锐角三角函数同步练习进步及其规范标准答案

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北师大版数学九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案

第一章直角三角形的边角关系博士寄语亲爱的同学，前面我们已经探索过直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系，并利用它们之间的这种关系解决了有关直角三角形的实际问题，但是在生话中有许多关于直角三角形的应用问题，仅仅用前面学到的知识来解决是不够的.因此，学习本章知识，将会更好地帮助你了解、掌握直角三角形的边角关系，并利用它们更好地认识、观察社会．为更有效地学好本章内容，博士还想告诉你：本章学习目标1.通过生活中的实例认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )，探索30︒，45︒，60︒角的三角函数值，并会计算．2.会用计算器由已知的锐角求它的三角函数值，或由已知的三角函数值求它对应的锐角．3.会运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，体会数形之间的联系，会将实际问题抽象为数学问题并加以解决．本章重点难点本章重点：1.锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.2.会利用计算器求所给出锐角的三角函数值及由已知的三角函数值求它对应的锐角；特别应牢记30︒，45︒，60︒角的三角函数值.3.适当地选择锐角三角函数解决实际问题.本章难点：如何理解锐角三角函数的概念，运用三角函数解决相关的实际问题，养成运用数学知识的思想意识.本章学习建议解直角三角彤达一章的学习关键是锐角三角函数的概念，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，并利用它们的这些关系解直角三角形．因此学习本章应注意以下几点：1.数形结合的思想．通过本章的学习，会使你进一步体会数形结合这一重要数学思想方法．2.解直角三角形的知识有较多的实际应用价值，应注意解直角三角形在实际问题中的应用.3.将直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来，才能对直角三角形的概念有较为完整的认识，因此应当循序渐进.4.树立数学来源于生活，又为实际生活服务的思想意识.1.锐角三角函数学习目标1.通过对生活中实例的分析，经历探索直角三角形中边角关系的过程，初步掌握锐角三角函数正切的意义；2.在具体情境中体会正切值与倾斜程度（或坡度）的关系，能够运用tan A 表示直角三角形中两边的比：3.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.第一课时同步练习1.如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，13AB =，则tan B 等于_______.C BA2.已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是_______. 3.河堤横断面如图所示，堤高6BC =米，迎水坡AB的坡比为AB 的长为（）A.12米B.米C.D.米4.如图，在等腰ABC △中，25AB AC ==，14BC =，求tan B.观察与思考5.小明从黄山百步云梯脚下的点A 约走了1000m 后，到达山顶的点B .已知山顶B 到山脚下的垂直距离约是600m ，求山坡的坡度.6.某建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰.现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来.请你根据图中数据说明这个楼顶铺设的瓦片是否会搬落面来.走进生活7.如图，某公园人口处原有点级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm .为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度.第二课时学习目标1.在了解正切的概念的基础上，进一步探索和掌握正弦和余弦的意义，并能够举例说明；2.在具体情境中体会正弦值、余弦值与倾斜程度的关系，能够运用sin A 、cos A 表示直角三角形中两边的比；3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.同步练习1.在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，则sin A 等于（） A.43 B.34 C.35D.45 2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（）A.12D.1 3.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC a =，ACB α∠=，那么AB 等于（）A.sin a α⋅B.tan a α⋅C.cos a α⋅D.tan a α4.如图，梯子（长度不变）与地面所成的角为α，下面关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是_______.（只填序号）①sin α越大，梯子越陡②cos α越大，梯子越陡③tan α越大，梯子越陡. α5.在ABC △中，4AB AC ==，2BC =，则sin B =_______.6.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5cos 13B =，10BC =，求AB 和sin A.拓展与延伸7.如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，ABC β∠=，试用a ，b ，β表示平行四边形ABCD 的面积.βDCB A走进生活8.如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 处取127ABD ∠=︒，沿BD 方向前进，取37BDE ∠=︒，测得520m BD =，并且AC 、BD 和DE 在同一平面内.问：施工点E 离D 多远正好能使A 、C 、E 成一直线？（结果保留整数；参考数据：sin 370.60≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）答案第一课时同步练习 1.1252.23.A4.247观察与思考 5.346.瓦片不会滑落下来，说明过程略. 走进生活7.作BD AC ⊥于D ，54cm BD = 270cm CD =∴，210cm AC =∴.第二课时同步练习1.D2.C3.B4.①③6.26AB =，5sin 13A = 拓展与延伸7.sin ABCD S ab β=平行四边形走进生活8.若A 、C 、E 共线，则90E ∠=︒，由cos ED D BD=，得()416m ED ≈.。

【新】人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数(第3课时)同步练习及答案

28.1 锐角三角函数——特殊角的三角函数值1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．122．下列各式中不正确的是（）．A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A ．2BCD ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana 的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12 B ．大于12 C D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（）．A1.2B C D9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对10．sin 272°+sin 218°的值是（）．A ．1B ．0C ．12 D 11）2+│=0，则△ABC （）．A ．是直角三角形B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知cosA=________．16．正方形ABCD 边长为1，如果将线段BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点D ′处，那么tan ∠BAD ′=________．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，得AB AC CD CD-的值为_______．18．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos 602sin 302︒︒-; （4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°（6）sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+cos45°·cos30°参考答案一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A 二、12．90° 1314．，151617三、18．（1）2(2)(3)1;(4)424+- （5）2；（6）0。

北师大版九年级下《1.1锐角三角函数》同步练习含答案

1.1锐角三角函数同步练习一、单选题1、把三角形三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值A、扩大为原来的2倍B、缩小为原来的C、不变D、不能确定2、梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A、sinA的值越大，梯子越陡B、cosA的值越大，梯子越陡C、tanA的值越小，梯子越陡D、陡缓程度与∠A的函数值无关3、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A、B、C、D、4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE=2，则tan∠DBE的值（）B、2C、D、5、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=（）A、B、C、D、6、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE（）A、B、2C、D、7、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）A、B、C、8、如图，两条宽都为1的纸条交叉重叠地放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为( )A、B、C、sinαD、19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A、B、C、D、10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A、C、D、11、在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A、B、3C、D、212、已知α＞45°，下列各式：tanα、sinα、cosα由小到大排列为（）A、tanα＜sinα＜cosαB、cosα＜tanα＜sinαC、cosα＜sinα＜tanαD、sinα＜cosα＜tanα13、若sinA=，则A的取值范围是（）A、0°＜∠A＜30°B、30°＜∠A＜45°C、45°＜∠A＜60°D、60°＜∠A＜90°14、在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为（）A、B、C、D、15、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为( )A、B、C、D、二、填空题16、在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于________ ．17、已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为________18、如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30o得到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________ 。

