广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道36页PPT
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(1)光线在引力场中弯曲，以及引力红移现象都是在 引力场很强的情况下产生的效应. (2)光在同一种均匀介质中沿直线传播的现象在我们的日常生 活中仍然成立.
【典例2】在适当的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒 星，这说明星体发出的光( ) A.经太阳时发生了衍射 B.可以穿透太阳及其他障碍物 C.在太阳引力场作用下发生了弯曲 D.经过太阳外的大气层时发生了折射
1 (v)2 c
Ek
m0c2 1 (v)2
m0c2.
c
当v c时，1 ( v)2 1 1 ( v)2，代入上式得：
c
2c
Ek
m0c2
m0c2
1 2
m0c2
(
v c
)2
1 1 (v)2
1 2
m0
v
2
.
2c
2.如果质量发生了变化，其能量也相应发生变化ΔE=Δmc2， 这个方程常应用在核能的开发和利用上.如果系统的质量亏损 为Δm，就意味着有ΔE的能量释放.
5.下列说法中正确的是( ) A.物体的引力使光线弯曲 B.光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用 C.在强引力的星球附近，时间进程会变慢 D.广义相对论可以解释引力红移现象 【解析】选A、C、D.根据广义相对论的几个结论可知，选项 A、C、D正确，B错误.
6.下列说法中正确的是( ) A.在任何参考系中，物理规律都是相同的,这就是广义相对性 原理 B.在不同的参考系中，物理规律都是不同的，例如牛顿定律 仅适用于惯性参考系 C.一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就 是著名的等效原理 D.一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这 就是著名的等效原理
【解题指导】依据广义相对论中的引力场中的光线弯曲考 虑.
专题讲座—广义相对论.ppt
？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。
15.4《广义相对论简介》PPT课件(新人教版-选修3-4)
15.4《广义相对论简介》
阅读思考题
1、狭义相对论遇到哪两个无法解决的 问题？
2、广义相对论的两个基本原理是什么？ 与狭义相对论的两个假设有什么不
同？ 3、根据广义相对论的两个基本原理可
以导出那些重要结论？
一、超越狭义相对论的思考
爱因斯坦思考狭义相对论无法解 决的两个问题： 1、引力问题
万有引力定律无法纳人狭义相对 论的理论框架； 2、非惯性系问题
广义相对论简介
星球的强引力场能使背后传来的光线汇聚，这 种现象叫做引力透镜效应．
星体
宇宙中很可能存在黑洞， 它不辐射电磁波，因此无法直 接观测，但是它的巨大质量和 极小的体积使其附近产生极强 的引力场，引力透镜是探索黑 洞的途径之一．
无
法
黑
星体
观
洞
测
时间间隔与引力场有关
引力场的存在使得空间不同位置的时间进程 出现差别．
地面上看到：越是靠近边缘，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的杆的长度较短．
圆盘上的人认为：引力势较低的位置，杆的长度越短．
杆的长度与引力场有关
由于物质的存在，实际空间并不是均匀的，空间 发生了“弯曲”：
对于时空观的认识
狭义相对论
广义相对论
时空性质和物 质的运动有关
时 空 观
物质本身的存在决 定时空的性质
对于高速转动的圆盘，除 了转动轴的位置外，各点都在 做加速运动，越是靠近边缘，，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的时间进程较慢．
圆盘上的人认为：盘上存在引力场，方向由盘心指向边缘， 引力势较低，得出：引力势较低的位置，时间进程比较慢．
时间间隔与引力场有关
惯性质量和引力质量
引力和惯性力都可 以使物体加速下落
阅读思考题
1、狭义相对论遇到哪两个无法解决的 问题？
