A.e
2 B.e
C.e
D.e2
解析 因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln 令f′(x)>0时，解得0<x<e；
令f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.
索引
5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是 (_－__∞__，__－___6_)_∪__(__6_，__＋__∞__) . 解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2， 由题意知f′(x)有可变号零点， ∴Δ＝(-2a)2－4×3×2>0， 解得 a> 6或 a<－ 6.
索引
考点二 利用导数求函数的最值
例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值
h(a). 解 g(x)的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝xa＋2x－(a＋2)＝2x2－（a＋x 2）x＋a＝（2x－a）x（x－1）. (1)当a2≤1，即 a≤2 时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1； (2)当 1<2a<e，即 2<a<2e 时，g(x)在1，a2上单调递减，在a2，e上单调递增，h(a) ＝ga2＝aln a2－14a2－a；
高考数学一轮复习导数与函数的极值、最值
(1)当 a> 0 时，f(x)与 g(x)的情况如下：
x (－∞，－4a) －4a －4a，1a
1 a
1a，＋∞
g(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值 递增 极大值 递减
由表可知，f(x)的单调递增区间是－4a，1a，单调递减区间是(－∞， －4a)，1a，＋∞，极大值为 f1a＝a2，极小值为 f(－4a)＝－41.
则下列判断正确的是
()
A．f(x)在x＝－4时取极小值
B．f(x)在x＝－2时取极大值
C．x＝1.5是f(x)的极小值点
D．x＝3是f(x)的极小值点
解析：由导函数f′(x)的图象可得，当x＝－4时，其左边的导数小于零， 右边的导数大于零，所以f(x)在x＝－4时取极小值，所以A正确；当x＝1.5 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x＝1.5是f(x)的极小 值点，所以C正确；而x＝－2和x＝3，左右两边的导数值同号，所以x＝－ 2和x＝3不是函数的极值点，所以B、D错误，故选A、C. 答案：AC
当 a> 0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a1，所以当 x∈0，1a时，f′(x)> 0， f(x)单调递增；
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)< 0，f(x)单调递减． 综上所述，当 a< 0 时，f(x)在(0，＋∞)单调递增； 当 a> 0 时，f(x)在0，a1单调递增，在1a，＋∞单调递减．
(－1，＋∞)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，符合题意．则 m＋n
＝2＋9＝11.
(2)f′(x)＝22x22x－－x1－a，因为函数 f(x)(a∈R )在(1,2)内不存在极值点， 所以 2x2－x－a＝0 在(1,2)上没有根，即函数 g(x)＝2x2－x－a 在(1,2)上无 零点，由对称轴为 x＝－－14＝14，可知 g(1)＝2×12－1－a≥0 或 g(2)＝2×22 －2－a≤0，解得 a≤1 或 a≥6.
导数与函数的极值、最值-2023届高三数学一轮复习
新高考复习作业15 导数与函数的极值、最值班级：__________ 姓名：__________ 实际用时：_____分钟 得分：__________ 一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．已知函数f (x )＝(x 2－a )e x ，则“a ≥－1”是“f (x )有极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝( )A ．23B ．43C ．83D ．1635．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，x ≥a ，x ，x ＜a ，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1eD ．a ＜1e6．(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a <0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．－37．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( ) A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点8．关于x 的不等式2sin 3x cos x －a ≤0在x ∈(0，π)恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．－338B ．0C ．1D ．338二、填空题9．已知函数f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数，则函数f (x )的最小值为________，最大值为________． 10．已知函数f (x )＝ax 3－12x 2＋x －x ln x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．设函数f (x )＝ln x ＋x 2＋2ax ＋1． (1)当a ＝－32时，求f (x )的极值；(2)判断函数f (x )在(a ＋2，＋∞)上是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．新高考复习作业15 导数与函数的极值、最值班级：__________ 姓名：__________ 实际用时：_____分钟 得分：__________ 一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：A f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，当x ＝1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0．2．已知函数f (x )＝(x 2－a )e x ，则“a ≥－1”是“f (x )有极值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：B f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ＝0，x 2＋2x －a ＝0，Δ＝4＋4a ．若Δ＝4＋4a ≤0，a ≤－1，则f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ≥0恒成立，f (x )为增函数，无极值；若Δ＝4＋4a ＞0，即a ＞－1，则f (x )有两个极值．所以“a ≥－1”是“f (x )有极值”的必要不充分条件．故选B ．3．设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．2解析：B 由已知得f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2(x ≠－a )，令f ′(x )＝0，有x ＝1－a ，且当x ＜1－a 时函数f (x )单调递减，当x ＞1－a 时函数f (x )单调递增，∴f (x )的极小值为f (1－a )＝e 1－a ＝e ，即1－a ＝12，得a ＝12．故选B ．4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝( )A ．23B ．43C ．83D ．163解析：C 由题中图象可知f (x )的图象经过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，x ≥a ，x ，x ＜a ，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1eD ．a ＜1e解析：C 显然x ＜a 时，f (x )＜a 无最大值，x ≥a 时，f (x )＝xe x 存在最大值，f ′(x )＝1－x e x ，当x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )递增，当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )递减，所以x ＝1时，f (x )取得极大值也是最大值．f (1)＝1e ，因此f (x )要有最大值，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤1e ，所以a ≤1e．故选C ．6．(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a <0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3解析：ABC 令f ′(x )＝2x (3x －a )＝0，得x 1＝0，x 2＝a 3(a <0)，当a 3<x <0时，f ′(x )<0；当x <a3或x >0时，f ′(x )>0，则f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)，减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，0， 从而f (x )在x ＝a3处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327，由f (x )＝－a 327，得⎝⎛⎭⎫x －a 32⎝⎛⎭⎫2x ＋a 3＝0，解得x ＝a 3或x ＝－a 6，又f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，所以a 3<a ＋63≤－a6，即a ≤－4，故选A 、B 、C ．7．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( ) A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点解析：BD 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数．f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x ，在同一坐标系中分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x 在区间[－2π，2π)上的图象如图所示，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故选B 、D ．8．关于x 的不等式2sin 3x cos x －a ≤0在x ∈(0，π)恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．－338B ．0C ．1D ．338解析：D 依题意，令f (x )＝2sin 3x cos x ，所以f ′(x )＝6sin 2x cos 2x －2sin 4x ＝2sin 2x (3cos 2x －sin 2x )＝2sin 2x (4cos 2x －1)，又x ∈(0，π)，令f ′(x )＝0，可得cos x ＝±12，所以x ＝π3或x ＝2π3，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，f ′(x )＞0，所以f (x )＝2sin 3x cos x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝2sin 3x cos x 在x ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π时，f ′(x )＞0，所以f (x )＝2sin 3x cos x 在x ∈⎝⎛⎭⎫2π3，π单调递增，所以当x ＝π3时，函数取最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝338，所以实数a 的最小值为338．故选D ．二、填空题9．已知函数f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数，则函数f (x )的最小值为________，最大值为________． 解析：f ′(x )＝－e －x －e x＝－e 2x ＋1ex ．当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上单调递减．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0．即f (x )的最小值为e －a－e a ，最大值为0．答案：e －a －e a 010．已知函数f (x )＝ax 3－12x 2＋x －x ln x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝3ax 2－x －ln x ，因为函数f (x )有两个极值点，所以f ′(x )有两个变号零点．由f ′(x )＝0得3ax 2＝x ＋ln x ，即3a ＝x ＋ln x x 2，令g (x )＝x ＋ln x x 2，则g ′(x )＝－x ＋1－2ln xx 3，易知函数y ＝－x ＋1－2ln x 是减函数，且当x ＝1时，y ＝0，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．故g (x )max ＝g (1)＝1，又当0＜x ＜1e 时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，所以要使f ′(x )有两个零点，需0＜3a ＜1，即0＜a ＜13．答案：⎝⎛⎭⎫0，13 三、解答题11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，则f ′(x )>0， 若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点；当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a ．12．设函数f (x )＝ln x ＋x 2＋2ax ＋1． (1)当a ＝－32时，求f (x )的极值；(2)判断函数f (x )在(a ＋2，＋∞)上是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－32时，函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x ＋1(x ＞0)．对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x ＝2(x －1)⎝⎛⎭⎫x －12x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝12．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0． 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减． 于是f (x )在x ＝1处取得极小值，且极小值为f (1)＝－1，在x ＝12处取得极大值，且极大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－14， 所以函数f (x )的极大值为ln 12－14，极小值为－1．(2)存在．对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2x ＋2a ＝2x 2＋2ax ＋1x(x ＞0)．令f ′(x )＝0，即2x 2＋2ax ＋1＝0，令g (x )＝2x 2＋2ax ＋1，则函数g (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a2．因为a ＋2≥0，所以a ≥－2． ①当－a 2≤a ＋2，即a ≥－43时，g (a ＋2)＝2(a ＋2)2＋2a (a ＋2)＋1＝4a 2＋12a ＋9＞0恒成立， 所以f (x )在(a ＋2，＋∞)上无极值．②当－a 2＞a ＋2，即a ＜－43时，则－2≤a ＜－43，g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝2×a 24＋2a ⎝⎛⎭⎫－a 2＋1＝－a 22＋1． 当－a 22＋1≥0时，有－2≤a ≤2，即－2≤a ＜－43时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(a ＋2，＋∞)上无极值．当－a 22＋1＜0时，有a ＜－2或a ＞2，又－2≤a ＜－43，所以－2≤a ＜－2，因为g (a ＋2)＝4a 2＋12a＋9≥0，g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a22＋1＜0，当x →＋∞时，g (x )＞0， 所以存在x 1∈⎝⎛⎭⎫a ＋2，－a 2，使得f ′(x 1)＝0，存在x 2∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞，使得f ′(x 2)＝0． 所以当x ∈(a ＋2，x 1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0． 由此可知，当－2≤a ＜－2时，f (x )有极值．综上所述，函数f (x )在(a ＋2，＋∞)上存在极值，且实数a 的取值范围为[－2，－2)．。