人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数 28.1 锐角三角函数同步练习(含答案)

锐角三角函数同步练习一．选择题（共12小题）1．2sin60°+等于（）A．2B．2C．3D．32．在Rt△ABC中，△C=90°，AB=4，BC=3，则sin△B的值为（）A．B．C．D．3．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD△BC于D，下列四个选项中，错误的是（）A．sinα=cosαB．tanC=2C．sinβ=cosβD．tanα=14．已知在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=，则△A的正切值为（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，cosB=，△C=90°，若则tanA的值是（）A．B．C．D．6．如图，BD△AC于D，CE△AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA 的式子为（）A．B．C．D．7．已知△A与△B互余，若tan△A=，则cos△B的值为（）A．B．C．D．8．Rt△ABC中，△C=90°，AC=，AB=4，则cosB的值是（）A．B．C．D．9．在Rt△ABC中，△C=90°，AC=1，BC=3，则△A的正切值为（）A．3B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于点D，则下列结论不正确的是（）11．如图，已知在Rt△ABC中，△ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C 不重合），作BE△AD于E，CF△AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小12．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在△A上，BD是△A的一条弦，则sin△OBD=（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）13．计算：2sin45°=14．在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC= ．15．在△ABC中，△C=90°，若tanA=0.5，则sinB=16．如图，在半径为3的△O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=17．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α-β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α-β）=sinα•cosβ-cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=类似地，可以求得sin15°的值是三．解答题（共6小题）18．计算：sin30°+cos30°•tan60°．19．已知α是锐角，则值．20．已知α为锐角，的值．21．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的△O与BC交于点D，DE△AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是△O的切线；（2）若△O的半径为2，BE=1，求cosA的值．22．小明在某次作业中得到如下结果：据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°-α）=1．（△）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°-α）=1是否成立；（△）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．如图，AB为△O的直径，且弦CD△AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN△BC．（2）若cos△C=，DF=3，求△O的半径．参考答案1-5：AACDD 6-10：CBDAC 11-12:CD13、14、15、16、217、18、219、20、21、（1）证明：连接AD、OD ∵AC是直径∴AD⊥BC∵AB=AC∴D是BC的中点又∵O是AC的中点∴OD∥AB∵DE⊥AB∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）知OD∥AE，∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，∴△FOD∽△FAE，22、（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，△C=90°23、（1）证明：连接AC．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，由垂径定理得，点E是CD的中点；又∵M是AD的中点，∴ME是△DAC的中位线，∴MN∥AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

