导数与函数的极值、最值-高考理科数学试题

（十五）导数与函数的极值、最值

[小题常考题点——准解快解]

1．(2018·太原一模)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间

B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间

C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或35或－10，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C.

2．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是()

A．25，－2 B．50,14

C．50，－2 D．50，－14

解析：选C因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0,2]时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.

3．已知a∈R，函数f(x)＝1

3x

3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x) 在(－∞，1)上有最小值，

若函数g(x)＝f′(x)

x，则()

A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数

解析：选D函数f(x)＝1

3x

3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图象的

对称轴为x＝a，又f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)＝f′(x)

x＝x＋

a

x－2a，

g′(x)＝1－a

x2＝

x2－a

x2，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故

选D.

4．(2018·河南模拟)若函数f (x )＝1

3x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则f (x )在R 上的极小值为( )

A ．2b －4

3

B.32b －23 C ．0

D ．b 2－16

b 3

解析：选A 由题意得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－30，解得x >2或x

3

.故选A.

5．(2018·河南息县第一高级中学段测)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )

A ．20

B ．18

C ．3

D ．0

解析：选A 对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于在区间(－3,2]上，f (x )max －f (x )min ≤t .∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．∵x ∈(－3,2]，∴函数f (x )在(－3，－1)，(1,2)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20，∴t ≥20，即实数t 的最小值是20.

6．(2018·安徽百校论坛联考)已知函数f (x )＝a e x －x 2－(2a ＋1)x ，若函数f (x )在区间(0，ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(－2，－1)

D ．(－∞，0)∪(0,1)

解析：选A f ′(x )＝a (e x －2)－2x －1.∵x ∈(0，ln 2)，∴e x －2<0，－2x －1<0.当a ≥0时，f ′(x )<0在(0，ln 2)上恒成立，即函数f (x )在(0，ln 2)上单调递减，函数y ＝f (x )在区间(0，ln 2)上无最值．当a <0时，设g (x )＝a (e x －2)－2x －1，则g ′(x )＝a e x －2<0，∴g (x )在(0，ln 2)上为减函数．又∵g (0)＝－a －1，g (ln 2)＝－2ln 2－1<0，若函数f (x )在区间(0，ln 2)上有最值，则函数g (x )有零点，即g (x )＝0有解，∴g (0)＝－a －1>0，解得a <－1.故选A.

[大题常考题点——稳解全解]

1．(2018·济宁模拟)已知函数f (x )＝1＋ln x kx (k ≠0)．求函数f (x )的极值．

解：f (x )＝1＋ln x

kx ，其定义域为(0，＋∞)， 则f ′(x )＝－ln x

kx 2.

令f ′(x )＝0，得x ＝1，

当k ＞0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＞0； 若x ＞1，则f ′(x )＜0，

∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x ＝1时，函数f (x )取得极大值1

k ，无极小值．

当k ＜0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＜0； 若x ＞1，则f ′(x )＞0，

∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值1

k

，无极大值． 2．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝ax －2

x －3ln x ，其中a 为常数．

(1)当函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭

⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦

⎤32，3上的最小值；

(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a ＋2x 2－3

x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫23＝a ＝1， 故f (x )＝x －2

x －3ln x ，

则f ′(x )＝

(x －1)(x －2)

x 2

.

由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

从而在⎣⎡⎦32，3上，f (x )有最小值， 且最小值为f (2)＝1－3ln 2.

(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2

－3x ＋2

x 2

(x ＞0)，

由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x 1，x 2，且x 1≠x 2，