切线长定理及其应用
苏科版数学九年级上册《切线长定理》教学设计
苏科版数学九年级上册《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是苏科版数学九年级上册的教学内容。
本节课主要介绍了切线长定理及其应用。
切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。
这是圆的性质之一，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。
教材通过实例和图形，引导学生探究和发现切线长的规律，进而得出切线长定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、勾股定理等知识。
他们对这些知识有一定的理解和应用能力，但切线长定理是一个新的概念，需要通过实例和图形来引导学生理解和掌握。
此外，学生对于探究和发现规律的兴趣较高，可以通过小组合作、讨论等方式，激发他们的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握切线长定理，能够运用切线长定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握切线长定理。
2.难点：如何引导学生发现和证明切线长定理。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例和图形，引导学生观察、操作、猜想、验证，发现切线长定理。
2.小组合作法：学生在小组内进行讨论、交流，共同完成探究任务。
3.讲解法：教师对切线长定理进行讲解，解释其含义和应用。
六. 教学准备1.教具：准备一些圆的模型和切线模型，用于展示和解释切线长定理。
2.学具：为学生准备一些圆的图纸和剪刀，让他们剪切和测量切线长。
3.课件：制作课件，展示切线长定理的实例和图形。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的切线图形，引导学生思考：切线和半径之间有什么关系？激发学生的兴趣，引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）展示圆的切线图形，让学生观察和操作，尝试测量切线的长度。
引导学生发现切线长和半径长度的关系，进而猜想切线长定理。
切线长定理及应用
A L B （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O 于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
O
A
B
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。
AD
OF
P
E B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm,
AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
x A x F 9﹣x
求证： PA PB, APO BPO
一、判断
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
切线长定理教案
切线长定理教案教学目标：掌握切线长的概念及切线长定理，三角形的内切圆及内心。
教学重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。
教学难点：切线长定理及其应用 教学过程：（一）复习导入：请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。
） 你能说明以下这个问题？ 如右图所示，PA 是BAC 的平分线，AB 是⊙O 的切线，切点E 么AC是⊙O 的切线吗？为什么？(二) 实践与探索 问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？3、切线长的定义是什么？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。
这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
几何表示如下：∵PA,PB 是⊙O 的切线，A,B 为切点 ∴PA=PB, OPA=∠OPB练习：已知，如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 交 ⊙O 于点 D 、E ，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长(三)拓展与应用1．想一想，发给同学们如图24.2-15所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？2．画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
（将其与外接圆，外心比较） 三角形的内心 三角平分线的交点 到三角形三边的距离相等 问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切三角形是否只有一个？ （四）巩固练习P100例2 △ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm ，求AF 、BD 、CE 的长.变式：如图，△ABC 中，∠A=900，AC=12，AB=5，⊙I 内切于△ABC 于D 、E 、F ，求⊙I 的半径。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。
本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。
一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。
首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。
然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。
三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。
2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。
3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。
4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。
5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。
总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。
通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。
这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。
下面我将详细解释切线长定理及其应用。
首先，我们来证明切线长定理。
考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。
我们需要证明切线长AP等于切线长BP。
假设圆C的半径为r，圆心为O。
连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。
根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。
因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。
另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。
因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。
根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。
又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。
考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。
又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。
将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。
注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。
将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。
现在，考虑三角形OAB。
我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
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切线长定理及其应用
一、基础知识总结
1.内切圆和内心
定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心.
总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。
2.直角三角形的内切圆半径与三边关系
（１）一个基本图形；
（２）两个结论：
1）四边形OECF 是正方形
2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c)
（３）两个方法
代数法（方程思想）；面积法
3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。
4.切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。
二、典型例题解析
【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长
D E F O C
B A 112
12902
a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ∆∠∠∠==++∠=︒=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）；
（），则（）
【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
【例3】如图，以等腰ABC
∆中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E．
D E A C
（I）求证：D E为⊙O的切线；
（II）若⊙O的半径为5，60
∠= ，求D E的长．
B A C
【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．
【例5】 已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使 ∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D.
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.
F B D
E O A C。