新人教版九年级下第28章锐角三角函数同步练习及答案

第二十八章锐角三角函数测试1 锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②=''BA C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第2题图①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______．3．因为对于锐角的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos、tan都是____________．又称为的____________．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．9．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：(1),sin ca A =∴=⋅=c A c a ,sin ______； (2),cos cb A =∴b ＝______，c ＝______； (3),tan ba A =∴a ＝______，b ＝______； (4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),53cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝．求：P点和C点的坐标．(用的三角函数表示)17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD ⊥BC于D．(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．测试2 锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角sincostan二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角． (1)21cos =α(2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到．(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角(精确到1″)．(1)若cos ＝，则＝______；(2)若tan(2＋10°31′7″)＝，则＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA 至D点，使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC；(3)请用类似的方法，求°．9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3=BCAC，作∠DAC=＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AA A cos sin tan14．化简：ααcos1⋅-(其中0°＜＜90°)2sin15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°；②sin36°______2sin18°cos18°；③sin45°°°；④sin60°______2sin30°cos30°；⑤sin80°______2sin40°cos40°；⑥sin90°______2sin45°cos45°．猜想：若0°＜≤45°，则sin2______2sin cos．(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化请说明你的理由．测试3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．课堂学习检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．⑥直角三角形的面积公式．在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)3．填写下表：二、解答题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2，OC ⊥AB于C点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝，cos30°≈，sin35°≈，cos35°≈7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米(保留整数)测试4 解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC ＝10cm．求AD的长．3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少(精确到海里，7323 ).17．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离mDE，求点B到地面的垂直距离BC．328．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m3到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石拓展、探究、思考13．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，锐角∠A ＝．(1)BC 的长；(2)△ABC 的面积．14．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝，∠B ＝．(1)求AB 的长；(2)求证：.sin sin βαba=15．已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝，∠CBD ＝，AB ＝a ．用含a 及、的三角函数的式子表示CD 的长．16．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长．17．已知：四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于E 点，AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝(0°＜＜90°)，求此四边形的面积．测试5 综合测试1．计算．(1)45tan 260tan 60cos 2-(2)60cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+⋅++2．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12．求：sin ∠ACD 及AD 的长．3．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，⋅=54cos A(1)用含m 的代数式表示BC ；(2)求m 的值；4．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，BE ＝2EC ，DM ⊥AE 于M 点．求DM 的长．5．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝30°，AB＝2a．求BC的长．6．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AD．AB＝3，求BC的长．357．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝m，锐角∠A＝，(1)求⊙O 的半径R ；(2)求△ABC 的面积的最大值．8．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝．求证：⋅⋅=αα2sin cos mEB答案与提示第二十八章锐角三角函数测试11．△BAC ，AB ，AC ′．①ABBC ，对边，斜边，固定；②ABAC ，邻边，斜边，固定值；③ACBC ，对边，邻边，固定值．2．①∠A 的对边，,c a ∠B 的对边，;cb②∠A 的邻边，,c b ∠B 的邻边，;ca ③∠A 的对边，,b a ∠B 的邻边，⋅ab 3．唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数．4．⋅34,53,54,43,54,53,155．.3,1010,10103,31,10103,1010,106．⋅815,178,1715,158,1715,178,347．.3,21,23,33,23,21,60o8．⋅==∠=∠=∠==∠37tan tan ,43cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR9．⋅===53cos ,20,16B AB AC10．.2tan ,55cos ,552sin ===B B B11．AB ＝2AC ＝2AO ·sin ∠AOC ＝24cm ，cm 7422=-=AC OA OC 12．⋅=∠=∠==43tan ,54cos )2(;cm 332,cm 340)1(AOC AOC OC OA 13．(1)CD ＝AC ·sin A ＝4cm ；(2);cm 32212=⨯=CD AB S(3)⋅+=422tan B 14．⋅=31sin B15．(1);sin Aa (2);cos ,cos AbA c ⋅ (3);tan ,tan A a A b ⋅ (4);3,21(5);43,54(6)⋅1010,10103 16．P (cos ，sin )，C (1，tan )．提示：作PD ⊥x 轴于D点．17．(1).31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠(2),231tan ,7721cos ,7211sin =∠=∠=∠ 提示：作AE ⊥BC 于E ，设AP ＝2．测试2 1．锐角30° 45° 60°sin21 22 23 cos23 22 21 tan33 132．(1)0； (2);123(3);222325-+(4)⋅-413 3．(1)＝60°；(2)＝30°；(3)°；(4)46°．4．(1)；(2)．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ．列方程8x ＝16．解得x ＝2． 7．,721提示：作BD ⊥CA 延长线于D 点．8．(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -=9．(1)15°；(2).32tan ,426cos ,426sin -=∠+=∠-=∠BAD BAD BAD10．⋅23,13132,13133提示：作DE ∥BA ，交AC 于E 点，或延长AD 至F ，使DF ＝AD ，连结CF ．11．提示：作CE ⊥OA 于E ，作DF ⊥OA 于F ． (3)增大， (4)减小． 12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证． 14．原式ααααcos sin 2cos sin 22-+=2)cos (sin αα-=|cos sin |αα-=⎩⎨⎧<<-<≤-=).450(sin cos ),9045(cos sinαααααα 15．(1)①～⑥略．sin2＝2sincos ．(2),2sin 212sin 12121αα=⨯⨯=⋅=∆BE AC S ABC,cos sin 21αα⋅=⨯=⋅=∆AD BD AD BC S ABC ∴sin2＝2sin cos ．16．不发生改变，设∠BAC ＝2，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422m m m S S HBCABC =⋅=⋅∆∆αα测试31．①a 2＋b 2＝c 2； ②∠A ＋∠B ＝90°； ③;,,,ab b ac b c a④AD ·BD ，AD ·AB ，BD ·BA ，AB ·CD ： ⑤一半，它的外心，2c b a -+(或⋅++cb a ab)⑥ab 21或ch 21(h 为斜边上的高)或A bc sin 21或B ac sin 21或).(21c b a r ++(r 为内切圆半径)2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边．3．90°－∠A ，sin A ，cos A ；;sin ,tan ,90o Aa A a A ∠- ;90,tan ,22Ab a A b ac ∠-=+=.90,sin ,22B c aA a c b ∠-=-=4．(1)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝35；(2)∠A ＝60°，∠B ＝30°，c ＝4； (3);52,4==b a(4);133,6==c a (5).30,64,62,26=∠===B c b a5．(1)AB ＝2R ·sin ，OC ＝R ·cos ；(2)⋅⋅=⋅=n R r n R a n n180cos ,180sin 26．AB ≈6.40米，BC ≈5.61米，AB ＋BC ≈12.0米． 7．约为222cm ． 8．(1)318米．(2)4层，提示：设甲楼应建x 层则.2130tan 3≤x9．m 310010．6米．测试41．cm 3310,cm 3320==BC AB 2．)3515(+cm ．3．cm 25;cm )535(=-=BC AB 提示：作CD ⊥AB 延长线于D 点． 4．34cm ．5．山高m )31(50,m )31(25+=+AC 6．约为海里． 7．m 33．8．约为17m ，提示：分别延长AD 、BC ，设交点为E ，作DF ⊥CE 于F 点．9．约477.13m ． 10．10m ．11．(1)AC ＝1 000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上．12．面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．13．(1).cos 222α⋅-+=bc c b BC 提示：作CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝b ·sin ，AD ＝b ·cos．再利用BC 2＝CD 2＋DB 2的关系，求出BC ．(2)a bc sin 21⋅ 14．(1)AB ＝b ·cos＋a ·cos . 提示：作CD ⊥AB 于D 点．(2)提示：由b sin ＝CD ＝a sin可得b sin＝a sin ，从而βαsin sin ba =． 15．提示：AB ＝AD －BD ＝CD tan(90°－)－CD tan(90°－)＝CD 〔tan(90°－)－tan(90°－)〕，)90tan()90tan(βα---=∴a CD 或⋅-=αββαtan tan tan tan a CD 16．535+或.535-提示：AB 边上的高CD 的垂足D 点可能在AB 边上(这时AB ＝)535+，也可能在AB 边的延长线上(这时535-=AB )．17．.sin 21αab测试51．(1);23+ (2)⋅252．⋅==∠255,855sin AD ACD3．(1))1(2-=m m BC 或⋅=56m BC (2)⋅=725m4．⋅5185．a BC 2=．提示：作BE ⊥AD 于E 点．6．BC ＝6．提示：分别延长AB 、DC ，设它们交于E 点． 7．(1)⋅=αsin 2mR 提示：作⊙O 的直径BA ＇，连结A ＇C ． (2)⋅2tan42αm 提示：当A 点在优弧BC 上且AO ⊥BC 时，△ABC 有面积的最大值． 8．提示：⋅⋅=∠⋅='=αααα2sin cos 'sin cos cos mB CA BC B A EB第二十八章锐角三角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．1322．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝，则弦AB 的长为( )A ．2sin 2αR B ．2R sinC ．2cos 2αRD ．R sin3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )A ．m sin 100αB ．100sin mC ．m cos 100βD ．100cos m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ．ααtan sin R B ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2RD ．ααsin tan 2R7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝，则AD 等于( )A ．a sin 2B ．a cos 2C．a sincosD ．a sin tan8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 19．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )第9题图A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度mAB，拱形的303半径R＝30m，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O的移动到与AC边相切时，OA的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝15，BC＝8，求PE＋PF．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)).1412≈≈,(≈.26453,73.122．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．。

