广义相对论简介

广义相对论简介

引子

由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。 爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。 §1 广义相对论的基本原理 一、等效原理

1. 惯性质量与引力质量

实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。

根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量

与引力质量

满足 常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令

＝

＝

，

即惯性质量与引力质量相等。从而，在引力场中自由飞行的物体，其加速度必等于

当地的引力强度

。

2. 惯性力与引力

已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。在

此基础上，讨论下述假想实验。 1) 自由空间中的加速电梯(如图1)

以

为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。因此，也可以认为是在引力场中

匀速运动的电梯。 2)

引力场中自由下落的电梯S*(如图2) 以S*为参考系，无法区分是二力平衡 还是无引力。因此，也可认为S*是 自由空间中匀速运动的电梯。 以上二例表明，由

＝

，

可导出惯性力与引力的力学效应不可区分，

或者说，一加速参考系与引力场等效。当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀，

图

图1

图

2

因此，这种等效只在较小范围空间内才成立，我们称之为局域等效。

3. 等效原理

弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。

强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。

广义相对论的等效原理是指强等效原理。

4.对惯性系的再认识——局域惯性系

按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性

系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。

按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯

性系。因此，以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系，简

称为局惯系。引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系，在此参考系内运用狭

义相对论。同一时空点的各局惯系间无相对加速度，不同时空点的各局惯系间有相

对加速度。

二、广义相对性原理

原理叙述为：一切参考系对物理规律平权，即物理规律在一切参考系中的表述形

式相同。

为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论，爱因斯坦所做的进一步工

作是使引力几何化，即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理

论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等，超出本简介范围，下面只作浅显的说

明。

§2 引力场的时空弯曲

一、弯曲空间的概念

从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。

平面——二维平直空间内：测地线（即两点间距离的极值线）为直线，三角形内

角和＝，圆周长＝。

球面——二维弯曲空间：测地线为弧线，如图。三角形(PMN)的内角和＞，

圆周长＜。

故通过测量可判定空间弯曲。(如图3) Array二、引力场的空间弯曲

讨论爱因斯坦转盘(如图4)

相对惯性系S以角速度均匀

转动的参考系。由S系可推知

系中的测量结果（狭义相对论）

图 3

如下： 径向

周长

而已有 ，故中测量

有

。亦即

系中空间弯曲，

半径R 愈大处，弯曲程度愈大。

另一方面，据等效原理，转动的

系等效为一引力场，引力场强度

，因此

可以得出结论；引力场中空间弯曲，场愈强，相应空间弯曲愈烈。 三、史瓦西场中固有时与真实距离

史瓦西场是指球对称分布、相对静止的物质球外部的引力场。这是一种最基本的引力场。场中某处的固有时，真实距离是指用该处静止的标准钟和标准尺（刚性微分尺）测得的时间间隔和空间距离。

首先，我们比较引力场中不同地点的标准钟和标准尺。比较的基准是不受引力影响的钟和尺，这就是在引力场中自由下落的局惯系中的钟和尺。为此，引入三种参考系(如图5) S 系——史瓦西场

系——无限远处由静止开始沿径向飞来。到达r 处时速率为v ，称为飞来局惯系。 系——r 处相对S 系静止的局惯系。自然，

系应是对应不同r 的一系列参考系。

引入系的目的是为了 在

和

这两个局惯系

之间进行狭义相对论的 时空变换。变换如下： 1)用中两个钟校准

中一个钟。

中测得为

，

中读数为原时

，有

2)用中尺同时测中静长，0S 中测得为dx o ，

中为原长，有

由能量守恒及弱引力场的牛顿近似，飞来局惯系到达r 处的速率v 应满足下式

图

4

r

v

图 5

即

式中M 为产生史瓦西场的物质质量。而

相对S 系静止，

、σd 即为S 系（史瓦

西场）中r 处的固有时及真实距离。（注：和S 是瞬时相对静止，但有相对加速

度。说

和S 的测量结果相同，是应用了爱因斯坦的另一假设：钟和尺的形性只和

速度有关，而与加速度无关。 ）

重写上述结论如下： 1)史瓦西场中的固有时

①

亦即，引力场中时钟变慢，r 愈小处（引力场愈强处），钟愈慢。 2)史瓦西场中的真实距离

②

真实距离的增大，意味着该处测量用的标准尺缩短，故②式表示，引力场中尺度收缩，r 愈小处（引力场愈强处），尺缩愈烈。当然，这个尺缩发一在径向，垂直于运动的方向（横向）上长度不变。

这里再次指出，①、②两式反映的时缓和尺缩是以不受引力 中的钟和尺，即

远离引力场的钟和尺为基准得出的。式中的

正是史瓦西场对应的引力势。

两式的深刻物理内涵是把时空和引力，即和物质分布联系在一起。 四、史瓦西半径和黑洞

如果引力源质量M 非常大，以致对应某一值，有

，则由①、②式可知，

此时

＝0，∞=σd ，时钟以及一切过程都变得无限缓慢。任何外部信号传到

附近将不再返回，而

之内的信息也无法传到外部。

将其内外“隔绝”开来，

称

为史瓦西半径或视界半径。集中于内的质量就是天文学上所谓的黑洞。由星体演

化理论，M 为太阳质量 2.5倍以上的星球可演化为黑洞。例如

的黑洞，其视界半径

，由此估算此黑洞

的平均密度

高达

§3 广义相对论的可观测效应 一、光的引力频移

设引力场中r 1处有一静止光源，发光频率为

（周期T 1），光传到r 2处静