考点18导数与函数的极值、最值(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点18导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．【知识点】1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一 利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．命题点1 根据函数图象判断极值【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数()y f x =的导函数()y f x ¢=的图象，下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数4211()f x x x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率小于零B ．函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增C ．函数f （x ）在x ＝1处取得极大值D ．函数f （x ）在区间（－3，3）内至多有两个零点命题点2 求已知函数的极值【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数()2()2e xf x x ax =--在2x =-处取得极大值，则()f x 的极小值为（ ）A ．26e -B ．4e-C ．22e -D ．e-【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数()2tan πf x x x =--在区间ππ,22æö-ç÷èø的极大值、极小值分别为（ ）A ．π12+，π12-+B ．π12-+，3π12-+C ．3π12-，π12-+D ．π12--，3π12-+【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知2e ,0,()41,0,xx f x x x x x ì>ï=íï---£î则方程2()(3)()30f x k f x k -++=可能有（ ）个解.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模）()2e xf x x -=的极大值为 ．命题点3 已知极值(点)求参数【例题3】（2024·全国·模拟预测）设12,x x 为函数()()()2f x x x x a =--（其中0a >）的两个不同的极值点，若不等式()()120f x f x +³成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4B ．(]0,4C ．()0,1D ．()4,+¥【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数()()21ln 02f x ax x b x a =-+¹有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A ．0,0a b ><B ．0,0a b <>C ．14ab <D ．0ab >【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于 ．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln 2f x x x ax a =-+-ÎR ．(1)若()f x 的极值为－2，求a 的值；(2)若m ，n 是()f x 的两个不同的零点，求证：()0f m n m n ¢+++<．题型二 利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．命题点1 不含参函数的最值【例题4】（2024·陕西·模拟预测）[]1,2x "Î，有22ln a x x x ³-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)e,+¥B ．[)1,+¥C ．e ,2éö+¥÷êëøD ．[)2e,+¥【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ()()22ln f x x x a x x =-+-，若存在(]0,e 0x Î，使得()00f x £成立，则实数a 的取值范围是.【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ^，则OAP △面积的取值范围是 .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x =．(1)求函数()()f xg x x=的最值．(2)证明：()2431e 3e e 044xx x x f x ---->（其中e 为自然对数的底数）．命题点2 含参函数的最值【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--Î+，没有极值点，则1ba +的最大值为（ ）A B ．e 2C ．eD ．2e 2【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln b a>B ．ln b a<C ．0a <D ．e ab >【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数()()()2ln 1f x x x ax =++-只有3个零点1x ，2x ，3x ()1233x x x <<<，则2a x +的取值范围是 ．【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+Î+¥存在最大值，求a 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·广西·模拟预测）函数()3f x x ax =+在1x =处取得极小值，则极小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x =¢的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A ．函数()e xy f x =×的最大值为1B ．函数()e xy f x =×的最小值为1C ．函数()exf x y =的最大值为1D ．函数()e xf x y =的最小值为14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()2e e 2x xf x a b x =++有2个极值点，则（ ）A ．2016b a <<B ．0b >C ．4a b <D ．2b a>5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos e xa f x x x x +=+在()0,π上恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π4e æöç÷ç÷èøB ．()π,e-¥C ．()π0,eD ．π4e ,ö÷÷ø+¥二、多选题6．（2024·全国·模拟预测）已知函数()e xbf x a x=+在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）A ．0ab > B ．24e b a £C ．24e 0a b ->D ．对于任意非零实数a ，总存在实数b 满足题意7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n na S a =+，则下列结论正确的是（ ）A ．当()*m n m n >ÎN ，时，m na a >B ．212n n n S S S +++<C ．数列{}2n S 是等差数列D ．1ln n nS n S -³三、填空题8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ÐODF Ð均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2023·江西赣州·模拟预测）当0x =时，函数()e x f x a bx -=+取得极小值1，则a b +=.四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数()211122f x x x =++．(1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程；(2)求()f x 在1,22éùêúëû上的值域．11．（2024·上海静安·二模）已知R k Î，记()x x f x a k a -=+×（0a >且1a ¹）．(1)当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值；(2)试讨论函数()y f x =的奇偶性；(3)拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）综合提升练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数()()1ln 1f x x x ax =+-+是()0,¥+上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2ln 2-¥B ．(]0,2ln 2C ．(],2-¥D ．(]0,22．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数()e x f x x a =+在区间[]0,1上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数()ln f x x x ax =-有极值e -，则=a （ ）A ．1B ．2C ．eD ．34．（2024·广东佛山·二模）若函数()24ln bf x a x x x =++（0a ¹）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）A ．a<0B ．0b <C ．1ab >-D ．0a b +>5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（ ）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ³D ．21x x ³6．（2024·全国·模拟预测）记函数()y f x =的导函数为y ¢，y ¢的导函数为y ¢¢，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ¢¢=éù+ëû¢．则曲线ln y x =的曲率的极值点为（ ）ABCD7．（2024·北京朝阳·一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ×××，对任意()1,2,,i x i n =×××，存在2i y ³满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++×××+£成立的最大正整数n 为（ ）A ．14B ．16C ．21D ．238．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，且()()()22e ,00x f x f x x f ¢-==，则()f x （ ）A ．有一个极小值点，一个极大值点B ．有两个极小值点，一个极大值点C ．最多有一个极小值点，无极大值点D ．最多有一个极大值点，无极小值点二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）对函数()f x ，()g x 公共定义域内的任意x ，若存在常数M ÎR ，使得()()f x g x M -£恒成立，则称()f x 和()g x 是M -伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）A ．存在常数M ÎR ，使得()()2log 5f x x =与()125log g x x=是M -伴侣函数B ．存在常数M ÎR ，使得()13x f x +=与()13x g x -=是M -伴侣函数C ．()ln f x x =与()2g x x =+是1-伴侣函数D ．若()()f x g x ¢¢=，则存在常数M ÎR ，使得()f x 与()g x 是M -伴侣函数10．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e =++xf x ax bx c 的极小值点为0，极大值点为()0m m >，且极大值为0，则（ ）A ．2m =B ．4b a=C ．存在0x ÎR ，使得()00f x >D ．直线3y a =与曲线()y f x =有3个交点11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln e e x f x a b a x =+-，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．若()f x 为减函数，则()00f <B ．若()f x 存在极值，则e 1b a >C ．若()10f =，则ln2b >D ．若()0f x ³，则b a³三、填空题12．（2022·广西·模拟预测）已知函数()21xx x f x e++=，则()f x 的极小值为 .13．（2023·广东汕头·一模）函数()36f x ax x =-的一个极值点为1，则()f x 的极大值是 ．14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的12x x ÎR 、，且20x >，不等式1122e ln x x x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题15．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x ¢=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.16．（2024·海南·模拟预测）已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+ÎR .(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数ln 1()ex f x x =-．(1)求()f x 的最大值；(2)证明：当0x >时，()e x f x x <．18．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21e 2e 22xx f x a ax =+--．(1)若曲线()y f x =在30,2a æö-ç÷èø处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．(2)若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．(3)当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线，则k 的取值范围为（ ）A ．1,0e æö-ç÷èøB ．1,eæö-¥-ç÷èøC ．2,0e æö-ç÷èøD ．2,e æö-¥-ç÷èø2．（2023·河南·三模）已知函数2()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在=x 12e -B ．()f x 在x =e2C ．()f x 在=x 12e -D ．()f x 在x =e 23．（2023·湖北·模拟预测）设函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d 满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2æùçúèûB ．1,12éùêúëûC ．æçèD ．ùúû4．（2024·湖北·二模）已知函数()1e e e x x xaxf x x +=++（e 为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．若函数()f x 在()()0,0P f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2e 2e 2-，则1a =C ．当1a =时，()f x m =可能有三个零点D ．当1a =时，函数的极小值大于极大值二、多选题5．（2023·安徽·一模）已知函数()()3R f x x x x =-Î，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的单调递增区间为,æ-¥ççè和ö¥÷÷ø+C ．()f xD ．()f x 的极值点为,æççè6．（2024·浙江杭州·二模）过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ^交AB 于点M ，则（ ）A ．直线NB 与抛物线C 有2个公共点B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=¹D ．3MN AB的最小值为三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）函数()()2ln ln f x x k x x k =-++在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .四、解答题9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()()21e x f x x ax =--，R a Î.(1)当e2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数()()2ln 20a f x a x x a x =--¹.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间(]0,1上的最大值.。
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值【课件】
与 在区间 内的变化情况如下表：
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
所以函数 在 内有且只有一个极值点.