《锐角三角函数同步练习》同步练习(附答案) 2022年北师大版

一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，那么以下结论正确的选项是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一局部，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，那么tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，那么AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，假设梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，那么梯子AB的长度为米．5．假设a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，那么a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案1．C[提示：sinA=BC AB ．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，那么△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．应选D ．] 3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD ＝163．应选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2 a ＋cos 2 a ＝l ，∴a ＝48°．]6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24. 7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=AD BD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BE BC∴25.55BE故BE=25〔米〕.能力提升1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+42.假设x为任意实数,那么多项式x-1-x2的值()3.以下多项式中,不能用公式法因式分解的是()A.-x2+16y2B.81(a2+b2-2ab)-(a+b)2C.m2-mn+n2D.-x2-y24.因式分解:(a+b)(a+b+6)+9=.5.因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=.6.当x=时,多项式-x2+2x-1有最大值.7.利用因式分解计算:1012+101×198+992的值.8.先因式分解,再求值:(a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5.9.a,b,c为△ABC的三条边长,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状.创新应用10.观察思考:1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,4×5×6×7+1=841=292,…………从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.D4.(a+b+3)25.(3x-3y+2)26.107.解:原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2021年=40 000.8.解:(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.9.解法一:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0.∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c+2a>0.∴b-c=0,即b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2,∴(a+b)2=(a+c)2.∵a,b,c为三角形的三边长,∴a+b=a+c.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.创新应用10.分析:仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解:结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,那么这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+ 1=(n2+3n+1)2.。

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例．参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜＜＜＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。

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】28.1 锐角三角函数第1课时正弦1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则∠A的正弦值为（）A．35B．34C．45D．532. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝32，AC＝23，那么AB的长是（）A．33B．32C．3 D．43. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（）A．105B．1010C．13D．以上都不对4. 若0°＜∠A＜90°，sin A是方程1(3)04x x⎛⎫--=⎪⎝⎭的根，那么sin A＝．5. 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=15，BD=6，sin A＝33，求CD的长.参考答案1．A 2．D 3．B4．1 45．6228.1 锐角三角函数第2课时锐角三角函数1. 如图，斜坡AB长20米，其水平宽度AC长为103米，则斜坡AB的坡度为（）A．30° B．60° C．33D．122. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是（）A．45B．35C．34D．433. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32，BC＝23，那么AC的长是．4. 如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=2，AB=4，则cos∠ACD的值为．参考答案1．C2．C3．34．4 55．24【解析】∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴cos B=24 BCAB.∵⊥，∴∠=90°，∴∠=∠，∴cos∠ACD=cos B2.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值1. 直角△ABC中，∠A = 30°，则sin A、 tan A的值分别是（）A．32、33B．12、3C．12、33D．22、332. 下列各式不正确的是（）A．sin30°＝cos60° B．t an45°= 2sin30°C．sin30°＋cos30°＝1 D．t an60°·cos60°＝sin60°3. 在△ABC中，已知∠A、∠B是锐角，且sin A＝32，tan B＝1，则∠C的度数为．4．计算：（1）sin245°＋co s30°·tan60°；（2）22sin45°＋3sin60°－2(tan301)︒-．5. 如图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=42, 求A C和BC的长.参考答案1．C 2．C 3．75°4．解：（1）原式＝2231332 2222⎛⎫+⨯=+=⎪⎪⎝⎭．（2）原式＝2233331122233⎛⎫⨯+⨯--=+⎪⎪⎝⎭．5．解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中, AD=BD=AB·sin45°=24242⨯=.在Rt△ACD中, . ∴BC=BD+CD=443+28.1 锐角三角函数第4课时利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数1．计算sin20°－cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.59772. Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，运用计算器计算∠A的度数为（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°3. 用“＞”“＝”“＜”填空：（1）cos37° co s46°；（2）tan41°tan21°；（3）sin31°cos31°．4. 用计算器求值（精确到0.0001）：（1）sin25°－cos25°；（2）sin15°＋cos25°＋tan35°．5. 已知等腰△ABC的底边AB＝20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1°）．参考答案1．C2．B3．（1）－0.4837 （2）1.86534．（1）＞（2）＞（3）＜5．103°28.2 解直角三角形第1课时解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10 cos502. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A．53 B．52 C．5 D．103．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．224. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知AB，∠A，则BC＝，AC＝ ;（2）已知AC，∠A，则BC＝，AB＝ ;（3）已知AC，BC，则tan A＝．5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长.参考答案 1．B 2．A 3．B4．（1）Ab sin A AB cos A （2）AC tan A cos AC A （3）BCAC5. 解：在Rt △ABC 中， ∵∠B ＝30°，∴11432322AC AB ==⨯=． ∵AD 平分∠BAC ，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴3234cos30AC AD ===︒．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

北师大版数学九年级下册第一章1.1锐角三角函数(2)同步练习(含答案)

A
B
参考答案： 1~8 ABBAC ABB
9、 5 ； 10、 2 21 ； 11、 2 5 ； 12、 5 ；
13
5
5
4
3
4
13、sinB= ， cosB= ， tanB= ；
5
5
3
14、 3 ； 5
15、 21 ； 2
C D
16、（ 1）略；（ 2） 24 ； 3
1 11、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，若 sin A ，则 sinB 的值为 _______；
2
12、如图，在 4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△
ABC 的顶点都在格点上，则 sin
∠ BAC=______ ；
三、解答题： 13、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°， AB=10 ，AC=8 ，求 sinB， cosB， tanB 的值； 14、如图，在 Rt△ ABC 中，若∠ ACB=90°， AB=10 ， BC=6 ， CD ⊥ AB 于 D，求 sin∠ BCD ；
3
A、
5
4
B、
5
3
C、
4
4
D、
3
3、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，BC=12 ， AB=13 ，则下列三角函数值正确的是（
）
12 A 、 sin A
5
5 B、 cos A
13
12 C、 tan A
13
12 D、 tan B
5
4、在 Rt△ ABC 中，若∠ C=90°，AB=4 ， AC=1 ，则 cosB=（）
2019~2020 பைடு நூலகம்年北师大版九年级（下）第一章