2、广义相对论的两个基本原理是什么？ 与狭义相对论的两个假设有什么不
同？ 3、根据广义相对论的两个基本原理可
以导出那些重要结论？
一、超越狭义相对论的思考
爱因斯坦思考狭义相对论无法解 决的两个问题： 1、引力问题
万有引力定律无法纳人狭义相对 论的理论框架； 2、非惯性系问题
广义相对论简介
星球的强引力场能使背后传来的光线汇聚，这 种现象叫做引力透镜效应．
星体
宇宙中很可能存在黑洞， 它不辐射电磁波，因此无法直 接观测，但是它的巨大质量和 极小的体积使其附近产生极强 的引力场，引力透镜是探索黑 洞的途径之一．
无
法
黑
星体
观
洞
测
时间间隔与引力场有关
引力场的存在使得空间不同位置的时间进程 出现差别．
地面上看到：越是靠近边缘，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的杆的长度较短．
圆盘上的人认为：引力势较低的位置，杆的长度越短．
杆的长度与引力场有关
由于物质的存在，实际空间并不是均匀的，空间 发生了“弯曲”：
对于时空观的认识
狭义相对论
广义相对论
时空性质和物 质的运动有关
时 空 观
物质本身的存在决 定时空的性质
对于高速转动的圆盘，除 了转动轴的位置外，各点都在 做加速运动，越是靠近边缘，，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的时间进程较慢．
圆盘上的人认为：盘上存在引力场，方向由盘心指向边缘， 引力势较低，得出：引力势较低的位置，时间进程比较慢．
时间间隔与引力场有关
惯性质量和引力质量
引力和惯性力都可 以使物体加速下落
11-1 史瓦西时空中的运动方程广义相对论教学课件
=
−
1 2
gαβ
xα
xβ
η
=
⎧0, ⎨⎩1,
（光子） （质点）
L=η
2
L
=
1 2
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
t
2
− ⎛⎜⎝1−
2M r
⎞−1 ⎟⎠
r2
−
r 2θ
2
−
r2
⎤
sin2 θϕ 2 ⎥
⎥⎦
∂L = 0, ∂L = 0
∂t
∂ϕ
E
=
∂L ∂t
=
⎛⎜⎝1 −
2M r
⎞ ⎟⎠
dt
dλ
L = − ∂L = r2 sin2 θ dϕ
d2
dϕ 2
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎞ ⎠
+
1 r
=
GM L2
u = GM r
d 2u
dϕ 2
+
u
=
⎜⎛ ⎝
GM L
⎟⎞ 2 ⎠
1⎡ d
2 ⎢⎣ dϕ
⎜⎛ ⎝
1 r
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
2
=
E L2
−
1 2r 2
+
GM rL2
r
=
L2 GM
⋅
(1 +
1
e cosϕ )
u = ⎜⎛ GM ⎟⎞2 (1 + e cosϕ)
⎝L⎠
史瓦西时空中的运动方程
水星轨道近日点的进动
狭义相对论的修正
d 2u
dϕ 2
+
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
GM
⎢⎣ ⎝ L
黑洞面面观PPT课件
.
11
第十一页，共五十七页。
恒星的形成
通常的恒星是万有引力效应将物 质聚集，同时恒星内部热核反应的大 量热能造成粒子剧烈运动形成排斥效 应，当这两种效应势均力敌时，恒星 维持平衡不会塌缩。
.
12
第十二页，共五十七页。
恒星的塌缩
随着热核反应能量逐渐耗尽，恒星 会慢慢冷却，吸引效应压倒排斥效应， 使恒星塌缩。原子的壳层被压碎，形 成原子核在电子海洋中漂浮状态。此 时电子间的斥力抵抗不住恒星自身引 力，恒星塌缩至高密度状态。
.
7
第七页，共五十七页。
附：第二宇宙速度
如果将地球质量和半径的数值 代入，便是通常所谓的“第二宇宙 速度”。它是从地球表面将一个物 体发射到地球引力场以外所具有的 最低限度的速度。
.
8
第八页，共五十七页。
黑洞（black hole）
直到1915年爱因斯坦提出广义相对论之前， 一直没有关于引力如何影响光的协调的理论。 又过了很长时间，这个黑洞的模型才被理解。 在没有任何观测到的实际证据证明其理论是正 确的情形下，作为数学模型的黑洞理论已经被 发展到非常详尽的地步。
按黑洞本身的物理特性划分
.