（3）求函数 在区间 上的最小值.
【解】 由（1）（2）知， 在 内单调递增，在 内单调递减，又因为 , ,所以当 时， .又因为当 时， ,所以 ,当且仅当 时等号成立，所以 在 上的最小值为 .
（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
大
小
大
小
续表
2.函数的最值
（1）在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值.
（2）若函数 在 上单调递增,则______为函数的最小值,______为函数的最大值;若函数 在 上单调递减,则______为函数的最大值,______为函数的最小值.[提醒] 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.
4
解析： , ，当 时， ,则 在 上单调递减，当 时， ,则 在 上单调递增.又 , .所以在 上， ,所以 .
1.对于可导函数 ， 是函数 在 处有极值的必要不充分条件.
2.若函数 的图象连续不断，则 在 上一定有最值.
3.若函数 在 上是单调函数，则 一定在区间端点处取得最值.
（2）(2023·江苏苏州模拟)若函数 没有极值，则实数 的取值范围为______________.
解析：因为函数 没有极值，所以 在 上没有变号的零点，令 .①当 ，即 时，由 ，解得 ，所以 ；
②当 ，即 时，由 ，解得 ，所以 .由①②得， .
专题3.3导数与函数的极值、最值(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 导数与函数的极值、最值一、题型全归纳题型一 利用导数解决函数的极值问题【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程命题角度一 由图象判断函数的极值【题型要点】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点： (1) 由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性，两者结合可得极值点【例1】设函数()x f 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()()x f x y '-=1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （1）B.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （1）C.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （－2）D.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （2）【解析】由题图可知，当x ＜－2时，()x f '＞0；当－2＜x ＜1时，()x f '＜0；当1＜x ＜2时，()x f '＜0；当x ＞2时，()x f '＞0.由此可以得到函数f （x ）在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 【例2】已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－4)上单调递减B ．函数f (x )在x ＝2处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝－4处取得极值D ．函数f (x )有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x ≤2时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)，故A 错误．当x ＝2时函数取得极大值，故B 正确．当x ＝－4时函数无极值，故C 错误．只有当x ＝2时函数取得极大值，故D 错误．故选B.命题角度二 求已知函数的极值【题型要点】求函数极值的一般步骤（1）先求函数f （x ）的定义域，再求函数f （x ）的导函数. （2）求()x f '＝0的根.（3）判断在()x f '＝0的根的左、右两侧()x f '的符号，确定极值点. （4）求出具体极值.【例3】已知函数f （x ）＝（x －2）（e x －ax ），当a ＞0时，讨论f （x ）的极值情况. 【解析】 ∵()x f '＝（e x －ax ）＋（x －2）（e x －a ）＝（x －1）（e x －2a ），∵a ＞0， 由()x f '＝0得x ＝1或x ＝ln 2a .∵当a ＝e2时，f ′（x ）＝（x －1）（e x －e ）≥0，∵f （x ）在R 上单调递增，故f （x ）无极值.∵当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：∵当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：综上，当0＜a ＜e2时，f （x ）有极大值－a （ln 2a －2）2，极小值a －e ；当a ＝e2时，f （x ）无极值；当a ＞e2时，f （x ）有极大值a －e ，极小值－a （ln 2a －2）2.【例4】已知函数f (x )＝ln x ＋a －1x ，求函数f (x )的极小值．【解析】 f ′(x )＝1x －a －1x 2＝x －（a －1）x 2(x >0)，当a －1≤0，即a ≤1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极小值． 当a －1>0，即a >1时，由f ′(x )<0，得0<x <a －1，函数f (x )在(0，a －1)上单调递减； 由f ′(x )>0，得x >a －1，函数f (x )在(a －1，＋∞)上单调递增．f (x )极小值＝f (a －1)＝1＋ln(a －1)． 综上所述，当a ≤1时，f (x )无极小值； 当a >1时，f (x )极小值＝1＋ln(a －1)．命题角度三 已知函数的极值求参数值(范围)【题型要点】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【易错提醒】若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【例5】设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 时，f ′(x )<0; 当x ∵(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∵(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．题型二 函数的最值问题【题型要点】求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．【例1】（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f （x ）＝2x 3－ax 2＋b . （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）f ′（x ）＝6x 2－2ax ＝2x （3x －a ）.令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∵（－∞，0）∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在 （－∞，0），⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 单调递减. 若a ＝0，f （x ）在（－∞，＋∞）单调递增.若a ＜0，则当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ∵（0，＋∞）时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，（0，＋∞）单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛0,3a 单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（∵）当a ≤0时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递增，所以f （x ）在区间［0,1］的最小值为f （0）＝b ，最大值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1. （∵）当a ≥3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递减，所以f （x ）在区间［0,1］的最大值为f （0）＝b ，最小值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1. （∵）当0＜a ＜3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛3a f ＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾.若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾.综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f （x ）在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.【例2】(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解析】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0∵0<x <1，f ′(x )<0∵x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 1＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e，且⎪⎭⎫⎝⎛e f 1<f (e)．所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值为0，最小值为2－e.题型三 函数极值与最值的综合应用【题型要点】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例1】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .若f (x )在x ＝2处取得极小值，则a 的取值范围为_______． 【解析】 f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ，若a >12，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛2,1a 时，f ′(x )<0；当x ∵(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21. 【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【解析】：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)∵由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0上单调递增．因为f (－1)＝2，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.∵当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.题型四 利用导数研究生活中的优化问题【题型要点】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f （x ）.（2）求函数的导数()x f '，解方程()x f '＝0.（3）比较函数在区间端点和()x f '＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. （4）回归实际问题，结合实际问题作答.【例1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y ＝ax －3＋10（x －6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】（1）因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10（x －6）2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f （x ）＝（x －3）⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10（x －3）（x －6）2,3＜x ＜6.则()x f '＝10［（x －6）2＋2（x －3）（x －6）］＝30（x －4）（x －6）. 于是，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【例2】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本） 【解析】（1）由题意得W ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫10.8－130x 2x －2.7x －10，0＜x ≤10，⎝⎛⎭⎫108x －1 0003x 2x －2.7x －10，x ＞10，即W ＝⎩⎨⎧8.1x －130x 3－10，0＜x ≤10，98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ，x ＞10.（2）∵当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝81－x 210＝（9＋x ）（9－x ）10，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；当9＜x ≤10时，W ′＜0，则W 递减.所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.∵当x ＞10时，W ＝98－⎪⎭⎫⎝⎛+x x 7.231000≤98－21 0003x×2.7x ＝38. 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.二、高效训练突破 一、选择题1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∵[－4，－3)或x ∵(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∵(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：∵函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内单调递增；∵当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ∵函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；∵当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵∵D ．