锐角三角函数全章同步练习含答案

4.1 第1课时正弦一、选择题1．2017·日照在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.1252．如果把一个锐角三角形ABC 的三边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．没有变化D ．不能确定3．如图K －30－1所示，已知点P 的坐标是(a ，b )，则sin α等于( )图K －30－1A.a bB.b aC.a a 2＋b2D.b a 2＋b24．如图K －30－2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若CD ∶AC ＝2∶3，则sin ∠BCD 的值是( )图K －30－2A.55 B.23 C.1313 D.2135．如图K －30－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图K －30－3A.3 1010 B.12 C.13 D.1010二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，sin A ＝35，则AB 的长是________ cm.7．直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，其中一条直角边AB 的长为6 cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝________.8．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图K －30－4所示，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________.图K －30－49．如图K －30－5，点P (12，a )在反比例函数y ＝60x的图象上，PH ⊥x 轴于点H ，则sin∠POH 的值为________．图K －30－510．已知AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin BAC ∶sin ACB ＝________．三、解答题11．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，求sin A ＋sin B 的值．12．如图K－30－6，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．图K－30－613、探究题如图K－30－7，在平面直角坐标系中，点A，B，C为第一象限内圆弧上的点，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F.(1)试根据图形比较sin∠AOD，sin∠BOE，sin∠COF的大小，并探究当0°＜α＜90°时，正弦值随着锐角α的增大的变化规律；(2)比较大小：sin10°________sin20°.图K－30－71．[解析] B Rt △ABC 的斜边长为13，根据勾股定理，求得∠A 的对边BC ＝12，利用正弦的定义得sin A ＝1213.2．[答案] C 3．[答案] D 4．[答案] B5．[解析] D 过点B 作OA 边上的高h ，由等面积法可得S △AOB ＝12×2×2＝12×2 5h ，解得h ＝2 55，所以∠AOB 的正弦值为h OB ＝1010.故选D.6．[答案] 10[解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝6 cm ，sin A ＝35＝BCAB ，∴AB ＝10 cm.7．[答案] 45[解析] 直角三角形ABC 的直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则另一直角边是BC ，∠B 是直角．由直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，得到12AB ·BC ＝24，因而BC ＝8 cm ；根据勾股定理，可得斜边AC ＝10 cm ，∴sin A ＝BC AC ＝810＝45. 8．[答案] 4 m 9．[答案] 513[解析] ∵点P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，∴a ＝6012＝5.∵PH ⊥x 轴于点H ，∴PH ＝5，OH ＝12.在Rt △PHO 中，由勾股定理，得PO ＝52＋122＝13，∴sin ∠POH ＝PH PO＝513.10．[答案] 2∶3[解析] 如图，由正弦的定义可知，∵sin BAC ＝CF AC ，sin ACB ＝AE AC，∴sin BAC ∶sin ACB ＝CF AC ∶AEAC＝CF ∶AE ＝2∶3.故答案为2∶3.11．解：由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝152＋82＝17，所以sin A ＝1517，sin B ＝817，所以sin A ＋sin B ＝1517＋817＝2317.12．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝4x . ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ＝2x ，∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ，∴EM 2＋CM 2＝CE 2， ∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55. 14、解：(1)sin ∠AOD ＜sin ∠BOE ＜sin ∠COF ；当锐角α逐渐增大时，sin α也随之增大．(2)＜第2课时特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值一、选择题1．sin60°的值为( ) A.12 B.32 C.22 D.332．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于( ) A ．50° B．60° C ．70° D．80°3．用计算器求sin50°的值，按键顺序是( ) A.50sin ＝ B.sin 50＝C.sin 05＝D.）sin 50＝4．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，则对△ABC 的形状描述最确切的是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形二、填空题5．运用科学计算器计算：3 17×sin73°52′≈________．(结果精确到0.1) 6．如图K －31－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值为________．图K－31－17．如图K－31－2，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为________ .图K－31－28．如图K－31－3，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则∠AOx ＝________°.图K－31－3三、解答题9．用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.0001)．(1)68°；(2)81°53′；(3)76°10′.10．已知下列正弦值，用计算器求锐角的度数(精确到1′)：(1)sin A＝0.7321；(2)sin A＝0.9538.11．计算：(1)2sin60°－2sin 245°；(2)sin60°sin 245°－(sin30°sin60°)2.12阅读理解我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．图K－31－4类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad)．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)sad60°的值为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)对于0°＜∠A ＜180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________． (3)已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，则sad A 的值是________．1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] B 根据用计算器计算三角函数值的方法：先按键“sin ”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得到结果．4．[解析] C 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，得sin A ＝22，sin B ＝22，所以∠A ＝45°，∠B ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．5．[答案] 11.9 6．[答案]32 7．[答案]22[解析] 连接AC ，AB 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5， ∴AC ＝BC ，BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠BCA ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∴∠ABC 的正弦值为22. 8．[答案] 60[解析] 过点P 作PB⊥x 轴于点B.∵点P 的坐标为(1，3)，∴OB ＝1，PB ＝3，∴OP ＝2，∴sin ∠AOx ＝PB OP ＝32，∴∠AOx ＝60°.故答案为60.9．解：(1)sin 68°≈0.9272. (2)sin 81°53′≈0.9900. (3)sin 76°10′≈0.9710. 10．解：(1)∠A≈47°4′.(2)∠A≈72°31′. 11．解：(1)原式＝2×32－2×(22)2＝3－1. (2)原式＝32（22）2－(1232)2＝3－13＝3 3－13.12、[答案] (1)B (2)0<sad A<2 (3)105[解析] (1)当等腰三角形的顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°，则此三角形为等边三角形，则sad 60°＝11＝1.故选B .(2)当∠A 接近0°时，sad A 接近0，当∠A 接近180°时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sad A 接近2. 于是sad A 的取值范围是0＜sad A ＜2. 故答案为0＜sad A ＜2.(3)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35.在AB 上取点D ，使AD ＝AC ，过点D 作DH⊥AC，垂足为H.令BC ＝3k ，AB ＝5k ，则AD ＝AC ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k. 又∵在△ADH 中，∠AHD ＝90°，sin A ＝35.∴DH ＝AD·sin A ＝125k ，∴AH ＝AD 2－DH 2＝165k.则在△CDH 中，CH ＝AC －AH ＝45k ，CD ＝DH 2＋CH 2＝4 105k.∴在△ACD 中，AD ＝AC ＝4k ，CD ＝4 105k.由正对的定义，可得sad A ＝CD AD ＝105，即sad A ＝105.4.2 正切一、选择题1．如图K －33－1，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( )图K －33－1A.513 B.1213 C.512 D.1252．若tan(α＋10°)＝ 3，则锐角α的度数是( ) A ．20° B．30° C．35° D．50°3.2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －33－2所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列四个选项中错误的是( )图K －33－2A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝14．在△ABC 中，若锐角A ，B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的大小是( )A ．45° B．60° C．75° D．105°5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，那么tan B 的值是( )A.52 B.53 C.2 55 D.236．如图K －33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边的中点)的长是( )图K －33－3A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K －33－4，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为( )图K －33－4A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1＋ 3 D.3－1 二、填空题8．如图K －33－5所示，BC 是一条河的直线河岸，A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于点B ，站在河岸的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB 的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)．图K －33－59．如图K －33－6，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________.图K －33－610．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝________．三、解答题11．计算：(1)3sin60°－cos30°＋2tan45°；(2)tan45°tan30°－cos45°sin 60°·tan60°.12．如图K －33－7，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AB ＝2，CD ＝8，tan ∠BAC ＝2，求tan D的值.图K－33－713．如图K－33－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB 于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．图K－33－814．如图K －33－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，tan A ＝33，AD ＝20.求BC 的长．图K －33－915．