25
第二十五页，共五十七页。
暗能量黑洞
暗能量黑洞主要由高速旋转的巨大的暗能量 组成，它内部没有巨大的质量。巨大的暗能 量以接近光速的速度旋转，其内部产生巨大 的负压以吞噬物体，从而形成黑洞。暗能量 黑洞的体积很大，可以有太阳系那般大。暗 能量黑洞是星系形成的基础，也是星团、星 系团形成的基础。
从上式中不难看出，质量越大、半径越小 的球体，其逃逸速度越大，如果令球体半径
R＜
则有 v逃＞c
这意味着什么呢？如果假定光也同一般物体一
《广义相对论》课件
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。
广义相对论课堂2Schwarzschild时空轨道36页PPT
• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
高二物理34154 广义相对论简介精品PPT课件
2020/10/27
如果飞船做匀加速运动，在光 向右传播的同时，飞船的速度也在 不断增大，因此船上观察者记录下 的光的径迹是一条抛物线。
9
通常物体的引力场都太弱，20世纪只能观测到太阳 引力场引起的光线弯曲．
太阳
由于太阳引 力场的作用，我 们有可能观测到 太阳后面的恒星， 最好的观测时间 是发生日全食的 时候．
6
二、广义相对性原理和等效原理
1、广义相对性原理： 在任何参考系中，物理规律都是相同的。
伽利略相对性原理
力学规律在任何惯性系都是相同的 逻
辑
形
爱因斯坦狭义相对性原理(1905年)
式
逐
在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的；
渐
简
约
爱因斯坦广义相对论原理（1916年）
在任何参考系中(包括非惯系）所有的物理规律都是相
3、引力红移
各 类 星 体 对 比
宇宙中有一类恒星，体积很小，质量却很大，叫 做矮星，引力势比地球低的多，矮星表面的时间进程 比较慢，哪里的发光的频率比同种的原子在地球上发 光2020频/10/2率7 低，看起来偏红，这个现象叫做引力红移． 13
由于物质的存在，实际空间并不是均匀 的，空间发生了“弯曲”：
无
法
黑
星体
观
洞
测
2020/10/27
11
2、引力场的存在使得空间不同位置的时间 进程出现差别．
对于高速转动的圆盘， 除了转动轴的位置外，各点都 在做加速运动，越是靠近边缘， 加速度越大，方向指向盘心．
地面上看到：越是靠近边缘，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的时间进程较慢．
圆盘上的人认为：盘上存在引力场，方向由盘心指向边缘， 靠20近20/1边0/27缘的位置引力势较低，得出：引力势较低的位置，时间12进 程比较慢．
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• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
第五点：有效势
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
广义相对论课堂 21Schwarzschild时空轨道
人的差异在于业余时间
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
为d测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
改进
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
• L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-
1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
第六点：有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－
第一个活动 惯性斜交坐标系
写在纸上
• 不要太潦草——上交我查看 • 多留空白、隔行写——方便批改 • 尽量文字说明你的推理要点、步骤
测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格
• 三位一体 • 惯性系skew坐标
– 钟的世界线 – 尺子原点刻度的世界线
匀加速正交坐标系 完美类比
平面几何及坐标系
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动
三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地
看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处
第五点：有效势
机械能=径向动能+有效势能（势能+ 角向动能=离心势能）牛顿情况
E T r V eff V eff V T T VC
e
mc
2
E Newton mc 2
1 e,
牛顿低速 e《1
e2 1 2
e
E Newton mc 2
给定M，首先按照角动量分类
• 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面 阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析； 径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)， E<0会回落
• 和钟的世界线重合吗？ • 类时、切矢量 • 类空=尺子延展方向、分量表达
– 与坐标网格的关系 – 线元和度规
线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ g0i 0
• i方向的基准尺子相对基准钟运动
– 不是j方向
• 另选尺子相对不动的总能做到吗？ • Cook没讲到：钟尺相对运动
应用 g0i 0
广义相对论课堂 21Schwarzschild时空轨道
人的差异在于业余时间
广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道
2011.11.25
课程安排
• 复习内容： • 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 • 新内容：Schwarzschild时空应用 • 下次课：经典检验 • 测验 • 发草稿纸——助教 • 课后发调查表
• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡 （无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重 力＝有效力，即所谓势能曲线分析
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
为d测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用
e,L表达
测验目的
• 了解大家的学习困难、不足、效果 • 确保掌握重点和难点
改进
‘动钟变慢’误导吗？
• ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于 坐标钟
• 加速钟dτ2=γ-2dt2 • 双生子佯谬=为什么反过来不可以？
– 钟尺网格 – Marzke-Wheeler坐标
• 实验不需理论引入钟尺网格
试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标
• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非
全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
• θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格
三种理论4种钟尺网格
无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记
• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数 >4
• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面
• 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚
• L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-
1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定
微分应用：分析曲线形状
• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V>L^2/2R^2
• 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高 度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（ 小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线 方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2Γ^r_rr(u^r)^2
势能曲线的分析原理：续
• 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从 变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来 ），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始 三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条 测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则 只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分）
• 转盘系 • Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐
标 • Kerr时空Boyer-Lindquist坐标
– 未解之谜：Kerr环奇点
• 转动宇宙Godel度规
进一步可探讨
• 对比习题7.21 • Cook雷达回波、t',x坐标下
第二个活动 匀加速正交坐标系
(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax
第六点：有效势曲线分析原理
势能曲线的分析原理
• d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力 ；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运 动？答：不会－－