广义相对论课堂2Schwarzschild时空轨道36页PPT
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专题讲座—广义相对论.ppt
？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。
高二物理竞赛课件：广义相对论(引力的时空理论)简介(共14张PPT)
E0 m0c2 1 (3108)2 9 1016 J
相当于20吨汽油燃烧的能量。
粒子的静质量一般用静能量表示
电子 0.510 999 06 Mev/c2
质子 938.272 31 Mev/c2
中子 939.565 63 Mev/c2
氘核 1875.613 39 Mev/c2
3
质能相互依存，且同增减
1.37 1025 kg
(2) E2 E02 ( pc)2 E E0 Ek
2E0Ek Ek2 ( pc)2
p 2E0Ek Ek2 4.11017 kg m / s c
例3、在一惯性系中一粒子具有动量6Mev/c（c为 光速），若粒子总能量E＝10Mev，计算在该系 中（1）粒子的运动速度；2）粒子的运动动能。
利用三角形有助记忆：Pc
E
E0
1）质速关系
m
m0
1
v
2
c
2）动量
P mv
m0 v
小
1 (v / c)2
结
3）质能关系 E mc2 m0c2 Ek
4）动量能量关系 E2 E02 (P c)2
5）动力学方程
F
d
(mv)
m
d
v
v
dm
dt
dt dt
例1、 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求
2克氘核反应结果可产生相当于60吨煤燃烧的能量
重核裂变 X Y Z 质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c2
6
【例】氘核的结合能
+
mnc2 mpc2
mn 939.565 63 Mev / c 2 mp 938.272 31 Mev / c 2 md 1875.613 39 Mev / c 2
相当于20吨汽油燃烧的能量。
粒子的静质量一般用静能量表示
电子 0.510 999 06 Mev/c2
质子 938.272 31 Mev/c2
中子 939.565 63 Mev/c2
氘核 1875.613 39 Mev/c2
3
质能相互依存，且同增减
1.37 1025 kg
(2) E2 E02 ( pc)2 E E0 Ek
2E0Ek Ek2 ( pc)2
p 2E0Ek Ek2 4.11017 kg m / s c
例3、在一惯性系中一粒子具有动量6Mev/c（c为 光速），若粒子总能量E＝10Mev，计算在该系 中（1）粒子的运动速度；2）粒子的运动动能。
利用三角形有助记忆：Pc
E
E0
1）质速关系
m
m0
1
v
2
c
2）动量
P mv
m0 v
小
1 (v / c)2
结
3）质能关系 E mc2 m0c2 Ek
4）动量能量关系 E2 E02 (P c)2
5）动力学方程
F
d
(mv)
m
d
v
v
dm
dt
dt dt
例1、 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求
2克氘核反应结果可产生相当于60吨煤燃烧的能量
重核裂变 X Y Z 质量亏损
m0mX 0 (mY 0m Z 0 )
裂变能
E m0 c2
6
【例】氘核的结合能
+
mnc2 mpc2
mn 939.565 63 Mev / c 2 mp 938.272 31 Mev / c 2 md 1875.613 39 Mev / c 2
11-1 史瓦西时空中的运动方程广义相对论教学课件
=
−
1 2
gαβ
xα
xβ
η
=
⎧0, ⎨⎩1,
（光子） （质点）
L=η
2
L
=
1 2
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
t
2
− ⎛⎜⎝1−
2M r
⎞−1 ⎟⎠
r2
−
r 2θ
2
−
r2
⎤
sin2 θϕ 2 ⎥
⎥⎦
∂L = 0, ∂L = 0
∂t
∂ϕ
E
=
∂L ∂t
=
⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
dt
dλ
L = − ∂L = r2 sin2 θ dϕ
d2
dϕ 2
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎞ ⎠
+
1 r
=
GM L2
u = GM r
d 2u
dϕ 2
+
u
=
⎜⎛ ⎝
GM L
⎟⎞ 2 ⎠
1⎡ d
2 ⎢⎣ dϕ
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
2
=
E L2
−
1 2r 2
+
GM rL2
r
=
L2 GM
⋅
(1 +
1
e cosϕ )
u = ⎜⎛ GM ⎟⎞2 (1 + e cosϕ)
⎝L⎠
史瓦西时空中的运动方程
水星轨道近日点的进动
狭义相对论的修正
d 2u
dϕ 2
+
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
GM
⎢⎣ ⎝ L
广义相对论简介ppt课件
3.(2011·大同高二检测)设想有一艘飞船以v=0.8c的速度在
地球上空飞行，如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体，
该物体相对于飞船的速度为0.9c，从地面上的人看来，物体 的速度为( )
A.1.7c
B.0.1c
C.0.99c
D.无法确定
1 uv c2
【解析】选C.根据相对论速度变换公式：u u v ， 得 u 0.8c 0.9c 0.99c， 故选项C正确.
Ek m 1.6 1017 0.02% 2 31 8 2 m0 m0c 9.1 10 (3 10 )
17 加速后的速度为 v 2E k 2 1.6 10 m / s 5.9 106 m / s. 31
m0
9.110
上述计算表明，加速后的电子还属于低速的，可以使用经典 的动能公式. 答案：1.6×10-17 J 0.02% 5.9×106 m/s 可以使用经典
【解题指导】依据广义相对论中的引力场中的光线弯曲
考虑.