已知：如图K －33－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．图K －33－1016新定义问题在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝ba，则称它为锐角A 的余切．根据这个定义解答下列问题：(1)cot30°＝__________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值；(3)求证：tan A ＝cot(90°－∠A )．1．[解析] C 过点P 作PE ⊥x 轴于点E. ∵点P 的坐标为(12，5)，∴PE ＝5，OE ＝12， ∴tan α＝PE OE ＝512.2．[答案] D3．[解析] C 由图可知，△ADB 是等腰直角三角形，BD ＝AD ＝2，AB ＝2 2，CD ＝1，AC ＝5，∴sin α＝cos α＝22，故A 正确；tan C ＝AD CD ＝2，故B 正确；tan α＝BDAD＝1，故D 正确；∵sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝2 55，∴sin β≠cos β，故C 错误．故选C .4．[解析] D 由题意得cos A ＝32，tan B ＝1，则∠A＝30°，∠B ＝45°，则∠C＝180°－30°－45°＝105°. 5．[解析] A ∵sin A ＝BC AB ＝23，∴设BC ＝2x ，AB ＝3x ，由勾股定理得：AC ＝AB 2－BC 2＝5x ，∴tan B ＝AC BC ＝5x 2x ＝52.故选A .6．[解析] C ∵BC＝10米，D 为底边的中点，∴DC ＝BD ＝5米． ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADB 中，∠B ＝36°，∴tan 36°＝ADBD ，即AD ＝BD·tan 36°＝5tan 36°(米)．7．[解析] B 在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝BD ＝2k ，∠BAD ＝∠BDA＝15°，∴∠CAD ＝90°－∠BDA＝75°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝3k ，在Rt △ACD 中，CD ＝BC ＋BD ＝3k ＋2k ，则tan 75°＝tan ∠CAD ＝CD AC ＝3k ＋2k k＝2＋3.故选B . 8．[答案] 11.9[解析] 在△ABC 中，∵AB ⊥BC ， ∴tan ∠BCA ＝ABBC.又∵BC＝10 m ，∠BCA ＝50°，∴AB ＝BC·tan 50°＝10×tan 50°≈11.9(m )． 9．[答案] 43[解析] 过点A 作AE⊥BC 于点E.∵AB＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝ 52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.10．[答案]32或2 33[解析] 分两种情况：(1)如图①，BD 是AC 边上的中线，BD ＝AC.设AD ＝CD ＝k ，则BD ＝AC ＝2k.在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°，∴BC ＝BD 2－CD 2＝3k ，∴tan A ＝BC AC ＝3k2k＝32；(2)如图②，AD 是BC 边上的中线，AD ＝BC.设BD ＝CD ＝k ，则AD ＝BC ＝2k.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC ＝AD 2－CD 2＝3k ，∴tan ∠CAB ＝BC AC ＝2k 3k＝2 33.综上可知，tan A 的值为32或2 33.11．解：(1)原式＝3×32－32＋2×1＝3＋2. (2)原式＝133－2232×3＝3－23. 12．[解析] 利用tan ∠BAC ＝2，AB ＝2，先求得BC ＝4，再利用勾股定理求得AC ＝2 5，所以tan D ＝AC CD ＝54.解：在Rt △ABC 中，tan ∠BAC ＝2，即BCAB＝2.又∵AB＝2，∴BC ＝4， ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22＋42＝2 5. 在Rt △ACD 中，tan D ＝AC CD ＝2 58＝54.13．解：(1)证明：因为AE 平分∠CAB，所以∠CAE ＝∠BAE.又∠C＝∠AFE＝90°，AE ＝AE ，所以△ACE≌△AFE.(2)设AB ＝3x ，则BF ＝x ，AF ＝AC ＝2x ，所以BC ＝AB 2－AC 2＝9x 2－4x 2＝5x. 由(1)知CE ＝EF ，设CE ＝EF ＝m ，在△BEF 中，BE 2＝EF 2＋BF 2，即(5x －m)2＝m 2＋x 2，因为x ≠0，所以m ＝2 55x ，故tan ∠CAE ＝CE AC ＝2 55x 2x ＝55.14．解：∵tan A ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.又∵BD 平分∠ABC，AD ＝20，∴∠A ＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD ＝BD ＝20，∴DC ＝10，即AC ＝AD ＋DC ＝30.又∵tan A ＝BC AC ，∴BC ＝AC·tan A ＝30×33＝10 3，即BC 的长为10 3. 15．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD＝90°，∠ACD ＋∠CAD＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45，∴在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，由BE∶AB＝3∶5，知BE ＝3k ，则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，∴AC ＝3 2，∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝3.∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45，∴CD ＝12 25.16解：(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A＝30°，则AB ＝2BC ，AC ＝3BC ，所以cot 30°＝AC BC ＝3BCBC ＝ 3.故答案为3.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k ， ∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则∠A＋∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A. ∵tan A ＝BC AC ，cot B ＝BCAC ，∴tan A ＝cot B ，即tan A ＝cot (90°－∠A)．4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( ) A ．已知一直角边和一锐角 B ．已知一斜边和一锐角 C ．已知两边 D ．已知两角2．如图K －34－1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )图K －34－1A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．2016·牡丹江如图K －34－2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 的长为( )图K －34－2A ．2B ．3C ．3 2D ．2 34．如图K －34－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )图K －34－3A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( )A ．60B ．30C ．240D ．1206．如图K －34－4，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )图K －34－4A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图K －34－5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图K －34－59．已知△ABC ，O 为AC 的中点，点P 在AC 上，若OP ＝52，tan A ＝12，∠B ＝120°，BC ＝2 3，则AP 的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°；(2)已知b＝2 2，c＝4；(3)已知c＝4，a＝b.11．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝33，AB＝8 cm.求△ABC的面积．12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.图K －34－613．如图K －34－7，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5.(1)求∠B 的度数及AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．图K －34－714．如图K －34－8所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K －34－815．如图K －34－9，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点． (1)求点A 到BM 的距离．(2)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________．(填写所有符合条件的序号) ①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ，△ABC 的面积为126.(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC 的长． (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)图K －34－916探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－34－10，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，CD＝b sin A，AD＝b cos A，∴BD＝c－b cos A.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(b sin A)2＋(c－b cos A)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A.通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C；(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.图K－34－101．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C3． [解析] A ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC ·sin45°＝6 2×22＝6. ∵tan ∠ABC ＝AD BD＝3，∴BD ＝AD3＝2.4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x ，根据勾股定理，得AB ＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120.故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD .∵tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D.7．[答案] 14458．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35，即AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等，∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40. 9．[答案] 2 5或 5[解析] 过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°， ∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3， ∴DC ＝BC ·sin60°＝2 3×32＝3.∵tan A ＝12，∴AD ＝2DC ＝6，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝3 5.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝32 5.∵OP ＝52，∴AP 的长为2 5或 5.10．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3. (2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45°. (3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 2.11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC . 解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33， ∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)． ∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)．12．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan60°＝3x . 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝3x .∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1. 在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB，∴AB ＝BDcos B ＝1cos60°＝2. 13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x ，在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3， ∴CE ＝3，AE ＝6. 