∵∵【解析】：对于∵，函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内有增有减，故∵不正确； 对于∵，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故∵正确；对于∵，当x ∵(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上单调递增，故∵正确； 对于∵，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故∵不正确．3.（2020·东莞模拟）若x ＝1是函数f （x ）＝ax ＋ln x 的极值点，则（ ） A.f （x ）有极大值－1 B.f （x ）有极小值－1 C.f （x ）有极大值0D.f （x ）有极小值0【解析】∵f （x ）＝ax ＋ln x ，x ＞0，∵f ′（x ）＝a ＋1x ，由f ′（1）＝0得a ＝－1，∵f ′（x ）＝－1＋1x ＝1－xx .由f ′（x ）＞0得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得x ＞1， ∵f （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∵f （x ）极大值＝f （1）＝－1，无极小值，故选A.4.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于（ ）A.89B.109C.169D.289【解析】函数f （x ）的图象过原点，所以d ＝0.又f （－1）＝0且f （2）＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f （x ）＝x 3－x 2－2x ，所以f ′（x ）＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′（x ）＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 5.已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e【解析】：函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x－1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2. 6.已知函数f （x ）＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f （x ）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k 的取值范围为（ ） A.［－3，＋∞） B.（－3，＋∞） C.（－∞，－3）D.（－∞，－3］【解析】由题意知f ′（x ）＝3x 2＋6x －9，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：7.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3【解析】：设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120.设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∵(0，80)时，y ′＞0；当x ∵(80，120)时，y ′＜0. 因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.8.(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∵N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A ．2折函数 B ．3折函数 C ．4折函数D ．5折函数【解析】：.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4. 所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．9.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝(x 2－m )e x ，若函数f (x )的图象在x ＝1处切线的斜率为3e ，则f (x )的极大值是( )A ．4e －2 B ．4e 2 C ．e －2D ．e 2【解析】：f ′(x )＝(x 2＋2x －m )e x .由题意知，f ′(1)＝(3－m )e ＝3e ，所以m ＝0，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x .当x >0或x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝－2时，f (x )取得极大值，f (－2)＝4e －2.故选A.10.函数f （x ）＝x 3－3x －1，若对于区间［－3,2］上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（ ） A.20 B.18 C.3D.0【解析】原命题等价于对于区间［－3,2］上的任意x ，都有f （x ）max －f （x ）min ≤t ， ∵f ′（x ）＝3x 2－3，∵当x ∵［－3，－1］时，f ′（x ）＞0， 当x ∵［－1,1］时，f ′（x ）＜0，当x ∵［1,2］时，f ′（x ）＞0. ∵f （x ）max ＝f （2）＝f （－1）＝1，f （x ）min ＝f （－3）＝－19. ∵f （x ）max －f （x ）min ＝20，∵t ≥20.即t 的最小值为20.故选A.二、填空题1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝ ．【解析】：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝ ；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．【解析】：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.3．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝ ，f (x )的极小值为 ．【解析】：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.4.（2019·武汉模拟）若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是 ．【解析】：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.5.若函数f （x ）＝x 3－3ax 在区间（－1,2）上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .【解析】因为f ′（x ）＝3（x 2－a ），所以当a ≤0时，f ′（x ）≥0在R 上恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增，f （x ）没有极值点，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′（x ）与f （x ）的变化情况如下表所示：因为函数f （x ）在区间（－1,2）上仅有一个极值点，所以⎩⎨⎧a ＜2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a ＞－1，2≤a ，解得1≤a ＜4.三 解答题1.(2020·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 【解析】：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以f (x )max ＝f (1)＝－1.所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∵(0，e]，1x ∵⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e .∵若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意；∵若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∵(0，e]，解得0<x <－1a，令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∵(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛-e a ,1上为减函数，所以f (x )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1＝－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln .令－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln ＝－3，得⎪⎭⎫⎝⎛-a 1ln ＝－2，即a ＝－e 2.因为－e 2<－1e ，所以a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.2.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∵R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值．【解析】：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)f ′(x )＝n －xx2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n .∵当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；∵当n >1时，函数f (x )在[1，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln 3.（2019·郑州模拟）已知函数f （x ）＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值.【解析】 f ′（x ）＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.∵若k ＝0，则f ′（x ）＝－1x 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减.∵若k ≠0，则f ′（x ）＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.（∵）若k ＜0，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0.所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上单调递减，（∵）若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0， 所以f （x ）在1e ，e 上单调递减.综上，当k ＜1e 时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减，所以f （x ）min ＝f （e ）＝1e ＋k －1，f （x ）max ＝⎪⎭⎫⎝⎛e f 1＝e －k －1.4.已知函数f （x ）＝a ln x ＋1x （a ＞0）.（1）求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在［1，e ］上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝a x －1x 2（a ＞0）.（1）由f ′（x ）＞0解得x ＞1a ，所以函数f （x ）的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ；由f ′（x ）＜0解得x ＜1a ，所以函数f （x ）的单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0.所以当x ＝1a 时，函数f （x ）有极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值. （2）不存在.理由如下：由（1）可知，当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0时，函数f （x ）单调递减；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 时，函数f （x ）单调递增.∵若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f （x ）在［1，e ］上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （1）＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件.∵若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f （x ）在⎪⎭⎫⎢⎣⎡a 1,1上为减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,1上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （x ）的极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a （1－ln a ）＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件.∵若1a ＞e ，即0＜a ＜1e时，函数f （x ）在［1，e ］上为减函数，故函数f （x ）的最小值为f （e ）＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件.综上所述，这样的a 不存在.。
导数与函数的极值、最值(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，
2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).