【标准解答】选C.根据爱因斯坦的广义相对论可知，光线在 太阳引力场作用下发生了弯曲，所以可以在适当的时候 (如日 全食时)通过仪器观察到太阳后面的恒星，故 C正确，A、B、D 均错.
【典例】(2011·临沂高二检测)地球上一观察者，看见一飞
船A以速度2.5×108 m/s从他身边飞过，另一飞船B以速度
3.水星近日点的进动 天文观测显示,行星的轨道并不是严格闭合的,它们的近日点 (或远日点)有进动(行星绕太阳一周后,椭圆轨道的长轴也随
之有一点转动,叫做“进动”),这个效应以离太阳最近的水星
最为显著，这与牛顿力学理论的计算结果有较大的偏差，而 爱因斯坦的广义相对论的计算结果与实验观察结果十分接近. 广义相对论所作出的以上预言全部被实验观测所证实.还有其 他一些事实也支持广义相对论.目前,广义相对论已经在宇宙 结构、宇宙演化等方面发挥了主要作用.
黑洞面面观PPT课件
.
11
第十一页，共五十七页。
恒星的形成
通常的恒星是万有引力效应将物 质聚集，同时恒星内部热核反应的大 量热能造成粒子剧烈运动形成排斥效 应，当这两种效应势均力敌时，恒星 维持平衡不会塌缩。
.
12
第十二页，共五十七页。
恒星的塌缩
随着热核反应能量逐渐耗尽，恒星 会慢慢冷却，吸引效应压倒排斥效应， 使恒星塌缩。原子的壳层被压碎，形 成原子核在电子海洋中漂浮状态。此 时电子间的斥力抵抗不住恒星自身引 力，恒星塌缩至高密度状态。
.
7
第七页，共五十七页。
附：第二宇宙速度
如果将地球质量和半径的数值 代入，便是通常所谓的“第二宇宙 速度”。它是从地球表面将一个物 体发射到地球引力场以外所具有的 最低限度的速度。
.
8
第八页，共五十七页。
黑洞（black hole）
直到1915年爱因斯坦提出广义相对论之前， 一直没有关于引力如何影响光的协调的理论。 又过了很长时间，这个黑洞的模型才被理解。 在没有任何观测到的实际证据证明其理论是正 确的情形下，作为数学模型的黑洞理论已经被 发展到非常详尽的地步。
按黑洞本身的物理特性划分
.
25
第二十五页，共五十七页。
暗能量黑洞
暗能量黑洞主要由高速旋转的巨大的暗能量 组成，它内部没有巨大的质量。巨大的暗能 量以接近光速的速度旋转，其内部产生巨大 的负压以吞噬物体，从而形成黑洞。暗能量 黑洞的体积很大，可以有太阳系那般大。暗 能量黑洞是星系形成的基础，也是星团、星 系团形成的基础。
从上式中不难看出，质量越大、半径越小 的球体，其逃逸速度越大，如果令球体半径
R＜
则有 v逃＞c
这意味着什么呢？如果假定光也同一般物体一
广义相对论_ppt02
2010-4-24 广义相对论_数学基础 11
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
2010-4-24 广义相对论_数学基础 5
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
2010-4-24 广义相对论_数学基础 5
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
XX省专用学年高中物理第十五章相对论简介第节狭义相对论的其他结论广义相对论简介课件新人教版选修.ppt
(1)经典力学：物体的质量是 不变 的，一定的力作用在物体 上产生一定的 加速度 ，足够长时间后物体可以达到 任意 的速度。
(2)相对论：物体的质量随物体 速度 的增大而增大。
物体以速度 v 运动时的质量 m0
m
与静止时的质量
m0
之间的关
系是：m＝_____1_－__v_c_2___，因为总有 v＜c，可知运动物体的质量
(3)物体的总能量 E 为动能与静质能之和，即 E＝Ek＋E0＝
mc2(m 为动质量)。
(4)由质能关系式可知 ΔE＝Δmc2。
[典例] 一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长度为 a，宽为 b，质量为 m0，由此可算得其面积密度为 ρ＝mab0。假定该薄板沿长 度方向以接近光速的速度 v 做匀速直线运动，此时再测算该矩形 薄板的面积密度为多少？
[解析] 由相对论长度公式 a′＝a
1－vc 2；
相对论质量 m＝
m0 1－vc 2
所以 ρ′＝a′m b＝ ab
[答案]
ρ 1－vc 2
m0 1－1－vcvc22＝1－ρvc 2。
(1)质能方程没有“质能转化”的含义，质能方程只反映 质量和能量在量值上的关系，二者不能相互转化。对一个封闭 系统而言，质量是守恒的，能量也是守恒的。
第 3、4 节
狭义相对论的其他结论 广义相对论简介
1．光速是宇宙速度的极限，相对任何参考系光速 都是一样的。
2．物体的质量随物体速度的增大而增大，质能方 程：E＝mc2。
3．广义相对论的基本原理：在任何参考系中，物 理规律都是相同的；一个均匀的引力场与一个 做匀加速运动的参考系等价。
4．广义相对论的结论：光线在引力场中偏转；引 力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现 偏差。
《广义相对论》课件
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。
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• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
第六点：有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
改进
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
第五点：有效势
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-
1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
广义相对论课堂2Schwarzschild时空 轨道
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯源自系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
第六点：有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
改进
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
第五点：有效势
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-
1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
广义相对论课堂2Schwarzschild时空 轨道
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯源自系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系