在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3， ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5，∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2.14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BEsin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt △ADF中，cos ∠ADF ＝DF AD ，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝37°，∴AD ＝AB ·sin B ＝12.(2)①以点A 为圆心、13为半径画圆，与直线BM 有两个交点，点C 不唯一； ②由tan ∠ACB ＝125知∠ACB 的大小确定，在△ABC 中，∠ACB ，∠B 及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AB 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的．故答案为②③.(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴CD ＝ADtan ∠ACB ＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝21.方案二：选③，过点C 作CE ⊥AB于点E ，则∠BEC ＝90°，由S △ABC ＝12AB ·CE ，得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°，∴BC ＝CEsin B＝21.16解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍(3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8， ∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC为直角三角形，且a＝c＝2，∴∠C＝45°.(4)∵b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±2 2.∵c＞a＞b，∴c＝6＋22.4．4 解直角三角形的应用[ 第1课时仰角、俯角相关问题一、选择题1．如图K－35－1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )图K－35－1A．500sin55°米 B．500cos35°米C．500cos55°米 D．500tan55°米2.如图K－35－2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)( )图K－35－2A．34.14米 B．34.1米C．35.7米 D．35.74米3．如图K－35－3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )图K－35－3A．60° B．45° C．15° D．90°4.图K－35－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )图K－35－4A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m二、填空题5．2017·抚顺如图K－35－5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)图K－35－56．2017·黄石如图K－35－6所示，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－35－6三、解答题7．2017·衡阳衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图K－35－7，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)图K－35－78．2017·镇江如图K－35－8，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长．(精确到1 m参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K－35－89．2017·莱芜某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度(精确到0.01 m)；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．(参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图K－35－910．2017·凉山州如图K－35－10，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米？(结果保留根号)图K－35－1011一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图K－35－11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．图K－35－111．[解析] C ∵∠ABD＝145°，∴∠EBD ＝35°.∵∠D ＝55°，∴∠E ＝90°.在Rt △BED 中，BD ＝500米，∠D ＝55°，∴ED ＝500cos 55°米．故选C .2．[解析] C 过点B 作BF⊥CD 于点F ，过点B′作B′E⊥BD 于点E ，由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF ＝45°，∴∠BDC ＝45°，∠BDB ′＝∠B ′DC ＝22.5°，∴BE ′＝B′F.∵∠EBB ′＝45°，∠BEB ′＝90°，∴BE ′＝B′F＝22BB′＝10 2，∴DF ＝BB′＋B′F＝20＋10 2，∴DC ＝DF ＋FC ＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C .3．[解析] C 在Rt △ACB 中，∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22，∴∠CAB ＝45°.在Rt △AC ′B ′中，∵sin ∠C ′AB ′＝B′C′AC ＝3 36＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C .4．[答案] B 5．[答案] 100 2[解析] 连接AN.由题意知，BM ⊥AA ′，BA ＝BA′，∴AN ＝A′N，∴∠ANB ＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB ＝22.5°，∴∠MAN ＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN ＝MN ＝200米．在Rt △ABN 中，∠ANB ＝45°，∴AB ＝22AN ＝100 2(米)．故答案为100 2. 6．[答案] 137[解析] 设AB ＝x 米，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝BC ＋CD ＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即x x ＋100＝33，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137.7．解：如图，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD ＝60°，DF ＝AE ＝1.5米．∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB ＝∠CAB＝30°，∴AB ＝BC ＝10.4米．在Rt △CBD 中，CD ＝BC·sin 60°＝10.4×32≈9.0(米)，∴来雁塔的高度＝CD ＋DF ≈9.0＋1.5＝10.5(米)．答：来雁塔的高变约为10.5米．8．解：过点A 作AE⊥CD 于点E ，∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE ，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31×tan 31°≈18.60(m )，AE ＝AB cos 31°＝31cos 31°≈36.05(m )，则甲楼的高度为18.60 m ，彩旗的长度为36.05 m .(2)过点F 作FM⊥GD，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°＝18.60，解得x≈37.20，则DG ＝37.20×tan 40°≈31.25(m )．答：乙楼的高度为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离为37.20 m .10．解：如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC ＝60°.∵∠OCB ＝∠A ＝90°，∴∠BCP ＝90°，∴∠P ＝30°.∵AD ＝20米，∴OA ＝12AD ＝10米，∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan 60°＝23米，PB ＝2BC ＝4米．在Rt △AOP 中，∵∠P ＝30°，∠A ＝90°，∴PA ＝OAtan 30°＝10 3米，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米．答：路灯的灯柱AB 的高应该设计为(10 3－4)米．11解：(1)如图①，过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12AB ＝t ，BD ＝32AB ＝3t. 在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD ＝AD ＝t.∵BM＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20.解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )．答：AB 的长为40 cm .(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt △ABN 中，BN ＝AB cos 30°＝4032＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N距点B 80 33 cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需8×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C：8 s ，C →Q ：6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm )，∴光线AP 旋转2014秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33cm 处．第2课时坡度与坡角、方向角相关问题一、选择题1．坡度等于1∶3的斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．40° C．50° D．60°2．2016·苏州如图K －36－1，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( )图K －36－1A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(2 3－2) mD ．(2 6－2) m3．某水坝的坡度i ＝1∶3，坡长为20米，则水坝的高度为( ) A ．10米 B ．20米 C ．40米 D.20 33米4．如图K －36－2，在平地MN 上用一块10 m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC ＝7.5 m ，AD ＝6 m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，则斜坡AB 的坡度是( )图K －36－2A ．3∶5B ．4∶5C ．3∶4D ．4∶3 二、填空题5．如图K －36－3，如果在坡度i ＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的水平距离AC 为3米，那么两棵树之间的坡面距离AB 是________米．图K－36－36．如图K－36－4，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)图K－36－47．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图K－36－5所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF＝________°.图K－36－5三、解答题8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的距离，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果精确到1 mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－36－69．2017·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果精确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图K－36－710．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．图K－36－811．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，距离60 2千米处有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米处还有一城市B ，B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．图K －36－912阅读与探究阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC 中，设∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则有a sin A ＝b sin B ＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a ·sin B sin A ＝6×sin30°sin45°＝3 2. 理解应用：如图K －36－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A 2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．(1)判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明； (2)求乙船每小时航行多少海里？图K－36－10。