令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边
导数与函数的极值(最值)讲义—— 高考数学一轮总复习
专题4.3 导数与函数的极值（最值）【命题趋势】1.会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，凸显数学抽象、数学运算；2.以基本函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值及最值,求解中多利用 分类讨论思想，凸逻辑推理、显数学运算.【主干梳理】 1.函数的极值 （1）函数的极小值：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都小，()0f a '=，而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值.（2）函数的极大值：函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近的其他点的函数值都大，()0f b '=，而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 2.函数的最值（1）在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上必有最大值与最小值；（2）若函数()f x 在[],a b 上单调递增，则()f a 为函数的最小值，()f b 为函数的最大值；若函数()f x 在[],a b 上单调递减，则()f a 为函数的最大值，()f b 为函数的最小值. （3）若函数()f x 在[],a b 上先增后减，极大值为最大值，()f a 与()f b 中较小值即为最小值；或先减后增，极小值为最小值，()f a 与()f b 中较大值即为最大值；（4）若函数()f x 在[],a b 上增减增，极大值与()f b 中较大值即为最大值，极小值与()f a中较小值即为最小值；若函数()f x 在[],a b 上减增减，极大值与()f a 中较大值即为最大值，极小值与()f b 中较小值即为最小值. 3.常用结论（1）若函数()f x 的图象连续不断，则()f x 在[],a b 上一定有最值．（2）若函数()f x 在区间(),a b 内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．【核心考点】【考点一】 根据函数图象判断极值【方法储备】函数极值的辨析：（1）利用图象研究函数性质：① 利用()f x 的图象，找出()f x 的单调区间及极(最)值点；②()f x '的图象，找出()f x '的正负区间．．．．及由正变负还是由负变正，确定函数的单调区间和极值；（2）()f x 在0x x =处有极值⇔ ()0=0f x '，且()f x 在0x x =两侧异号.【精研题型】1. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如下图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f2. 如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点；②1-是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增．则正确命题的序号是 A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【思维升华】【特别提醒】1.可导函数()y f x =在点0x 处取得极值的充要条件．．．．是()0=0f x '，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同；2.若()f x 在(),a b 内有极值，那么()f x 在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.【考点二】求函数的极值或极值点个数【方法储备】求极值或极值点个数：（1）求函数()f x 极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数()f x '；③解方程()=0f x '，求出函数定义域内的所有根；④检验．．()f x '在．()=0f x '的根．．0x 左右两侧值的．．．．．．符号．．，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值.（2）若函数()y f x =在区间(),a b 内有极值，那么()y f x =在(),a b 内不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.【精研题型】4. 定义,max{,},a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩且()f x =12e x -，ln ()xg x x =，令()max{(),()}h x f x g x =，则()h x 的极大值为__________，单调递增区间为__________.5. 设函数23()ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 的极大值点，则函数()f x 的极小值为 A. ln 22-B. ln21-C. ln32-D. ln31-6.已知函数()()213ln 2022f x x ax x a =+-+≥． （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；【思维升华】9. 已知函数()sin ln 1.f x x x =+-(1)求函数()f x 在点(,ln )22ππ处的切线方程；(2)求证：()f x 在()0π，上存在唯一的极大值.【特别提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号. 【考点三】已知极值(点)求参数的值或取值范围【方法储备】已知函数极值（个数），求参数时，注意以下两点：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验．证．充分性. 【精研题型】10. 若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则14a b+的最小值等于__________.11. 函数32()4f x x x ax =+--在区间(1,1)-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 A. (1,5) B. [1,5) C. (1,5] D. (,1)(5,)-∞⋃+∞ 12. 若函数()sin 2f x ax x =-在区间[,]62ππ上没有极值，则实数a 的取值范围是 A. 1a 或2a - B. 21a - C. 1a >或2a <-D. 1a -13. 已知函数()2xf x x e =，若()f x 在[],1t t +上不单调．．．，则实数t 的取值范围是_________.【思维升华】（取自解答题的第一问）14. 已知向量a ，b ，满足||2||0a b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则向量,a b 的夹角的取值范围是 A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,6ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭15. 已知(2sin,cos)22xxa ωω=，(3cos,2cos)22x xb ωω=，函数()f x a b =⋅在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为 A. 85[,)52 B. 75(,]42 C. 57[,)34D. 7(,2]416. 已知函数2() 1.xf x x ae =--(1)若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围；【考点四】利用导数求函数的最值【方法储备】1.闭区间内求函数最值的步骤：①求函数的定义域；②求()f x '，解不等式()0f x '>；③得出函数的单调区间，极值点；④求极值、端点值，比较大小，确定最值.2.若开区间内只有一个极值点，则相应极值点为函数的最值点；【精研题型】17. 定义：函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值之差为函数()f x 的极差.若定义在区间[2,31]b b --上的函数32()(2)f x x ax b x =--+是奇函数，则a b +=__________，函数()f x 的极差为__________.18. 若函数21()f x x=在{|14,}x x x R ∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=A.3116B. 2C.94D.114【思维升华】19. 已知函数()1ln .f x x a x =--(1)若()0f x ，求a 的值;(2)证明：对于任意正整数n ，2111111.222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点五】根据函数的最值求参数的值（范围）【方法储备】1.含参数函数的单调性和最值(极值)的探究,解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主要题型有以下几种：（1）求含参数的函数在定区间的最值，需要对参数分类讨论，最后以分段函数的形式给出最值．（2）已知函数在定区间的最值(极值)，极值点不确定，讨论极值点和区间端点之间的关系，再求参数的值或范围．（3）已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关系．2. 不等式恒成立(有解)问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值.3.需多次求导时，要明确每次求导的目的．【精研题型】21. （多选）若函数32()2(0)f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值可能为 A. 6-B. 5-C. 4-D. 3-22.（多选）当1(0,]2x ∈时，不等式210x ax ++恒成立，则实数a 的值可能为 A. 52-B. 2-C.-1D. 3-23. 已知函数()(xe f x mx e x=-为自然对数的底数)，若()0f x <在(0,)+∞上有解，则实数m 的取值范围是______.【思维升华】24. 已知函数21()3ln (3)21(0)2f x x ax a x a a =-+-+->，()0f x >的解集为(,)m n ，若()f x 在(0,)+∞上的值域与函数(())f f x 在(,)m n 上的值域相同，则a 的取值范围为 A. [1,)+∞B. 9[,)5+∞C. [2,)+∞D. 10[,)3+∞ 25. 已知函数()(1)ln 1().f x ax x ex a R =+--∈(1)当0a =时，求函数()f x 在21[,]e e上的最大值与最小值； (2)当0a 时，若对任意的(0,)x ∈+∞都有()0f x <，求a 的取值范围．【考点六】生活中的优化问题【方法储备】1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义；2.用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，根据实际意义，该极值点就是最值点.【精研题型】26.如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得,,,A B C D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，若要包装盒容积()3V cm最大，则EF 长为________cm ．27. 某公司研发甲、乙两种新产品, 根据市场调查预测, 甲产品的利润与投资金额x(单位: 万元)满足: ()ln 3f x a x bx =-+ (,,,a b R a b ∈为常数),且曲线()y f x =与直线y kx =在()1,3点相切;乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比, 且其图象经过点()4,4.(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式;(2)已知该公司已筹集到40万元资金, 并将全部投入甲、乙两种产品的研发, 每种产品投资金额均不少于10万元.问怎样分配这40万元, 才能使该公司获得最大利润? 其最大利润约为多少万元? (结果保留3位小数,参考数据:ln10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219,ln30 3.401≈≈≈≈≈)【思维升华】28.（2020江苏卷理）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线（O '在AB 上）．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h （米）与D 到OO '的距离a（米）之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h （米）与F 到OO '的距离b （米）之间满足关系式3216800h b b =-+．已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中,C E 在AB 上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价32k （万元）（0k >），问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？4.3 导数与函数的极值（最值）答案和解析 考点一1. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 【解答】解：()()2,10,10x x x f x <-->->'则()0f x '>函数()f x 增；()()21,10,10x x x f x -<<->'-<则()0f x '<函数()f x 减； ()()12,10,10x x x f x '<<-<->则()0f x '<函数()f x 减； ()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查导函数图象与原函数图象间的关系，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值及导数的几何意义，属于基础题.根据导数的几何意义可判断出③错误，根据导数与函数的单调性、极值点关系，结合图象判断在(,3)-∞-上()f x 单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，可判断①④正确，②错误. 【解答】解：由导函数图象可知：在(,3)-∞-上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在(3,)-+∞上，()0f x '，()f x 单调递增，所以3-是函数()y f x =的极小值点，故①④正确，②错误；因为在0x =处的导函数值大于零，根据导数的几何意义，可知曲线()y f x =在0x =处切线斜率大于零，故③错误， 故选.B 3. 【答案】AD 【解析】1x ⎤⎦ ，从而再求导判断即可．ln xx=， c ，1x ⎤⎦， )2ln 12x ⎤+⋅⎦故函数()f x 在()0+∞，上为减函数， 故()f x 没有极值， 故选AD ．考点二4.【答案】1e ，1[,]e e【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，对()g x 求导，分析()g x '的正负，()g x 的单调性，作出()max{(),()}h x f x g x =的大致图象，可得()h x 的极大值和单调递增区间. 【解答】解：因为()g x =ln xx (0)x >， 所以1ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，则x e =，当0x e <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x e >时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()g x 极大值1()g e e==， 由()()f x g x =，即12nx x e x -=，得1x e=， 作出()h x =max{(),()}f x g x 的大致图象如下：则1()()h x g e e ==极大值，且在1(0,)e，(,)e +∞上单调递减， 在1[,]e e上单调递增，则()h x 的单调递增区间为1[,].e e故答案为：1e ，1[,].e e5.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 先求导，再根据1x =是函数()f x 的极大值点，求出a 的值，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出极小值． 【解答】解：23()ln 2f x x ax x =+-，0x >，13()22f x ax x ∴'=+-，1x =是函数()f x 的极大值点，3(1)1202f a ∴'=+-=，解得14a =， 211332()222x x f x x x x-+∴'=+-=，再令()0f x '=，解得1x =或2x =，当01x <<，或2x >时，()0f x '>， 当12x <<时，()0f x '<，∴当2x =时，函数取得极小值，则极小值为13(2)ln 242ln 2242f =+⨯-⨯=-，故选.A当32t π=时,函数()h t 有极大值为 33333=sin cos 122222h πππππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 9.【答案】解：(1)由()sin ln 1f x x x =+-，得1()cos f x x x'=+， ∴函数()f x 在点(,ln)22ππ处的切线斜率2()2k f ππ='=，∴切线方程为2ln ()22y x πππ-=-，即2ln 1.2y x ππ=+-1(2)()cos f x x x'=+，∴当(0,]2x π∈时，()0f x '>，此时()f x 在(0,]2π单调递增，当(,)2x ππ∈时，由21()sin 0f x x x ''=--<，知()f x '在(,)2ππ单调递减，且21()0,()102f f ππππ'=>'=-+<，知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0()0f x '=； 当0(,)2x x π∈时()0f x '>，()f x 单调递增；当0(,)x x π∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，()f x ∴在()00,x 上单调递增，在0(,)x π上单调递减，0x ∴是极大值点综上，()f x 在区间(0,)π内存在唯一的极大值． 【解析】(1)对()f x 求导，然后求出函数()f x 在点(,ln )22ππ处的切线斜率k ，再得到切线方程；(2)根据条件分(0,]2x π∈和(,)2x ππ∈两种情况，讨论函数()f x '的符号，得出函数()f x 的单调性，得出函数存在唯一的极大值点，即函数在给定的区间上存在唯一的极大值. 本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线的切线方程，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．考点三10.【答案】32【解析】 【分析】本题考查函数在极值点处的导数值为0，考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等，属于中档题．求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出14a b+的最小值． 【解答】解：由题意，求导函数2()1222f x x ax b '=--， 在1x =处有极值，12220a b ∴--=， 6a b ∴+=，()141146a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭14131452662b a a b ⎛⎛⎫=++++= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当4b aa b =，即2a =，4b =时取等号， 所以14a b +的最小值等于3.2故答案为3.211.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值问题，函数零点存在性问题，属于中档题．利用函数的导数与极值的关系，即可求出实数a 的取值范围，进而验证1a =，5时是否符合题意，即可得到答案. 【解答】解：由题意，2()32f x x x a '=+-，当(1)(1)0f f '-'<时，函数32()4f x x x ax =+--在区间(1,1)-内恰有一个极值点， 即(1)(5)0a a --<，解得15a <<；当1a =时，函数32()4f x x x x =+--在区间(1,1)-上恰有一个极值点13x =； 当5a =时，函数32()54f x x x x =+--在区间(1,1)-上没有一个极值点， 故实数a 的取值范围是[1,5), 故选.B 12.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数极值，属于基础题. 函数()sin 2f x ax x =-在区间[,]62ππ上没有极值等价于()f x 在[,]62ππ是单调函数，即()0f x '或()0f x '恒成立，求导后根据三角函数的性质可求得a 的范围.【解答】解：函数()sin 2f x ax x =-在区间[,]62ππ上没有极值等价于()f x 在[,]62ππ是单调函数，所以()2cos 20f x a x '=-或()2cos 20f x a x '=-在区间[,]62ππ上恒成立；所以max (2cos 2)2cos(2)16a x π=⨯=，或min (2cos 2)2cos(2)22a x π=⨯=-，综上1a 或2a -， 故A 正确.13.【答案】(3,2)(1,0)---【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性，则区间[,1]t t +不在某一个单调区间内，即可分类讨论得解. 【解答】解：由题意得，2()(2)xf x e x x '=+，所以，()f x 在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增， 在(2,0)-上单调递减， 又()f x 在[,1]t t +上不单调，2,12t t <-⎧∴⎨+>-⎩或010t t <⎧⎨+>⎩即实数t 的取值范围是(3,2)(1,0)---， 故答案为(3,2)(1,0).--- 14.【答案】C 【解析】 【分析】本题考查向量的夹角的取值范围的求法及利用导数研究函数的极值，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用.根据题意可知2()||0f x x a x a b '=++⋅=有两个不等的实根，根据判别式大于0，利用向量夹角公式解答. 【解答】解：关于x 的函数3211()||32f x x a x a b x →→→=++⋅在R 上有极值，2()||0f x x a x a b ∴'=++⋅=有两个不等的实根，则判别式2||40a a b =-⋅>，设向量,a b 的夹角为θ，2||4||||cos 0a a b θ∴-⋅>，由||2||0a b =≠，得1cos 2θ<， 因为0θπ，.3πθπ∴<故选.C 15.【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数图象及其性质运用，运用导数研究函数的极值，涉及三角函数两角和差公式，二倍角公式，向量数量积运算等基础知识的运用，考查了分析和运用能力，属于拔高题.先结合向量数量积运算以及三角恒等变换公式得到()2sin 16f x a b x πω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x a b =⋅在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，可得()2cos 6f x x πωω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭在4[0,]3π上有三个变号零点，结合三角函数图象建立不等式组求解即可. 【解答】 解：由题意，2()(2sin,cos),2cos)cos2cos 2222222xxxxxxxf x a b ωωωωωωω=⋅=⋅=+cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 在区间4[0,]3π上恰有3个极值点， 所以()2cos 6f x x πωω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭在4[0,]3π上有三个变号零点， 又因为0ω>，所以结合()f x '图象可得，只需使4536247362πππωπππω⎧⋅+>⎪⎪⎨⎪⋅+⎪⎩，解得：7542ω<，故选.B16.【答案】解：(1)由2()1x f x x ae =--得()2x f x x ae '=-，因为()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ， 则()f x '有两个不同的零点，即方程2xxa e =有两个不同的实根， 即直线y a =与2x xy e=的图象有两个不同的交点，设2()x x g x e =，则2(1)()xx g x e -'=，当(,1)x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 且()g x 的取值范围是2(,)e-∞；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 且()g x 的取值范围是2(0,)e， 所以当20a e<<时，直线y a =与2x x y e =的图象有两个不同的交点，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，故实数a 的取值范围是2(0,)e；【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查导数中的不等式证明，属于难题.(1)对函数求导，根据题意可得，方程2x x a e =有两个不同的实根，设2()xx g x e =，对()g x 求导，根据函数()g x 单调性可得()g x 的取值范围，即可得实数a 的取值范围；考点四17.【答案】1，4【解析】解：定义在区间[2,31]b b --上的函数32()(2)f x x ax b x =--+是奇函数，2310b b a -+-=⎧∴⎨-=⎩，解得0a =，1b =，1a b ∴+=， 3()3f x x x ∴=-，区间[2,31]b b --即为[2,2].- 2()33f x x '=-，由()0f x '=，得1x =±， 3(2)(2)3(2)2f -=--⨯-=-， 3(1)(1)3(1)2f -=--⨯-=， 3(1)1312f =-⨯=-， 3(2)2322f =-⨯=，max ()2f x ∴=，min ()2f x =-，∴函数()f x 的极差为：2(2) 4.--=故答案为：1;4.由定义在区间[2,31]b b --上的函数32()(2)f x x ax b x =--+是奇函数，列出方程组，能求出0a =，1b =，从而1a b +=，3()3f x x x =-，由此利用导数的性质能求出函数()f x 的极差．本题考查函数性质、函数极差、导数、函数最大值及最小值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的最值，利用导数研究函数的单调性及函数奇偶性的应用．由()f x 为偶函数，可得当14x 时，21(),f x x =-从而利用求导可得函数的单调性，进而可求出M m -的值. 【解答】解：()21f x x =为偶函数，当14x 时，21(),f x x =32()0,f x x '∴=+>则()f x 在[]1,4上单调递增， 31()[0,]16f x ∴∈， 因此3131,0,1616M m M m ==∴-= .故选.A19.【答案】解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，①若0a ，因为11ln 2022f a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，所以不满足题意. ②若0a >，由()1a x af x x x-'=-=知， 当(0,)x a ∈时，()0f x '<； 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>；所以()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增， 故x a =是()f x 在(0,)+∞的唯一最小值点.因为(1)0f =，所以当且仅当1a =时，()0f x ，故 1.a =(2)证明：由(1)知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0.x x -->令112n x =+，得11ln 1.22nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 从而211ln 1ln 122⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2111)ln 1222n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…111 1.22n n+=-< 故2111122⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (1)1.2ne ⎛⎫+<⎪⎝⎭【解析】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数证明不等式，属于中档题.