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锐角三角函数（一）一、课前预习 (5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B′，B′C′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.43二、课中强化(10分钟训练) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( ) A.25 B.35 C.552 D.32 2.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为( ) A.54 B.43C.53D.513.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.5153 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________. 5.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.图28-1-1-2图28-1-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan2A等于( ) A.53 B.54C.343D.345图28-1-1-3 图28-1-1-42.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-58.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥B C于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.图28-1-1-69.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B′，B′C′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.图28-1-1-1解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC ，由性质得B′C′∶AB′=BC ∶AB ，B′C′∶AC′=BC ∶AC.答案：△AB′C′∽△ABC BC ∶AB BC ∶AC2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变. 答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.43解析：sinA=53,设a=3k,c=5k,∴b=4k.∴sinB=5454==k k c b .答案：C二、课中强化(10分钟训练) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( ) A.25 B.35 C.552 D.32 解析：tanB=25,设b=5k,a=2k.∴c=3k.∴cosA=3535==k k c b . 答案：B2.如果α是锐角,且sinα=54,那么cos(90°-α)的值为( ) A.54 B.43C.53D.51解析：cos(90°-α)=sinα=54.答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.5153 解析：由勾股定理,得BC=3，∴cosB=51553==AB BC . 答案：C4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________. 解析：∵sinA=135=AB BC ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36. 答案：365.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.图28-1-1-2分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.解：过A 作AD ⊥BC 于D, ∵AB=AC,∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ，∴sinB=322=AB AD . 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan2A等于( )图28-1-1-3A.53 B.54C.343D.345 解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan 2A=tan ∠DAC=53.答案：A2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60° 解析：由sin 2α+cos 2α=1,∴α=30°. 答案：B3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.图28-1-1-4解析：坡度=BCAC,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC ＝7（米）.答案：７米4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________. 解析：∵tanA=AC BC ,tanB=BC AC ,且AB 2=BC 2+AC 2,由tanA+tanB=22,得AC BC +BC AC=22,即AC·BC=28.∴S △ABC =24. 答案：245.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26. 7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-5解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°, ∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=53, ∴AB BC =53. ∴AB=10. ∴AC=2222610-=-BC AB =8.∴AD=AC-CD=8-6=2.8.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥B C 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.图28-1-1-6解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC, ∴AD ＝BC ＝2DC. ∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2. ∵BC 2=BE 2+EC 2, ∴BC=52.∴AD=52.9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A 沿着斜坡走了1 000米到达山顶B 点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7解：∵AC 2=AB 2-BC 2,∴AC=3500.∴tanA=33,即山坡的坡度为33.。