(1)求出函数导数，利用单调性求出()f x 最小值，代入即可求出;a可得证. 20. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，是中档题. 根据题意，分类讨论，进而求出结果. 【解答】解：当40x -≤≤时，()()22424f x x x x =+=+-， 所以()40f x -≤≤，当0x m <≤时，()326f x x x =-+，则()266f x x '=-+，令()2660f x x '=-+>，解得01x <<；由()2660f x x '=-+<，解得1x >；所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1+∞，上单调递减， 当1m ≥时，函数()f x 有极大值，即为最大值()1=4f ， 又因为()2=4f -，所以实数m 的取值范围为：12m ≤≤， 故选B.考点五21.【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题.通过求导，得出3a x =时，函数()f x 取得最大值，由3()27a f x =-，解得3a x =或.6ax =-则6336a a a+<-，解不等式即可. 【解答】解：由题意，令2()622(3)0f x x ax x x a '=-=-=，解得120,.3a x x ==当03ax <<时，()0f x '<； 当3ax <或0x >时，()0f x '>；从而()f x 在3ax =处取得最大值3().327a a f =-由3()27a f x =-可得2()(2)033a a x x -+=，解得3a x =或.6ax =-函数32()2(0)f x x ax a =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，6336a a a+∴<-， 4.a ∴- 故选.ABC 22.【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意，不等式210x ax ++对一切1(0,]2x ∈成立211x ax x x --⇔=--对一切1(0,]2x ∈恒成立，令11()(0)2g x x x x =--<，则max ()a g x ，求出()g x 的最大值，即可得出答案. 【解答】解：不等式210x ax ++对一切1(0,]2x ∈成立211x ax x x --⇔=--对一切1(0,]2x ∈恒成立， 令11()(0)2g x x x x =--<，则max ()a g x ， 102x<， 21()10g x x ∴'=->，1()g x x x ∴=--在1(0,]2上单调递增，max 115()()2222g x g ∴==--=-，52a ∴-，∴实数a 的值可能为-1，2-，5.2-故选.ABC23.【答案】2(,)4e +∞【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．由题可知，存在(0,)x ∈+∞，使得0x e mx x -<，即2xe m x>，设2()x e g x x =，(0,)x ∈+∞，问题转化为求()g x 在(0,)+∞上的最小值，对()g x 求导后，易推出()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，于是min ()(2)g x g =，从而得解． 【解答】 解：()0f x <在(0,)+∞上有解，∴存在(0,)x ∈+∞，使得0x e mx x -<，即2xe m x>，设2()xe g x x=，(0,)x ∈+∞，问题转化为求()g x 在(0,)+∞上的最小值，而3(2)()x e x g x x-'=， ∴当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．2min()(2)4e g x g ∴==，2.4e m ∴>故答案为：2(,).4e +∞24.【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数的导数求函数的单调性和值域问题，属于难题.先对函数求导，判断函数的单调性，确定函数的值域，再利用()f x 在(0,)+∞上的值域与函数(())f f x 在(,)m n 上的值域相同，满足5412a -，求出参数的范围. 【解答】解：因为21()3ln (3)21(0)2f x x ax a x a a =-+-+->，定义域为(0,)+∞， 所以23(3)3(3)(1)()3ax a x ax x f x ax a x x x-+-++-'=-+-==，当1x >时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，max 5()(1)42f x f a ==-，即函数的值域为5(,4],2a -∞- 当(,)x m n ∈时，令()f x t =，则(())()y f f x f t ==，5042t a <-， 因为()f x 在(0,1)递增，(1,)+∞递减，要使()y f t =的值域为5(,4],2a -∞- 则5412a -，解出2a ， 所以a 的范围为[2,).+∞ 故选.C25.【答案】解：(1)当0a =时，()ln 1f x x ex =--，21[,]x e e∈， 1()11()e x ex e f x e x x x ---'=-==， 211[,)x e e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(,]x e e ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．1x e ∴=时，函数()f x 取得极大值即最大值，1() 3.f e =-又211()3f e e=--，2().f e e =-x e ∴=时，函数()f x 取得最小值2.e -1(2)()ln f x a x a e x'=++-， 令1()ln g x a x a e x=++-，0a 则21()0a g x x x '=-<， ∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又11()()0f g a a e e e e '==-++-=，1x e ∴=时，函数()f x 取得极大值即最大值，1()3.a f e e=--当0a 时，若对任意的(0,)x ∈+∞都有()0f x <，30ae∴--<，解得30.e a -< a ∴的取值范围是(3,0].e -【解析】(1)当0a =时，()ln 1f x x ex =--，21[,]x e e ∈，1()()e x e f x x--'=，利用导数研究其单调性即可得出最值．(2)当0a 时，若对任意的(0,)x ∈+∞都有()0f x <，max ()0f x ⇔<，0a ，1(0,).()ln x f x a x a e x ∈+∞'=++-，令1()ln g x a x a e x=++-，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．考点六26.【答案】20 【解析】 【分析】本题考查导数在实际问题中的应用，属于基础题.设包装盒的高为h cm ，底面边长为 a cm ，AE FB x cm ==，求得包装盒容积23230)V a h x x ==-+，利用导数计算最大值即可.【解答】解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm ，AE FB x cm ==，由已知得a =，)h x ==-，030x <<，包装盒容积23230)V a h x x ==-+，则(20).V x '=-由0V '=，得0(x =舍)或20x =，当(0,20)x ∈时，0V '>；当(20,30)x ∈时，0V '<， 所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值． 故6020220().EF cm =-⨯= 故答案为20.27.【答案】解：(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞且()af x b x'=-， 因为点(1,3)在直线y kx =上，故有3k =， 又曲线()y f x =与直线3y x =在点(1,3)处相切，故有(1)3,(1)33,f a b f b '=-=⎧⎨=-+=⎩得3,0.a b =⎧⎨=⎩则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为()3ln 3(0).f x x x =+>由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：()g x m x =， 将点(4,4)代入上式，可得2m =，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为()2(0).g x x x =>(2)设甲产品投资x 万元，则乙产品投资(40)x -万元，且[10,30]x ∈，则公司所得利润为3ln 3240y x x =++-， 故有3140y x x'=--， 令0y '>，解得1015x <，令0y '<，解得1530x <， 所以15x =为函数的极大值点，也是函数的最大值点．max 3ln153240153 2.7081321.124y =++-=⨯+=万元．所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元． 【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及导数在解决实际问题中的应用，属于中档题.(1)利用导数的几何意义可求得a 、b 的值，从而可得函数关系式； (2)利用导数求出函数的最大值，即可得结果.28.【答案】解：(1)由题意得23114064040800O A '=-⨯+⨯， 则80OA '=，米答：桥AB 的长度为120米.(2)设总造价为()f x 万元，，设，由04008080x x <<⎧⎨<-<⎩，则，()321316080080f x k x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，()236080080f x k x x ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，得到20(0x =舍去)，当时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当时，()0f x '>，()f x 单调递增，因此当时，()f x 取最小值，答：当米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【解析】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由题意得23114064040800O A '=-⨯+⨯，求出OA '，即可得到桥的长度； (2)设，设总造价为()f x 万元，则()321316080080f x k x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应用导数，求得单调区间，可得最小值．。
第03讲-导数与函数的极值、最值-(精讲+精练)(学生版)
导数与函数的极值、最值1、函数的极值一般地，对于函数()y f x =，（1）若在点x a =处有()0f a '=，且在点x a =附近的左侧有()0f 'x <，右侧有()0f 'x >，则称x a =为()f x 的极小值点，()f a 叫做函数()f x 的极小值.（2）若在点x b =处有()=0f 'b ，且在点x b =附近的左侧有()0f 'x >，右侧有()0f 'x <，则称x b =为()f x 的极大值点，()f b 叫做函数()f x 的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3、函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数()f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.一、判断题1．（2021·全国·高二课前预习）函数()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在区间[],a b 上一定有最值，但不一定有极值. ( )2．（2021·全国·高二课前预习）函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 3．（2021·全国·高二课前预习）函数的极大值一定大于极小值. ( )4．（2021·全国·高二课前预习）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( ) 二、单选题1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是 （ ） A ．1,1- B ．1,17- C ．3,17-D ．9,192．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）函数y ＝ln xx的最大值为（ ） A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，则()f x 极值点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）若函数()329f x x ax x =+--在1x =-处取得极值，则=a （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4高频考点一：函数图象与极值（点）的关系1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．当1x =时，函数()f x 取得极小值B ．函数()f x 在区间()11-，上是单调递增的C ．当3x =时，函数()f x 取得极大值D ．函数()f x 在区间()5,6上是单调递增的2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y xf x '=的图像如图所示，则（ ）A ．()f x 的极大值为f，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为()3f -，极小值为()3fD ．()f x 的极大值为()3f ，极小值为()3f -3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．()()13f f -<C ．()()35f f ''<D ．3x =是函数()y f x =的极小值点4．（2022·全国·高二）如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（ ）A ．23B ．43C ．83D ．123高频考点二：求已知函数的极值（点）1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数()32392f x x x x =-++-，()2,2x ∈-有（ ）A ．极大值25，极小值7-B ．极大值25，极小值9-C ．极大值25，无极小值D ．极小值7-，无极大值2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数232()xf x x a-=+在4x =处取得极值，则()f x 的极大值为（ ）A ．15B ．1C ．14-D ．4-3．（2022·全国·高二）已知函数()23x f x e x =-+，则()f x 在定义域上（ ） A ．有极小值52ln 2- B ．有极大值2ln 2C ．有最大值D ．无最小值4．（2022·全国·高二）函数()()233e x f x x x =-+的极大值与极小值之和为（ ）A ．eB ．3C ．3e -D ．3e +5．（2022·全国·高二课时练习）若1x =是函数()ln f x x m x =+的极值点，则函数()f x （ ） A ．有极小值1B ．有极大值1C ．有极小值-1D ．有极大值-1高频考点三：根据函数的极值（点）求参数1．（2022·河南新乡·二模（文））已知0a >，函数()2313f x a x x =-的极小值为43-，则=a （ ）AB ．1C D 2．（2022·全国·高三专题练习）已知()()()2ln 40,0f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为___________.3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()3223ax ax f x x =++-不存在极值点，则a 的取值范围是______．4．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值2，则a b -=______.5．（2022·全国·高二课时练习）函数()()322,,R f x x ax bx a a b =+++∈在x ＝1处有极值为10，则b 的值为 __.6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））若函数()23ln 2a f x x x x =-在区间(0,)+∞上有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．7．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））若函数3()4,2f x ax bx x =-+=当时，函数()f x 有极值43．(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间.高频考点四：求函数的最值（不含参）1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点，则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．92ln 32-B ．52-C ．172ln 38--D ．2ln 24-2．（多选）（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数3223125y x x x =--+在[]2,1-上的最值情况为（ ） A ．最大值为12 B ．最大值为5 C ．最小值为8-D ．最小值为15-3．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知函数32()393f x x x x =--- (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)求()f x 在[2,2]-上的最值．4．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知关于x 的函数()3213f x x bx cx bc =-+++，且函数f （x ）在1x =处有极值－43．(1)求实数b ，c 的值；(2)求函数f （x ）在[－1，2]上的最大值和最小值．5．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数()ln f x ax x =-．（a 为常数） (1)当1a =时，求函数()f x 的最值；6．（2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习）已知()2e xx af x -=．(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值；7．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数2()ln (2)(R)f x a x x a x a =+-+∈.(1)若1a =，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；高频考点五：求函数的最值（含参）1．（2022·广西·高二期末（文））已知函数()3222f x x ax =-+.(1)若0a >，讨论函数()f x 的单调性；(2)当0<<3a 时，求()f x 在区间[]0,1上的最小值和最大值.2．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ，求()M a 的最小值；3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.4．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数()32231f x x ax =++，a R ∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]0,2上的最小值.5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()3()3f x x ax a a =-+∈R ．(1)若()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ，求()g a 的最小值．高频考点六：根据函数的最值求参数1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩无最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．()–,0∞D ．(),1-∞-2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知0a >，函数()ln f x ax x =-的最小值为()1ln21a -+，则=a （ ） A ．1或2B ．2C ．1或3D ．2或33．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））已知函数()()2e 32xf x x a x =+++在区间()1,0-上有最小值，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数()()R e xx af x a -=∈． (1)若2a =-，求()f x 的极值； (2)若()f x 在[]1,2上的最大值为21e，求实数a 的值．5．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）已知函数()ln .af x x x=+(1)讨论()f x 在定义域内的单调性；(2)若0a >，且()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值.6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数()ln 3f x a x x =+-. (1)若()f x 在()1,+∞上不单调，求a 的取值范围； (2)若()f x 的最小值为2-，求a 的值.7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数1()ln (R)ah x x a x a x+=-+∈． (1)求函数()h x 的单调区间；(2)函数()h x 在区间[1,e]上的最小值小于零，求a 的取值范围．高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用1．（2022·全国·高二）已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(1,3)-D ．(,2)-∞-2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））函数()22ln ,(,)x a b x b R x a f =++∈有极小值，且极小值为0，则2a b -的最小值为（ ） A ．eB ．2eC ．21e D ．21e -3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处取得极小值3-，且321()13g x x x =-+在区间(,4)c c +上存在最小值，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(5,8)D ．[5,8)4．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-5．（2022·河南焦作·二模（文））已知函数()(2)e x f x x =-. (1)求()f x 的极值；(2)若函数()()(ln )g x f x k x x =--在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，求实数k 的取值范围.6．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()21()e xf x x ax a -=+-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()33f x x ax =-，(1)讨论函数()f x 的极值情况； (2)求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值.1．（2021·全国·高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >2．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．3．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.4．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1． （1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．一、单选题1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（理））已知函数2()()f x x x m =-在1x =-处有极小值，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．－1或－3C ．－1D ．－32．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数fx 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数()232ln 5f x x x =-+的极值点为（ ）A B ．6ln3+ C ．1 D ．84．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数321()13f x x tx x =+++在R 上不存在极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞ B ．(1,1)-C ．(,1][1,)∞∞--⋃+D ．[1,1]-5．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）函数()ln f x x x =-在区间(0，e](其中e 为自然对数的底数)上的最大值为（ ） A ．1e -B ．－1C ．－eD ．06．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数()33f x x x =-在区间(2,)m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A ．(-B ．(]1,3-C ．(-D ．(]1,2-7．（2022·陕西商洛·一模（理））若对任意的()1,x ∈+∞，恒有ln ln 11e e e e axxax x+≥+，则a 的取值范围为（ ） A ．（—∞，e] B ．11(,][,)e e ∞∞--⋃+C ．（—∞，1e]D ．[1e，+∞）8．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））直线y a =分别与函数1()(0)x f x x x-=>，2()x g x e =交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．22ln 2+ B ．2C ．2ln 2D ．22ln 2-二、填空题9．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）若函数()3269x x x f x a =-++在[]22-,上的最大值为3，则=a ___________.10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切，当b 取得最大值时，k 的值为_______________________．12．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）已知函数()322161f x x m x mx m =+-+-在x ＝2处取得极小值，则m =______．三、解答题13．（2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习）设函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =+--∈. (1)若1a =，求()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性.14．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数()323,R f x x ax x a =-+∈.(1)若x =3是f （x ）的极值点，求f （x ）的极值；(2)若函数f （x ）是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.15．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当(1,3]a ∈时，若()f x 在区间[0,1]a +上的最大值为M ，最小值为m ，求证：23M m ->．16．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>.(1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.。